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Tânia Tomé - Din Est - 2016 1
Dinâmica Estocástica
Segunda aula
Ifusp, agosto de 2016
Segunda aula
1. Variável aleatória e distribuição de probabilidades
2. Médias de grandezas sobres distribuições de probabilidades; Momentos de uma distribuição
3. Função característica: a partir da qual nos podemos obter os momentos da distribuição de probabilidades
4. Cumulantesde uma distribuição (estão relacionados com os momentos da distribuição). Esses são obtidos também por meio da função característica
5. Função geratriz
Bibliografia básica para essa aula:Tânia Tomé & MJO, Cap. 1Van Kampen, Cap. 1Gardiner, Cap. 2
2Tânia Tomé - Din Est - 2016
Variável aleatória
(i) Valores discretos
Variável aleatória discreta
Exemplos: número de indivíduos infectados por uma doença em uma certa população número de moléculas em uma reação química
Variável aleatória contínua
Exemplo: valores assumidos por uma das componentes cartesianas do momento linear associado às moléculas de um gás ideal.
3Tânia Tomé - Din Est - 2016
(ii) Valores contínuos
Variável aleatória discreta
Associa-seum número
4Tânia Tomé - Din Est - 2016
A cada valor de n
Variável: n
(1)
normalização
distribuição de probabilidadesassociada a
0nP
1 n
n
P
nP
n
Exemplo de distribuição de probabilidades associada a variável aleatória discreta
5Tânia Tomé - Din Est - 2016
Distribuição binomialnNn
n qpn
NP
1 qp
10 p
)!(!
!
nNn
N
n
N
Essa distribuição normalizada, isto é: 10
n
N
n
P
De fato:nNnN
n
n qpn
Nqp
0
)(
expansão binomial
n variável aleatória discreta
(*)
(2)
(3)
(4)
Variável aleatória contínua
( ) 0x
x
6Tânia Tomé - Din Est - 2016
],[ 10 xx
dxx
x
x
)(1
0
( )x dx probabilidade de encontrar com valores
entre dxxex
( )x
x
(6)
probabilidade de que a variável x assumavalores no intervalo
x assume valores sobre a reta real
1)(
dxx
normalização
( )x densidade de probabilidade
(5)
)2/exp(2/)(2
mpmp xx
Densidade de probabilidade associada a uma das componentes cartesianas do momento linear de uma molécula:
Gás ideal clássico de moléculas monoatômicas contido em um recipiente. Cada molécula tem massa e o sistema está a uma temperatura
7Tânia Tomé - Din Est - 2016
Exemplo – variável aleatória contínua & distribuição de probabilidades
m
T
p
),,( zyx pppp
TkB/1
Essa é umadistribuição gaussiana!
Bk constante de Boltzmannn
(7)
Vamos ver a seguirdistribuições gaussianas
Distribuição gaussiana
Tânia Tomé - Din Est - 2016 8
Distribuição gaussiana
)exp(2
1)( 2
2
2/2
xx
2 é a variância
Distribuição de probabilidades gaussiana centrada no zero, média =0
9Tânia Tomé - Din Est - 2016
(8)
(9)
(a definição de variância vai a ser vista nessa aula)
Exemplo de distribuição gaussiana
)exp(2
1)( 2
2
2/2
xx 12
FIGURA
com
Tânia Tomé - Din Est - 2016 10
Momentos de uma distribuição
Tânia Tomé - Din Est - 2016 11
Valor médio ou médiaDefinição
Valor médio de uma função da variável
Caso especial:
12Tânia Tomé - Din Est - 2016
(10)dxxxfxf )()()(
dxxxx )((11)
xxf )(
)(xf x
momento de ordem 1
1,2,3,...m
Momentos de uma distribuição
Momento de ordem 1
Momento de ordem 2
Momento de ordem definição:m
(valor médio)
13Tânia Tomé - Din Est - 2016
m
dxxxx mm
m )(
dxxxx )(1
dxxxx )(22
2
(12)
(13)
(14)
Variância
Tânia Tomé - Din Est - 2016 14
Variância(A variância também é chamada de dispersão )
Definição
Pois:
15Tânia Tomé - Din Est - 2016
222 xx
22 )( xx
ou,
)2( 222 xxxx
22 2 xxxx
22 xx
(15)
(16)
Dedução da expressão (16) a partir da expressão (15)
12
2
2 variância em termos dos momentosde segunda ordem e de primeira ordem.
2
é uma medida do grau em que os valores de x estão afastados de seu valor médio.
