Post on 22-Oct-2014
ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ – ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι
ΤΕΥΧΟΣ A
Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ
ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος
Θεσσαλονίκη 2011
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδα ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Υπολογισμός μιας συνεχούς δοκού 1 2. Υπολογισμός ενός δικτυώματος 16 3. Υπολογισμός ενός πλαισίου 27 4. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλαισίου 39 5. Μητρώα μετασχηματισμού 57 6. Μητρώα δυσκαμψίας 63
ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 67 ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
1. Δοκοί με αρθρώσεις 76 2. Αντικατάσταση υποσυστημάτων με
γενικευμένα ελατήρια /φορτία 81 3. Άκαμπτοι σύνδεσμοι 85 4. Αριθμητικά αποτελέσματα 89 5. Συνθήκες που διέπουν τη
στατική συμπεριφορά της δοκού 91 6. Αρχή των δυνατών έργων: Μητρώα
δυσκαμψίας/ Εργικά ισοδύναμα φορτία 95 7. Δεσμεύσεις 100
ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
―Στατικό μοντέλο φέροντος οργανισμού 108 ―Έδαφος - Θεμελιώσεις 112 ―Διαφραγματική λειτουργία πλάκας ορόφου 114 ―Ροπές αδρανείας δοκών/ πλακοδοκών 116 ―Ισοδύναμα πλαίσια 117 ―Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 118 ―Παρατηρήσεις/Σχόλια 124
ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 125
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης
Θεσσαλονίκη 2008
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
σελίδα 1. Υπολογισμός μιας συνεχούς δοκού 1
2. Υπολογισμός ενός δικτυώματος 16
3. Υπολογισμός ενός πλαισίου 27
4. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλαισίου 39
5. Μητρώα μετασχηματισμού 57
6. Μητρώα δυσκαμψίας 63
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος
Θεσσαλονίκη 2011
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ
ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ
1) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
Δεδομένα: Γραμμικός φορέας
P
1M2M
TT
11, EJL 22, EJL
Σχ. 1.1
Φορτίσεις: ,P ,1M ,2M ,T∆ q
ΒΗΜΑ 1:
α) Διερεύνηση για ύπαρξη συμμετρίας ή αντισυμμετρίας
εάν ΝΑΙ ------------------- επιλογή ΝΕΟΥ συστήματος για μείωση υπολογιστικού όγκου (πάντοτε; Πότε είναι ασύμφορη η θεώρηση αυτή;)
π.χ.
aa
bb
ΑΝΤΙΣΥΜMΕΤΡΙΑ
Σχ. 1.2
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
2
a a
b b
0Q
0Q
0M
0
2F
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Σχ. 1.3
Γενικά:
ΕπίπεδοΣυμμετρίας
ΕπίπεδοΑντισυμμετρίας
όπου: :πιθανές μετατοπίσεις :πιθανές στροφές Τί παρατηρείτε;
Σχ. 1.4
β) Αρίθμηση κόμβων/Αρίθμηση γραμμικών στοιχείων
1 32
1 2
Σχ. 1.5
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
3
ΒΗΜΑ 2:
α) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος κ.λ.π.)
β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ/ΔΥΣΤΕΝΕΙΑΣ/
ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ iLk για το i -οστό στοιχείο, αναφερόμενο στο τοπικό
σύστημα συντεταγμένων ( )L .
Σημείωση: Η προσήμανση των δυνάμεων/ροπών στην κλασσική στατική θεωρεί θετικές τις φορές όπως απεικονίζονται στο Σχ. 1.6
a bi
Σχ. 1.6
Στην παρούσα ανάπτυξη θα θεωρηθεί η ακόλουθη προσήμανση
ως θετική (Σχ. 1.7)
a b
i
Γιατί;
Σχ. 1.7
Δηλαδή, θετική ροπή είναι η αριστερόστροφη και θετικές
τέμνουσες αυτές που ακολουθούν τη θετική φορά των
αντιστοίχων τοπικών αξόνων.
Τα φορτία διατομής στους κόμβους προκύπτουν από την
παρακάτω σχέση:
0iL
iL
iL
iL pvkp +⋅= (1.1)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
4
όπου: i
Lk μητρώο δυσκαμψίας του i -οστού στοιχείου στο τοπικό του σύστημα )(L .
iLv διάνυσμα Β.Ε. του i -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημα) (Β.Ε.:
Βαθμοί Ελευθερίας). 0iLp διάνυσμα φορτίων διατομής στους κόμβους εξαιτίας εξωτερικών
φορτίσεων στο εσωτερικό του i -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημα)
iLp διάνυσμα φορτίων διατομής του i -οστού στοιχείου (τοπικό
σύστημα) Το μητρώο δυσκαμψίας για την δοκό (αμφίπακτη, μόνο κάμψη) στο
επίπεδο είναι της εξής μορφής:
−−−
−−−
=
22
22
3
46266126122646612612
iiii
ii
iiii
ii
i
iiL L
EJ
k (1.2)
2,1=i (Πλήθος στοιχείων)
Η φυσική ερμηνεία του μητρώου δυσκαμψίας δίνεται ακολούθως:
“Κάθε στήλη του μητρώου iLk περιέχει τα φορτία διατομής που αναπτύσσονται
στους κόμβους του στοιχείου, αν θεωρήσουμε την αντίστοιχη επικόμβια στροφή
ή μετακίνηση του στοιχείου ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες μηδενικές.“
π.χ. τα στοιχεία της στήλης 4 εκφράζουν αντίστοιχα την τέμνουσα και ροπή που
αναπτύσσονται σε κάθε κόμβο του στοιχείου για μοναδιαία στροφή του κόμβου
2 του στοιχείου (όλες οι υπόλοιπες στροφές/μετακινήσεις=0):
Σχ. 1.8
1 2
)1(2224 == y
iLEJk ϕ 442 )1(4 k
LEJ
yi
==ϕ
iL
12=yϕ
3422 )1(6 kLEJ
yi
==ϕ14226 kLEJ
yi
=ϕ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
5
[ ]2211
1yzyzL MQMQT =p (1.3)
[ ]3322
2yzyzL MQMQT =p (1.4)
[ ]2211
1yzyzL uuT ϕϕ=v (1.5)
[ ]3322
2yzyzL uuT ϕϕ=v (1.6)
Σχ. 1.9
ΒΗΜΑ 3:
Φόρτιση (εκτός από μοναχικά φορτία/ροπές στους κόμβους)
Διάνυσμα φόρτισης στοιχείου 0iLp
0iL
iL
iL
iL pvkp +⋅= (1.7)
Οι εξωτερικές φορτίσεις είναι:
α) Μεμονωμένα φορτία στους κόμβους: ,P ,1M 2M (λαμβάνονται υπόψη στο ΒΗΜΑ 7)
1 2 2 3
11, yyM ϕ 22, yyM ϕ 22, yyM ϕ 33, yyM ϕ
11, zz UQ 22, zz UQ 22, zz UQ 33, zz UQ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
6
β) Θερμοκρασία: T∆
∆⋅−
∆⋅=
iTi
iTiL
dTEJ
dTEJ
α
α0
0
0ip (1.8)
γ) Ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτιση: q
−−
−
=
122
122
2
2i0
i
i
i
i
L
qLqL
qLqL
p (1.9)
Σημείωση: Η διαδικασία υπολογισμού των διανυσμάτων 0iLp είναι η ακόλουθη:
α): Θεωρούμε τις εξωτερικές φορτίσεις να δρούν σε αμφίπακτη δοκό:
Σχ. 1.10
Από το Beton Kalender (π.χ) ορίζουμε τις τιμές των φορτίων
διατομής που εμφανίζονται στα δύο άκρα.
β): Επειδή η προσήμανση των θετικών φορών του Beton Kalender
ακολουθεί το Σχ. 1.6, πολλαπλασιάζουμε τις τιμές της αριστερής
πλευράς ( a ) με (-1.0), ώστε να δίνονται τα δεδομένα σύμφωνα με
την προσήμανση του Σχ. 1.7.
a ab b
T
i i
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
7
ΒΗΜΑ 4:
Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήματος συντεταγμένων: ( ,X ,Y Ζ)
(Είναι απαραίτητο; Μόνο ένα; Μπορούμε να έχουμε περισσότερα του
ενός συστήματα αναφοράς; Βλέπε Κεφ. Μητρώα Μετασχηματισμού)
Σχ. 1.11
Όπου: ( ,X ,Y Ζ) καθολικό σύστημα συντεταγμένων
Τοπικό σύστημα τα χαρακτηριστικά/ιδιότητες του κάθε στοιχείου
περιγράφονται ανεξάρτητα από τα άλλα στοιχεία.
