Post on 17-Jan-2016
description
ASEMANAREA ASEMANAREA TRIUNGHIURILORTRIUNGHIURILOR
TEOREMA LUI THALESTEOREMA LUI THALES O paralela la o latura a unui triunghi determina O paralela la o latura a unui triunghi determina
pe celelalte doua, segmente proportionalepe celelalte doua, segmente proportionale i) Cazul: Di) Cazul: D(AB), E(AB), E(AC)(AC) DEDE BC BC
EC
AE
DB
ADA
B C
D E
AC
AE
AB
AD
AC
EC
AB
DB
i) Cazul:Di) Cazul:D(AB; E(AB; E(AC(AC
ii) Cazul: Dii) Cazul: D(BA; E(BA; E(CA(CA
D E
A
B C
BC
A
DE
TRIUNGHIURI ASEMENEATRIUNGHIURI ASEMENEADoua triunghiuri sunt asemenea daca au Doua triunghiuri sunt asemenea daca au unghiurile respectiv congruente si laturile unghiurile respectiv congruente si laturile omoloage proportionaleomoloage proportionale
A
B C B’ C’
A’
CCBBAA
BC
CB
AC
CA
AB
BA
ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ
ABC CBA ~~
TEOREMA FUNDAMENTALA A TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARIIASEMANARII
TEOREMA FUNDAMENTALA A TEOREMA FUNDAMENTALA A
ASEMANARIIASEMANARII O paralela la o latura a unui triunghi O paralela la o latura a unui triunghi
formeaza cu celelalte doua un triunghi formeaza cu celelalte doua un triunghi asemenea cu cel dat.asemenea cu cel dat.
DE DE BC BC ∆ADE ~∆ABC∆ADE ~∆ABC
AC
AE
BC
DE
AB
AD
B C
A
D E
CRITERII DE ASEMANARECRITERII DE ASEMANARE
Doua triunghiuri sunt asemenea daca Doua triunghiuri sunt asemenea daca au:au:
1. Cate un unghi congruent si laturile 1. Cate un unghi congruent si laturile care-l formeaza proportionale: L.U.L;care-l formeaza proportionale: L.U.L;
2. Cate doua unghiuri respectiv 2. Cate doua unghiuri respectiv congruente: U.U;congruente: U.U;
3. Laturile omoloage proportionale: 3. Laturile omoloage proportionale: L.L.L.L.L.L.
APLICATIIAPLICATII
1.Teorema bisectoarei;1.Teorema bisectoarei;
2. Teorema lui Menelaus;2. Teorema lui Menelaus;
3. Teorema lui Ceva3. Teorema lui Ceva
11. . TEOREMA BISECTOAREITEOREMA BISECTOAREI Bisectoarea unui unghi al unui triunghi Bisectoarea unui unghi al unui triunghi
determina pe latura pe care cade un determina pe latura pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care raport direct egal cu raportul laturilor care formeaza unghiul.formeaza unghiul.
[AE bis[AE bisABCABC
AC
AB
CE
BE
A
B C
M
E
Demonstratie (teorema directa)Demonstratie (teorema directa)
Demonstratie ( teorema reciproca)Demonstratie ( teorema reciproca)
AC
AB
EC
BEAMACcumThales
EC
BE
AM
ABAEMC
AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci
EACBAEtoareAEbi
ernealterneACMEACantaAEsiACMC
enteMcorespondBAEAEsiBMMC
][][),(
][][)(
sec[
)int(sec
.sec
BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci
altACEEACACCMAE
ntecorespondeMBAEBMCMAE
MACMACMisoscel
ACAMAC
AB
AM
ABipoteza
AC
AB
EC
BEcumThales
AM
BA
EC
BEAEMC
.[)(
int).(.sec,
)(.sec,
;
][][)(),(
2. TEOREMA LUI MENELAUS2. TEOREMA LUI MENELAUS Daca o dreapta d intersecteaza toate Daca o dreapta d intersecteaza toate
laturile unui triunghi ABC in punctele laturile unui triunghi ABC in punctele MMAB, NAB, NBC, PBC, PAC, atunci este AC, atunci este verificata relatia:verificata relatia:
A
B C
EM
F
N
P G
a
bc
d
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
Demonstratia teoremei lui Menelaus:Demonstratia teoremei lui Menelaus:
RECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAUSRECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAUS Daca pe leturile triunghiului ABC luam punctele Daca pe leturile triunghiului ABC luam punctele
MMAB, NAB, NBC, PBC, PAc astfel incat sa verifice relatia :Ac astfel incat sa verifice relatia :
atunci punctele M,N,P sunt coliniare.atunci punctele M,N,P sunt coliniare.
Demonstratia teoremei reciproce:Demonstratia teoremei reciproce:
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
coliniarePNMPPAP
CP
PA
PCipoteza
PA
PC
NC
NB
MB
MACum
AP
CP
NC
NB
MB
MAsiPACMNenecoliniarPNMes
,,)(1
1}{,,.Pr
1
..;;,,:
a
c
c
b
b
a
PA
PC
NC
NB
MB
MA
afta
c
PA
PC
c
b
NC
NB
b
a
MB
AMCGBFAEdCGdBFdAEFie
Teorema lui Ceva.Teorema lui Ceva. Daca M, N, P sunt puncte pe laturile [AB], [BC], Daca M, N, P sunt puncte pe laturile [AB], [BC],
respectiv [AC],astfel incat AN, BP si CM sunt respectiv [AC],astfel incat AN, BP si CM sunt concurente in O, atunci este verificata relatia: concurente in O, atunci este verificata relatia:
Demonstatia se face Demonstatia se face cu ajutorul teoremei cu ajutorul teoremei lui Menelaus aplicata lui Menelaus aplicata inin ∆ ABN,∆ ABN, MCMC secanta secanta si insi in ∆ANC,∆ANC, BP BP secanta.Inmultind relatiile obtinute membru secanta.Inmultind relatiile obtinute membru
cu membru avem:cu membru avem: Deci prin simplificare obtinem relatia din teorema.Deci prin simplificare obtinem relatia din teorema.
1PA
PC
NC
NB
MB
MAA
B C
M
N
P
O
1AP
PC
BC
BN
ON
OA
OA
NO
CN
BC
MB
MA
Reciproca teoremei lui CevaReciproca teoremei lui Ceva Daca pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele Daca pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele
M, N, respectiv P astfel M, N, respectiv P astfel incat verifica relatia:incat verifica relatia:
atunci AN, BP si CM sunt concurenteatunci AN, BP si CM sunt concurente . .
Demonstratia se face prin reducere la absurd.Demonstratia se face prin reducere la absurd. Presupunem ca AN nu trece prin O,{O}= CPPresupunem ca AN nu trece prin O,{O}= CPBM. BM. Fie AOFie AOBC={NBC={N’}. Aplicand teorema lui Ceva ’}. Aplicand teorema lui Ceva
pentru punctele M, P si N’ si comparand cu pentru punctele M, P si N’ si comparand cu relatia din enunt obtinem ca N = N’ relatia din enunt obtinem ca N = N’
1PA
PC
NC
NB
MB
MA
SUCCES!SUCCES!