APLIKÁCIE DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE 1

4. prednáška

Obsah

Prednáška• Metóda zníženého pôdorysu• Osvetlenie v lineárnej perspektíve do základnej a ľubovoľnej

roviny• Obraz guľovej plochy v lineárnej perspektíve

Cvičenie• Útvar vo vertikálnej rovine• Gratikoláž• Metóda incidenčných trojíc

Zadanie• DÚ: metódou gratikoláže zostrojiť obraz písaného textu

(meno) (do 18.10.2011)• RYS: Viazanou perspektívou zostrojiť zväčšený obraz

víťazného oblúka (25.10.2011)

Metóda zníženého pôdorysu

Pri konštrukcii perspektívneho pôdorysu sa často stáva, že pôdorys je vtesnaný do úzkeho rovného pásu a keď chceme zobraziť aj detaily na objekte, tieto konštrukcie sú veľmi nepresné. Preto môžeme použiť konštrukciu zníženého obrazu pôdorysu. Obraz, ktorý takto dostaneme, nebude ani otočený ani sklopený a nebude to ani skutočná veľkosť zobrazovaného rovinného útvaru. Medzi takto získanými útvarmi je vzťah osovej afinity. Osou afinity je horizont h a dvojicou bodov A,A‘.

h

A

A,

1U2U

Obraz zníženého obrazu pôdorysu

,

O

1H

1IIU1

IU1 1O

h

1A

H

Z

Z

Z A

H

A

A Z

IIUIU

2h

212 zx

z

z

z

Perspektíva objektu je v MZ daná združenými priemetmi objektu, stredom premietania O(O1,O2 ) a perspektívnou priemetňou (1, n), a základnou rovinou . Pomocou zníženého pôdorysu dourčite perspektívny obraz objektu.

Metóda zníženého pôdorysu

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

• Zostrojte rovnobežné osvetlenie útvaru do základnej roviny π a do roviny a. a =(pa, Q); Q=(Qs, Q1s), ABCD patrí π.

• LP.: h, H, Dp, smer svetla Us

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutý tieň do základnej roviny: Úbežnica svetelnej roviny BF je kolmá na h. Analogicky pre CG, DI, AE. Zostrojujeme vrhnuté tiene hrán AE, BF, CG, DI do roviny p.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutý tieň F do základnej roviny je priesečník svetelného lúča UsF s vrhnutým tieňom hrany BF.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Analogicky zostrojujeme tiene zvyšných bodov.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Obrys tieňa.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Tieň za hranolom nie je viditeľný, preto je šrafovaný prerušovanou čiarou.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Tieň vrhnutý do roviny .

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Zostrojujeme tieň vrhnutý do roviny , danej bodom Q a pôdorysnou stopou.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Najskôr zostrojíme tieň bodu Q do roviny . *Q

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Bodom Q vedieme ľubovoľnú priamku q v rovine .

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

A jej vrhnutý tieň do základnej roviny.

11 *q*Q*q

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Hľadáme vrhnutý tieň hrany BF do roviny

*1BU*q1

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

q*1U1;1s

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

pBU2;2

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutým tieňom hrany BF v rovine α je priamka 21.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Keď máme vrhnutý tieň hrany BF, je jednoduché zostrojiť tieň bodu F.

21FU'Fs

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Analogicky zostrojujeme tiene ostatných bodov.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Analogicky zostrojujeme tiene ostatných bodov.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Obrys vrhnutého tieňa hranola do roviny .

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutý tieň hranola do roviny ; s určenou viditeľnosťou.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutého tieň hranola do roviny ; s určenou viditeľnosťou.

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Vrhnutý tieň do roviny α a zároveň do .

Osvetlenie v lineárnej perspektíve

Guľová plocha v LP

Na úvod si najprv musíme uvedomiť čo je skutočný a čo zdanlivý obrys guľovej plochy.

Skutočný obrys guľovej plochy je prienik guľovej plochy s kužeľovou plochou, ktorá túto guľovú plochu obaľuje a vrchol má v strede premietania .

