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Análise de Tensões em
Componentes de Aeronaves
Estruturas Aeroespaciais II (10373)
2015
Pedro V. Gamboa Com a colaboração de Pedro Albuquerque
Departamento de Ciências Aeroespaciais
Faculdade de Engenharia
Universidade da Beira Interior
Estruturas Aeroespaciais II - 2015
Departamento de Ciências Aeroespaciais
Pedro V. Gamboa
1. Introdução
• Na Unidade Curricular de Estruturas Aeroespaciais I
estabeleceu-se a teoria básica para a análise de vigas de
paredes finas de secção fechada e aberta sujeitas à flexão,
ao corte e à torção.
• Métodos de idealização de secções reforçadas com tensores
em secções mais simples de analisar também foram
apresentados: idealização estrutural.
• Agora convém alargar esta análise para componentes próprios
de aeronaves incluindo vigas com afilamento, fuselagens,
asas, cavernas e nervuras; também incluídos estão os efeitos
de aberturas em asas e fuselagens.
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1. Introdução
• Os componentes estruturais de aeronaves são complexos
consistindo, normalmente, de cascas de metal finas
reforçadas com arranjos de tensores.
• Estas estruturas são altamente redundantes e requerem certa
simplificação ou idealização antes que possam ser analisadas.
• A análise apresentada aqui é, por isso, aproximada e o grau
de precisão obtido depende do número de simplificações
assumidas.
• Uma outra complicação também está presente uma vez que
factores como restrições de empeno, descontinuidades na
estrutura e na carga e atraso do corte afetam grandemente a
análise.
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1. Introdução
Ensaio do Sistema
Modelo Físico Modelo Matemático
Solução
Analítica
Solução
Numérica
Sistema
Ensaio com Modelo do Sistema
Geralmente só usando técnicas numéricas, como o método dos
elementos finitos, se pode obter um elevado grau de precisão.
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1. Introdução
No entanto, os métodos aproximados (mais simples, rápidos e
baratos):
• podem usar-se nas fases preliminares do projeto
estrutural quando várias alternativas estruturais são
investigadas;
• proporcionam uma compreensão do comportamento
físico das estruturas, ao contrário dos métodos
numéricos;
• permitem validar qualitativa e quantitativamente as
soluções numéricas.
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1. Introdução
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1. Introdução
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2. Vigas com afilamento
• Os componentes estruturais de aeronaves, como as asas e as
fuselagens, são normalmente afiladas ao longo do seu
comprimento para permitir melhor eficiência estrutural.
• As secções de asas são reduzidas tanto na corda como na
espessura ao longo da envergadura na direção da ponta e as
secções de fuselagens atrás da cabine dos passageiros afilam
para melhorar a eficiência aerodinâmica e a forma estrutural.
• O efeito do afilamento na previsão de tensões diretas
produzidas por momentos fletores é mínimo se o afilamento
for pequeno sendo as propriedades da secção calculadas na
secção em questão.
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2. Vigas com afilamento
A equação:
pode, por isso, ser usada com precisão razoável.
yIII
IMIMx
III
IMIM
xyyyxx
xyyyyx
xyyyxx
xyxxxy
z
22 (0.06)
• O cálculo das tensões de corte nas almas da viga pode ser
bastante afetado pelo afilamento.
• Considere-se primeiro o caso simples em que uma viga
colocada no plano yz tendo duas mesas/banzos e uma alma;
um elemento dz da viga está representado na figura 1.01.
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2. Vigas com afilamento
• Na secção z a viga é sujeita a um momento fletor positivo Mx
e uma força de corte positiva Sy.
Figura 1.01 Efeito do afilamento na
análise de vigas
• As resultantes do momento fletor Pz,1 e Pz,2 são paralelas ao
eixo do z da viga.
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2. Vigas com afilamento
Numa viga em que se assume que as mesas/banzos suportam
todas as tensões diretas:
• No caso em que se assume que a alma também suporta
tensões diretas Pz,1 e Pz,2 são determinadas multiplicando as
tensões diretas z,1 e z,2, obtidas pela equação 0.06, pelas
áreas das mesas B1 e B2.
• Pz,1 e Pz,2 são as componentes da carga axial das mesas na
direção de z.
h
MP
h
MP x
zx
z 2,1, ;
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2. Vigas com afilamento
• Estas têm componentes Py,1 e Py,2 paralelas ao eixo y e são
dadas por:
, onde, na direção de afilamento mostrado, dy2 é negativo.
z
yPP
z
yPP zyzy
d
d
d
d 22,2,
11,1, ; (1.01)
2121,
21,1 yz PPP
1
1,
2
1
2
1,1cosd
dd z
z
P
z
yzPP
(1.02)
• A carga axial na mesa 1 é dada por:
• Substituindo para Py,1 da equação 1.01, tem-se:
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• A força de corte interna Sy é constituída pela resultante Sy,w
dos fluxos de corte na alma da viga e pelas componentes
verticais de P1 e P2.
Assim
ou
13
2. Vigas com afilamento
Da mesma forma, obtém-se:
2
2,
2
2
2
2,2cosd
dd z
z
P
z
yzPP
(1.03)
)( 2,1,, yywyy PPSS
z
yP
z
yPSS zzwyy
d
d
d
d 22,
11,, (1.04)
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2. Vigas com afilamento
de forma que
Aqui, dy2 nas equações 1.04 e 1.05 é negativo.
z
yP
z
yPSS zzywy
d
d
d
d 22,
11,, (1.05)
hS wy,
• A equação 1.05 pode ser usada para determinar a distribuição
do fluxo de corte na alma da viga.
• Para uma viga completamente idealizada, o fluxo de corte da
alma é constante e é dado por:
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2. Vigas com afilamento
Para uma viga onde a alma é capaz de suportar tensões diretas,
a distribuição do fluxo de corte é obtida usando a equação 0.75
onde Sy é substituído por Sy,w e que, para a viga da figura 1.01,
simplifica-se em
ou
110
,yBydst
I
Sq
s
D
xx
wy
s (1.06)
220
,yBydst
I
Sq
s
D
xx
wy
s (1.07)
s n
r
rrD
xyyyxx
xyxyyy
s n
r
rrD
xyyyxx
xyyxxx
yBydstIII
ISIS
xBxdstIII
ISISqq
01
2
01
212
(0.75)
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2. Vigas com afilamento
Exemplo 1.01: Determinar a distribuição do fluxo de corte na
alma da viga afilada da figura 1.02 na secção a meio do seu
comprimento. A alma da viga tem uma espessura de 2mm e
suporta tensões diretas. A viga afila simetricamente em torno do
eixo horizontal que passa pelo centróide e a área de cada mesa
é de 400mm2.
Figura 1.02 Viga com afilamento do
exemplo 1.01
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
• Considere-se agora o caso mais geral de uma viga afilada em
duas direções compreendendo um arranjo de booms e de
revestimento.
• Exemplos práticos deste tipo de vigas são as asas e fuselagens
completas.
• A viga pode ser de secção aberta ou fechada; os efeitos do
afilamento são determinados de uma maneira idêntica em
ambos os casos.
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
Figura 1.04 Efeito do afilamento na
análise de vigas de secção aberta e
fechada
A figura 1.04(a)
mostra um pequeno
comprimento dz da
viga sujeito a cargas
de corte Sx e Sy na
secção z; Sx e Sy são
positivos quando
atuam nas direções
representadas.
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
• Convém lembrar que se a viga fosse aberta as cargas de corte
teriam que ser aplicadas no centro de corte para evitar
qualquer torção.
• Para além das cargas de corte, a viga está sujeita a
momentos fletores Mx e My que produzem tensões diretas z
nos “booms” e no revestimento.
yIII
IMIMx
III
IMIM
xyyyxx
xyyyyx
xyyyxx
xyxxxy
z
22 (0.06)
• Suponha-se que no “boom” r a tensão direta paralela a z é
z,r, que pode ser obtida usando a equação 0.06.
