Post on 03-Apr-2015
Analyse de la variance à effets mixtes
Michel Tenenhaus
2
Exemple 4 (Milliken & Johnson)Rythmes cardiaques
Rythme cardiaque pour trois groupes de traitementset quatre instants de mesure
Sujet Traitementdans AX23 BWW9 Contrôle
traitement T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T412345678
7278717266746269
8683828379837375
8188818377847876
7781756966777070
8582718386857983
8686788885828384
8380707976838078
8084758176808181
6966848072657571
7362908172626970
7267887769656965
7473877270616865
- Facteurs fixes : Traitement, Temps- Facteur aléatoire : Sujet(Traitement)
3
Case Summariesa
1 1 1 1 72
1 1 1 2 86
1 1 1 3 81
1 1 1 4 77
2 2 1 1 78
2 2 1 2 83
2 2 1 3 88
2 2 1 4 81
3 3 1 1 71
3 3 1 2 82
3 3 1 3 81
3 3 1 4 75
4 4 1 1 72
4 4 1 2 83
4 4 1 3 83
4 4 1 4 69
5 5 1 1 66
5 5 1 2 79
5 5 1 3 77
5 5 1 4 66
6 6 1 1 74
6 6 1 2 83
6 6 1 3 84
6 6 1 4 77
7 7 1 1 62
7 7 1 2 73
7 7 1 3 78
7 7 1 4 70
8 8 1 1 69
8 8 1 2 75
8 8 1 3 76
8 8 1 4 70
1 9 2 1 85
1 9 2 2 86
1 9 2 3 83
1 9 2 4 80
2 10 2 1 82
2 10 2 2 86
2 10 2 3 80
2 10 2 4 84
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
sujet sujet_diff produit temps rythme
Limited to first 40 cases.a.
Extrait des données
4
Moyennes des rythmes cardiaquespar produit et par instant
TEMPS
T4T3T2T1
Me
an
RY
TH
ME
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
PRODUIT
AX23
BWW9
Contrôle
5
Les modèlesModèle 1
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Effets fixes Effets aléatoires
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
s2 = Variance inter-sujets
- ijk ~ N(0, 2)
2 = Variance intra-sujets
Les aléas sont indépendants.Les variances peuventdépendre du traitement.La variance intra-sujetspeut dépendre du traitement et du temps.
6
Modèle 2
Yijk = + i + j + ij + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Résidu
avec : - i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, )
- Les i.k sont indépendants entre eux.
La matrice de covariance peut dépendre du traitement.
L’utilisateur doit choisir le type de la matrice .
7
Quelques types de matrice
2
2
2
2
SIMPLE
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
21 12 13 14
22 23 24
23 34
24
UNSTRUCTURED
21
22
23
24
UN(1)
0 0 0
0 0
0
21 1 1 1
21 1 1
21 1
21
COMPOUND SYMMETRY
2 3
22
AR(1)
1
1
1
1
8
Quelques types de matrice (suite)
21 2 32
1 22
12
TOEPLITZ
1312 14
23 24
34
d /d / d /
d / d /2
d /
EXPONENTIAL [sp(exp)]
1 e e e
1 e e
1 e
1
2 22 2 2 21312 14
2 2 2 223 24
2 234
d /d / d /
d / d /2
d /
GAUSSIAN [sp(gau)]
1 e e e
1 e e
1 e
1
etc...
1312 14
23 24
34
dd d
d d2
d
POWER [sp(pow)]
1
1
1
1
9
Modèle 3
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
- ijk ~ AR(1) (*)
(*) ijk = i(j-1)k + aijk ,
où les aijk suivent une loi N(0, a2) et sont indépendants
entre eux.
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
10
Étude du modèle 1
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
- ijk ~ N(0, 2)
+ indépendance
2 2ijk s
2ijk ij'k s
ijk i ' j'k '
Var(Y )
Cov(Y ,Y ) , pour j j'
Cov(Y ,Y ) 0, pour k(i) k'(i')
2s
ijk ij'k 2 2s
Cor(Y ,Y ) 0
Dans le modèle 1, les corrélations entre les mesures sont positives.
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
11
Le modèle 1 est un modèle 2 avec de type « compound symmetry » et covariance positive
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
2 2 2 2 2k(i) i1k s s s s
2 2 2 2k(i) i2k s s s
2 2 2k(i) i3k s s
2 2k(i) i4k s
s
sVar( )
s
s
est de type « Compound Symmetry » avec covariance positive.
