Post on 13-Feb-2015
APLICAÇÕES DA DERIVADA – Roteiro de estudo
1 RELEMBRANDO O CONCEITO DE DERIVADA
1)Tangente à circunferência 2) Reta t tangente à curva, cortando outro
ponto da mesma
3) Aproximações para a reta tangente a P a partir da secante por P e Q
4) 5)
6)
2 CONSEQUÊNCIA IMEDIATA DA DEFINIÇÃO: A DERIVADA COMO TAXA DE
VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
A derivada pode ser vista como taxa de variação instantânea de uma determinada
propriedade ou variável em estudo de acordo com a Ciência específica que a estuda.
Substituindo f(x) por outra simbologia, temos o seguinte:
a) Na Física
Se f(x) for substituída por s(t), em que s(t) denota a posição de um ponto material no
plano ou espaço com o tempo t, a derivada s’(t) denotará a velocidade instantânea do
ponto material.
b) Na Química
Se f(x) for substituída por C(t), em que C(t) denota a concentração molar de um dado
reagente químico em uma reação química com o tempo, a derivada C’(t) denotará a taxa
de variação instantânea de mols de reagente, enquanto este reduz a sua quantidade
durante a reação.
c) Nas Ciências Biológicas
Se f(x) for substituída por p(t), em que p(t) é a população de uma colônia de bactérias
com o tempo, p’(t) representará a taxa de variação instantânea de bactérias dessa
população.
d) Em Economia
Se f(x) for substituída por C(x), em que C representa o custo da quantidade de unidades x
produzidas em uma empresa, então C’(x) será a taxa de custo em se produzir o próximo
produto, ou custo marginal, conforme terminologia adotada em Economia.
O uso da derivada está envolvido em inúmeras outras aplicações tais como:
- teste das derivadas primeira e segunda para inferir o esboço de gráficos (com o uso também
de limites) para se fazer a localização de máximos ou mínimos absolutos ou locais, pontos de
crescimento ou decrescimento, pontos que indiquem concavidade para cima ou para baixo na
função;
- regra de L’hospital, com a qual se pode avaliar limites de quocientes ou divisão de funções
em que recai em formas indeterminadas difíceis de serem avaliadas;
- linearização de funções mais complexas para tornar mais fácil a aplicação das mesmas em
modelos matemáticos usados em diversas Ciências, pelo fato de produzir uma estimativa boa,
embora sujeita a pequenos erros, do verdadeiro valor da função;
- problemas que envolvem minimização de custos e tempos operacionais, de uso de material,
de distância a se percorrer, e também maximização de lucro, de velocidade atingida de
volume ou área, etc, enfim, problemas que envolvam a otimização de algo
- problemas de taxas relacionadas, as quais relacionam a taxa de variação de uma determinada
propriedade em um sistema com a de outra propriedade que se deseja saber, através da
modelagem de como ocorre a relação dessas propriedades.
Pode-se citar mais aplicações, porém vamos explorar a priori apenas as aqui as aqui
mencionadas.
Exemplo 1:
3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES
DEFINIÇÃO 1
A função tem um máximo absoluto (ou máximo global) em c, se f(c) ≥ f(x) para todo x em
D, onde D é o domínio de f. O número f(c) é chamado valor máximo de f em D. Do mesmo
modo, f tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o número f(c) é
chamado valor mínimo de f em D diante. Os valores máximos e mínimos de f são chamados
de valores extremos de f.
DEFINIÇÃO 2
DEFINIÇÃO 3
exemplos na figura f
7) Mínimo em a e máximo em d
DEFINIÇÃO 4
Uma função tem um máximo local (ou máximo relativo) a em c, se f(c) ≥ f(x) quando x estiver
próximo de c. [Isto significa que f(c) ≥ f(x) para todos x em algum intervalo aberto contendo
c.] Do mesmo modo,f tem um mínimo local em c f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.
(exemplos nas figuras g e h)
8) Valor mínimo em 0, nenhum máximo 9) Nenhum máximo, nem mínimo
TEOREMA DO VALOR EXTREMO
Exemplos:
10) curvas e seus valores extremos
O teorema não se contradiz, as duas hipóteses tem que ser observadas
11) função com valor mínimo f(2)=0, 12) função sem máximo
mas não tem máximo, quebra a e sem mínimo, quebra a hipóte-
hipótese da continuidade da função se do intervalo ser fechado.
TEOREMA DE FERMAT
13) Ilustração do teorema de Fermat
Cuidados com o teorema de Fermat
Sua recíproca não é verdadeira. Exemplo.