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Da figura 1.04(b)
e da figura 1.04(c)
ou, substituindo para Py,r da equação 1.09,
20
2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
A componente Pz,r da carga axial Pr no “boom” r é dada por
onde Br é a área da secção transversal do “boom” r.
rrzrz BP ,, (1.08)
z
yPP r
rzryd
d,, (1.09)
r
rryrx
y
xPP
d
d,,
z
xPP r
rzrxd
d,, (1.10)
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
A carga axial Pr é, então, dada por
ou alternativamente
212,
2,
2, rzryrxr PPPP (1.11)
z
zyxPP rr
rzrd
ddd21222
,
(1.12)
• As forças de corte aplicadas Sx e Sy são reagidas pelas
resultantes dos fluxos de corte no revestimento dos painéis e
almas juntamente com as componentes Px,r e Py,r das cargas
axiais nos “booms”.
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
Substituindo nas equações 1.13 para Px,r e Py,r das equações 1.10
e 1.09 tem-se
m
r
rywyy
m
r
rxwxx PSSPSS1
,,
1
,, ; (1.13)
m
r
rrzwyy
m
r
rrzwxx
z
yPSS
z
xPSS
1
,,
1
,, ;d
d
d
d(1.14)
m
r
rrzywy
m
r
rrzxwx
z
yPSS
z
xPSS
1
,,
1
,, ;d
d
d
d(1.15)
Então:
Assim, se Sx,w e Sy,w são as resultantes dos esforços de corte no
revestimento e na alma e tem-se um total de m “booms” na
secção
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
A distribuição do fluxo de corte numa viga de secção aberta é
obtida usando a equação 0.75 onde Sx é substituído por Sx,w e Sy
por Sy,w das equações 1.15.
0,0
12
01
2
s
s n
r
rrD
xyyyxx
xyxyyy
s n
r
rrD
xyyyxx
xyyxxx
s
qyBydstIII
ISIS
xBxdstIII
ISISq
(0.80)
Da mesma forma, numa viga de secção fechada Sx e Sy na
equação 0.80 são substituídos por Sx,w e Sy,w.
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
Assim, da figura 1.05 vê-se que a equação 0.37 fica:
0,00 2 sbyx AqdspqSS (0.37)
(1.16)
Figura 1.05 Modificação da
equação dos momentos no corte de
secções fechadas devido às cargas
nos “booms”
A equação dos momentos (equação 0.37) requer uma
modificação devido à presença das componentes da carga nos
“booms” Px,r e Py,r:
m
r
rry
m
r
rrxsbyx PPAqpdsqSS1
,
1
,0,00 2
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
A equação 1.16 é diretamente aplicável a uma viga com
afilamento sujeita a forças posicionadas em relação ao centro de
corte como mostrado na figura 1.05.
Na resolução de problemas, é necessário ter atenção de forma a
que os momentos das forças tenham o sinal correto.
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2. Vigas com afilamento 2.1. Vigas de secção aberta e fechada
Exemplo 1.02: A viga embutida da figura 1.06 é uniformemente
afilada ao longo do comprimento, tanto na direção x como na y,
e suporta uma força de 100kN na ponta livre. Calcular as forças
nos “booms” e a distribuição do fluxo de corte nas paredes da
secção que se situa a 2m da ponta embutida supondo que os
“booms” suportam todas as tensões diretas e as paredes apenas
o corte. Cada “boom” dos cantos tem uma secção com 900mm2
e os centrais com 1200mm2.
Figura 1.06 Viga com afilamento do
exemplo 1.02
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2. Vigas com afilamento 2.2. Vigas com tensores de área variável
• Em muitos aviões as vigas estruturais, como asas, possuem
tensores cujas áreas da secção transversal varia ao longo da
envergadura.
• Os efeitos desta variação na determinação da distribuição do
fluxo de corte não podem, por isso, ser obtidos pelos métodos
descritos anteriormente que assumem áreas constantes para
os “booms”.
• De facto, se a tensão nos tensores for mantida constante por
meio da variação da sua área não há qualquer mudança no
fluxo de corte quando o tensor/”boom” é atravessado.
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• Assumindo que a carga no tensor varia linearmente no seu
comprimento, o incremento da carga no tensor por unidade de
comprimento é dado por:
• A distribuição do fluxo de corte obtém-se como anteriormente.
28
2. Vigas com afilamento 2.2. Vigas com tensores de área variável
• O cálculo da distribuição do fluxo de corte em vigas com
tensores de área variável é baseado num método alternativo
para a determinação da distribuição do fluxo de corte.
• As cargas dos booms Pz,1 e Pz,2 são calculadas em duas secções
z1 e z2 da viga a uma distância conveniente entre si.
21
2,1,
zz
PPP
zz
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2. Vigas com afilamento 2.2. Vigas com tensores de área variável
Exemplo 1.03: Resolver o exemplo 1.02 considerando as
diferenças nas cargas dos “booms” em secções da viga antes e
depois da secção dada.
Neste exemplo as áreas dos tensores não variam ao longo do
comprimento da viga mas o método é idêntico.
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3. Fuselagens
• As fuselagens consistem em finas chapas de material
reforçadas com um elevado número de tensores longitudinais
(longerons) juntamente com cavernas (frames).
• Geralmente elas suportam momentos fletores, forças de corte
e cargas de torção que induzem tensões axiais nos tensores e
na casca juntamente com tensões de corte na casca; a
resistência dos tensores às forças de corte é geralmente
ignorada.
• A distância entre tensores adjacentes é normalmente
pequena pelo que a variação do fluxo de corte no painel que
os une também será pequena.
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3. Fuselagens
• É por isso razoável assumir que o fluxo de corte é constante
entre tensores adjacentes o que simplifica a análise a uma
secção idealizada em que os tensores/”booms” suportam
todas as tensões diretas enquanto o revestimento suporta
apenas as tensões de corte.
• A capacidade da casca suportar as tensões diretas é tida em
conta pelo aumento da área dos tensores/”booms”, como
descrito em Estruturas Aeroespaciais I.
• A análise de fuselagens envolve assim o cálculo das tensões
diretas nos tensores e a distribuição das tensões de corte na
casca; estas últimas também são necessárias para a análise
das cavernas como se verá na secção 5.
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3. Fuselagens
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3. Fuselagens 3.1. Flexão
• O arranjo da casca e dos tensores é idealizado numa
combinação de “booms” e revestimento como visto em
Estruturas Aeroespacias I.
yIII
IMIMx
III
IMIM
xyyyxx
xyyyyx
xyyyxx
xyxxxy
z
22 (0.06)
• A tensão direta em cada “boom” é depois calculada usando a
equação 0.06 onde os eixos de referência e as propriedades
da secção referem-se às áreas da secção transversal que
suportam as tensões diretas.
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3. Fuselagens 3.1. Flexão
Exemplo 1.04: A fuselagem de um avião ligeiro de passageiros
tem uma secção transversal igual à da figura 1.07(a). A área da
secção transversal de cada tensor é de 100mm2 e as distâncias
verticais da figura 1.07(a) vão até à linha média da parede da
secção na posição do tensor correspondente. Se a fuselagem
estiver sujeita a um momento fletor de 200kNm aplicado no
plano vertical de simetria desta secção calcular a distribuição
das tensões diretas.
Figura 1.07 (a) Secção real da
fuselagem; (b) secção idealizada da
fuselagem
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3. Fuselagens 3.2. Corte
• Numa fuselagem com uma secção transversal do tipo
representado na figura 1.07(a) o cálculo da distribuição do
fluxo de corte na casca produzida pelo corte cinge-se à
idealização de uma viga fechada com uma única célula.