12
Formulaire
Modèle : y = X + Zu +
avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, ) = 0
- Var(y) = V = ZGZ´ + R
- y ~ N(X, V)
Estimation : (Utiliser Method = REML)
1) Les matrices G et R sont estimées par maximum de vraisemblance restreint.
1 1 1ˆ ˆ ˆ2) (X 'V X) X 'V y
1 1ˆ ˆˆˆ3) u GZ V (y X )
1 1ˆ ˆ4) Var( ) (X 'V X)
ˆ5) Var(u) ...
Il est préférablequ’un facteuraléatoire aitau moins5 modalités.Sinon, passer en fixe.
13
Formulaire (suite)
Modèle : y = X + Zu +
avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, )
Test :
1
0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ(K Mu) ' Var(K Mu) (K Mu)F
rang K,M
F(rang K,M , ) sous H
H0 : K + Mu = 0
Statistique utilisée :(Inférerence : Large / étroite)
14
Calcul de par la méthode de Satterthwaite (Méthode par défaut de SPSS)
- Permet de retrouver les résultats du GLM pour le test d’un contraste.
- Le ddl du dénominateur ne dépend pas du nom de l’effet aléatoire.
- Permet de généraliser l’approche de Satterthwaite aux modèles mixtes.
15
Etude du modèle 1
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Utilisation de SPSS
16
17
Résultats Modèle 1
Model Dimensionb
1 1
3 2
4 3
12 6
24 Variance Components 1
1
44 14
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
sujet_diffaRandom Effects
Residual
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Yourcommand syntax may yield results that differ from those produced by prior versions. Ifyou are using SPSS 11 syntax, please consult the current syntax reference guide formore information.
a.
Dependent Variable: rythme.b.
18
Résultats Modèle 1 (suite)
Information Criteriaa
487.177
491.177
491.325
498.039
496.039
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
19
Résultats Modèle 1 (suite)
Estimates of Covariance Parametersa
7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.318850
25.801587 8.530159 3.025 .002 13.496903 49.324050
ParameterResidual
Variancesujet_diff
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
20
Résultats Modèle 1 (Proc Mixed de SAS)
Estimated V Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 33.0789 25.8016 25.8016 25.8016 2 25.8016 33.0789 25.8016 25.8016 3 25.8016 25.8016 33.0789 25.8016 4 25.8016 25.8016 25.8016 33.0789
Estimated V Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.7800 0.7800 0.7800 2 0.7800 1.0000 0.7800 0.7800 3 0.7800 0.7800 1.0000 0.7800 4 0.7800 0.7800 0.7800 1.0000
21
Résultats Modèle 1 (suite)
Estimates of Fixed Effectsb
71.250000 2.033435 29.732 35.039 .000 67.095603 75.404397
1.875000 2.875712 29.732 .652 .519 -4.000205 7.750205
8.500000 2.875712 29.732 2.956 .006 2.624795 14.375205
0a 0 . . . . .
1.500000 1.348822 63.000 1.112 .270 -1.195405 4.195405
1.125000 1.348822 63.000 .834 .407 -1.570405 3.820405
.250000 1.348822 63.000 .185 .854 -2.445405 2.945405
0a 0 . . . . .
-4.125000 1.907522 63.000 -2.162 .034 -7.936879 -.313121
6.250000 1.907522 63.000 3.277 .002 2.438121 10.061879
7.625000 1.907522 63.000 3.997 .000 3.813121 11.436879
0a 0 . . . . .
.500000 1.907522 63.000 .262 .794 -3.311879 4.311879
3.125000 1.907522 63.000 1.638 .106 -.686879 6.936879
-1.375000 1.907522 63.000 -.721 .474 -5.186879 2.436879
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
ParameterIntercept
[produit=1]
[produit=2]
[produit=3]
[temps=1]
[temps=2]
[temps=3]
[temps=4]
[produit=1] * [temps=1]
[produit=1] * [temps=2]
[produit=1] * [temps=3]
[produit=1] * [temps=4]
[produit=2] * [temps=1]
[produit=2] * [temps=2]
[produit=2] * [temps=3]
[produit=2] * [temps=4]
[produit=3] * [temps=1]
[produit=3] * [temps=2]
[produit=3] * [temps=3]
[produit=3] * [temps=4]
Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
This parameter is set to zero because it is redundant.a.