Variância (continuação)
16Tânia Tomé - Din Est - 2016
222 xx
Desvio padrão
(17)
(18)
isto é,
Exemplo: momentos da distribuição gaussiana:
2 2
2
1( ) exp( /2 )
2x x
(19)
Momento de ordem 1 da distribuição gaussiana
2 2
12
1( ) exp( /2 ) 0
2x x dx x x dx
(20)
17Tânia Tomé - Din Est - 2016
Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana
18Tânia Tomé - Din Est - 2016
dxxx )/2exp(2
1 222
22
Integral gaussiana (*)
Derivando ambos os lados da Eq. (22) com relação a temos:
2)/2exp( 2
dxx 0
(21)
(22)
2
2
1)/2exp()
2( 2
2
dxxx
21)/2exp( 22
dxxx (23)
(*) ver apêndice no final dessa apresentação
Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana (continuação)
19Tânia Tomé - Din Est - 2016
)exp(2
1)( 2
2
2/2
xx
Portanto, o momento de ordem 2 da distribuição gaussiana é dado por:
(*) Estamos calculando o momento de ordem 2 para a distribuição gaussiana:
portanto:
dxxx )/2exp(2
1 222
22
2)2(
2
1 2/12/32
2
2
2
(23)
2
1
(24)
(25)2)2(
2
1 2/132/3
2/12/1
(26)
2)/2exp( 2/322
d
ddxxx
d
d 2/524 22
3)/2exp(
dxxx
2/524
2
13)/2exp(
2
1
dxxx
2/1
2/5224
24 )(
13)/2exp(
2
1
dxxx
424
24 3)/2exp(
2
1
dxxx
Momento de ordem 4 da distribuição gaussiana 4224
24 3)/2exp(
2
1
dxxx
Demonstração
(23) 2)/2exp( 2/322
dxxx (24)2/1
Portanto:
(27)
Tânia Tomé - Din Est - 201620
Outros momentos da distribuição gaussiana
Momentos de ordem par podem ser obtidos por derivação da
integral gaussiana com relação a
21Tânia Tomé - Din Est - 2016
Momentos de ordem ímpar nulos
2)/2exp( 2
dxx
0)/2exp(2
1 22
21
dxxxx
Por exemplo: (20-a)
0)/2exp(32
13 22
23
dxxxx
(20-b)
todos os momentos de ordem par podem ser escritos em termos de potências da variância EXERCÍCIO
= variância (para o caso <x>=0)
22Tânia Tomé - Din Est - 2016
Resumo: momentos da distribuição gaussiana
)/2exp(2
1)( 22
2
xx
OBTER!
2
2
4
4 3
6
6 15
8
8 105
(26)
(27)
Função característica - definição
Função característica & Momentos
Tânia Tomé - Din Est - 2016 23
Função característica
( ) exp( ) exp( ) ( )g k ikx ikx x dx
Definição:
)(kg = função geradora dos momentos
Os coeficientes da expansão em série de Taylor de g(k) (quando é possível fazer a expansão) são os momentos
24Tânia Tomé - Din Est - 2016
(28)
(29)
0
( )exp( )
!
m
m
ixkikx
m
0
( )( ) exp( ) ( )
!
mm
m
ikg k ikx x
m
1 !
)(1)(
m
m
m
m
ikkg
25Tânia Tomé - Din Est - 2016
(momento de ordem n) e, portanto, m
n x
Portanto, podemos escrever a seguinte expressão para a função característica :
Função característicaExpansão em série de Taylor:
ikxekg )(
Mas,
(30)
(31)
(32)
Função característica - Exemplo
Utilizando a definição de função característica:
26Tânia Tomé - Din Est - 2016
distribuição gaussiana (33)
dxxikxkg )()exp()(
e a expressão (33) temos:
(28)
dxikxxkg )/2exp(2
1)( 22
2
(34)
)/2exp(2
1)( 22
2
xx
Função característica de uma gaussiana - continuação
27Tânia Tomé - Din Est - 2016
dxikxxkg )/2(exp2
1)( 22
2
22222 /2)2()/2( ikxxikxx
2/2/)(}2{2
1 22222424222
2
kikxkkikxx
dxikxk
kg )/2)(exp(2
)2/exp()( 222
2
22
(34)
(35)
Função característica de uma gaussiana - continuação
28
Tânia Tomé - Din Est - 2016
(36)
axikxz 2
complexa
dxzk
kg )/2exp(2
)2/exp()( 22
2
22
integral no plano complexo
Avaliar a integral no plano complexo! EXERCÍCIO da lista.