0,
12
12 s
n
r
rr
xyyyxx
xyxyyyn
r
rr
xyyyxx
xyyxxx
s qyBIII
ISISxB
III
ISISq
(1.17)
• A distribuição do fluxo de corte é assim dada pela equação
5.80, onde a capacidade da casca de suportar as tensões
diretas é tida como nula, isto é, de forma que:
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3. Fuselagens 3.2. Corte
• A equação (1.17) é aplicável nos casos em que as cargas de
corte não estão aplicadas através do centro de corte de
forma que os efeitos do corte e da torção são incluídos
simultaneamente.
• Alternativamente, se a posição do centro de corte for
conhecida, o sistema de cargas pode ser substituído por
cargas de corte aplicadas no centro de corte juntamente com
um binário puro.
• Neste caso, as distribuições do fluxo de corte são calculadas
separadamente e adicionadas posteriormente para se obter a
distribuição final.
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3. Fuselagens 3.2. Corte
Exemplo 1.05: A fuselagem do exercício 1.04 está sujeita a uma
força de corte vertical de 100kN aplicada a uma distância de
150mm do eixo vertical de simetria como mostra, para a secção
idealizada, a figura 1.08. Calcular a distribuição do fluxo de
corte na secção
Figura 1.08 Secção idealizada da
fuselagem do exemplo 1.04
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3. Fuselagens 3.2. Torção
Uma secção de fuselagem é basicamente uma viga fechada de
uma única célula.
A distribuição do fluxo de corte resultante de um binário puro é,
por isso, dada por
A
Tq
2 (1.18)
• É indiferente que a secção tenha ou não sido idealizada uma
vez que em ambos os casos assume-se que os “booms” não
suportam as tensões corte;
• A equação 1.18 permite uma alternativa ao exemplo 1.05
para a solução de secções sujeitas a corte em que o centro de
corte é conhecido.
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3. Fuselagens 3.2. Torção
Na figura 1.08 o centro de corte coincide com o centro de
simetria de forma que o sistema de cargas pode ser substituído
por uma força de 100kN atuando no centro de corte juntamente
com um binário puro de 100x103x150=15x106Nmm como mostra
a figura 1.09.
Figura 1.09 Solução alternativa do
exemplo 1.05.
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3. Fuselagens 3.2. Torção
• A distribuição do fluxo de corte resultante da carga de corte
pode ser determinada usando o método do exemplo 1.05 mas
com a parte esquerda da equação do momento igual a zero
para momentos em torno do centro de simetria.
12141313125645
12151412116734
12161511107823
1211610989
67,64
28.54
74,30
qqqqq
qqqqq
qqqqq
qqqq
• Alternativamente pode usar-se a simetria da secção e o facto
de o fluxo de corte ser constante entre os “booms”.
• Suponha-se que o fluxo de corte no painel 21 é q21. Então da
simetria e usando os resultados do exercício anterior
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Substituindo para q32, q43 e q54 obtém-se
de onde se tira
41
3. Fuselagens 3.2. Torção
A resultante destes fluxos de corte é estaticamente equivalente
à carga de corte aplicada de forma que:
ySqhqhqhqh 54544343323221214
3
21 1010037,186790,3814 q
etc.
mmN26.81;mmN87,70;mmN33,47;mmN59,16 54433221 qqqq
3
54433221 101008,1457,1235,820,294 qqqq
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Este valor do fluxo de corte é agora adicionado ao fluxo de corte
produzido pela carga de corte; isto dá a solução da figura 1.13,
isto é
42
3. Fuselagens 3.2. Torção
A distribuição do fluxo de corte resultante do binário aplicado é,
da equação 1.18
atuando num sentido anti-horário em torno de toda a secção.
mmN45,161056,42
10155
6
q
Figura 1.10 Distribuição do fluxo de corte N/mm na
secção da fuselagem do exemplo 1.05.
etc.
mmN0,1416,4516,59
mmN04,3345,1659,16
116
21
q
q
63,78
87,32
63,78
33,04
33,04
97,71
87,32
0,14
0,14
30,88
54,42
64,81
54,42
30,88
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4. Asas
• As secções das asas são constituídas por cascas finas
reforçadas por uma combinação de tensores, almas e mesas
de longarinas e nervuras.
• A estrutura resultante forma frequentemente uma, duas ou
mais células e é altamente redundante.
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4. Asas
• O grande número de tensores colocados próximos uns dos
outros permite que se assuma um fluxo de corte constante no
revestimento entre tensores consecutivos de forma que a
secção da asa pode ser analisada como estando
completamente idealizada;
• Desde que a capacidade da casca de suportar as tensões
diretas seja compensada pelo aumento das áreas dos
tensores/”booms”.
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4. Asas
• Ir-se-á investigar a análise de secções de asa de células
múltiplas sujeitas à flexão, à torção e ao corte.
Figura 1.11 Secção de asa com três
“booms”.
• A secção de asa mostrada na figura 1.11 foi idealizada numa
combinação de “booms” para suportar as tensões diretas e
painéis para suportar apenas as tensões de corte.
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4. Asas
• A parte da secção da asa atrás da longarina vertical 31
desempenha apenas um papel aerodinâmico e por isso não
está tensionado.
23231212 lqlqSx (1.19)
• As cargas de sustentação e de arrasto, Sy e Sx, induzem fluxos
de corte na casca que são constantes entre “booms”
adjacentes uma vez que a secção foi completamente
idealizada.
• Assim, resolvendo as forças horizontalmente e tendo em
conta que a resultante dos fluxos de corte internos é
equivalente à carga aplicada, tem-se “booms”
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4. Asas
• Resolvendo as forças verticalmente:
23231212231231 hqhqhhqSy (1.20)
2323121200 22 qAqASS yx (1.21)
• Finalmente, tirando momentos em torno do “boom” 3:
• Nas equações acima têm-se três incógnitas do fluxo de corte,
q12, q23, q34 e três equações de equilíbrio estático.
• Conclui-se, assim, que uma secção idealizada de três
“booms” é estaticamente determinada.
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4. Asas
• Mais tarde vai voltar-se ao caso simples de uma secção com
três “booms” quando se examinar as distribuições da carga
axial e dos fluxos de corte em nervuras de asa.
• Entretanto vai considerar-se a flexão, a torção e o corte de
secções de células múltiplas.
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4. Asas
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4. Asas 4.1. Flexão
• Os momentos fletores em qualquer secção de uma asa são
geralmente produzidos por cargas de corte aplicadas noutras
secções da asa.
Figura 1.12 Secção idealizada de
uma asa com múltiplas células.
• O sistema das tensões diretas para tal secção de asa (figura
1.12) é dado pela equação 0.06 onde as coordenadas (x,y) de
qualquer ponto na secção transversal e as propriedades da
secção referem-se aos eixos Cxy em que a origem C coincide
com a centróide das áreas que suportam as tensões diretas.
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4. Asas 4.1. Flexão
Exemplo 1.06: A secção de asa da figura 1.13 foi idealizada de
forma a que as tensões diretas sejam todas suportadas pelos
“booms”. Se a secção da asa estiver sujeita a um momento
flector de 300kNm aplicado num plano vertical determinar as
tensões directas nos “booms”.
Áreas dos “booms”: B1=B6=2580mm2, B2=B5=3880mm2,
B3=B4=3230mm2.
Figura 1.13 Secção da asa do exemplo 1.06.
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4. Asas 4.2. Torção
• A distribuição de pressão ao longo da corda numa superfície
aerodinâmica pode ser representada por cargas de corte
(forças de sustentação e arrasto) atuando através do centro
aerodinâmico juntamente com um momento de arfagem M0.
• Este sistema de forças de corte pode ser transferido para o
centro de corte da secção na forma das forças de corte Sx e Sy
juntamente com um binário T.
• Vai considerar-se aqui o caso da torção pura.
• Na análise assume-se que nenhuma restrição axial está
presente e que a forma da secção da asa não se modifica
devido à carga aplicada (ver capítulo sobre Aeroelasticidade).
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4. Asas 4.2. Torção
• Na ausência da restrição axial não se desenvolvem quaisquer
tensões diretas na secção da asa de modo que apenas tensões
de corte estão presentes.