Dependent Variable: rythme.b.
22
Résultats Modèle 1 (SAS)Solution for Random Effects
Std ErrEffect sujet produit Estimate Pred DF t Value Pr > |t|
sujet(produit) 1 1 2.5397 2.1708 63 1.17 0.2464sujet(produit) 2 1 5.8091 2.1708 63 2.68 0.0095sujet(produit) 3 1 0.9049 2.1708 63 0.42 0.6782sujet(produit) 4 1 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 5 1 -3.9993 2.1708 63 -1.84 0.0701sujet(produit) 6 1 3.0067 2.1708 63 1.39 0.1709sujet(produit) 7 1 -5.1669 2.1708 63 -2.38 0.0203sujet(produit) 8 1 -3.5322 2.1708 63 -1.63 0.1087sujet(produit) 1 2 2.3061 2.1708 63 1.06 0.2921sujet(produit) 2 2 1.8391 2.1708 63 0.85 0.4001sujet(produit) 3 2 -7.0352 2.1708 63 -3.24 0.0019sujet(produit) 4 2 1.6055 2.1708 63 0.74 0.4623sujet(produit) 5 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 6 2 1.3720 2.1708 63 0.63 0.5296sujet(produit) 7 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 8 2 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 1 3 0.0292 2.1708 63 0.01 0.9893sujet(produit) 2 3 -4.6415 2.1708 63 -2.14 0.0364sujet(produit) 3 3 14.2747 2.1708 63 6.58 <.0001sujet(produit) 4 3 5.1669 2.1708 63 2.38 0.0203sujet(produit) 5 3 -1.1385 2.1708 63 -0.52 0.6018sujet(produit) 6 3 -8.1445 2.1708 63 -3.75 0.0004sujet(produit) 7 3 -1.6055 2.1708 63 -0.74 0.4623sujet(produit) 8 3 -3.9409 2.1708 63 -1.82 0.0742
= 0
= 0
= 0
23
Résultats Modèle 1 (suite)
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .000
2 21.000 5.951 .009
3 63.000 12.945 .000
6 63.000 12.165 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
24
Comparaison des moyennes
Modèle :
T1 T2 T3 T4
AX23 11
12
13
14
BWW9 21
22
23
24
Contrôle 31
32
33
34
1AX23 AX231 11 12 13 14
2BWW9 BWW9ij 2 21 22 23 24
3ˆ ˆControle Controle3 31 32 33 34
4
T1
T2
T3
T4
T1 T2 T3 T4
Estimation de 11 - 31 :
11 31 1 3 11 31ˆ ˆ ˆ ˆ
Test : H0 : 11 31 0 1 3 11 31H : 0
25
Comparaison entre AX23 et Contrôle en T1
Syntaxe SPSS
MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'mu11 vs mu31' produit 1 0 -1 produit*temps 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .
Contrast Estimatesa,b
-2.250000 2.875712 29.732 0 -.782 .440 -8.125205 3.625205ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
mu11 vs mu31a.
Dependent Variable: rythme.b.
Résultats
26
Comparaison de deux modèles imbriqués
• Modèle M1
• Modèle M0 : cas particulier de M1
• Les paramètres de M0 ne sont pas sur leurs frontières de définition.
• Test LRT (Likelihood Ratio Test) :
200
1
L(H )2Log( ) ( ) sous H
L(H )
où = Nb de paramètres de M1 - Nb de paramètres de M0.
Utiliser plutôt « Method = ML »
27
Test d’un effet aléatoire
Test sur le modèle à un effet aléatoire :
H0 : s2 = 0
Statistique utilisée :
G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)]
Calcul du niveau de signification :
NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2)
La correction réduit le niveau de signification du test LRT usuel.