Μόνο ενα καθολικό σύστημα
τα χαρακτηριστικά/ιδιότητες όλων των στοιχείων
έχουν κοινό σημείο αναφοράς το σύστημα αυτό.
Διάφορα συστήματα αναφοράς
Οι βαθμοί ελευθερίας στους κόμβους αναφέρονται
σε διαφορετικά συστήματα
1 2 2 3
Y
X
Z
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
8
ΒΗΜΑ 5:
α) Μητρώα μετασχηματισμού ( )T
Σχ. 1.12
Για το στοιχείο i :
,iGL
iiL vTv = ,
= i
ii
τ00τT 2,1=i
Γενική περίπτωση: βλέπε Κεφ. 5 (σελ. )
Εδώ: 0==== zxyx uu ϕϕ
zU yΦ
άρα
−
−=
1001
y
zi uϕτ (1.11)
Το μητρώο όλου του στοιχείου i είναι της μορφής:
ΚΟΜΒΟΣ a
IT −=
−−
−−
=
1000010000100001
b
b
y
z
y
z
i
u
u
ϕ
ϕα
α
(1.12)
ΚΟΜΒΟΣ b
YZ
1 1 22 3
zΦ
yΦ
xΦ
zUyU
xUX
yϕ
zϕ
xϕyu
zu
xu
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
9
=
b
b
y
z
y
z
iL u
u
ϕ
ϕα
α
v ( ) [ ]bb yzyz
TiGL UU ΦΦ=
ααv
β) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας
Γενικά: ( ) iiL
TiiGL TKTK ∗∗= (1.14)
Εδώ : ( ) ( ) iL
iL
TiGL KIKIK =−∗∗−= (1.15)
όπου : IT −=i
γ) Μετασχηματισμός των διανυσμάτων φόρτισης στοιχείων 0iLp
( ) 00 iiL
TiGL pTp ∗= (1.16)
Θερμοκρασία:
∆⋅
∆⋅−=
iTi
iTiGL
dTEJ
dTEJ
α
α0
0
0ip (1.17)
Ομοιόμ. κατανεμ. φόρτιση:
−
=
122122
2
2i0
i
i
i
i
GL
qLqLqLqL
p (1.18)
ΒΗΜΑ 6: Συνολικός φορέας
Μέχρι τώρα: υπολογισμός μεμονομένων μητρώων στοιχείων.
+∗=
+∗=
+∗=
iGL
iGL
iGL
GLGLGL
GLGLGLGL
vKp
vKp
pvKp
.....................
222
1111 0
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
10
Τώρα: Σύνθεση Ιδιότητες όλου του συστήματος / φορέα
ΣΣΣΣ +∗=0PVKP (1.19)
=Σ 332211 YZYZYZ
T ΦUΦUΦUV
Σχ. 1.13
ΣK = Μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος (Σ: Σύστημα)
ΣP = Διάνυσμα φόρτισης (εξωτερικά φορτία) του συστήματος
α) Σύνθεση του ΣK από τα μητρώα δυσκαμψίας iGLK
Ποιά διαδικασία ακολουθείται σε ένα πρόγραμμα Πεπερασμένων Στοιχείων;
Διαδικασία (εδώ) :
1) Σχεδιάζεται ένα μητρώο NN ×
=N Πλήθος των Β.Ε.*) του συστήματος ΣV
2) Σημειώνονται οι Β.Ε. του συστήματος αριστερά και πάνω από το μητρώο.
3) Τα στοιχεία του 1GLK εισάγονται στο ΣK στις αντίστοιχες
θέσεις (σημειώνεται με διπλή γραμμή)
4) Τα στοιχεία 2GLK εισάγονται στο ΣK στις θέσεις που
αντιστοιχούν (σημειώνεται με διακεκομένη γραμμή) 5) Η περιοχή τομής των δύο μητρώων σημειώνεται με
τονισμένη γραμμή. (Τα αντίστοιχα στοιχεία προστίθενται!)
1yΦ 2yΦ 3yΦYZ
X 1zU 2zU 3zU
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
11
:ΣK
1ZU 1YΦ 2ZU 2YΦ 3ZU 3YΦ
(1.21)
1ZU 112α 116 Lα− 112α− 116 Lα− 0 0
1YΦ 116 Lα− 2114 Lα 116 Lα 2
112 Lα 0 0
2ZU 112α− 116 Lα
2
1
1212
αα
+
22
11
66
LL
αα
− 212α− 226 Lα−
2YΦ 116 Lα− 2112 Lα
22
11
66
LL
αα
−
222
211
4
4
L
L
αα
+ 226 Lα 2
222 Lα
3ZU 0 0 212α− 226 Lα 212α 226 Lα
3YΦ 0 0 226 Lα− 2222 Lα 226 Lα 2
224 Lα
όπου: 3
iii LEJ=α β) Σύνθεση των διανυσμάτων φόρτισης
Σ0P Από μία ανάλογη διαδικασία προς το α) προκύπτει:
−+
−
+
∆
∆−∆+
∆−
=Σ
122
121222
122
0
00
0
22
2
22
21
21
21
1
22
2211
11
0
qLqL
qLqLqLqL
qLqL
dTEJ
dTEJdTEJ
dTEJ
P
T
TT
T
α
αα
α
(1.22)
Λόγω T∆ Λόγω q *) Β.Ε.: Βαθμοί Ελευθερίας
γ) Μεμονωμένα φορτία
Θεωρούνται θετικά όταν δρούν κατά τη φορά των μετακινήσεων ή στροφών του καθολικού συστήματος ή του συστήματος αναφοράς.
−
−−
Φ
Φ
Φ
=Σ
2
1
3
3
2
2
1
1
0
00
M
MP
U
U
U
y
z
y
z
y
z
P (1.23)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
12
δ) Χαρακτηριστικές ιδιότητες του μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος ΣK
α) Θετικά διαγώνια στοιχεία, συμμετρικά.
β) Δομή ταινίας (πλάτος ταινίας).
γ) ,0det =totK λόγω ύπαρξης κινήσεων στερεού σώματος.
Μόνο ύστερα από απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος –με
συνυπολογισμό των συνοριακών συνθηκών- ορίζεται θετικά:
0>xKx totT , x : τυχαίο, 0x ≠ , 0det ≠totK
4) Φυσική σημασία των σειρών;
ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνοριακών συνθηκών (απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος)
Πώς λαμβάνει υπόψη ένα πρόγραμμα
Πεπερασμένων Στοιχείων τις συνοριακές συνθήκες;
Σχ. 1.14
YZ
X
1 2 3
03 =zU011 =Φ= yzU
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
13
Τρόποι αντιμετώπισης
Τρόπος 1:
654321
=Σ
xxx
xxxxxx
000010000
000000
000010000001
654321
K
=Σ
x
xx
0
00
P
=Σ
x
xx
0
00
0P
Διαδικασία: Έστω 1xU αντιστοιχεί στο Β.Ε. αρ.1: θέτουμε στην 1η στήλη και στη 1η σειρά μηδενικά εκτός από τη θέση (1,1) όπου τίθεται μονάδα.
Μειονεκτήματα:1) Πολύ χρονοβόρα η εκ των υστέρων προσθήκη των
0 και 1. 2) Το μέγεθος του συστήματος εξισώσεων μένει
αμετάβλητο, παρ’όλο που πολλοί άγωστοι είναι μηδενικοί.
Τρόπος 2:
Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με απομάκρυνση των αντίστοιχων
σειρών και στηλών.