Figura 1.13 Secção de asa de
células múltiplas sujeita à torção.
• Daqui segue-se que a presença dos “booms” não afeta a
análise do caso de torção pura.
• A secção de asa mostrada na figura 1.13 possui N células e
está sujeita a um momento torsor T que gera momentos
individuais, mas desconhecidos, em cada uma das N células.
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4. Asas 4.2. Torção
• Por isso, cada célula está sujeita a fluxos de corte constantes
qI, qII, . . ., qR, . . ., qN dado pela equação 1.18.
• O momento torsor total é então:
N
R
RRqAT1
2 (1.22)
• Estas equações são obtidas considerando a razão de torção
em cada célula e a condição de compatibilidade de
deslocamento em que todas as células possuem a mesma
razão de torção.
• Apesar da equação 1.22 ser suficiente para a solução do caso
especial de uma secção com uma única célula que é, por isso,
estaticamente determinada, são necessárias mais equações
para uma secção de N células.
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4. Asas 4.2. Torção
• Isto advém diretamente da condição de que a secção
transversal não é distorcida.
• Considerando a célula R da secção da asa na figura 1.13, a
razão de torção na célula é:
R
R t
dsq
GAdz
d
2
1(1.23)
Figura 1.14 Distribuição do fluxo de corte na
célula R de uma secção de asa de N células.
• O fluxo de corte na equação 1.23 é constante em cada parede
da célula e tem os valores representados na figura 1.14.
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• Em termos gerais esta equação pode exprimir-se na forma
, onde dR-1,R é para a parede comum às células R e R-1, dR é
para todas as paredes envolvendo a célula R e dR+1,1 é para
a parede comum à células R e R+1.
56
4. Asas 4.2. Torção
• Substituindo , em cada parede, por d a equação 1.23 fica
, ou, arranjando os termos dentro de parênteses,
41134231122
1dddd
RRRRRR
R
qqqqqqGAdz
d(1.23)
tds
411413423122312
1dddddd
RRR
R
qqqGAdz
d
RRRRRRRR
R
qqqGAdz
d,11,11
2
1 ddd
(1.24)
tds
tds tds
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4. Asas 4.2. Torção
A forma geral da equação 1.24 é aplicável a secções de células
múltiplas onde as células estão conectadas consecutivamente,
isto é, a célula I é conectada à célula II, a célula II às células I e
III, etc...
Nalguns casos a célula I pode ser conectada às células II e III,
etc. de forma que a equação 1.24 não pode ser usada na sua
forma geral.
Para este tipo de secção o termo pode ser calculado
considerando para cada parede de uma célula de cada
vez.
Existem N equações do tipo 1.24 que, com a equação 1.22,
formam as N+1 equações necessárias para obter as N incógnitas
do fluxo de corte e a incógnita de d/dz.
tdsq
tdsq
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• Para a célula R de uma secção de asa de N células onde G
varia de parede para parede a equação 1.23 toma a forma
• Esta equação pode escrever-se:
58
4. Asas 4.2. Torção
• Na prática, é frequente fabricar os painéis do revestimento e
as almas das longarinas com materiais que possuem
propriedades diferentes de modo que módulo de corte G não
é constante.
• A análise de tais secções é simplificada se a espessura real, t,
da parede for convertida numa espessura ponderada pelo
módulo de corte (G), t*.
R
R Gt
dsq
Adz
d
2
1
R
REFREFR tGG
dsq
GAdz
d
2
1 (1.25)
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, onde a espessura ponderada pelo módulo, t*, é dada por
• Então, na equação 1.24, d torna-se
59
4. Asas 4.2. Torção
, onde GREF é um valor do módulo de corte conveniente.
• A equação 1.25 fica assim
tG
Gt
REF
*
R
REFR t
dsq
GAdz
d
*2
1(1.26)
*t
dsd
(1.27)
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4. Asas 4.2. Torção
Exemplo 1.07: Calcular a
distribuição da tensão de corte
nas paredes da secção de asa de
três células da figura 1.15
quando sujeita a um momento
torsor de 11,3kNm no sentido
anti-horário. Figura 1.15 Secção da asa do exemplo 1.07.
Parede Comprimento
mm
Espessura
mm
G
N/mm2
Área da célula
mm2
12ext 1650 1,22 24200 AI = 258000
12int 508 2,03 27600 AII = 355000
13, 24 775 1,22 24200 AIII = 161000
34 380 1,63 27600
35, 46 508 0,92 20700
56 254 0,92 20700
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4. Asas 4.3. Corte
• Inicialmente vai considerar-se o caso geral de uma secção de
asa com N células constituída por “booms” e painéis de
revestimento, sendo estes capazes de suportar tanto tensões
diretas quanto tensões de corte.
Figura 1.16 Secção de asa com N
células sujeita a cargas de corte.
• A secção da asa é sujeita a cargas de corte Sx e Sy cujas linhas
de ação não passam necessariamente pelo centro de corte S
(ver figura 1.16); a distribuição do fluxo de corte resultante é
assim uma combinação dos efeitos do corte e da torção.
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4. Asas 4.3. Corte
• O método para determinar a distribuição do fluxo de corte e
a razão de torção é baseado na análise de uma viga de uma
célula sujeita a cargas de corte.
• Assim, a secção de N células da figura 1.16 pode tornar-se
estaticamente determinada se for “cortada” num painel de
cada célula, como mostra a figura.
• Tal viga é estaticamente determinada, sendo a única
redundância selecionada como o valor do fluxo de corte num
“corte” posicionado arbitrariamente.
• A posição destes “cortes” é irrelevante mas existem
vantagens, do ponto de vista numérico, em “cortar” cada
célula ao centro do seu painel superior ou inferior.
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4. Asas 4.3. Corte
• Geralmente nestes pontos os fluxos de corte redundantes qs,0
são pequenos de forma que os fluxos de corte finais diferem
apenas ligeiramente daqueles da estrutura determinada.
• O sistema de equações simultâneas que permite determinar
os fluxos de corte finais será, assim, “bem comportado” e
produzirá resultados fiáveis.
• A solução de um sistema de equações “mal comportado”
envolveria, provavelmente, a subtração de valores elevados
com magnitudes semelhantes que teriam que ser expressos
com muitos algarismos significativos para se obter uma
precisão razoável.
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4. Asas 4.3. Corte
• Apesar deste argumento não se aplicar a uma secção de asa
completamente idealizada, uma vez que o fluxo de corte é
constante entre os “booms”, é vantajoso na mesma “cortar”
o painel superior ou inferior para que, no caso especial de se
ter uma secção com um eixo de simetria horizontal, um
“corte” no painel superior, por exemplo, resulte em fluxos de
corte da “secção aberta” qb nulos nos painéis inferiores.
• Isto reduz grandemente o esforço de
cálculo e simplifica a derivação da
equação do momento, como se verá
no exemplo 1.08.
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4. Asas 4.3. Corte
• As observações feitas acima em relação ao “corte” de
secções de asa de células múltiplas são aplicáveis apenas a
este método de análise.
• Na análise aproximada de secções de asa de células múltiplas
em que se usa o método de aproximações sucessivas os
“cortes” são por vezes feitos nas almas das longarinas apesar
de nalguns casos o “corte” do painel superior ou inferior da
pele produzir uma convergência mais rápida no método de
iteração.
• Este método aproximado é extremamente útil quando o
número de células é grande uma vez que quanto maior for o
número de células maior será o número de equações
simultâneas para resolver.
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4. Asas 4.3. Corte
• O fluxo de corte da “secção aberta” qb na secção da asa da
figura 1.16 é dado pela equação 0.75, isto é
s n
r
rrD
xyyyxx
xyxyyy
s n
r
rrD
xyyyxx
xyyxxx
b
yBydstIII
ISIS
xBxdstIII
ISISq
01
2
01
2
(0.75)
• Fica-se, então, com uma incógnita do fluxo de corte em cada
um dos “cortes”, qs,0,I, qs,0,II, . . ., qs,0,N mais a incógnita da
razão de torção d/dz que, da condição de que a secção não é
distorcida, é igual para todas as células.
