Aplikasi Turunan

Menggambar Grafik Fungsi

Informasi yang dibutuhkan:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi

Definisi: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni

(i) Asimtot Tegak

(ii) Asimtot Datar

(iii) Asimtot MiringGaris y = ax + b disebut asimtot miring jika

Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika f ( x) =

Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika

danx

f (x)= alim

x→

lim f ( x) − ax = bx→

limx→c

limx→

f ( x) = b

2

Asimtot Tegak

3

a

lim f (x) = x→a +

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

lim f (x) = x→a−

dan

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

lim f (x) = x→a+

lim f (x) = −x→a −

dan

a

Asimtot Datar

4

y= b

Garis y = b asimtot datar karena

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehGrafik fungsi(tidak dipotong lagi)

x→+lim f (x) = b

Asimtot Miring

5

y = ax +b

y=f(x)

Garis y = ax + b asimtot miring

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring

Contoh

6

Tentukan semua asimtot dari

Jawab :

(i) Asimtot tegak : x = 2, karena

dan

(ii) Asimtot datar :

= x −2

− 2x+ 4x2

limx→2+

Maka asimtot datar tidak ada

2

x −2

− 2x+ 4f (x) =

x

2

x −2

− 2x + 4= −lim

x

x→2−

2

2

1 22

422

xx

x

2x

x ( − )

+ )x (1−

x −2

x − 2x + 4= lim

x→

lim f (x) = limx→ x→

= − )(

)(1− +

2

2

2

x

1x

x

2 4x= lim

x→

Contoh

7

x

2 − 2x + 4.1

a = limf (x)

= limx

x→x→

2

x2 −2x

−2x + 4= lim

xx→

22

(1− 2)

(1− 2 + 4 )

x − 2 x

= lim =1= limx

xx

x→x

xx

x→ x2(1− 2)

x2 (1− 2 + 4 )

(iii) Asimtot miring

4= lim

x→ x −2

2 − 2x + 4− x(x − 2)

x→

x −2

− 2x+ 4 − x= lim

x

x→

x −22

b = lim f (x) − ax = limx

Asimtot miring y = x

2 2

x −2

= 0

− 2x + 4− x +2x

x→

= limx

x→

Soal Latihan

8

1

x −1f (x) =

1

x −3f (x) = x +

2 + 2xf (x) =

x

x −3

x2 −1

2x

Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

2

x2+1

+ 2xf (x) =

x

1.

2.

3.

4. f (x) =

5.

Kemonotonan Fungsi

9

Definisi Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

x1 x2 f (x1) f (x2), x1, x2 I

x1 x2

f(x2)

f(x1)

I

Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

Kemonotonan Fungsi

10

f(x1)

f(x2)

x1 x2

monoton turun pada interval I jika untuk

x1 x2 f (x1) f (x2) , x1, x2I

I

Fungsi f monoton turun pada selang I

10

Kemonotonan Fungsi

11

Teorema: Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

□ Fungsi f(x) monoton naik pada I jika

□ Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

Tentukan selang kemonotonan dariContoh

Jawab:

f(x) monoton naik

f(x) monoton turun

f '( x) 0 x I

f '( x) 0 x I

2

x −2

− 2x+ 4f (x) =

x

(x −2)2

(2x − 2)(x − 2) −1(x 2 − 2x + 4)f '(x) = 2

22

(x −2)

+ 2x− 4=

2x − 6x + 4 − x

==(x −2)2

x(x −4)

(x −2)2

x2 − 4x

0 2

pada (−,0) dan (4,+)

pada (0,2) dan (2,4).

4

++++++---------------------+++++++

Ekstrim Fungsi

12

Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada

minimum

maksimum x I

f (c) f (x)

f (c) f (x)

f(c) disebut nilai maksimum

min imum

f (c) f (x)

f (c) f (x)

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim

Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

Ekstrim Fungsi

13

Max lokal

Min lokal

Max global

Min global Max

lokalMin lokal

a b c d e f

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

Ekstrim Fungsi

14

Ada tiga jenis titik kritis :

□ Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),

secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik

(c,f(c))

□ Titik ujung selang I

□ Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f ' (c) = 0 ) ,

secara geometris : garis singgung mendatar dititik

(c,f(c))

f ' (c)

Ekstrim Fungsi

15

Teorema: Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

Jikaf '(x) 0

f '(x) 0(c − ,c)

f '(x) 0

f '(x) 0pada dan pada

(c,c + ) Maka f(c) merupakan nilai maksimumlokal

c

Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)

minimum

f(c)

f(c)