Εστω ότι απομακρύνουμε την 1η, 2η και 5η σειρά και στήλη. Απομένει το
μητρώο rΣK :
( )( )
+
−−+=Σ
222
2222
221
21
22221121
4Συμμετρ.24661212
ααααααααα
LLLLLLL
rK (1.24)
Περίπτωση ,(P ,M )T∆
( )
∆−∆=
Σ
22
22110
0
dJTEdJdJTE
T
T
ααP
−−−
=Σ
2
1
MMP
P (1.25)
Λόγω T∆ Λόγω μεμονομένων φορτίων
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
14
ΒΗΜΑ 8: Καθορισμός των μετακινήσεων του συστήματος ( ) ( )
ΣΣΣΣ−=→+∗= Σ
−ΣΣΣ 0
10 PPKVPVKP rr (1.26)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
6121
04521
2211
21
1001.02051010/101.21
−
−
=====∆====∗===
TMmddTNPmJJ
NmMmNEmLL
α
( ) 6351121 101.2110101.2 ∗=∗∗== −αα
Για τα δεδομένα αυτά, τα rΣ
K , Σ0P , ΣP δίνουν
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−∗∗∗
=Σ
62
6262
66
101.214Συμμετρ.101.212101.2124101.2160101.2212
rK
∗∗∗∗=
−−Σ
1.0/201010101,200
65110P (λόγω T∆ )
−
−=Σ
1005
P
( )384101.2
1
1924848486012
481228
6
1
∗∗∗
−−−
−=
−ΣrK
Περίπτωση φόρτισης ( )MPP + :
( ) 6110
67859.2669643.0768849.0
1005
−−ΣΣ ∗
−
−=
−
−= rKV
Περίπτωση φόρτισης ( )TP ∆0 :
( ) 6110
1002525
42000
−−ΣΣ ∗
−
−=
−= rKV
Περίπτωση φόρτισης 0PP + :
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
15
( ) 6110
67857.102669643.25768849.25
4201005
−−ΣΣ ∗
−
−=
−−
−= rKV
[ ]322 yyzT U ΦΦ=Σ
V
Σχ. 1.15
Έλεγχος: Beton Kalender
(a) mEJ
PLw 63
2 101736112.07687 −∗==
(b); ( ) mEJ
MLw 6322
2 10595238.04
−∗=−= ξξ
(c ): md
TLw T 62
2 10254
−∗=∆
=α
Πώς λαμβάνουν υπόψη τα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων τα
παρακάτω:
α) Συνοριακές συνθήκες (γεωμετρικές);
β) Συνοριακές συνθήκες (στατικές);
Πώς γίνεται η επίλυση του συστήματος εξισώσεων;
1 2
2yΦ
3yΦ
(a)
(b)
(c)T
M
P
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
16
2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ
ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ
Δεδομένα: Δικτύωμα
Σχ.2.1
Φόρτιση: P
ΒΗΜΑ 1:
α) Διερεύνηση για ύπαρξη συμμετρίας ή αντισυμμετρίας
εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήματος για επίτευξη μείωσης υπολογισμών
(Βλέπε αντίστοιχο βήμα του 1ου παραδείγματος)
β) Αρίθμηση των κόμβων / Αρίθμηση γραμμικών στοιχείων
*) είναι απαραίτητο;
Σχ. 2.2
Προσοχή: Η αρίθμηση πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να διατηρείται το πλάτος της
ταινίας όσο το δυνατόν μικρότερο (είναι απαραίτητο;), επειδή το
11, FL
33, FL22, FL
045
P
1
2
3
32
1
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
17
πλάτος της ταινίας επηρεάζει το χρόνο που απαιτείται για την επίλυση
του συστήματος εξισώσεων.
Τα παρακάτω δύο παραδείγματα έχουν διαφορετική δομή ταινίας.
Π.χ.
Μεγάλο πλάτος ταινίας Μικρότερο πλάτος ταινίας Ασαφής δομή ταινίας (α) (β) (γ)
ΒΗΜΑ 2:
― Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήματος συντεταγμένων: ( ,X ,Y Ζ) ― ( x ) τοπικός άξονας Συντεταγμένες κόμβων:
Σχ. 2.4
Σημείωση: Η φορά του τοπικού άξονα x καθορίζει την αρίθμηση των κόμβων ενός στοιχείου b→α
1 : 31 → 1=α , 3=b
2 : 21 →
3 : 32 → 2=α , 3=b
1 7
10 11 12 13 14
Y Z
X
a a
a
b
b
b
32
1
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
18
ΒΗΜΑ 3:
α) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος, σχάρα κ.λ.π.)
β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ iLk για το i -οστό στοιχείο,
αναφερόμενο στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων ( )L .
i0L
iL
iL
iL pvkp +⋅= (2.1)
1 11 1
i iL
i
EAL
− = − k (2.2)
όπου: 3,2,1=i (πλήθος στοιχείων) [ ]31
1xx
TL NN=p (2.3)
Εδώ )12(i0 ×= 0p
L [ ]21
2xx
TL NN=p (2.4)
[ ]323
xxT
L NN=p (2.5)
[ ]311
xxT
L uu=v (2.6)
[ ]212
xxT
L uu=v (2.7)
[ ]323
xxT
L uu=v (2.8)
Σχ. 2.5
1
2
3
1
1
x
x
uN
1
1
x
x
uN
2
2
x
x
uN
2
2
x
x
uN
3
3
x
x
uN
3
3
x
x
uN
1a
1a
2a
3b
3b
2b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
19
ΒΗΜΑ 4:
Φόρτιση : Διάνυσμα φόρτισης στοιχείου
LiL
iL
iL
i0pvkp +⋅= (2.9)
Εδώ )12(i0 ×= 0p
L (μόνο μοναχικά φορτία, βλ. Βήμα 6)
ΒΗΜΑ 5:
α) Μητρώα μετασχηματισμού ( )T
Σχ. 2.6
Για το στοιχείο i :
,iGL
iiL vTv = 3,2,1=i
π.χ.: ( ) [ ]323v xxT
L uu= ( ) [ ]33223v ZXZXT
GL UUUU=
X Z X Z
=
010000011
xx
T (2.10)
↓ ↓ ΚΟΜΒΟΣ a ΚΟΜΒΟΣ b
−
−=
100000102T (2.11)
21
110000113
=T (2.12)
3
3
3
22
2
11
1 Y Z
X
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
20
β) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας
Γενικά: iL
iiGL
TTKTK ∗∗= (2.14)
1
11
0000010100000101
LEA
GL
−
−
=K (2.15)
2
22
1010000010100000
LEA
GL
−
−=K (2.16)
3
33
21111111111111111
LEA
GL
−−−−
−−−−
=K (2.17)
Σημείωση: Έχει αναφερθεί ότι τα διαγώνια στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας πρέπει να τηρούν τη σχέση 0>ijd . Στην περίπτωση της ράβδου, επειδή η ράβδος αναπτύσσει εσωτερικές δυνάμεις μόνο κατά τον άξονά της, εμφανίζονται κατά το μετασχηματισμό μηδενικά στη διαγώνιο (η δεδομένη διεύθυνση δεν παρουσιάζει αντίσταση!). Αυτό γίνεται στην περίπτωση που ο άξονας της ράβδου είναι κάθετος προς έναν καθολικό άξονα. Αν η ράβδος σχηματίζει κάποια γωνία o0≠ με τους καθολικούς άξονες, τότε όλα τα διαγώνια στοιχεία του μητρώου είναι 0> .
γ) Μετασχηματισμός των διανυσμάτων φόρτισης στοιχείων i0Lp
i0
i0 L
iTGL pTp ∗= (2.18)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
21
ΒΗΜΑ 6: Συνολικός φορέας
ΣΣΣΣ +∗= 0PVKP (2.19)
Σχ. 2.7
=Σ 332211 ZXZXZX
T UUUUUUV :Μετακινήσεις του συστήματος
:ΣK
1XU 1ZU 2XU 2ZU 3XU 3ZU
(2.20)
1XU 1
2
*10
bb +∗
1
2
*00
bb +∗
20 b∗ 20 b∗ 11 b∗− 10 b∗
1ZU 1
2
*00
bb +∗
1
2
*01
bb +∗
20 b∗ 21 b∗− 10 b∗ 10 b∗
2XU 20 b∗ 20 b∗ 3
2
*10
bb +∗
3
2
*10
bb +∗
3*1 b− 3*1 b−
2ZU 20 b∗ 21 b∗− 3
2
*10
bb +∗
3
2
*11
bb +∗
3*1 b− 3*1 b−
3XU 11 b∗− 10 b∗ 3*1 b− 3*1 b− 1
3
*11
bb +∗
1
3
*01
bb +∗
3ZU 10 b∗ 10 b∗ 3*1 b− 3*1 b− 1
3
*01
bb +∗
1
3
*01
bb +∗
όπου: i
ii L
EAb = , 2,1=i
3
33 2L
EAb =
3
2
1
1zU
2zU
3zU
1xU
2xU
3xU
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
22
γ) Μεμονωμένα φορτία
(θετικά όταν έχουν τη φορά των θετικών μετακινήσεων του συστήματος)
+
=Σ
P00000
P (2.21)
δ) Ιδιότητες ΣK
α) Θετικά διαγώνια στοιχεία
β) Δομή ταινίας (το πλάτος της ταινίας εξαρτάται από το πλήθος των
αγνώστων ανά κόμβο και την αρίθμηση).