• Tem-se assim, à semelhança do caso da torção, N+1 incógnitas
que necessitam de N+1 equações para se obter uma solução.
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• Pode, então, considerar-se qs,0,R como um fluxo de corte
constante que atua em torno da célula.
• A razão de torção é dada novamente pela equação:
67
4. Asas 4.3. Corte
• Considere-se a célula R mostrada na figura 1.17.
• A distribuição completa do fluxo de corte em volta da célula
R é dada pela soma dos fluxos de corte da “secção aberta”,
qb, e o valor do fluxo de corte no “corte”, qs,0,R.
R
Rsb
RR
R t
dsqq
GAt
dsq
GAdz
d,0,
2
1
2
1
Figura 1.17 Fluxo de corte redundante na célula R
de uma asa de N células sujeita ao corte.
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4. Asas 4.3. Corte
• Comparando com o caso do momento torsor puro deduz-se
que
, onde qb é determinado previamente.
RbRRRsRRsRRRs
R t
dsqqqq
GAdz
d,11,0,,0,,11,0,
2
1ddd
(1.28)
• Existem N equações do tipo da equação 1.28 por isso é
necessária mais uma equação para se obterem os valores das
N+1 incógnitas.
• Esta obtém-se considerando o equilíbrio de momentos na
célula R na figura 1.18.
Figura 1.18 Equilíbrio de momentos na célula R.
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• Substituindo para qR em termos do fluxo de corte da “secção
aberta” qb e o fluxo de corte redundante qs,0,R tem-se
69
4. Asas 4.3. Corte
• O momento Mq,R produzido pelo fluxo de corte total em torno
de um centro de momento conveniente O é dado por
dspqM RRq 0, (1.28)
RRsbRq dspqdspqM 0,0,0, RsRbRq qAdspqM ,0,0, 2
RRR AdspdspdApsA 2..2
1.
2
1000 dd
Recordando:
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4. Asas 4.3. Corte
• A soma dos momentos de cada célula é equivalente ao
momento das cargas aplicadas externamente em torno do
mesmo ponto.
• Assim para a secção de asa da figura 1.16:
N
R
RsR
N
RR
R
N
R
Rqyx qAdspqMSS1
,0,
1
0
1
,00 2 (1.29)
N
R
RsR
N
RR
R
N
R
Rq qAdspqM1
,0,
1
0
1
, 20 (1.30)
• Se o centro de momento for escolhido de forma a ser
coincidente com o ponto de interseção das linhas de ação de
Sx e Sy a equação 1.29 fica
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4. Asas 4.3. Corte
Exemplo 1.08: A secção de asa do exemplo 1.06 (figura 1.13)
suporta uma força vertical positiva de 86,8kN no plano da alma
572. A secção está idealizada de forma que os “booms”
suportam todas as tensões diretas e as paredes suportam apenas
as tensões de corte. Se o módulo de corte de todas as paredes
for 27600N/mm2 exceto o da parede 78 que é três vezes maior,
calcular a distribuição do fluxo de corte na secção e a razão de
torção.
Parede Comprimento
mm
Espessura
mm
Área da célula
mm2
12, 56 1023 1,22 AI = 265000
23 1274 1,63 AII = 213000
34 2200 2,03 AIII = 413000
483 400 2,64
572 460 2,64
61 330 1,63
78 1270 1,22
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4. Asas 4.4. Centro de corte
• A posição do centro de corte de uma secção de asa é calculado
de um modo idêntico ao descrito em Estruturas Aeroespaciais I.
• Cargas de corte arbitrárias Sx e Sy são aplicadas, uma de cada
vez, através do centro de corte S, calcula-se a distribuição do
fluxo de corte resultante e tiram-se momentos em torno de
um ponto conveniente.
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4. Asas 4.4. Centro de corte
• As distribuições do fluxo de corte são obtidas como descrito
acima para secções de células múltiplas, mas neste caso as N
equações do tipo da equação 1.28 são suficientes para se
obter uma solução uma vez que a razão de torção é nula para
cargas aplicadas no centro de corte.
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4. Asas 4.5. Asas com afilamento
• Os efeitos do afilamento na análise de uma secção de asa
com uma célula foram vistos na secção 1.2.
m
r
ry
m
r
rx
N
R
RsR
N
RR
Ryx PPqAdspqSS111
,0,
1
000 2 (1.31)
Figura 1.16 Secção de asa com N
células sujeita a cargas de corte.
Figura 1.05
• Numa secção de asa com células múltiplas a análise é
semelhante excetuando a equação dos momentos 1.19 que,
para uma secção de N células, fica (ver figuras 1.05 e 1.16).
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4. Asas 4.5. Asas com afilamento
Exemplo 1.09: Uma viga de duas células tem secções simétricas
e afila simetricamente na direcção do y em relação a um eixo
longitudinal e mede 1,2m de comprimento (figura 1.19). A viga
suporta cargas que produzem uma força de corte e um
momento fletor na secção maior. A carga de corte está aplicada
no plano da alma da longarina interna. Se os “booms” 1 e 6
estiverem num plano paralelo ao plano zy calcular as forças nos
“booms” e a distribuição do fluxo de corte nas paredes da
secção maior. Os “booms” suportam todas as tensões directas
enquanto que as paredes só são efetivas no corte. O módulo de
corte é constante em todas as paredes, as almas verticais têm
1,0mm de espessura e o resto das paredes têm 0,8mm.
Áreas dos “booms”: B1=B3=B4=B6=600mm2 e B2=B5=900mm2.
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4. Asas 4.5. Asas com afilamento
Exemplo 1.09 (continuação):
Figura 1.19 Viga afilada do exemplo 1.09.
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • É obvio que na análise da torção e do corte de vigas com
células múltiplas quanto maior for o número de células mais
equações simultâneas será necessário resolver.
• Alguns aviões modernos possuem asas com um número
relativamente elevado de células, como a asa do Harrier, de
forma que o trabalho necessário torna-se longo e aborrecido a
menos que se use um computador.
• O método das aproximações sucessivas é um método simples
e rápido para calcular o fluxo de corte em secções de asas
com muitas células e pode ser usado, com algumas
diferenças, tanto para casos de cargas de torção pura como
de cargas de corte.
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Inicialmente vai considerar-se uma secção de asa sujeita a
um momento torsor puro.
Figura 1.20 Método das aproximações sucessivas
aplicado a uma secção de asa de duas células.
• A mecânica do método pode ser ilustrada considerando a
secção de asa de duas células da figura 1.20 que suporta um
momento torsor puro T.
• Primeiro, assume-se que cada célula é independente e que a
célula I está sujeita a um fluxo de corte constante qI de modo
que G(d/dz) para a célula I seja igual a um.
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, pode escrever-se
, onde
79
4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Das equações 0.49 e 0.52:
AqT 2 (0.49)
Gt
ds
A
T
dz
d24
(0.52)
12
I
I
I
A
q
dz
dG d
II
t
dsd
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Então
I
II
Aq
d
2
II
IIII
Aq
d
2
1
III dz
dG
dz
dG
• Da mesma forma, para que G(d/dz) seja um para a célula II
• Agora, tem-se a situação da figura 1.21 onde as duas células
estão separadas e
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção
• Imagine-se que as duas células são agora juntas novamente
sendo a alma interior uma parte comum de ambas as células.
Figura 1.21 Fluxos de corte dando G(dq/dz)=1
para as duas células separadas da secção de asa de
duas células.
• Assim, G(d/dz)I não é mais igual a G(d/dz)II de forma que a
condição de uma secção transversal não distorcida deixa de
ser válida e os fluxos de corte qI e qII não podem ser os
verdadeiros fluxos de corte.
• A ação de qII é reduzir a razão de torção na célula I
aplicando, com efeito, um torque horário na célula I opondo
o torque anti-horário correspondente a qI.