(2(0) = 0 avec la probabilité 1)
28
Avec effet sujet
Information Criteriaa
515.437
543.437
548.622
593.337
579.337
-2 Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Sans effet sujet
Information Criteriaa
595.511
621.511
625.950
667.848
654.848
-2 Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)]
= 595.511 – 515.437 = 80.074
NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2) = 0.5*Prob(2(1) 80) = 0.000
Application
29
Recherche d’une tendance polynomiale
On exprime le vecteur des moyennes en fonctionde polynômes orthogonaux :
1
2
3
4
0
1
11Q
12
1
Constante
1
a1 b 3
a2 b 11Q
a3 b 120
a4 b 3
Linéaire
2
c1 d1 e 1
c4 d2 e 11Q
c9 d3 e 12
c16 d4 e 1
Quadratique
3
f1 g1 h1 i 1
f8 g4 h2 i 31Q
f 27 g9 h3 i 320
f 64 g16 h4 i 1
Cubique
Q0, Q1, Q2, Q3 formentune base orthonormée.
30
Construction des contrastes orthogonaux
On exprime le vecteur des moyennes en fonctiondes polynômes orthogonaux :
1 2 3 4 0 0 1 1 2 2 3 3, , , ' Q Q Q Q
Tests :H0 : 1 = 2 = 3 = 4 <==> H0 : 1 = 2 = 3 = 0
H0 : Tendance linéaire <==> H0 : 1 0, 2 = 3 = 0
H0 : Tendance quadratique <==> H0 : 2 0, 3 = 0
Contrastesorthogonaux :
1 1 1 2 3 4
2 2 1 2 3 4
3 3 1 2 3 4
1Q ' ( 3 3 )
201
Q ' ( )2
1Q ' ( 3 3 )
20
31
Recherche de tendances
TEMPS
T4T3T2T1
Me
an
RY
TH
ME
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
PRODUIT
AX23
BWW9
Contrôle
Tendances :- AX23 : Quadratique- BWW9 : Linéaire- Contrôle : Constante
32
Recherche de tendance quadratique pour AX23
0 12 11 12 13 14
1 2 3 4 11 12 13 14
1H : ( )
21
( )2
0
1 11 12 13 14 10 0 11 1 12 2 13 3, , , ' Q Q Q Q
Modèle :
Tests :
0 13 11 12 13 14
1 2 3 4 11 12 13 14
1H : ( 3 3 )
201
( 3 3 3 3 )20
0
33
Contrast Estimatesa,b
-1.125000 4.265349 63.000 0 -.264 .793 -9.648620 7.398620ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
ax23,contraste cub.a.
Dependent Variable: rythme.b.
Recherche de tendance quadratique pour AX23Code SPSS :
MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'ax23,contraste qua.' temps 1 -1 -1 1 produit*temps 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 /TEST = 'ax23,contraste cub.' temps 1 -3 3 -1 produit*temps 1 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .
==> Validation de la tendance quadratique
Contrast Estimatesa,b
-17.8750 1.907522 63.000 0 -9.371 .000 -21.686879 -14.063121ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
ax23,contraste qua.a.
Dependent Variable: rythme.b.
Résultats :
34
Étude du modèle 2
Yijk = + i + j + ij + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Résidu
avec des i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) ou N(0, i)
et indépendants entre eux
Il faut préciser le type de la matrice de covariance .
35
Model Dimensiona
1 1
3 2
4 3
12 6
4 Unstructured 10 sujet_diff 24
24 22
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels
CovarianceStructure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
de type UN (UNSTRUCTURED)
36
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .000
2 21.000 5.951 .009
3 21.000 16.422 .000
6 21.000 22.355 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Résultats SPSS : de type « UNSTRUCTURED »
Information Criteriaa
476.782
496.782
499.796
531.090
521.090
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
37
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.8280 0.8255 0.6445 2 0.8280 1.0000 0.8373 0.7223 3 0.8255 0.8373 1.0000 0.8346 4 0.6445 0.7223 0.8346 1.0000
Estimates of Covariance Parametersa
30.523810 9.419852 3.240 .001 16.670639 55.888858
28.654762 9.804299 2.923 .003 9.438689 47.870835
39.232143 12.107302 3.240 .001 21.426712 71.833748
25.488095 8.736805 2.917 .004 8.364272 42.611918
29.309524 9.962673 2.942 .003 9.783043 48.836005
31.232143 9.638449 3.240 .001 17.057496 57.185811
19.928571 8.027865 2.482 .013 4.194245 35.662898
25.321429 9.437047 2.683 .007 6.825156 43.817701
26.107143 8.890884 2.936 .003 8.681331 43.532955
31.327381 9.667840 3.240 .001 17.109511 57.360191
ParameterUN (1,1)
UN (2,1)
UN (2,2)
UN (3,1)
UN (3,2)
UN (3,3)
UN (4,1)
UN (4,2)
UN (4,3)
UN (4,4)
RepeatedMeasures
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
38
Estimates of Fixed Effectsb
71.250000 1.978869 21.000 36.005 .000 67.134717 75.365283
1.875000 2.798543 21.000 .670 .510 -3.944890 7.694890
8.500000 2.798543 21.000 3.037 .006 2.680110 14.319890
0a 0 . . . . .