γ) ,0det =totK λόγω κίνησης στερεού σώματος (γραμμική εξάρτηση)
Μετά την απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος
(λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές) → θετικά ορισμένο:
=totK b : μισό πλάτος ταινίας
0>xKx totT , x : τυχαίο, 0x ≠
b
b
0
0
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
23
ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνοριακών συνθηκών (απαλοιφή της κίνησης στερεού σώματος)
Σχ. 2.8
Τρόποι αντιμετώπισης
Τρόπος 1:
654321
=Σ
xxxxxxxxx
000000000
000100000010000001
654321
K
=Σ
xxx000
P
Διαδικασία: Έστω 1XU αντιστοιχεί στο 1: θέτουμε στην 1η στήλη και στη 1η σειρά μηδενικά εκτός από τη θέση (1,1) όπου τίθεται μονάδα.
Μειονεκτήματα: 1) Πολύ χρονοβόρα η εκ των υστέρων προσθήκη των
0 και 1. 2) Το μέγεθος του συστήματος εξισώσεων μένει
αμετάβλητο, παρ’όλο που πολλοί άγνωστοι είναι μηδενικοί.
Τρόπος 2:
Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με απομάκρυνση των αντίστοιχων σειρών και στηλών.
Εστω ότι απομακρύνουμε την 1η, 2η και 3η σειρά και στήλη. Απομένει το μητρώο r
ΣK :
YZ
X
0211 === xzx UUU
2
1 3
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
24
2ZU 3XU 3ZU
−+−
−−+=Σ
333
3313
3332
bbbbbbbbbbb
rK ,
+=Σ
P00
P (2.22), (2.23)
ΒΗΜΑ 8: Καθορισμός των μετακινήσεων του συστήματος
( ) ( )ΣΣΣΣ
−=→+∗= Σ−
ΣΣΣ 01
0 PPKVPVKP rr (2.24)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
NP
mNEmAmLmAAmLL
100
/101.2202.02
01.01
211
233
22121
=
∗=∗==
====
( )( ) ( ) 911
3
91121
101.222202.0101.2
101.2101.0101.2
∗=∗∗∗=
∗=∗∗==
b
bb
Με αντικατάσταση στις (2.22), (2.23) προκύπτει
9101.2111-121112
∗∗
−
−−=r
ΣK
=Σ
10000
P
Με αντιστροφή
( ) 9
1
101.21
311110101
∗∗
−−=
−ΣrK
Περίπτωση φόρτισης P :
( ) 9
1
101.21
300100100
10000
∗∗
−=
=
−ΣΣrKV
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
25
[ ]332 ZXZr UUU=ΣV
2
31
Σχ. 2.9
ΒΗΜΑ 9: Υπολογισμός κομβικών δυνάμεων του στοιχείου i
iiiiGLGLGLGL 0pvKp +∗= (2.25)
↓ γνωστό από ΒΗΜΑ 8
)(
01000
100
30010000
0000010100000101
3
3
1
1
1 N
NNNN
z
x
z
x
GL
−=
−
−
−
=
=p
)(
10001000
100000
1010000010100000
2
2
1
1
2 N
NNNN
z
x
z
x
GL
−
=
−
−=
=p
)(
100100100100
3001001000
1111111111111111
3
3
2
2
3 N
NNNN
z
x
z
x
GL
−−
=
−
−−−−
−−−−
=
=p
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
26
Σχ.2.10
Δύναμη ράβδου: NS 1001 = → θλίψη NS 1002 = → θλίψη
NS 21003 = → εφελκυσμός
‘Ελεγχος:
010022:0ΣFZ
022S:0ΣFX
3
31
=−=
=−=
S
S
Αξονικές Δυνάμεις (τοπικό σύστημα):
,ig
iiL vTv = L
iiL
iL
iL 0pvKp +=
100
100
100
100100
100100
100
1S
2S
3S
N100
3
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
27
3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ
Σχ. 3.1
Δεδομένα: 74
4321
101.21075.1
∗=∗====
EAEJEJEJEJ
14.14L20L14.14L10L10001000100045
4321
21o
========= qMMPα
Δοκοί 1,2,3: θεωρείται αμελητέα η επίδραση των αξονικών παραμορφώσεων
Περιπτώσεις φόρτισης:
1) q 2) ,P ,1M 2M 3) Στροφή πάκτωσης o10=ϕ
ΒΗΜΑ 1:
α) Συμμετρία; → όχι → διατηρείται αρχικό σύστημα
β) Αρίθμηση κόμβων, αρίθμηση στοιχείων, τοπολογία
Σχ. 3.2
2
1
3
4
1
2
34
P 1M2M
1L2L
3L
4L1EJ
2EJ
3EJ
EA4
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
28
ΒΗΜΑ 2:
Τοπικά συστήματα, καθολικό σύστημα συντεταγμένων:
Σχ. 3.3
ΒΗΜΑ 3:
Μητρώα δυσκαμψίας, τοπικά συστήματα.
α) Στοιχεία δοκών: ( .3,2,1=i )
−−
−−−−
=
22
22
31
46266126122646612612
iiii
ii
iiii
ii
i
iiL
LLLLLLLLLLLL
LEJ
k (3.1)
0iL
iL
iL
iL pvkp +⋅= (3.2)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]44334433
33223322
22112211
33
22
11
yzyzLyzyzL
yzyzLyzyzL
yzyzLyzyzL
uuMQMQ
uuMQMQ
uuMQMQ
TT
TT
TT
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
==
==
==
vp
vp
vp
1a
2b
x
x
x
x
z
z
z
y
2a
3b
2a
1 3
2
4
4b4b
3a
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
29
Σχ. 3.4
β) Στοιχείο ράβδου: 4
−
−=
1111
4
44
LEA
Lk (3.3)
[ ]44
2 xxL NNT =p (3.4)
[ ]424
xxL uuT =v (3.5)
Σχ. 3.5
ΒΗΜΑ 4:
α) Μεμονωμένα φορτία: λαμβάνονται υπόψη μετά τη σύνθεση του Σk
β) Στροφή πάκτωσης : λαμβάνονται υπόψη μετά τη σύνθεση του Σk
γ) Ομοιόμορφη κατανεμημένη φόρτιση : Beton Kalender
22, zz uQ
22, zz uQ11
, zz uQ
33, zz uQ
44, zz uQ
22, yyM ϕ
22, yyM ϕ
11, yyM ϕ
33 , yyM ϕ
33, yyM ϕ
44, yyM ϕ
1 2 333, zz uQ
22, xx uN
44, xx uN
4
4
2
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
30
−−−=
122122
211
211
0qLqLqLqLpT
L : προσήμανση 1
−−−=
122122
211
211
0qLqLqLqLpT
L : προσήμανση 2
ΒΗΜΑ 5:
Μητρώα μετασχηματισμού ( )T
GLL vTv ∗= (3.6)
XU ZU YΦ
=
100000001000000100000001
y
zuϕ1T (3.7)
=
100000
02
12
1000000100
00002
12
1
2T (3.8)
−
−
=
100000001000000100000001
3T (3.9)
=
21
2100
002
12
14T (3.10)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
31
Σημείωση: Ο γενικός υπολογισμός του μητρώου μετασχηματισμού γίνεται ώς
εξής (βλέπε Κεφάλαιο: Μητρώα Μετασχηματισμού)
X Y Z
=
τ00τ
Ti όπου cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )
x x X x Y x Zy y X y Y y Zz z X z Y z Z
τ =
(3.11)
Σχ. 3.6
Αν το στοιχείο είναι ράβδος, τότε απαλοίφονται όλοι οι όροι των ),cos( ji με
zyi ,= (τοπικά) (βλέπε 4T παραδείγματος)
5α) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας
iiL
TiGL
iTKTK ∗∗=
−
−−
−−−
=
211
211
11
211
211
11
31
11
406206000000
60126012206406
00000060126012
LLLL
LLLLLL
LL
LEJ
GLK (3.12)
X
XZ
Z
YY
211