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Para corrigir esta situação suponha-se que as células são
separadas novamente aplicando-se fluxos de corte constantes
em torno das células I e II, respetivamente, para balancear o
efeito de qII (mostrado a traço interrompido) na célula I e qI
na célula II.
Figura 1.22 Primeiros fluxos de corte de correção aplicados para dar G(dq/dz)=1 nas células separadas
da secção de asa de duas células.
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • O fluxo de corte total atuando numa parede duma célula (qII
aplicado na alma interna e atuando na célula I) é balanceada
por um fluxo de corte constante aplicado em torno da célula
completa.
Figura 1.22 Primeiros fluxos de corte de correção aplicados para dar G(dq/dz)=1 nas células separadas
da secção de asa de duas células.
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• Daqui:
• Da mesma forma:
84
4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Assim:
onde para a parede comum às duas células.
022
', III
I
III
I
I
A
q
A
qdd
I
III
III qqd
d ,' (1.32)
II
III
III qqd
d ,' (1.33)
IIII tds,d
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Uma vez que q’I e q’II são expressos em termos do fluxo de
corte em células adjacentes são chamados fluxos de corte de
correcção.
• Os fatores dI,II/dI e dI,II/dII são conhecidos como os factores de
correcção e podem escrever-se da seguinte forma:
I
IIIIII
II
IIIIII CC
d
d
d
d ,,
,, ; (1.34)
• Está-se, agora, numa situação igual à que se tinha no início
do exemplo com a secção da asa dividida em duas células
separadas onde G(d/dz)=1 mas que estão agora sujeitas aos
fluxos de corte, na célula I, de qI, qII (na alma interna) e q’I
e, na célula II, de qII, qI (na alma interna) e q’II.
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• Desta forma, aplicam-se uns segundos fluxos de corte de
correção q’’I e q’’II completamente em torno das células
separadas I e II, respetivamente, onde, das equações 1.32,
1.33 e 1.34
86
4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Ao juntar as células pode ver-se que q’II da célula II atua na
parede interna da célula I e q’I da célula I atua na parede
interna da célula II destruindo, assim, a igualdade e valor
unitário de G(d/dz) para cada célula.
IIIIIIIIIIII CqqCqq ,, ;
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4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção • Os segundos fluxos de corte de correção (q’’I e q’’II) são,
claramente, menores que os primeiros, de forma que, se o
processo for repetido várias vezes, os fluxos de corte de
correção tornam-se desprezáveis rapidamente.
• Na prática o número de correções feitas depende da precisão
desejada.
IIIIIIIIfinalII
IIIIfinalI
qqqqq
qqqqq
)(
)(
• Os fluxos de corte finais em cada célula correspondentes a
G(d/dz)≈1 são então:
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• Assim:
• O fluxos de corte reais são obtidos fatorizando o fluxo de
corte final pela razão do momento torsor aplicado e do
momento torsor correspondente aos fluxos de corte finais.
88
4. Asas 4.6. Método das aproximações
sucessivas - torção
)(
1
)(2
finalRN
R
finalRR
real q
qA
Tq
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4. Asas 4.5. Asas com afilamento
Exemplo 1.10: Resolver o exemplo 1.07 usando o método das
aproximações sucessivas.
Parede Comprimento
mm
Espessura
mm
G
N/mm2
Área da célula
mm2
12ext 1650 1,22 24200 AI = 258000
12int 508 2,03 27600 AII = 355000
13, 24 775 1,22 24200 AIII = 161000
34 380 1,63 27600
35, 46 508 0,92 20700
56 254 0,92 20700
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • O método é restrito a cargas de corte aplicadas no centro de
corte da secção da asa por forma a tornar a razão de torção
em cada célula nula.
• O caso de uma secção de asa em que as cargas de corte não
estão aplicadas no centro de corte é analisado substituindo o
sistema de cargas real por cargas de corte no centro de corte
juntamente com um momento torsor puro.
• As duas soluções separadas são posteriormente adicionadas.
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Considere-se a secção de asa com três células sujeita a uma
força Sy aplicada através do centro de corte como mostra a
figura 1.23.
• A secção é constituída por “booms” e revestimento que
suportam tensões diretas.
Figura 1.23 Secção de asa com três células
sujeita a uma força de corte no seu centro de
corte.
• Primeiro “corta-se” cada uma das células para se obter uma
viga de “secção aberta” (figura 1.24).
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Geralmente, a solução converge mais rapidamente quando se
“corta” o painel superior ou o inferior.
Figura 1.24 Fluxos de corte (qb) da secção
“aberta”.
• Numa asa, as almas das longarinas suportam os fluxos de corte
maiores de forma que os fluxos de corte nas almas da “secção
aberta” estão mais próximos dos valores finais do que se estas
fossem “cortadas”, proporcionando uma convergência mais
rápida no método de aproximações sucessivas.
• Se a secção estiver sujeita a uma carga horizontal a situação
será inversa.
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • A distribuição do fluxo de corte da “secção aberta” é obtida
da equação 0.75 onde Sx=0, isto é
s n
r
rrD
xyyyxx
yyys n
r
rrD
xyyyxx
xyy
b yBydstIII
ISxBxdst
III
ISq
01
201
2 (1.35)
• Imaginando que cada célula é separada e fechada os fluxos de
corte qb vão causar torção em cada célula.
• Assim, aplicam-se fluxos de corte constantes q’I, q’II e q’III nas
células I, II e III, respectivamente, para reduzir esta torção a
zero (figura 1.25).
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte
• Quando se juntam as células vê-se que q’II vai causar torção
na célula I ao atuar na alma comum às células I e II, que q’I
vai causar torção na célula II, etc..
Figura 1.25 Fluxos de corte constantes aplicados em cada célula para balancear o efeito de
torção dos fluxos de corte qb..
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Assim, aplica-se um segundo sistema de fluxos de corte de
correção q’’I, q’’II e q’’III na células separadas I, II e III,
respetivamente.
• No entanto, visto as células não estarem separadas, estes
fluxos de corte adicionais causam torção nas células
adjacentes sendo necessário aplicar um terceiro sistema de
fluxos de corte de correção constantes.
• Este procedimento é repetido até que os fluxos de corte de
correção sejam desprezáveis.
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Os totais qI, qII e qIII dos fluxos de corte de correção são então
dados por
, de forma que a distribuição final do fluxo de corte será:
IIIIIIIIIIII
IIIIIIII
IIII
qqqq
qqqq
qqqq
IIIIIIbfinal qqqqq )( (1.36)
• É preciso ter em atenção que os fluxos de corte da equação
1.36 não estão aplicados nas paredes da secção da asa.
• Por exemplo, na alma da longarina comum às células I e II, o
fluxo de corte final é a soma de qb, qI e qII.
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• Considere-se a célula II com o fluxo de corte final atuando
como mostra a figura 1.26.
• Uma vez que a célula não é torcida então:
97
4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • As equações de onde se obtém os valores reais de qI, qII e qIII
são obtidas do seguinte modo.
Figura 1.26 Sistema dos fluxos de corte
finais na célula II.
04
1 II
II t
dsq
GAdz
d
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• Assim, da figura 1.26 e considerando momentos anti-horários
como positivos,
• O que resulta:
ou
0,, IIIIIIIIIIIIIIIIII
b qqqt
dsq ddd
II
IIIIIIII
II
IIII
II
IIb
II qqtdsq
qd
d
d
d
d
,,
98
4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte
0II t
dsq
(1.37)
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• Reescrevendo a equação de outra forma tem-se:
, onde CI,II é o fator de correção da célula I para a célula II e CIII,II
é o fator de correção da célula III para a célula II.
99
4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • O primeiro termo no lado direito da equação 1.37 representa
a proporção do fluxo de corte qb da “secção aberta” que atua
como um fluxo de corte constante em volta da secção para
anular a torção devido ao qb.