Zdanlivý obrys guľovej plochy je prienik tejto kužeľovej plochy s priemetňou. Zdanlivým obrysom guľovej plochy môže byť:

o Kružnica - o⊥o Elipsa – G⋂,Oo Parabola – G⋂={P}

o Hyperbola – G⋂={k}, k je kružnica

V perspektíve je najčastejšie obrysom guľovej plochy kružnica alebo elipsa. Iba v týchto dvoch prípadoch sa celá guľová plocha nachádza vo vnútri zornej kužeľovej plochy. Na guľovej ploche si zvolíme sústavu kružníc, ktoré sú v navzájom rovnobežných rovinách. Zdanlivý obrys guľovej plochy tvorí obálka priemetov kružníc. Ak si zvolíme kružnice v horizontálnych rovinách, kružnica, ktorá je v úrovni očí, sa zobrazí ako úsečka na horizonte.

Guľová plocha v LPZostrojte lineárnu perspektívu guľovej plochy ak je dané h, H, d/3, polomer guľovej plochy v perspektívnej priemetni a jej stred S.

D 3 h H

1t1T

S

2t

2T

A B

D C

k

G

E

F

III

Riešenie: Nech priemetňa, ktorá prechádza stredom guľovej plochy G, ju pretína v kružnici k. Lineárnu perspektívu určíme bodom H, horizontom a obrazom tretinového dištančníka. Horizontálna rovina, ktorá prechádza stredom guľovej plochy G ju pretína v kružnici, ktorej obraz vieme vpísať do štvorca ABCD. Body E,F na tejto elipse sú obrazmi tých bodov guľovej plochy G, v ktorých ju pretína priemer kolmý na priemetňu. Podľa Q–D vety sú to ohniská obrysu guľovej plochy. Ďalej guľovej ploche G opíšeme dotykovú valcovú plochu, ktorá je kolmá na priemetňu. Valcová plocha sa dotýka guľovej plochy v kružnici k. Obrysom valcovej plochy sú dotyčnice 1t,2t z hlavného bodu H ku kružnici k. Keďže kružnica k je spoločnou kružnicou valcovej aj guľovej plochy, potom dotyčnice aj s dotykovými bodmi sú dotyčnicami, aj s dotykovými bodmi, obrysu guľovej plochy G. Poznáme ohniská a dva dotykové body aj s dotyčnicami. Takto zadanú elipsu už vieme zostrojiť.

Guľová plocha v LPV perspektíve danej h,H,d zostrojte guľovú plochu G ak poznáte jej polomer a stred S.Riešenie:Uvažujme rovinu , ktorá prechádza hlavným bodom, stredom S guľovej plochy G a je kolmá na priemetňu. Je to rovina súmernosti guľovej plochy G a kužeľovej plochy s vrcholom O, ktorá sa dotýka G v hlavnej kružnici k. Rovinu sklopíme do priemetne. Ohniská E,F obrysu G sú priemety bodov guľovej plochy, v ktorých dotykové roviny sú rovnobežné s priemetňou (Q-D veta). Hlavné body A,B dostaneme ako prienik dotyčníc ku kružnici k so spojnicou SH. Sú to priesečníky, tých premietacích lúčov, ktoré sa dotýkajú guľovej plochy G a ležia v ortogonálne premietacej rovine spojnice stredu premietania so stredom guľovej plochy. Vedľajšie vrcholy elipsy už dokážeme zostrojiť.

h H

G

C

k

E

A

S

S k

FB

D

O

Stred elipsy S nie je totožný s priemetom stredu guľovej plochy Sk. Zostrojená elipsa je obrysom guľovej plochy v lineárnej perspektíve.

Útvar vo vertikálnej rovine

Zostrojte perspektívu daného okna ak je dané h, H, DP, z, ABCD je z roviny , AB patrí pôdorysnej stope roviny .