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
32
−−−−−−
−−−−−−−−−−
=
2222
2222
22
22
2222
2222
22
22
32
22
42323223232366236623662366
22323423232366236623662366
LLLLLLLLLL
LLLLLLLLLL
LEJ
GLK (3.13)
−
−−−−
−
=
23
233
33
23
23
33
33
33
3
33
40620600000060126012
206406000000
60126012
LLLL
LLLLLL
LL
LEJ
GLK (3.14)
−−−−
−−−−
=
1111111111111111
2 4
44
LEJ
GLK (3.15)
Σημείωση: Ο όρος 21 στο 4GLK προκύπτει από τα συνημίτονα κατεύθυνσης
μεταξύ των τοπικών αξόνων της ράβδου και των καθολικών
21)45cos( o =→ . Κατά τον υπολογισμό του 4GLK χρησιμοποιείται
δύο φορές το μητρώο μετασχηματισμού 4T , το οποίο έχει ως ένα
παράγοντα τον όρο 21
21
21
21 =→
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
33
5β) Μητρώο μετασχηματισμού του διανύσματος φόρτισης
i0
i0 L
iTGL pTp ∗= (3.16)
( ) [ ]12021202 21
211
i0 1
qLqLqLqLT
GL −−−=p (3.17)
Σχ. 3.7
Μετατοπίσεις/στροφές κόμβων (Καθολικό Σύστημα)
2xu
3xu
2yϕ
2zu
3zu22
3
2xu
2xu
3xu2yϕ 3yϕ
2zu
2zu 3zu
2
2
4
411yϕ 1xu
1zu
4xu
4xu
4zu
4zu
1
4
3
3
4yϕ
3φ y
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
34
=ΣK
Όπου
311 LEJ=α
322 LEJ=α
333 LEJ=α
44 2LEA=α
1XU 1ZU 1YΦ 2XU 2ZU 2YΦ 3XU 3ZU 3YΦ 4XU 4ZU 4YΦ
112α 0 11
6 αL− 112α− 0 11
6 αL−
0 0 0 0 0 0 116 αL− 0
121
4 αL 116 αL 0
121
2 αL
112α− 0 11
6 αL
4
2
1
612
ααα
++
4
260
αα ++
22
11
23
6
α
α
L
L
− 26α− 26α− 22 23 αL− 4α− 4α−
0 0 0
4
260
αα ++
4
260
αα ++
22 23
0
αL− 26α− 26α− 22 23 αL− 4α− 4α−
116 αL− 0 1
21
2 αL
22
11
23
6
α
α
L
L
−
22 23
0
αL−
22
12
2
1
4
4
α
α
L
L
+ 22 23 αL 22 23 αL 2
22
2 αL
26α− 26α− 22 23 αL 3
2
126
αα
+
06 2 +α
33
22
623α
αL
L+
312α− 0 336 αL
26α− 26α− 22 23 αL 06 2 +α
06 2 +α
023 22
+αL
0 0 0
22 23 αL− 22 23 αL− 2
22
2 αL
33
22
623
αα
LL
023 22
+αL
323
222
4
4
ααL
L
+ 336 αL− 0
323
2 αL
4α− 4α− 312α− 0 336 αL−
4
312αα
+
4
0α+
336 αL−
4α− 4α− 0 0 0
4
0α+
4
0α+
0
336 αL 0 3
23
2 αL 336 αL− 0 3
23
4 αL
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
35
ΒΗΜΑ 7: Συνοριακές συνθήκες (βλέπε Κεφ. 6)
ΚΟΜΒΟΣ 1: πάκτωση 0111 =Φ==→ YZX UU ΚΟΜΒΟΣ 4: πάκτωση 0444 =Φ==→ YZX UU Διαγραφή των γραμμών και στηλών: 1, 2, 3, 10, 11, 12.
Παραμένει το μητρώο που είναι τονισμένο (βλ. μητρώο [3.19])
Επειδή θεωρήθηκε αμελητέα η επιρροή των αξονικών παραμορφώσεων
→ 032 == ZZ UU
/ /
(3.20)
/ / / / / / / / / / / / / / / / /
και uUU XX == 32 → 1η και 4η γραμμή και στήλη προστίθενται
Πώς όμως λαμβάνεται υπόψη ότι: uUU XX == 32 ;
Το σκεπτικό είναι:
→
===++=++=++
kxxpxxxpxxxpxxx
21
1321
1321
1321
και4535223210
33
213
33
23
13
48816
4)53(
)(5)22(3)210(
pxkppxk
pxkpxkpxk
=++=+
→
=++
+
=++=++
Δηλαδή από ένα σύστημα εξισώσεων 33× , με δεδομένη τη σχέση μεταξύ
δύο αγνώστων ( kxx == 21 ), προκύπτει με αντικατάσταση και πρόσθεση ένα
σύστημα ( )22× προς επίλυση. Ανάλογη διαδικασία εφαρμόζεται και στο
μητρώο (3.20) και προκύπτει τελικά:
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
36
=ΣK
32
2
2
421
12666
612
αααα
ααα
++−−
++
22
2211
23
236
α
αα
L
LL
+
−
33
22
22
623
23
αα
α
LL
L
++
−
(3.21) 22
2211
23
236
α
αα
L
LL
+
− 2
21
221
44 αα LL + 222
2 αL
33
22
22
623
23
αα
α
LL
L
++
−
2
22
2 αL 32
22
3244 αα LL +
U 2YΦ 3YΦ
Περίπτωση φόρτισης: Μεμονωμένα φορτία ,P ,1M 2M
+−+
=Σ
100010001000
P
Περίπτωση φόρτισης: Ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο TOT0p
∗−∗−
=Σ
02101000
21010002
0p
Περίπτωση φόρτισης: Στροφή στην πάκτωση 10=ϕ
Δίνεται:
⇒
===++=++=++
1020591255113105235
1
321
321
321
xxxxxxxxxx
ϕ
⇒
=−=+=−=+
18522055912535511
132
132
xxxxxx
Σύστημα προς επίλυση
Στην περίπτωση μας είναι:
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
37
=
∗∗
=Σ
035001050
0102106
12
11
1αα
ϕ LL
P
Επίλυση του συστήματος εξισώσεων
( ) ( ) ( )ϕϕ P-P-PKVPPVKP 0tot1
tot0tottot−
=→++∗= rr (3.22)
Από την επίλυση με υπολογιστή προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα:
ϕϕ :00194404.00037968826.0039046065.0
,
:00187111.000903654.002551985.0
,
,,:00194404.000131107.002146274.0
,
3
2
3
2tot0
213
2
++−−−
ΦΦ=
+−+−
ΦΦ=
++−−
ΦΦ=
EEEU
p
qEEEU
p
MMPEEEU
p
Y
Y
Y
Y
Y
Y
V
V
V
Υπολογισμός κομβικών φορτίων διατομής στοιχείων
iiii PVKPGLGLGLGL 0+∗= (3.24)
iiii PVKPLLLL 0+∗= (3.25)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
38
Περίπτωση φόρτισης: 21,, MMP
805120
75,8 19
67
39,95532,6
39,9
67
266,495
19
46,7
75,8
402 120
1013
1013
1528
1528
2
4
31
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
39
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4
Δίδεται:
X
Z
Y
555500600010664.4500010553.3
0.040042.2300030031.1200020022.0100010011.0
21
610
662
510
551
4442
3331
2222
1111
===⋅====⋅===================
CCEIEAMEIEAMEIEAPEIEAPEIEAqEIEAq
o30=α o60=β 003.03 =Tα , 3.03 =d , 010T∆ =
Ζητείται:
Α) ΣK , ΣP , ,0
ΣP ΣK (ορθογωνική μορφή), GLU
Β) Φορτία διατομής της δοκού 1 και τιμές για MQ, στον κόμβο 4 της
ράβδου 3 για την περίπτωση:
4,2,
,20,10
44
32
2
2
==ΦΦ=Φ
==
YZ
ZZ
Y
X
U
UU
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
40
Α1) Αρίθμηση κόμβων, Τοπικά συστήματα, Τοπολογία
1
2
2
34
5
1
34
X
xX
X
Z
z
Z
Z
Y
a β
Παρατηρήσεις:
1) Γιατί δεν υπάρχει το ελατήριο 2C ;
2) Γιατί ισχύει
6
66
5
55 3,4
EI
CEI
C == ;
(Βλ. BETON-KALENDER, Περίπτωση 57, 48)
3) Εναλλακτικά
Στην περίπτωση αυτή πώς θα ληφθεί υπόψη το 1P ;
3
44
5
3
5
64
1P
1PaP cos1
aP sin1
=⇒ Σ ?