• Os segundos e terceiros termos equilibram a torção devido a
qI e a qIII.
IIIIIIIIIIIIIIII qCqCqq ,, (1.38)
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Como primeira aproximação pode desprezar-se o efeito dos
fluxos de corte em células adjacentes de modo que
• Substituindo estes valores na equação 1.38 tem-se
, ou
IIIIIIIIIIII qqqqqq ;;
IIIIIIIIIIIIIIII qCqCqq ,,
IIIIII qqq
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte • Da mesma forma, correções simultâneas q”I e q”III são
aplicadas às aproximações de qI e qIII que por sua vez afetam
qII.
• Assim, quando os fluxos de corte de correção se tornarem
desprezáveis, tem-se:
IIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIII
qqCqq
qqCqqCqq
qqCqq
,
,,
,
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte Exemplo 1.11: Determinar a distribuição do fluxo de corte na
secção simétrica de três células da figura 1.27 quando sujeita a
uma carga de corte de 100kN aplicada no centro de corte e
assim obter a distância do centro de corte à alma da longarina
34. Pode assumir-se que todas as tensões diretas são suportadas
pelos “booms” e as tensões de corte são suportadas pela casca.
O módulo de corte G é constante.
Figura 1.27 Secção de asa com três células
do exemplo 1.11.
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4. Asas 4.7. Método das aproximações
sucessivas - corte Exemplo 1.11 (continuação): Áreas dos “booms”:
B1=B6=2500mm2, B2=B5=3800mm2, B3=B4=3200mm2.
Parede Comprimento
mm
Espessura
mm
Área da célula
mm2
12, 56 1025 1,25 AI = 265000
23, 45 1275 1,65 AII = 580000
34ext 2200 2,25 AIII = 410000
16 330 1,65
25 460 2,65
34int 400 2,65
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4. Asas 4.8. Deflexões
• As deflexões de asas de células múltiplas podem ser
calculadas pelo método da carga unitária, de uma forma
idêntica àquela descrita em Estruturas Aeroespaciais I para
secções abertas e de uma única célula.
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4. Asas 4.8. Deflexões
Exemplo 1.12: Calcular a deflexão na ponta livre da viga com
duas células da figura 1.28 tendo em conta os efeitos da flexão e
do corte. Os “booms” suportam todas as tensões diretas e a
casca, de espessura constante, suporta apenas as tensões de
corte.
E=69000N/mm2, G=25900N/mm2.
Áreas dos “booms”: B1=B3=B4=B6=650mm2, B2=B5=1300mm2.
Figura 1.28 Deflexão de uma
secção de asa de duas células.
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5. Cavernas e Nervuras
• Os aviões são construídos geralmente com revestimentos de
metal que são capazes de resistir cargas de tração e de corte
no seu próprio plano, mas que flambam quando sujeitas a
cargas compressivas relativamente pequenas no seu próprio
plano.
• Os revestimentos são, por isso, reforçados por tensores
longitudinais que resistem às cargas compressivas coplanares
e, ao mesmo tempo, resistem a pequenas cargas distribuídas
normais ao plano do revestimento.
Cavernas/Frames
Bulkhead Longarinas/Longerons
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5. Cavernas e Nervuras
• Assim, as asas podem ser fixas a cavernas da fuselagem nas
mesas das longarinas e as cargas do trem de aterragem são
transmitidas para a asa através das longarinas e pontos de
fixação nas nervuras.
• O comprimento efetivo dos tensores em compressão é
reduzido, no caso das fuselagens, pela presença de armações
transversais (cavernas) ou, no caso das asas, por nervuras.
• Além disto, as cavernas e as nervuras resistem cargas
transversais concentradas e transmitem-nas aos tensores e ao
plano do revestimento.
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• Geralmente as próprias cavernas e as nervuras são fabricadas
com folhas de metal finas e por isso necessitam de membros
de reforço para distribuir as cargas concentradas para as
almas.
• Se a carga for aplicada no plano da alma os membros de
reforço devem estar alinhados com a direção da carga.
108
5. Cavernas e Nervuras
• Alternativamente, caso isto não seja possível, a carga deve
ser aplicada na interseção de dois reforços por forma a que
cada reforço resista à componente da carga na sua direção.
• Os princípios básicos da construção de reforços e almas estão
exemplificados no exemplo seguinte.
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5. Cavernas e Nervuras
Exemplo 1.13: Uma viga encastrada suporta duas cargas
concentradas como mostra a figura. Calcular a distribuição das
cargas nos reforços e a distribuição do fluxo de corte nos painéis
da alma assumindo que estes suportam apenas o corte.
Figura 1.29 Viga suspensa do
exemplo 6.13.
Mesa
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5. Cavernas e Nervuras
• Na análise do exemplo acima assume-se que os painéis da
alma em vigas do tipo representado na figura 1.29 resistem
corte puro ao longo dos seus limites.
• Almas finas podem flambar mediante a ação de tais cargas de
corte criando campos de tensões que, por sua vez, induzem
cargas adicionais nos reforços e nas mesas das vigas.
• O campo de tensões pode ser calculado separadamente e
posteriormente adicionado às tensões determinadas como
descrito acima.
• Até agora tem-se visto combinações de almas e reforços onde
as cargas são aplicadas no plano da alma de forma que os
reforços são suficientes para resistir às componentes de uma
força concentrada.
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5. Cavernas e Nervuras
• As cargas possuem, frequentemente, uma componente não
coplanar o que requer uma estrutura em que duas almas se
encontrem no ponto de aplicação da força com reforços
alinhados com as três direções das componentes da força
(figura 1.30).
• Em alguns casos não é possível fazer com que as almas se
encontrem no ponto de aplicação da força e por isso usa-se
um componente perpendicular à alma.
Figura 1.30 Arranjo estrutural
para uma carga não coplanar.
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5. Cavernas e Nervuras
• Se este componente for pequeno, ele pode resistir à flexão
por meio de um reforço coplanar, caso contrário é necessário
um novo membro que una cavernas ou nervuras adjacentes
como mostra a figura 1.31.
• Em geral não se devem aplicar cargas normais numa alma não
suportada, independentemente da sua magnitude.
Figura 1.31 Suporte de uma força
com uma componente normal à alma.
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5. Cavernas e Nervuras 5.1. Cavernas de fuselagens
• Já se viu que as cavernas das fuselagens transferem cargas
para o revestimento da fuselagem e proporcionam suporte
aos tensores longitudinais.
• As cavernas tomam, geralmente, a forma de anéis abertos
por forma a desimpedir o interior da fuselagem.
• Elas estão ligadas continuamente à casca da fuselagem em
torno do seu perímetro e não são necessariamente circulares
mas a maior parte das vezes são simétricas em relação a um
eixo vertical.
• Uma caverna está em equilíbrio quando sujeita à ação de
qualquer força externa e aos fluxos de corte de reação da
casca da fuselagem.
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5. Cavernas e Nervuras 5.1. Cavernas de fuselagens
• Suponha-se que uma caverna tem um eixo vertical de
simetria e que suporta uma carga externa vertical W como
mostram as figuras 1.32(a) e 1.32(b).
• A secção da fuselagem com revestimento e tensores foi
idealizada de forma a que o revestimento suporte apenas o
corte.
Figura 1.32 Cargas numa
caverna de fuselagem.
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5. Cavernas e Nervuras 5.1. Cavernas de fuselagens
• Suponha-se também que a força de corte na fuselagem
imediatamente à esquerda da caverna é Sy,1 e que a força de
corte imediatamente à direita da caverna é Sy,2.
• Então WSS yy 1,2,
21 qqq f
• Sy,1 e Sy,2 geram distribuições de corte q1 e q2,
respetivamente, na pele da fuselagem, cada uma dada pela
equação 1.17 onde Sx,1=Sx,2=0 e Ixy=0 (Cy é um eixo de
simetria).
