Post on 31-Oct-2020
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 1
Parte 1 Matemática Básica 1
Apresentação do curso
Parte 1 Matemática Básica 2
Conteúdo do curso
� Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo,contraexemplo, demonstração direta, demonstraçãoindireta (por absurdo), equivalência, relação com teoriade conjuntos, conectivos, quantificadores, negação,argumentos.
� Função modular.� Função potência.� Função quadrática (incluindo completamento de
quadrados).� Função da forma f (x) =
√a2 − x2.
Parte 1 Matemática Básica 3
Bibliografia
Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a UmaVariável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. ColeçãoMatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.
Parte 1 Matemática Básica 4
Bibliografia
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César Morgado. A Matemática do EnsinoMédio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Parte 1 Matemática Básica 5
Bibliografia
Elon Lages Lima. Logaritmos. Coleção do Professor deMatemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2002.
Parte 1 Matemática Básica 6
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.
Parte 1 Matemática Básica 7
Bibliografia
Marlene Dieguez Fernandez. Matemática Básica. Notas deAula, Departamento de Matemática Aplicada, UniversidadeFederal Fluminense, 2011.
Sebastião Marcos Antunes Firmo. Lições de MatemáticaBásica. Departamento de Matemática Aplicada,Universidade Federal Fluminense, 2011.
Parte 1 Matemática Básica 8
Outras informações
� Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
� Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
� Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Parte 1 Matemática Básica 9
Datas das provas
1a VE 31/10/2016 (peso 2)
2a VE 09/01/2017 (peso 3)
VR 11/01/2017
VS 18/01/2017
Frequência mínima: 75%.
Parte 1 Matemática Básica 10
Como estudar?
� Tenha uma cópia impressa destes slides sempre consigo!
� Após cada aula, estude o material apresentado (estesslides): marque o que é importante, refaça os exemplos eas demonstrações apresentadas por conta própria, anotedúvidas, etc.
� Faça uma lista com as definições e teoremas principais!
� Tem uma dúvida? Converse com seus colegas, comos monitores e com os professores.
� Não fique acanhado em perguntar em sala de aula.
� Não deixe para estudar na última hora: estude todo dia!
Parte 1 Matemática Básica 11
Elementos de Lógica e LinguagemMatemáticas
Parte 1 Matemática Básica 12
O significado das palavras
linguagem do cotidiano�=
linguagem matemática
Parte 1 Matemática Básica 13
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Parte 1 Matemática Básica 14
Exemplo
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!
Parte 1 Matemática Básica 15
Exemplo
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é falsa!
Parte 1 Matemática Básica 16
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Parte 1 Matemática Básica 17
Se A, então B: hipótese e tese
Parte 1 Matemática Básica 18
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Parte 1 Matemática Básica 19
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Parte 1 Matemática Básica 20
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Parte 1 Matemática Básica 21
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Parte 1 Matemática Básica 22
Se A, então B: exemplo econtraexemplo
Parte 1 Matemática Básica 23
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.� Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.� Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.� Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.� Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Parte 1 Matemática Básica 24
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.� Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.� Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.� Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.� Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Parte 1 Matemática Básica 25
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.� Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.� Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.� Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.� Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Parte 1 Matemática Básica 26
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.� Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.� Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e nsão inteiros pares. Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 · r e n = 2 · s. Logo,m · n = 2 · (2 · r · s) é inteiro par e satisfaz a tese.
Parte 1 Matemática Básica 27
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Parte 1 Matemática Básica 28
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
Regras do Jogo
Parte 1 Matemática Básica 29
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.� Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.� Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Parte 1 Matemática Básica 30
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.� Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.� Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que
2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Parte 1 Matemática Básica 31
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.� Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.� Não satisfaz a tese:
n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Parte 1 Matemática Básica 32
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares.Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 · r e n = 2 · s. Logo,m · n = 2 · (2 · r · s) é inteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Parte 1 Matemática Básica 33
A recíproca de “Se A, então B.”
Parte 1 Matemática Básica 34
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Parte 1 Matemática Básica 35
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Parte 1 Matemática Básica 36
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Parte 1 Matemática Básica 37
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 2
Parte 2 Matemática Básica 1
Se A, então B: notações
Parte 2 Matemática Básica 2
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A ⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Parte 2 Matemática Básica 3
Demonstrações: direta e por absurdo
Parte 2 Matemática Básica 4
Demonstração direta
Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A tambémsatisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” éverdadeira, pois ela não possui contraexemplos.