?P
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
41
4) Δοκός : ?=α ?=b
5) Ράβδος 4: Εναλλακτικά;
Α2) Μητρώα δυσκαμψίας, iii pup ,,o
Περίπτωση: Επίπεδο πλαίσιο, EAEJ y , Δοκοί: 3,2,1=i
αXu α
Zu αϕY bXu b
Zu bYϕ
−
−−
−
−−−−
=
iiiiiiii
iiiiii
ii
iiiiiiii
iiiiii
ii
iL
αααα
ααααββ
αααα
ααααββ
22
22
460260
612061200000
260460
612061200000
k
,i
ii
EA
=β 3i
yii
EJ
=α
=
=
by
bz
bx
ay
az
ax
iTL
by
bz
bx
ay
az
ax
iTL
MQNMQNp
uuuuu ϕϕ
bi
432321321
===
bai
bxu
axu
azu
bzu
ayϕ
byϕ
axN b
xN
ayM b
yMazQ b
zQ
a b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
42
Περίπτωση: Ραβδος : 4=i
,1111
−
−= i
iL βk
EAβ
NN
uu
i
bxx
iL
bxx
iL
=
=
=
α
α
p
u
Εναλλακτικά: εάν 04 ≠EJ
Α3) Διανύσματα iLpo
Beton-Kal.: 11
2qQQ BA
=−= Περ. 51
12
21
1qMM BA −==
−−−=
1220
1220
21
11
1
21
11
1To qqqqLp
Beton-Kal.: 42
2qQQ BA =−= Περ. 54 2
22965qMM BA −==
:τότε
Δοκός
P ?
11 2
1q
Bb,
2q
Aa,
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
43
−−+−=Τ 2
222
2222
22
2o
965
40
965
40
qqqqLp
axu a
zu ayϕ b
xu bzu b
yϕ
___________________________________________________________
1P Beton-Kal.: ,21PQQ BA =−=
83
1
PMM BA −==
Περ. 50
T∆ Beton-Kal.: ,0== BA QQ 3
3
dTEJ
MM TBA
∆−==
α
Περ. 58
∆−−+−+∆
++−+=3
33
11
33
31
13o
80
200
80
200
dTEJPP
dTEJPP
TTi
L αα p
1P
T
3a b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
44
Α4) Μητρώα μετασχηματισμού iT
=
001
XE
=
010
YE
=
100
ZE (βλ. Κεφ. 5)
1=== ZYX EEE 1=== zyx eee ( ) ( )jiji ,cos11 ∗∗≡∗ Ee
iGL
iiL vTv =
α
XU αYU α
ZΦ bXU b
YU GL
Z Φα
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
Τ
τ0τ
EeEeEeEeEe
=
× b
Zy
YzXz
YxXx
L
by
bz
bx
y
z
x
uu
uu
33
0000000000000
α
α
α
α
ϕ
ϕ
Δοκός i τττ == bα
Παρατήρηση
Πότε ,bττ ≠α Περίπτωση;
yE xE
zE
X
Z
Y
X
ZY
b
ye
xe
ze
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
45
Ράβδος:
αXU b
YU bXU b
YU ( ) ( )
( ) ( )YxXx
YxXxbx
x
uu
EeEeEeEe00
00=
α
:i =Txe =T
ye =Tze
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )0cossin
0cossin010001
100100100100
0sincos0sincos001010
4321
ββαα
ββαα
−−−−
−
100001010
1 =τ 100010001
2 −=τ
1000cossin0sincos
3 αααα
−=τ ββ
ββsincos0000sincos4
−−
=T
T)(
sin0cos0
0sin0cos
4T=
−
−
ββ
ββ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
46
Α5) ,iGLK i
GLp
iiL
iTiGL TkTK =
−−
−−−
−
−−−
−
−−−
−
=⋅
)(4)(6
0)(2)(6
0
)(6)(12
)()(6)(12
)(
)(6)(12
)()(6)(12
)(
)(2)(6
0)(4)(6
0
)(6)(12
)()(6
)(12)(
)(6)(12
)()(6
)(12)(
2
2
2
2
Zyii
Zyii
Zyii
Zyii
Yzii
Yzi
Yxi
Yzii
Yzi
Yxi
Xzii
Xzi
Xxi
Xzii
Xzi
Xxi
Zyii
Zyii
Zyii
Zyii
Yzii
Yzi
Yxi
Yzii
Yzi
Yxi
Xzii
Xzi
Xxi
xzii
Xzi
Xxi
iiL
EeEe
EeEe
EeEe
EeEeEe
Ee
EeEe
EeEeEe
Ee
EeEe
EeEe
EeEe
EeEe
EeEe
EeEe
EeEe
EeEe
TK
αα
αα
αα
βαα
β
αα
βαα
β
αα
αα
αα
βα
αβ
αα
βα
αβ
Ti
Ti
Zy
YzYx
Xzxx
TiEe
EeEeEeEe
τ0
τ
0
T
)33(
)33(
)(000)()(0)()(
×
×
= ( ) ( )YixYx EeEe ⋅=
−
−
−
−
−
−−−
=
121111
2111
11
111111
121111
2111
11
111111
1
406206
0000
60126012
206406
0000
60126012
αααα
ββαααα
αααα
ββαααα
GLk
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
47
−
−−−−
−
−−
=
222222
2222
222222
22
222222
2222
222222
22
2
460260
612061200000
260460
612061200000
αααα
ααααββ
αααα
ααααββ
GLk
;cos3 α=c ;sin3 α=s 3i
yii
EJ
=α
32
333
333
32
333
6333
333
23
22
333333
333
23
22
5333333
333
333333
23
23
333
333333
4233
233
32
333
333
1232
333
3333
333
23
23
333333
333
23
23
2333333
333
333333
23
23
333
333333
1233
233
3
3
3
33
33
33
3
3
33
33
33
46
62
6)(6
61212
612
)(12
61212
612
)(12
26
6)(4
6)(6
61212
612
)(12
61212
612
)(12
αα
αα
αα
ααβαβ
ααβ
αβ
αβα
βαα
αβαβ
αα
αα
αα
ααβαβ
ααβ
αβ
ααβαβ
ααβ
αβ
cs
cfs
ccs
scscc
csfsccs
ssccs
css
scscfsc
csf
cfs
ccs
sccsc
csfscsc
sscsc
scs
sccsfsc
GL
−
=−
−+−
−−−
=+−
+−+
+−=−−
−
=
=−
+−−+−
+=−
−+−−−
−−
=+
=K
αα
sincos
3
3
==
sc
για ΣK
=
212018
201917`
181716
15116
14105
1394
151413
11109
654
1283
872
321
3
fffffffff
fffffffff
fffffffff
fffffffff
GLK
,cos4 β=c ,sin4 β=s 4
44
EA=β
44444
444444 β∗
−−
−−=⋅
scscscsc
L TK
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
48
( ) 44
2444
2444
442444
24
2444
2444
442444
24
44GLL
T
scsscscscscc
scsscssccscc
KTKT =∗
−−−−−−
−−
=⋅ β
4) Τί παρατηρείτε για τα 4iiK ;
_____________________________________________________________
iL
TiiGL pTp oo =
33
31
222
2
1
3122
3111
33
31
222
2
1
3122
3111
8965
12
240
20
2
8965
12
240
20
2
1
1
dTEJPqq
cPq
sPq
dTEJPqq
cPq
sPq
T
T
∆−−−−
−
−−
∆+
+
−−
α
α
1oGLP 2o
GLP 3oGLP
Α6) ,GLΣK ,oGLΣP
GLΣP
,122
112
112
1111
KKKKK TGL = ,2
33223
223
2222
KKKKK TGL = 3
44334
334
3333
KKKKK TGL =
455
445
445
4444
KKKKK TGL = :k
ijK )33( × για 3,2,1=k
)22( × για 4=k
Π.χ.: 2444
44244
45 sscsccT
−−=K
12
11
1
111112
1206
006012
ααβ
αα
−−
−=TK
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
49
24
42
4
3
3
3
12
2
2
:0:
:
000
:::
:0:0:
MU
PU
UU
MUU
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
+Φ
−
Φ
+Φ
=ΣP
33
31
31
31
33
31
222
31
22
31
222
21
1
22
11
io
8
2
2
8965
24
20
965
12
40