1.500000 1.658088 21.000 .905 .376 -1.948183 4.948183
1.125000 1.577841 21.000 .713 .484 -2.156301 4.406301
.250000 1.137170 21.000 .220 .828 -2.114874 2.614874
0a 0 . . . . .
-4.125000 2.344891 21.000 -1.759 .093 -9.001467 .751467
6.250000 2.231405 21.000 2.801 .011 1.609540 10.890460
7.625000 1.608201 21.000 4.741 .000 4.280564 10.969436
0a 0 . . . . .
.500000 2.344891 21.000 .213 .833 -4.376467 5.376467
3.125000 2.231405 21.000 1.400 .176 -1.515460 7.765460
-1.375000 1.608201 21.000 -.855 .402 -4.719436 1.969436
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
0a 0 . . . . .
ParameterIntercept
[produit=1]
[produit=2]
[produit=3]
[temps=1]
[temps=2]
[temps=3]
[temps=4]
[temps=1] * [produit=1]
[temps=2] * [produit=1]
[temps=3] * [produit=1]
[temps=4] * [produit=1]
[temps=1] * [produit=2]
[temps=2] * [produit=2]
[temps=3] * [produit=2]
[temps=4] * [produit=2]
[temps=1] * [produit=3]
[temps=2] * [produit=3]
[temps=3] * [produit=3]
[temps=4] * [produit=3]
Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
This parameter is set to zero because it is redundant.a.
Dependent Variable: rythme.b.
39
de type CS (COMPOUND SYMMETRY)
Model Dimensiona
1 1
3 2
4 3
12 6
4 Compound Symmetry 2 sujet_diff 24
24 14
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
40
Résultats SPSS : de type « CS »
Information Criteriaa
487.177
491.177
491.325
498.039
496.039
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .000
2 21.000 5.951 .009
3 63.000 12.945 .000
6 63.000 12.165 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.318850
25.801587 8.530159 3.025 .002 9.082784 42.520391
ParameterCS diagonal offset
CS covariance
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
33.078869 8.579290 3.856 .000 19.896844 54.994229
.780002 .065461 11.916 .000 .615508 .879376
ParameterCSR diagonal
CSR rho
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
41
de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)
Model Dimensiona
1 1
3 2
4 3
12 6
4 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24
24 14
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
42
de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)
Information Criteriaa
483.922
487.922
488.070
494.783
492.783
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 22.881 5511.855 .000
2 22.881 6.463 .006
3 62.404 16.041 .000
6 62.404 13.535 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.8207 0.6735 0.5527 2 0.8207 1.0000 0.8207 0.6735 3 0.6735 0.8207 1.0000 0.8207 4 0.5527 0.6735 0.8207 1.0000
Estimates of Covariance Parametersa
31.985843 7.762646 4.120 .000 19.878319 51.467840
.820608 .049702 16.510 .000 .696469 .897058
ParameterAR1 diagonal
AR1 rho
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
43
de type CS hétérogène par temps
44
Résultats SPSS
Information Criteriaa
485.962
495.962
496.731
513.116
508.116
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed in smaller-is-betterforms.
Dependent Variable: rythme.a.
Model Dimensiona
1 1
3 2
4 3
12 6
4 Heterogeneous Compound Symmetry 5 sujet_diff 24
24 17
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
45
Résultats SPSS
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.118 5069.933 .000
2 21.118 5.945 .009
3 44.032 12.132 .000
6 44.032 13.053 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
31.098920 9.566115 3.251 .001 17.018187 56.829953
38.601588 11.783690 3.276 .001 21.220893 70.217715
29.473049 8.917244 3.305 .001 16.288798 53.328711
33.239547 10.317260 3.222 .001 18.090463 61.074582
.783117 .064472 12.147 .000 .621001 .880979
ParameterVar: [temps=1]
Var: [temps=2]
Var: [temps=3]
Var: [temps=4]
CSH rho
RepeatedMeasures
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
46
Modèle 3
avec sk(i)~ N(0, s2) et ijk~ AR(1).