Ekstrim Fungsi

16

Teorema: Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

nilai

. Jika

lokal f

Misalkan f ' (c) = 0f ' ' (c) 0

f ' ' (c) 0

minimum

maksimum

2

x −2

− 2x+ 4Contoh: Tentukan nilai ekstrim dari f (x) =

x

f (0) = −2

f (4) =6

(x− 2)2Jawab: f '(x) =

x(x − 4)

++++++---------------------+++++++

0 2 4

Dengan menggunakan uji turunan pertama :

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai

di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

Soal Latihan

17

f (x) = 2x5 −15x4 + 30x3− 6

2 −3x +1f (x) =

x

2

x −2

x −3

− 2x +1f (x) =

x

x

(x +1)2

f (x) =

Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

1.

2.

3.

4.

Kecekungan Fungsi

18

turuninterval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila

pada interval I.

Teorema: Uji turunan kedua untuk kecekungan

1.

2.

Jika

Jika, maka f cekung ke atas pada I.

, maka f cekung ke bawah pada I.

f '(x)

f "( x) 0 , xIf "(x) 0, xI

Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '(x) naik pada

x

y

x

y

Contoh

19

2

x −2Tentukan selang kecekungan dari f (x) =

(x− 2)2

x2 −4xJawab:

f '(x) =

(2x − 4)(x − 2)2 − 2(x − 2)(x 2 − 4x)f ''(x) =

=

(x −2)4

(x − 2)((2x − 4)(x − 2) − 2(x 2 − 4x))

=(x −2)3

(x −2)4

2x 2 −8x + 8 − 2x 2 + 8x 8=(x −2)3

Grafik f cekung keatas pada (2,) dan cekung kebawah pada

selang (−,2)

x − 2x+ 4

Titik Belok

20

■ Definisi Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b))

disebut titik belok dari kurva f(x) jika :

terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah

kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah

kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau

sebaliknya

x = b adalah absis titik belok, jika f "(b) = 0 atau f "(b) tidak

ada.

Titik Belok

21

f(c) f(c)

c

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

c

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

Titik Belok

22

c

f(c)

(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c

Contoh

23

Tentukan titik belok (jika ada) dari

1. f (x) =2x3 −1

f '(x) = 6x2 , f ' ' (x) =12x

●------------- +++++++

0

Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok

2. f ( x) = x4

f ''(x) =12x 2

+++++++ ● +++++++0

Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan

Contoh

24

2−2x +43. f (x) =

x

x −2

8f ''(x) =

●2

+++++++

(x− 2)3

--------------

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

Soal Latihan

25

f (x) = 2x5 −15x4 + 30x3− 6

2 −3x +1f (x) =

x

2

x −2

x −3

− 2x +1f (x) =

x

x

(x +1)2

f (x) =

Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :

1.

2.

3.

4.

f (x)= x1 / 35.

Contoh

26

2 − 2x+ 4f (x) =

xDiketahui

x −2a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)

a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (−,0) , (4,+)

monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).

f (0) = −2

f (4) =6

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai

di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

b. Grafik f cekung keatas pada (2, ) dan cekung kebawah pada

selang (−,2) , tidak ada titik belok

c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar

Contoh

27

d. Grafik f(x)

2

y=x

----- ++++++ 4

++++++ -----

0 2f '

--------------------- +++++++++++2

f ''

-24

6

Soal Latihan

28

2x

1 +x2f (x) =

f (x) = x +1

x

4 3

34

− x2 +1− x

xf (x) =

x2 −4

x +1

x2

A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot

1.

2.

3. f (x) =x

4.

5. f (x) =

Soal Latihan

29

y = f '(x)

B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2. Jika grafik

seperti gambar berikut :

a. Tentukan selang kemonotonan fungsi fb. Tentukan selang kecekungan fungsi fc. Sketsa grafik fungsi f(x).