(35)
Depois de fazer a integral no plano complexo chega-se a:
)2/exp()( 22kkg
Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica
(36))2/exp()( 22kkg
...!2.4/2/1)( 4422 kkkg
...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg (37)
Tânia Tomé - Din Est - 2016 29
Obtenção dos momentos da gaussiana a partir da função característica
Mas, a partir da expressão (32) temos:
...!4/!3/2/1!
)(1)( 4
4
3
3
2
2
1
1
kikkikn
ikkg
n
n
n
(38)
n
n x momento de ordem n
...!4/)3(2/1)( 4422 kkkg(37)
Comparando as expressões (37) e (38) temos:
01 2
2 03 ....3 4
4 (39)
Que são idênticos aos resultados obtidas por outro método: (20), (26) e (27).
Tânia Tomé - Din Est - 201630
Cumulantes
Tânia Tomé - Din Est - 2016 31
Cumulantes de uma distribuiçãoDefinição:
Tomando-se o logaritmo de g(k) e expandindo-o em série de Taylor (quando é possível fazer essa
expansão) obtemos os cumulantes da distribuição.
Os cumulantes são definidos por:
1
( )ln ( )
!
n
n
n
ikg k
n
n = cumulante de ordem n
32Tânia Tomé - Din Est - 2016
(40)
Expandindo em série de Taylor o logaritmo da expressão para a função característica definida na Eq. (32) (quando a expansão puder ser feita) e comparando com a definição de g(k) em termos dos cumulantes (Eq. (33)) obtém-se os cumulantes em termos dos momentos (*):
11 13
1233 23
14
12
222
1344 61234 2
2 2 1
E assim por diante podemos escrever os cumulantes de ordem n como combinações de momentos de ordem igual a n e menor que n.
n cumulante de ordem n
Cumulantes de uma distribuição
33Tânia Tomé - Din Est - 2016
1 !
)()(ln
n
n
n
n
ikxkg (41)
(*) Exercício da lista 1: por meio da procedimento explicado acima obter as expressões (42-1) e (42-2).
(42-1)
(43-2)
(42-3)
(42-4)
2 2
2
1( ) exp( /2 )
2x x
2
2
34Tânia Tomé - Din Est - 2016
Exemplo: cumulantes de uma gaussiana
OBTER! Lista de exercícios 1.
)2/exp()( 22kkg n
m
n n
ikkg
!
)()(ln
1
01
0........43 n todos os cumulantes de ordem superior a 2 de uma distribuição gaussiana são nulos
(43-3)
(43-1) (43-2)
Função Geratriz
Tânia Tomé - Din Est - 2016 35
Variáveis aleatórias discretas
36
As derivadas da função geratriz estão relacionadas com os momentos da distribuição
0,1,2,...n
Tânia Tomé - Din Est - 2016
Função geratriz
Função Geratriz
0)(
n
n
n zPzG (44)
0nP distribuição de probabilidades
nP
37
3 2'''(1) 3 2G n n n
4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n
Tânia Tomé - Din Est - 2016
Derivadas da função geratriz
(45)
(46)
1
1)('n
n
n znPzG
nnPG
n n1)1('
2
2)1()(''n
n
n zPnnzG
nnG 2)1(''
Solução de equações mestras. Muitas vezes é mais conveniente obter a função geratriz e em seguida a distribuição de probabilidades (solução da equação mestra).
Função Geratriz: aplicação importante
A partir da equação mestra encontra-se uma equação para a função geratriz
Essa equação é em geral mais fácil de ser resolvida do que a equação mestra (quando essa tem solução exata)
),( tzGObtém-se a distribuição de probabilidades )(tPn
Tânia Tomé - Din Est - 2016 38
),( tzGfunçãogeratriz
(*) (vamos ver esse método quando estudarmos o tópico:equação mestra)
FIM
Tânia Tomé - Din Est - 2016 39
Tânia Tomé - Din Est - 2016 40
Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração
2)/2exp( 2
dxx 0
dxx )(exp 2
ou:
Tânia Tomé - Din Est - 201641
Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração
dxxA )(exp 2
ou,
dxdyyxA )exp()(exp 222
dxdyyxA )(exp 222
Utilizando coordenadas polares:
r
y
x
elemento de área
rdrd
0
2
2
0
2 )(exp
rdrdrA
20 ),( r
0
22 )(exp2 rdrrA
Tânia Tomé - Din Est - 201642
Apêndice I - Aula 2- Integral gaussiana - demonstração
0
22 )(exp2 rdrrA
2ry rdrdy 2
0
22 )(exp dyyA
0
2 )exp( yA
A
dxx )(exp 2