Voľba H, h, z, Dp

Zostrojíme otočený stred premietania

Zostrojujeme Oo.

oop

'ApApA;A

|AB| je dané pB'BpB;B

k, k je pre a stopou

BCAD ich obrazy sú

rovnobežné a kolmé na z.

Medzi ABCD a A’B’C’D’ je stredová kolineácia so stredom v bode Dpa a osou k.

Čiže platí: kDCk'C'D

Máme ABCD.

Hľadáme obraz oblúka DEC (kružnice). Jej obrazom je elipsa. AD a BC sú jej dotyčnice. CD je jej priemer. Stred označíme w.

Konštruujeme združený priemer elipsy k priemeru CD.

p''D'C'

I;I'I združenému priemeru

elipsy e

Druhý vrchol združeného priemeru elipsy e.

Pomocou Rytzovej konštrukcie zostrojíme osi elipsy.

Vykreslíme elipsu e.

Zvýrazníme len časť ohraničenú dotyčnicami AD, BC.

Zostrojovanie perspektívy nepravidelných útvarov

Pri zostrojovaní perspektívy nepravidelných útvarov využívame štvorcové siete (priečelnú, nepriečelnú) a dve metódy: • Gratikoláž• Metóda incidenčných trojíc

Gratikoláž

Zostrojte perspektívu daného rovinného útvaru.

Riešenie:

• Danému útvaru opíšeme štvorcovú sieť, ktorej obraz zostrojíme v lineárnej perspektíve.

• Budeme rozoznávať 4 druhy bodov:– bod A je spoločným bodom strán štvorcovej siete

– bod B je bodom horizontálnej strany štvorcovej siete

– bod C je ľubovoľný vnútorný bod siete

– bod D je bod na vertikálnej priamke siete

D

A

C

B

C,

1U H

A

B

CD

2U

(O )

k d

• LP bodu A vieme hneď zostrojiť.• Pre bod B použijeme hĺbkovú priamku.• Bod C, ak už neleží na uhlopriečke štvorca, prenesieme, rovnobežne s priemetňou, na uhlopriečku štvorca a dostaneme bod C‘. Tento bod odvodíme v perspektíve pomocou hĺbkovej priamky a pomocou uhlopriečky, na ktorej leží. Perspektívu bodu C dostaneme premietnutím perspektívy bodu C‘ a pomocou hĺbkovej priamky, ktorá bodom prechádza.

• Analogicky pre D iba s rozdielom, že bodom D už leží na hĺbkovej priamke.

Metóda incidenčných trojíc

Zostrojte perspektívu daného rovinného útvaru.Riešenie: • Perspektívu útvaru budeme zostrojovať v nepriečelnej polohe. • Útvaru opíšeme štvorec ABCD, ktorý zobrazíme v lineárnej perspektíve V perspektíve

zostrojíme aj stredy strán štvorca S,S‘. • Význačné body útvaru kolmo premietneme na dve kolmé strany štvorca, budeme ich značiť

1,2,...,n a I,II,...,m. D C

III

II

IO

,

S,

A B1 2 S 3 4

O

1U2U

zB

A

H h

C = B,

D, C

,

D = A,

k d

(O )

• Oproti strane AB zvolíme bod O a oproti BC bod , body O,O‘ ležia mimo štvorca. Význačné body zo strany AB spojíme s bodom O, a zo BC strany s bodom O‘. Dostali sme dva zväzky priamok.

• V perspektíve máme zostrojený obraz štvorca, aj so stredmi strán AB,BC. Perspektívne obrazy bodov 1,2,...,n a I,II,...,m dostaneme pomocou projektívnosti (zachováva dvojpomer) medzi radom bodov (1,2,...,n)⊼(1,2,...,n) a radom bodov (I,II,...,m)⊼(I,II,...,m). Takto dostaneme sieť priamok, ktorých priesečníky sú body nášho nepravidelného útvaru, ktorého perspektívu sme chceli zostrojiť. Priamky, ktoré pretínajú zväzky priamok Z(O),Z(O‘), pri konštrukcii na papieri nahradíme prúžkom papiera.