14) f(x) = x3, f’(0) = 0, mas f(0) não é 15) Para esta função, f’(0) não existe m
máximo nem mínimo desta função mas f(0) é mínimo absoluto de f(x)
DEFINIÇÃO 5
A figura 14 tem um ponto crítico em 0, pois f’(0) = 0 e também figura 15 tem um ponto
crítico em 0, pois f’(0) não existe.
Exemplo:
Observação: Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c então c é um número crítico
de f.
MÉTODO DO INTERVALO FECHADO
Estes três procedimentos ajudam muito na determinação de valores máximo e mínimo
de uma função f em um intervalo fechado [a,b]
Exemplo 2 : Ache os extremos de f em [-2, 1/2] se
16)
Exemplo 3: Maximização de área envolvendo o método do intervalo fechado
4 A DERIVADA COMO FERRAMENTA PARA SE INFERIR
INFORMAÇÕES DE GRÁFICO DE FUNÇOES
4.1) TEOREMA DE ROLLE
Exemplo: Dada
4.2) TEOREMA DE DOVALOR MÉDIO
Geometricamente, o teorema do valor médio afirma que f’(c) éo ceficiente angular da
reta tangente a f por c e que é secante a (a, f(a)) e (b,f(b)), conforme abaixo
17)
Os teoremas de Rolle e do Valor médio são usadso para se demonstrar outros teoremas
no Cálculo. eles servem para ajudar a inferir informações sobre funções para ajudar a traçar
seu gráfico.
4.3 TESTES ENVOLVENDO DERIVADA PRIMEIRA
Uma função interessante da derivada é ajudar a inferir informações do traçado do
gráfico de funções. Geometricamente percebemos que uma função crescente sempre possui
reta tangente com inclinação positiva, no intervalo de crescimento. Por outro lado apresenta
inclinação negativa no intervalo de decrescimento Isso podemos ver na figura 18.
18)
Assim podemos enunciar o seguinte teorema:
4.3.1 TESTE CRESCENTE/DECRESCENTE
Dada a percepção geométrica do teorema, não valos aqui demonstrá-lo ficando para os
os interessados consultarem Stewart (2009), ou Leithold ()
Para informações mais detalhadas para se inferir gráficos de funções, ainda se pode
usar o teste da derivada primeira, o qual com o auxílio do teste crescente/decrescente ajuda a
desvendar se um ponto crítico de f é um máximo ou mínimo local. A seguir o enunciado deste
teste, cuja prova também pode ser consultada nas mesmas referências citadas.
4.3.2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
A figura 19 ajuda a enxergar geometricamente a validade deste teste. Na prática,
quando o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo pelo ponto crítico c, temos que esse
ponto crítico f(c) é um mínimo local, já quando o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo
pelo ponto crítico c, f(c) é um máximo local.
19) a- máximo local b -mínimo local
Exemplo 1: Dada
Exemplo 2: Dada
21)
4.2 TESTE ENVOLVENDO A DERIVADA SEGUNDA
Observando as figuras abaixo, percebemos que há regiões em cada curva que está
acima ou abaixo de sua tangente.
22)a- concavidade para cima b- concavidade para baixo
Assim temos as seguinte definições
DEFINIÇÃO 6
a)
b)
Pode-se então enunciar o seguinte teorema:
TEOREMA
Se f é função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então:
(i) Se f’’(c)> 0, o gráfico de f é côncavo para cima em, (c, f(c))
(ii) Se f’’(c)< 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em, (c, f(c))
A recíproca deste teorema não é verdadeira
DEFINIÇÃO 7 : PONTOS DE INFLEXÃO
A definição 7 na prática define pontos nos quais há a transição da concavidade da
curva de côncava para côncava para baixo ou vice-versa. Na figura abaixo podemos ver
exemplos.
23) curva com pontos de inflexão: b,c,d e p, onde b,d e p indicam transição de concavidade
para baixo para concavidade para cima, apenas c indica transição de concavidade para cima
para concavidade para baixo e e não é ponto de inflexão.
O teorema a seguir trata do valor de f’’ no ponto de inflexão
TEOREMA:
Exemplo: Dada
Abaixo está o gráfico deste problema
24)
De posse de todas essas informações ainda podemos acrescer outra também
interessante que é o teste da derivada segunda, o qual nos dá informações sobre se os
extremos de uma função são máximos ou mínimos locais.