• O fluxo de corte qf transmitido para a periferia da caverna é
igual à soma algébrica de q1 e q2, isto é:
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5. Cavernas e Nervuras 5.1. Cavernas de fuselagens
• Assim, substituindo para q1 e q2, obtidos da equação 1.17 e
sabendo que Sy,2=Sy,1-W tem-se
onde qs,0 é calculado com a equação 0.37, a força de corte é W:
0,
1
s
n
r
rr
xx
f qyBI
Wq
n
r
rr
xx
b yBI
Wq
1
0,
12
12 s
n
r
rr
xyyyxx
xyxyyyn
r
rr
xyyyxx
xyyxxx
s qyBIII
ISISxB
III
ISISq
• O método para determinar a distribuição do fluxo de corte
aplicado na periferia duma caverna de fuselagem é idêntico
ao método do exemplo 1.05.
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5. Cavernas e Nervuras 5.1. Cavernas de fuselagens
• Tendo determinado a distribuição do fluxo de corte em torno
da periferia da caverna, a própria caverna pode ser analisada
para os momentos fletores, as forças de corte e as forças
normais.
Cavernas/Frames
Bulkhead Longarinas/Longerons
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• As nervuras de asas desempenham um papel similar àquele
das cavernas de fuselagens.
• Elas mantêm a forma da secção da asa, ajudam na
transmissão de cargas externas para o revestimento da asa e
reduzem o comprimento dos tensores.
118
5. Cavernas e Nervuras 5.2. Nervuras de asas
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5. Cavernas e Nervuras 5.2. Nervuras de asas
• A sua geometria, no entanto, é normalmente diferente pois
são frequentemente de forma assimétrica e possuem almas
que são contínuas exceto quando têm aberturas para redução
de peso e para a passagem dos comandos, cablagem,
combustível, etc.
• As nervuras de asa são sujeitas a sistemas de cargas
semelhantes àqueles aplicados nas cavernas de fuselagens.
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5. Cavernas e Nervuras 5.2. Nervuras de asas
• As cargas externas aplicadas no plano da nervura produzem
uma mudança na força de corte na asa através da nervura;
isto induz fluxos de corte de reação em volta da sua periferia.
• Estes fluxos de corte são calculados usando o método descrito
na secção 3.
• Para ilustrar este método de análise de nervuras vai ver-se
um exemplo com uma secção de asa com três mesas em que,
como se viu na secção 3, a distribuição do fluxo de corte é
estaticamente determinada.
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5. Cavernas e Nervuras 5.2. Nervuras de asas
Exemplo 1.14: Calcular os fluxos de corte nos painéis da alma e
as cargas axiais nas mesas das nervuras da asa mostrada na
figura 1.33. Assumir que a alma da nervura suporta apenas o
corte e que a resistência da asa aos momentos fletores é devida
inteiramente às três mesas 1, 2 e 3.
Figura 1.33 Nervura da asa do exemplo 1.14.
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6. Aberturas
Até agora considerou-se as asas e as fuselagens como sendo vigas
fechadas reforçadas com nervuras ou cavernas transversais e
tensores longitudinais.
Na prática é necessário fazer aberturas nestas cascas reforçadas.
Assim, as asas podem ter aberturas no seu intradorso para
acomodar trens de aterragem retráteis; outras aberturas podem
ser necessárias para tanques de combustível, nacelas de motores
e instalações de armamento.
As estruturas de fuselagens têm aberturas para portas, cockpits,
porões de armas, janelas na cabina de passageiros, etc..
Outras aberturas permitem acesso para inspeção e manutenção.
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6. Aberturas
Estas aberturas produzem descontinuidades na estrutura em
casca que seria de outro modo contínua pelo que as cargas são
redistribuídas na vizinhança da abertura afetando as cargas na
pele, tensores, nervuras e cavernas da asa e fuselagem.
Estas regiões têm, frequentemente, que ser bastante reforçadas
resultando num inevitável aumento de peso.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
Inicialmente ir-se-á considerar o caso de uma asa sujeita a um
mometo torsor puro em que a pele inferior de um dos
compartimentos da asa foi removida.
O método é mais facilmente entendido com um exemplo
numérico.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
Exemplo 1.15: A porção estrutural de uma asa consiste numa
caixa retangular com três compartimentos e está firmemente
fixa à fuselagem do avião em todos os pontos da periferia
interna. A pele do intradorso do compartimento central foi
removida e a asa está sujeita a um momento torsor de 10kNm na
ponta livre. Calcular os fluxos de corte nos painéis da pele e nas
almas das longarinas, as cargas nas mesas e as forças nas
nervuras de cada lado da abertura, assumindo que as mesas das
longarinas suportam todas as cargas diretas e que a pele suporta
apenas o corte.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
Exemplo 1.15 (continuação):
Figura 1.34 Estrutura da asa com três compartimentos e uma abertura do exemplo 1.15.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
No exemplo 1.15 assumiu-se simplesmente que os efeitos locais
da abertura são completamente dissipados dentro do
comprimento dos compartimentos contíguos que tinham o
mesmo comprimento que o compartimento da abertura.
A validade deste argumento baseia-se no princípio de St.
Venant.
De um modo geral pode assumir-se que os efeitos de uma
abertura estão restringidos a uma distância ao longo da
envergadura igual ao comprimento da abertura em ambos os
lados do compartimento da abertura.
Agora pode considerar-se o caso mais complexo de uma asa com
uma abertura que está sujeita a cargas de corte que produzem
flexão e torção. O método é novamente ilustrado com um
exemplo numérico.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
Exemplo 1.16: Uma caixa de torção de uma asa tem uma
abertura no intradorso entre as estações 2000 e 3000 e suporta
forças de sustentação e de arrasto que são constantes entre as
estações 1000 e 4000 como mostra a figura 1.35(a). Determinar
os fluxos de corte nos painéis da pele e nas almas das longarinas
e também as cargas nas nervuras das estações 2000 e 3000.
Assumir que todos os momentos fletores são resistidos pelas
mesas das longarinas e que a pele e as almas das longarinas
suportam apenas o corte.
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6. Aberturas 6.1. Aberturas nas asas
Exemplo 1.16 (continuação):
Figura 1.35 Caixa de torção da asa do exemplo 1.16.
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6. Aberturas 6.2. Aberturas em fuselagens
Aberturas de grandes dimensões nas fuselagens como as
necessárias para cockpits, porões de bombas e portas são
analisadas da mesma forma que as aberturas em estruturas de
asas.
Em algumas situações (aberturas para portas em aviões de
passageiros por exemplo) não é possível ter membros rígidos em
ambos os lados da abertura porque o espaço da cabina não pode
ser obstruído.
Nestes casos uma caverna rígida é inserida para resistir às cargas
de corte e transmitir as cargas em volta da abertura.
Os efeitos de aberturas mais pequenas, como aquelas
necessárias para filas de janelas em aviões de passageiros,
podem ser determinados aproximadamente como descrito em
seguida.
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6. Aberturas 6.2. Aberturas em fuselagens
A figura 1.35 mostra um
painel de fuselagem com
aberturas para janelas que
estão espaçadas uma
distância l.
O painel está sujeito a um
fluxo de corte médio qav
que seria o valor do fluxo
de corte no painel sem as
aberturas.
Figura 1.36 Painel de fuselagem com janelas.
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6. Aberturas 6.2. Aberturas em fuselagens
Considerando o comprimento horizontal do painel através das
aberturas pode ver-se que
ou
Agora, considerando a distância vertical do painel através das
aberturas
ou
lqlq av11
avql
lq
1
1
dqdq av12
avqd
dq
1
2 (1.40)
(1.39)
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6. Aberturas 6.2. Aberturas em fuselagens
O fluxo de corte q3 pode ser obtido considerando tanto as
secções vertical ou horizontal que não contenham a abertura.
Assim
Substituindo para q2 da equação 1.40 e sabendo que l=l1+lw e
d=d1+dw obtém-se
lqlqlq avw 213
avww ql
l
d
dq
11
3 1 (1.41)