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Syntaxe SPSS
MIXED rythme BY produit temps sujet_diff /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) /REPEATED = temps | SUBJECT(sujet_diff) COVTYPE(AR1) .
47
Model Dimensionb
1 1
3 2
4 3
12 6
24 Variance Components 1
4 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24
48 15
Intercept
produit
temps
produit * temps
Fixed Effects
sujet_diffaRandom Effects
tempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Your command syntax may yieldresults that differ from those produced by prior versions. If you are using SPSS 11 syntax, please consult the currentsyntax reference guide for more information.
a.
Dependent Variable: rythme.b.
Information Criteriaa
482.693
488.693
488.993
498.986
495.986
-2 Restricted Log Likelihood
Akaike's Information Criterion (AIC)
Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)
Bozdogan's Criterion (CAIC)
Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.244 5231.902 .000
2 21.244 6.135 .008
3 34.271 14.972 .000
6 34.271 13.030 .000
SourceIntercept
produit
temps
produit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
48
Estimates of Covariance Parametersa
11.561389 6.000038 1.927 .054 4.180808 31.971265
.501661 .268675 1.867 .062 -.150999 .849738
20.819374 9.950134 2.092 .036 8.159354 53.122631
ParameterAR1 diagonal
AR1 rho
Repeated Measures
Variancesujet_diff
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.5017 0.2517 0.1263 2 0.5017 1.0000 0.5017 0.2517 3 0.2517 0.5017 1.0000 0.5017 4 0.1263 0.2517 0.5017 1.0000
49
Choix du type de matrice Critère d’Akaike
AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d
où d = nombre de paramètres du modèle définissant (Covariance parameters)
Critère de Schwartz (BIC)
BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)
On recherche minimisant le BIC.
- For REML, the value of n is chosen to be total number of cases minus number fixed effect parameters and d is number of covariance parameters.
- For ML, the value of n is total number of cases and d is number of fixed effect parameters plus number of covariance parameters.
50
Calcul des critères d’Akaike et de Schwarz pour le modèle 3
Critère d’Akaike
AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d
= 482.7 + 6 = 488.7
Critère de Schwarz (BIC)
BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)
= 482.693 + 3Log(84) = 495.985
n = 96 – 12 = 84 et d = 3
d =Nombre de paramètres de = 3
51
Choix du meilleur modèle
Modèle BIC (smaller is better) CS homogène via Random
CS hétérogène (Temps, 2)
Repeated homogène
UN
CS
AR(1)
CS homogène, AR(1)
496.039
508.116
521.090
496.039
492.783
495.986
52
Modèle 4
Yk(i) = (Yi1k, Yi2k, Yi3k, Yi4k) ~ N(i, )
avec : i = (i1, i2, i3, i4) 11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
et
Test : H0 : LM = 0
H1 : LM 0
Statistique : i2/ n
0
1
Max L(H ) de Wilks =
Max L(H )
- Calcul des niveaux de signification plus précis qu’avec l’approche univariée, et même exact si min(rang L, rang M) 2.- Pas de données manquantes.
53
Transformation de Rao
avec : p = rang (M), q = rang (L)
m = Nombre de groupes, v = N – m
r = v – (p – q + 1)/2, u = (pq –2)/4
t = si p2 + q2 –5 > 0, = 1 sinon.
pq
u2rt.
1F
t/1
t/1
5qp
4qp22
22
Lorsque l’hypothèse H0 est vraie, F suit approximativement une loi F(pq, rt–2u).
La loi est exacte si le minimum de (p, q) est inférieur ou égal à 2.
54
Les données
AX23 72 86 81 77
AX23 78 83 88 81
AX23 71 82 81 75
AX23 72 83 83 69
AX23 66 79 77 66
AX23 74 83 84 77
AX23 62 73 78 70
AX23 69 75 76 70
BWW9 85 86 83 80
BWW9 82 86 80 84
BWW9 71 78 70 75
BWW9 83 88 79 81
BWW9 86 85 76 76
BWW9 85 82 83 80
BWW9 79 83 80 81
BWW9 83 84 78 81
CONTROLE 69 73 72 74
CONTROLE 66 62 67 73
CONTROLE 84 90 88 87
CONTROLE 80 81 77 72
CONTROLE 72 72 69 70
CONTROLE 65 62 65 61
CONTROLE 75 69 69 68
CONTROLE 71 70 65 65
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
produit rythme1 rythme2 rythme3 rythme4
55
Test de l’effet « Produit »
11 12 13 142. 1.