02
dTEJP
cP
sP
dTEJPq
cPq
sP
q
q
T
T
GL
∆−−
−
∆++−
+−
−
+−
+
+−
=Σ
α
α
P
,2XU ,2
YU 2ZΦ ,3
XU ,3YU
3ZΦ
,4XU ,4
YU 4ZΦ
222
122 KK +
1c+
223K
0
GLΣ= K
:"!"+ Γιατί;
T2
23K
333
233 KK +
6
5
cc
++
334K
0
T3
34K
444
344 "" KK +
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
50
2XU 2
YU 2ZΦ 3
ZΦ 4XU 4
YU 4zϕ
2
112βα
+
00
+
06 11
+α
0 0 0 0
00
+
2
11
12αβ+
+ c
2260
α+ 226 α 0 0 0
06 11
+α
226
0α+
2
21
2
2
1
44
αα
+ 2
22
2 α 0 0 0
0 226 α 222
2 α
65
12
222
4
ccf++
+α
13f 14f 15f
0 0 0 13f 24
16
cf
+
44
17
scf
− 18f
0 0 0 14f 44
17
scf
− 2
4
19
sf
+ 20f
0 0 0 15f 18f 20f 21f
GLΣK
m
=ΣK
2112 βα + 0 116 α 0 n
1
21 12c+
+ αβ 226 α 226 α 0
22
12
2
1
44
αα
+ 2
22
2 α 0 0
6512
222
4ccf +++
α 13f 14f 15f
2416 cf + 4417 scf − 18f 0 2419 sf + 20f 0 0
21f 0 0 0
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
51
A7) ( )Σ
−= Σ−Σ GLPPKU o1
Β1) Περίπτωση ,102 =XU ,202 =YU ,24 =Φ Z 44 =YU
2ZΦ 3
ZΦ 4XU
222
121
44
αα + 2
222 α 0
=
−
+−− 2
22
21
11 965
12
qqM
2222 α
12222
65
4 fcc
+++
α 13f −
∆++−− T
dJEPq Tα3
31
222 896
50
0 13f 2416 cf + −
−−−
23
12s
PP
( ) 106 11 ∗− α ( ) 206 22 ∗+− α 40 ∗− 20 ∗−
100 ∗− ( ) 206 22 ∗+− α 414 ∗− f 215 ∗− f
100 ∗− 200 ∗− [ ] 44417 ∗−− scf 218 ∗− f
Φ=Φ=Φ 32ZZ
Φ 4XU
+
−−
=
+
++++
++
||
42
2044
241613
12222
1365222
222
2221
21
cff
ffcc
αα
ααα
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
52
Φ 4XU
222
1265222
2222
221
21
42
244
αα
ααα
++++
++fcc 130 f+
=
13f 2416 cf +
=
151422
3
3312222211
222
21
11
24120896
512060965
12ff
dTEJP
qqqM T
−−−
∆−−+−−−+
α
ααα
4417183
12 4422
scffs
PP +−−+−
,10001
100031 ==α ,250
82000
2 ==α 111.11127
30003 ==α
,4000550004
5 =∗=c 3000660003
6 =∗=c
,400027
3000944 32312 =⋅∗== αf ,5.03 =s 866.03 =c
000.15.027
3000366 33313 =∗∗∗== sf α
3.408753.33375.03
3005.05.027
30001216 =+=∗+∗∗=f
200027
3000922 32315 =⋅∗== αf
1732866.027
30003614 −=∗∗∗−=f
03.534866.05.03
30012866.05.027
300017 −=∗∗∗−∗∗=f
10005.027
30003618 =∗∗∗=f
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
53
=
+
∗∗++++∗∗+
∗∗+∗∗+∗∗
25.03.4081000
100025044
400030004000250422504225044100014
∗∗+∗+∗−+−
∗+∗−∗∗−
∗∗∗−∗−∗∗−∗−+
=
−
866.05.0403.5344100025.021.12.2
17324200022502120
101033.0
30008
31.125021201000601211.03.3 3
Φ 4XU
−=
136
1773696.4081000
100027000
24.705.18
27000100010006.408
det1
3
41
−=Φ=⇒
−−=−
Z
XUA
24
05.1824.7
00
24.72010
000
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
=Φ==
−=Φ==
−=Φ===Φ==
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
UU
UU
UU
UU
X
Z
Y
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
54
Β2) Φορτία διατομής δοκός 1
,
24.72010000
1
−
=GLv
−
−
−
=
0083.00
05.00083.00
05.0
1oGLp
1o11GLGLGLGL pvkp +=
40620601.0001.006012601220640601.0001.0060126012
10001
−−
−−
−−−−
∗=GLk
+
+−
−−
=
−
−
−
+
∗−+
∗−∗−∗+∗
∗+∗−∗∗+∗+−
=+∗
9917.31039000.2
05.7655945520
000.205.05600.76
0083.00
05.00083.00
05.0
24,746002
24.7612024.72200106
24.70201.010024.76200120
10001o11GLGL pvk
X
Z
Y?
2000
2000
45520,0083
31039,9917
76559,95 2
176560,05
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
55
Για τη δοκό 1 ισχύει επίσης
1o111
2
2
2
1
1
1
LLL
y
z
x
y
z
x
L
MQNMQN
pvkp +=
=
11
24.71020000
24.72010000
*
100001010
100001010
LL v
0
0
v =
−
=
−
=
,1000*
46026061206120001.0001.026046061206120001.0001.0
1
−−
−−
−−−−
=Lk
0083.005.0
00083.0
05.00
1o
−−
−
=Lp
=
−−
=
−−
−
+
−−
=+
2
2
2
1
1
1
0083.3104095.76559
000.20083.45520
05.76560000.2
0083.005.00
0083.005.00
1000
04.3156.76
252.4556.76
2
1o11
y
z
x
y
z
x
LLL
MQNMQN
pvk
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
56
B3) 44 , yz MQ της ράβδου 3
[ ]2405.1824.7003 −=T
GLv
,333GLL vTv = LLLL pvkp o+=
2025.763.1724.7
00
2cos4sin05.18sin4cos05.18
24.700
3 −=
−+
−=
ααααLv
[ ]
−+∗−=
261206120 13
3333334 PQ Lz vαααα
∆−−+∗
−=
33
31
33
23333
2333
4
8460260
dTEJPM TLy ααααα
v
2000
2000
45520,0083
31039,9917
76559,95
76560,05
+ 8
21
1q
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
57
5. ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ
GLL VTV =
TKTK LT
GL = LT
GL
00pTp = ! Γιατί ;
xau zau yaϕ xbu zbu ybϕ
/EA 0 0 /EA− 0 0
0 α12 α6− 0 α12− α6−
:iLK 0 α6− α24 0 α6 α22
/EA− 0 0 /EA 0 0
0 α12− α6 0 α12 α6
0 α6− α22 0 α6 α24 3yEJ=α
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
58
1=== zyx eee , 1=== iZ
iY
iX EEE , bai ,=
0=⋅=⋅=⋅ zyzxyx eeeeee , 0=⋅=⋅=⋅ iZ
iY
iZ
iX
iY
iX EEEEEE
π.χ. ),cos(11 iiZx Zx⋅⋅=⋅ Ee
iZ
iZ
iY
iY
iX
iXz
izy
iyLx
ix
i
GLGLGLLLUUUuuuV EEEeee ++=++=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )iZz
iZ
iYz
iY
iXz
iX
iz
iz
iZx
iZ
iYx
iY
iXx
iX
ix
ix
GLGLGLL
GLGLGLL
UUUuV
UUUuV
EeEeEee
EeEeEee
⋅+⋅+⋅==⋅
⋅+⋅+⋅==⋅
Aντιστοίχως:
iZ
iZ
iY
iY
iX
iXz
iLy
iyx
ix
i
GLGLGLzLLEEEeee Φ+Φ+Φ=++=Φ ϕϕϕ
( ) ( ) ( )iZx
iZ
iYx
iY
iXx
iX
ix
ix GLGLGLL
EeEeEee ⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ==Φ⋅ ϕ
ay
E
axE
az
EaX
aY
aZ b
ye
xe
ze
by
EbxE
bz
E
bX
bY
bZ
aV