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

30

Bentuk tak tentu dalam limit :

1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika

Maka

0 ,

, 0. , −0

0

0

g '( x)lim

f ' ( x) = L, +, atau −

limf (x )

g (x )

f ' (x )

g ' (x )= lim

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

31

x2

1− cos2xlimx→0

x2= lim

x→0= lim

x→0

1− cos2x 2 sin2x

2x

4cos2x

2= 2

Contoh: Hitung

Jawab:

limx→0

bentuk (0/0)

Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi

2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

g '(x)Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika lim

f '(x) = L, + , atau −

limf ( x)

= lim f ' ( x)

g (x) g ' (x)maka

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

32

2+ x +1lim

x

x→ x 2 + 3x + 5

= lim 2x +1

x→ 2x + 3= lim

2 =1

x→2

2

+ 3x + 5lim

x + x +1

x→ x2

+ 2x+ 3

x +1limx→ x2

(bentuk )Contoh: Hitung

Jawab

Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat dihitung dengan menggunakan dalilL’Hopital

x 2 + 2x + 3

x +1Contoh Hitung lim

x→

1

2

1

2

= lim−

+ 2x + 3) (2x +2)x→ 1 (x 2

2x + 2x + 3= lim

x→

1

2

1

= lim 2

−1 (x2 + 2x + 3) (2x +2)

x→2x + 2x + 3

x +1

x+1= lim

x→

Jawab

(

)

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

33

Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb

x2xx2 1+ 2 + 3

x(1+ 1)= lim x

x→

x2x1 + 2 + 3

x(1 + 1)= lim x

x→ | x |2

2 3

xxx 1+ +

x(1+ 1)= lim x

x→

2

321+ +

(1 + 1 )

xx

= lim x = 1x→

x2 + 2x +3limx→

x2xx 2 (1 + 2 + 3 )

x +1 x(1+ 1 )= lim x

x→

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

34

3. Bentuk 0 .

Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk

atau

Contoh: Hitung

Jawab :

0

0

lim x2 csc xx→0

2

= 0= lim2xx

lim x 2 csc x = limx→ 0cos xx→ 0sin xx→ 0

Menghitung Limit Fungsi denganAturan L’Hôpital

35

4. Bentuk -

Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung

lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan

bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan

cara yang telah dikenal sebelumnya

Contoh : Hitung lim (csc x − cot x)x→0

sin x

lim

sin x

Jawab :

lim (csc x − cot x) =x→0 x→ 0 sin

xx→0 x→ 0 cos x

1 cos x− =

1 − cos xlim =

sin xlim = 0

Soal Latihan

36

limx

x

x→+

+

−

2 1

2 5

lim cscx

x x→0

2

limx

x x x→+

+ −

2

limsin

cosx

x

x→ −01

( )lim cot cosx

x x→

−0

2 1 2

limx

x x x→−

− − −

2 23 3

Hitung limit berikut (bila ada)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Teorema Nilai Rata-rata

37

Teorema Misalkan f kontinu pada [a,b] dan diferensiabel pada (a,b), maka

terdapat paling sedikit

satub − a

f (b) − f (a)c (a, b) f ' (c) =

atau f (b) − f (a) = f ' (c)(b− a).

Masalah maksimum minimum lainnyaTurunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum

Contoh

38

1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum

Jawab:

Misal panjang y, lebar xy

x

Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 → y = 50 - x

Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) ,50 2xx −= 500 x

xxL 250)(' −= → x = 25

02)25('' −=LKarena maka di x = 25 terjadi maks lokal.

Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 → agar luas maks haruslah

x = 25 dan y = 25

Contoh

39

2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya.Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.

x

x

x

x

45-2x

24-2x

Misal, panjang sisi potongan di pojokpersegi panjang x, sehingga

45-2x

24-2x

x

V(x) = (45-2x) (24-2x) x

,10801384)( 23 xxxxV +−= 120 x

)9023(12)(' 2 +−= xxxV

)5)(18(12 −−= xx

Sehingga diperoleh titik stasioner x = 18 dan x = 5

Contoh

40

27624)('' −= xxV

Sehingga

0156)18('' =V

0156)5('' −=V

di x =18 terjadi min lokal

di x = 5 terjadi maks lokal

Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilaiVolume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)

V(0) = 0

V(12)= 0

V(5) =2450

Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm

Contoh

41

Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentukfungsi implisit, seperti contoh berikut

Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrolyang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatanvertikal roket pada saat jaraknya dari menara kontrol 5 km dandan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam

Menarakontrol

3 km

Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z

yz Diketahui

5000=dt

dzSaat z = 5

Contoh

42

Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh

22 9 zy =+

Pada saat z = 5 → y = 4

Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan

dt

dzz

dt

dyy 22 =

Jika data y = 4, z = 5, dan 5000=dt

dzdisubstitusikan diperoleh

62505000.4

5==

dt

dyKecepatan vertikal roket = km/jam

Soal Latihan

43

1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasilkalinya minimum

2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dankelilingnya minimum

2cm

3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)

4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu xserta terletak pada parabola

28 xy −=

5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r

Soal Latihan

44

6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km darititik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akanmemasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dariA ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnyadibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agarbiaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.