0 21 22 23 243. 1.
31 32 33 34L
M
.25
1 1 0 .25H : 0
1 0 1 .25
.25
56
Test de l’effet « Produit »
GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Effet Produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "Moyenne" rythme1 .25 rythme2 .25 rythme3 .25 rythme4 .25 /DESIGN = produit .
Syntaxe SPSS
Test Results
Transformed Variable: Moyenne
328.771 2 164.385 5.951 .009
580.039 21 27.621
SourceContrast
Error
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
57
Test de l’effet « Temps »
0 .2 .1 .3 .1 .4 .1
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34L
M
H :
1 1 1
1 0 01 1 1 1 0
0 1 03
0 0 1
58
GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Moyenne Produit" produit 1/3 1/3 1/3 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .
Multivariate Test Results
.701 14.858a 3.000 19.000 .000
.299 14.858a 3.000 19.000 .000
2.346 14.858a 3.000 19.000 .000
2.346 14.858a 3.000 19.000 .000
Pillai's trace
Wilks' lambda
Hotelling's trace
Roy's largest root
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
59
Test de l’interaction « Produit*Temps »
22 12 21 11 23 13 21 11 24 14 21 110
32 12 31 11 33 13 31 11 34 14 31 11
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
H :
1 1 0
1 0 1
L
1 1 1
1 0 00
0 1 0
0 1
M
0
60
Test de l’interaction « Produit*Temps »GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = « Effet produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .
Multivariate Test Results
1.092 8.011 6.000 40.000 .000
.108 12.911a 6.000 38.000 .000
6.387 19.162 6.000 36.000 .000
6.084 40.560b 3.000 20.000 .000
Pillai's trace
Wilks' lambda
Hotelling's trace
Roy's largest root
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on thesignificance level.
b.
61
Comparaison GLM multivarié / MIXED
- Les F de Rao conduisent à des résultats exacts car Min(rang L, rang M) 2.
- Comparaisons inter-sujets : GLM multivarié = MIXED Comparaisons intra-sujets : GLM multivarié MIXED
62
Utilisation de la commande« Repeated Measures » de SPSS
63
64
Résultats SPSSWithin-Subjects Factors
Measure: Rythme
rythme1
rythme2
rythme3
rythme4
Temps1
2
3
4
DependentVariable
Between-Subjects Factors
AX23 8
BWW9 8
CONTROLE 8
1
2
3
produitValue Label N
Multivariate Testsc
.701 14.858a 3.000 19.000 .000
.299 14.858a 3.000 19.000 .000
2.346 14.858a 3.000 19.000 .000
2.346 14.858a 3.000 19.000 .000
1.092 8.011 6.000 40.000 .000
.108 12.911a 6.000 38.000 .000
6.387 19.162 6.000 36.000 .000
6.084 40.560b 3.000 20.000 .000
Pillai's Trace
Wilks' Lambda
Hotelling's Trace
Roy's Largest Root
Pillai's Trace
Wilks' Lambda
Hotelling's Trace
Roy's Largest Root
EffectTemps
Temps * produit
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.b.
Design: Intercept+produit Within Subjects Design: Temps
c.
Tests of Between-Subjects Effects
Measure: Rythme
Transformed Variable: Average
560745.510 1 560745.510 5075.372 .000
1315.083 2 657.542 5.951 .009
2320.156 21 110.484
SourceIntercept
produit
Error
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
65
Résultats SPSS
66
Conclusion : Pour la commande MIXED• Estimation de la structure de covariance entre les
données.• Estimation correcte des effets fixes et aléatoires.• Inférence large et étroite.• Possibilité de variances hétérogènes• Les résultats justes (au niveau univarié) de la Proc
GLM sont retrouvés avec la Proc MIXED.• Comparaisons multiples inter-sujets basées sur des
moyennes ajustées estimées au niveau de la population.
• Possibilité de données manquantes.