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Exemplo: Dada
25)
Expostas todas essas informações sobre os testes da derivada primeira e segunda, há
uma maneira prática de se traçar gráficos de funções aliando estas informações ao
conhecimento das assíntotas do gráfico que são determinadas por meio de limites. Vamos
listar aqui um bom esquema de como usar estas informações visando um bom esboço do
gráfico de uma função.
DICAS PARA TRAÇADO DE GRÁFICO A PARTIR DE INFORMAÇÕES DA
DERIVADA
Exemplo:
Tabela 6
26)
5 REGRA DE L’HOSPITAL
Formas indeterminadas do tipo
,
, possuem uma maneira diferente de serem
determinadas. Para resolvê-los de forma mais eficiente usa-se a regra de L’Hospital, conforme
definida abaixo
Que dispensando o rigor da demonstração pode ser vislumbrada pelo seguinte resultado
Exemplos:
Quando for o caso, pode-se aplicar duas vezes seguidas ou mais, como a seguir:
Deve-se evitar erros do tipo:
Este limite não é de uma das formas
,
, devendo-se aplicar de forma direta, como a seguir:
As expressões também da forma tem
também uma tratamento diferenciado pela regra de L’Hospital.
Exemplos:
a) Em que
tínhamos uma indeterminação uma indeterminação do tipo 0.∞.
b)
Já esta era do tipo
∞ - ∞
c) , que é do . Nela se usa o artifício
(exemplo a)
Onde teremos que , e por consequência
Assim, a regra de L’Lospital pode ser vista como mais uma aplicação da derivada,
uma vez que facilita bastante o cálculo de certos limites que com os métodos convencionais
seriam impossíveis de se determinar.
6 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES
A linearização de funções é outra aplicação da derivada que é muito importante nas
Ciências. Vejamos o exemplo a seguir:
Sabemos que a derivada é define o coeficiente angular da reta tangente em um ponto
do domínio de uma função. Assim, nas proximidades deste ponto o comprimento da curva
tende ao comprimento de um pequeno segmento de reta da reta tangente L(x), de forma que
podemos aproximar o valor de uma função em um ponto x através do cálculo de L(x) neste
ponto, como na figura abaixo.
27)
Facilmente se sabe que a equação dareta tangente a a na figura 27 é
, logo uma aproximação linear para o valor de f(x) é
e assim a função que representa esta aproximação é
que é chamada função aproximação linear de f (x).
Exemplo:
Determinar a linearização da função em a = 1.E a use para
aproximar os números e As aproximações são sobrestimadas ou substimadas?
Solução:
A derivada de é e como f(1) = 2, e f’(1) =
, temos
que a equação da função de linearização de f(x) é tal que:
, logo , onde x
está próximo de 1.
Em particular temos que e
onde se vê que é uma boa aproximação, embora esteja sobrestimada pelo fato de L(x) estar
sobre a curva, conforme a figura 28.
28)
Também pela tabela percebe-se a proximidade dos valores a intervalos de pequena
dimensão em torno de 1, da mesma percebe-se que quanto mais L(x) se afasta de L(1), menos
precisa é a aproximação feita por L(x) para f(x).
Tabela 7
7 TAXAS DE RELACIONADAS
Há fenômenos físicos observáveis que uma taxa de variação instantânea de uma
variável do fenômeno está relacionada a outra de outra variável observável. Ao se usar o
devido equacionamento do fenômeno podemos encontrar a relação entre ambas e assim
determinar a que se deseja saber em função da que é dada. A estes problemas em que mais
uma vez a derivada se aplica damos o nome de taxas relacionadas. Vamos resolver o exemplo
a seguir:
29)
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A derivada é um conceito da matemática que bem mais que outros mostra o quanto
que a matemática é útil na vida prática, mas vem sendo desmerecida no ensino básico devido
a falta de contextualização com a realidade do público alvo. Vemos aplicações dentro da
própria Matemática, como no Cálculo Numérico, Ciências Naturais, Ciências Sociais
Aplicadas, Economia, administração etc. É necessário que o aluno resolva bastante problemas
para que se crie uma intimidade comeste maravilhoso conceito explorado e formalizado no
séc. XVII por gênios como Isaac Newton, Isaac Barrow, Pierre Fermat, entre outros. A seguir
se encontra uma boa seleção de exercícios para uma boa prática deste conceito
LISTA DE EXERCÍCIOS
Taxas de variação e taxas instantâneas
Regra de L´Hopital
Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital se for o caso
apropriado
Esboço de gráficos
Esboce os gráficos a seguir com as dicas da pág. 19
Problemas de otimização (máximos e mínimos)
Taxas relacionadas