Demonstração direta
Parte 2 Matemática Básica 5
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Parte 2 Matemática Básica 6
Demonstração por absurdo
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.
Demonstração por absurdo
Parte 2 Matemática Básica 7
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Parte 2 Matemática Básica 8
A se, e somente se, B
Parte 2 Matemática Básica 9
A se, e somente se, B
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B” e “se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
Regras do Jogo
Parte 2 Matemática Básica 10
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Parte 2 Matemática Básica 11
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Parte 2 Matemática Básica 12
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Parte 2 Matemática Básica 13
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A ⇔ B. m é um inteiro e m2 é par ⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Parte 2 Matemática Básica 14
Quatro observações
Parte 2 Matemática Básica 15
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Parte 2 Matemática Básica 16
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = 1/7.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Parte 2 Matemática Básica 17
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Parte 2 Matemática Básica 18
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
� Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.
� Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.
� Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.
Parte 2 Matemática Básica 19
Uma demonstração por absurdo famosa
Parte 2 Matemática Básica 20
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m, n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Parte 2 Matemática Básica 21
Seção de Exercícios
Parte 2 Matemática Básica 22
Implicações e Teoria dos Conjuntos
Parte 2 Matemática Básica 23
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 �= 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0, 1}T = {x | x satisfaz a tese } = {1}
Note que H �⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 24
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}T = {x | x satisfaz a tese } = {0, 1}
Note que H ⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 25
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 �= 2).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2, 2}T = {x | x satisfaz a tese } = {2}
Note que H �⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 26
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}T = {x | x satisfaz a tese } = {−2, 2}
Note que H ⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 27
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞, 0[ ∪ ]1,+∞[
T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[
Note que H �⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 28
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.
H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0, 1}T = {x | x satisfaz a tese } = {0, 1, 2}
Note que H ⊂ T !
Parte 2 Matemática Básica 29
MoralVerdadeira ou falsa?
Se A, então B.
Sejam:
H = {x | x satisfaz a hipótese A},
T = {x | x satisfaz a tese B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Parte 2 Matemática Básica 30
ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = 1/7
H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅
T = {x | x satisfaz a tese } = {1/7}
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?
Parte 2 Matemática Básica 31
Conectivos Lógicos
Parte 2 Matemática Básica 32
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 ou x2 = 4 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Parte 2 Matemática Básica 33
Conectivo “ou” (∨)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p ou q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Parte 2 Matemática Básica 34
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?
x + 1 = 2 e x2 = 1 .
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.
Parte 2 Matemática Básica 35
Conectivo “e” (∧)
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p e q
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},
então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Parte 2 Matemática Básica 36
Conectivos e o uso de parêntesisQuais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0 ou x < 2) e x > 1 .
Resposta: x > 1.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x > 0︸ ︷︷ ︸
p
ou (x < 2︸ ︷︷ ︸
q
e x > 1︸ ︷︷ ︸
r
).
Resposta: x > 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Parte 2 Matemática Básica 37
Conectivos e o uso de parêntesisQuais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x = 0︸ ︷︷ ︸
p
ou x = 1︸ ︷︷ ︸
q
) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸
r
.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x = 0︸ ︷︷ ︸
p
ou (x = 1︸ ︷︷ ︸
q
e 2 = 3︸ ︷︷ ︸
r
).
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Parte 2 Matemática Básica 38
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 3
Parte 3 Matemática Básica 1
Negação
Parte 3 Matemática Básica 2
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?
x < 1.
Resposta: x ≥ 1.
Parte 3 Matemática Básica 3
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U
︸︷︷︸
conjuntouniverso
− A.
Parte 3 Matemática Básica 4
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
Parte 3 Matemática Básica 5
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.
Parte 3 Matemática Básica 6
Negação
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼ p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Regras do Jogo
Fato: ∼ (∼ p) = p.
Parte 3 Matemática Básica 7
Contrapositiva
Parte 3 Matemática Básica 8
Contrapositiva
Dada uma sentença A ⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
∼ B ⇒∼ A.
Regras do Jogo
Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
Parte 3 Matemática Básica 9
TeoremaA ⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Demonstração.
(⇒) Suponha, por absurdo, que A ⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A ⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.
Corolário:
A ⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
Parte 3 Matemática Básica 10
Contrapositiva: exercício resolvidoSe m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.
Parte 3 Matemática Básica 11
Quantificadores
Parte 3 Matemática Básica 12
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .
Parte 3 Matemática Básica 13
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .
Parte 3 Matemática Básica 14
Quantificador universal (∀)
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∀a, b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a, b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.
Parte 3 Matemática Básica 15
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√
5)/2, então x ∈ R
e x2 − x − 1 = 0.
Parte 3 Matemática Básica 16
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Parte 3 Matemática Básica 17
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∃a, b, c ∈ N | a2 = b2 + c2
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.
Parte 3 Matemática Básica 18
Quantificador existencial (∃)
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Exemplo:∃n, a, b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).
Parte 3 Matemática Básica 19
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Dizemos que a expressão quantificada
∃!x ∈ X | q(x)(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q(x)”)
é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuium único exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q(x)” é falsa se existe maisde um elemento x ∈ X que satisfaz o predicado q(x) ou se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).
Regras do Jogo
Parte 3 Matemática Básica 20
Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:
∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4 − 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.
Parte 3 Matemática Básica 21
Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:
∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 4 e x22 = 4. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 �= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 �= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 �= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Parte 3 Matemática Básica 22
Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:
∃!x ∈ R | x2 = 4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2
1 = 4, x22 = 4 e x1 �= x2.
Parte 3 Matemática Básica 23
Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:
∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2
1 = 2 e x22 = 2. Logo
x21 = x2
2 e x1 + x2 �= 0. Portanto, x21 − x2
2 = 0 e x1 + x2 �= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 �= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.
Parte 3 Matemática Básica 24
Cuidado: ordem dos quantificadores
∀a ∈ R, ∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a(Falsa)
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
Parte 3 Matemática Básica 25
Negação dos quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p(x)) = (∃x ∈ X | ∼ p(x))
∼ (∃x ∈ X | p(x)) = (�x ∈ X | p(x)) = (∀x ∈ X , ∼ p(x))
∼ (∃!x ∈ X | p(x)) = (∀x ∈ X , ∼ p(x)) ∨ (∃x ∈ X | (p(x) ∧ (∃y ∈ X | p(y) ∧ (x �= y))))
Negação dos Quantificadores
Exemplos:
∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x
∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 �= 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Parte 3 Matemática Básica 26
Negação de uma implicação
Supondo que p e q são dois predicados que dependem de x ∈ X :
∼ (p(x) ⇒ q(x)) = ∃x ∈ X | (p(x) ∧ ∼ q(x))
Negação de Uma Implicação
Exemplos (supondo que x ∈ R):
∼ (1/x < 1 ⇒ x > 1) = ∃x ∈ R | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x ∈ R | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Parte 3 Matemática Básica 27
Negação de uma implicação
CUIDADO!
A negação de uma implicação não é outra implicação!
Erro comum:achar que a negação de p(x) ⇒ q(x) é ∼ p(x) ⇒∼ q(x)!
Parte 3 Matemática Básica 28
Saiba diferenciar!
A ⇒ B
B ⇒ A ∼ B ⇒∼ A ∃x | A∧ ∼ B
recíproca contrapositiva negação
Parte 3 Matemática Básica 29
Vamos praticar?
Sentença:para todo x real, x2 ≥ −x .
Negação:existe x real tal que x2 < −x .
Parte 3 Matemática Básica 30
Vamos praticar?
Sentença:para todo n natural positivo, n2 + n + 41 é um número primo.
Negação:existe n natural positivo tal que n2 + n + 41 não é um número primo.
Parte 3 Matemática Básica 31
Vamos praticar?
Sentença:existe x real tal que x2 − x + 1 = 0.
Negação:para todo x real, x2 − x + 1 �= 0.
Parte 3 Matemática Básica 32
Vamos praticar?
Sentença:existem n, a, b, c naturais tais que n > 2 e an = bn + cn.
Negação:para todo n, a, b, c naturais, n ≤ 2 ou an �= bn + cn.
Parte 3 Matemática Básica 33
Vamos praticar?
Sentença:existe b real tal que para todo a real, b > a.
Negação:para todo b real, existe a real tal que b ≤ a.
Parte 3 Matemática Básica 34
Vamos praticar?
Sentença:se n é primo, então 2n − 1 é primo.
Negação:existe n natural tal que n é primo e 2n − 1 não é primo.
Parte 3 Matemática Básica 35
Vamos praticar?
Sentença:se a2 > 1, então a > 1.
Negação:existe a real tal que a2 > 1 e a ≤ 1.
Parte 3 Matemática Básica 36