aΦ
bVbΦ
yx
z
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
59
aXGL
U aYGL
U aZGL
U aXGL
Φ aYGL
Φ aZGL
Φ bXGL
U bYGL
U bzGL
U ( )TbGLΦ
axL
u ayL
u azL
u
axx Ee ⋅ axy Ee ⋅ axz Ee ⋅
ayx Ee ⋅ ayy Ee ⋅ ayz Ee ⋅
azx Ee ⋅ azy Ee ⋅ azz Ee ⋅
33×0 33×0 13×0
axL
ϕ ayL
ϕ azL
ϕ
3x3 Υπομητρώο: aτ
0 aτ 0 0
bxL
u byL
u bzL
u
0 aτ 0
bτ bxL
ϕ byL
ϕ bzL
ϕ
0 0
T
GLL T VV = , 1−= TTT , ( )iiYx Yx,cos=⋅ Ee
ba ττ ≠ : πότε; ( )
ΦΦΦ= b
ZbY
bX
TbGL GLGLGL
Φ
bτ : όμοιο με aτ
(αντί bZ
bY
bX
aZ
aY
aX EEEEEE ,,,, → )
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
60
Παράδειγμα
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]100,100
010,010
001001
=−=
=−=
==
TZ
Tz
TY
Ty
TX
Tx
Ee
Ee
Ee
100010001
21
−−== ττ
Δοκός:
=
aXGL
U aZGL
U GLaYΦ b
XGLU b
ZGLU b
YGLΦ
axL
u 1 0 0 22×0 0 a
zLu 0 1− 0
ayL
ϕ 0 0 1− 0 0 b
xLu 0 0 0 1 0 0
bzL
u 0 0 0 0 1− 0 b
yLϕ 0 0 0 0 0 1−
T Δοκός (μόνο κάμψη)
azL
u 1− 0 0
ayL
ϕ 0 1− bzL
u 0
1− 0 byL
ϕ 0 1−
ye
xe
ze
1 2
yE
xE
zE
X
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
61
Παράδειγμα (βλ. Παράδειγμα 3) α) Βαθμοί Ελευθερίας: ,zu yϕ
2
1
34
xx
x
x
β
α
X
ZY
1 : [ ]100 −=T
xe , [ ]010=Tye ,
[ ]001=Tze
2 : [ ]aaTx sin0cos −=e , [ ]010=T
ye ,
[ ]aaTz cos0sin=e
3 : [ ]100=Txe , [ ]010=T
ye ,
[ ]001−=Tze
4 : [ ]ββ sin0cos=Txe , [ ]010=T
ye ,
[ ]ββ cos0sin−=Tze
045=a
=
aXGL
U aZGL
U aYGL
Φ bXGL
U bZGL
U bYLG
Φ
azL
u Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 0
ayL
ϕ 0 0 Yy Ee ⋅ bzL
u 0
Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 byL
ϕ 0 0 Yy Ee ⋅
=1T 100001
0
=2T 1000cossin aa
0
0 100001
0 1000cossin aa
=3T
100001−
0
0 100001−
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
62
=4T
aXGL
U aZGL
U bXGL
U bZGL
U
Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅ 0 0 Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅
= βcos βsin 0 0
0 0 βcos βsin b) Περίπτωση: Βαθμοί ελευθερίας i
xu , izu , i
yϕ
aXGL
U aZGL
U aYGL
Φ bXGL
U bZGL
U bYGL
Φ ax L
u Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅ 0
0 azL
u Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 ayL
ϕ 0 0 Yy Ee ⋅
bxL
u τ
0 τ bzL
u byL
ϕ T
100001010
1
−=τ
1000cossin0sincos
2 aaaa −
=τ 100001010
3 −=τ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
63
6. ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ – ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ
6.1 Δοκός στο χώρο (Προσήμανση 2)
Στη δοκό στο χώρο αντιστοιχεί το μητρώο (6.1)
Σχ. 6.1
6.2 Στοιχείο ράβδου (Αξονική παραμόρφωση)
Σχ. 6.2
1 11 1
xa xa
xb xb
N uEAN uL − = ⋅ −
(6.2)
6.3 Στοιχείο δοκού (Στρέψη)
Σχ. 6.3
⋅
−
−=
xb
xaT
xb
xa
LGJ
MM
ϕϕ
1111
[6.3]
ayuayϕ
ayM
axu axϕ axNazu
azϕazQ
azM
bbxu bxN bxϕ
bxM
byϕ
byMbyu
byQbzu
bzQ
bzMbyϕ
axN axu
bxu bxN
b
baxM axϕ
bxϕ bxM
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
64
6.1 Δοκός: κάμψη (Μεγέθη yz MQ − , κάμψη επίπεδο zx − )
Σχ. 6.4
⋅
−−−
−−−
=
yb
zb
ya
za
y
yb
zb
ya
za
u
u
LLLLLLLLLL
LL
L
EJ
MQMQ
ϕ
ϕ
22
22
3
46266126122646
612612
(6.4)
LK
6.2 Δοκός: κάμψη (Μεγέθη zy MQ − , κάμψη επίπεδο yx − )
Σχ. 6.5
⋅
−−−−
−−
=
zb
yb
za
ya
z
zb
yb
za
ya
u
u
LLLLLL
LLLLLL
LEJ
MQMQ
ϕ
ϕ
22
22
3
4626612612
2646612612
(6.5)
ayM ayϕ
byϕbyM
b
azu
azQ
bzu
bzQ
b
ayQayu
byu byQ
azϕ
azM
bzϕ
bzM
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
65
6.3 Σχάρα (Μεγέθη yxz MMQ −− , κάμψη επίπεδα xz − , yz − )
Σχ. 6.6
⋅
−−
−−
−−−−
=
yb
xb
zb
ya
xa
za
yb
xb
zb
ya
xa
za
u
u
aLLaaLLabb
LaaLaaaLLaaLLa
bbLaaLaa
MMQMMQ
ϕϕ
ϕϕ
22
22
4062060000
60126012206406
000060126012
(6.6)
όπου : 3L
EJa y=
LGJb T=
b
axM axϕ
bxϕ bxM
byϕbyM
bzu
bzQ
azu
azQ
ayϕayM
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαϊδης
66
xau yau zau xaϕ yaϕ zaϕ xbu ybu zbu xbϕ ybϕ zbϕ
xaN LEA 0 0 0 0 0 LEA-
0 0 0 0 0
yaQ 0 312 LEJ z 0 0 0 26 LEJ z 0 312 LEJ z− 0 0 0 26 LEJ z
zaQ 0 0 312 LEJ y 0 26 LEJ y− 0 0 0 312 LEJ y− 0 26 LEJ y− 0
xaM 0 0 0 LGJT 0 0 0 0 0 LGJT− 0 0
yaM 0 0 26 LEJ y− 0 LEJ y4 0 0 0 26 LEJ y 0 LEJ y2 0
zaM = 0 26 LEJ z 0 0 0 LEJ z4 0 26 LEJ z− 0 0 0 LEJ z2
xbN LEA-
0 0 0 0 0 LEA 0 0 0 0 0
ybQ 0 312 LEJ z− 0 0 0 26 LEJ z− 0 312 LEJ z 0 0 0 26 LEJz−
zbQ 0 0 312 LEJ y− 0 26 LEJ y 0 0 0 312 LEJ y 0 26 LEJ y 0
xbM 0 0 0 LGJT− 0 0 0 0 0 LGJT 0 0
ybM 0 0 26 LEJ y− 0 LEJ y2 0 0 0 26 LEJ y 0 LEJ y4 0
zbM 0 26 LEJ z 0 0 0 LEJ z2 0 26 LEJ z− 0 0 0 LEJz4
(6.1)
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
σελίδα
ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 67
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος
Θεσσαλονίκη 2011
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
67
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
Ζητείται:
1) ?=P για 1=δ
2) ,BQ BM
Δίδεται:
== 21 EJEJ 1043 == EJEJ
1 2 3 4 " "EA EA EA EA= = = = ∞
6 10,EA = 5 20 2EA =
,60=q ,100 =−=∆ ttT u
210−=Tα
,1=d 1=
52 2
2 2( 2 ) 2 2EA EAC = =
1yϕ
2zu 2yϕ
=ΣK
32
21
4
34
α
+
+EJEJ
36 α 322 α
=
110 60 20
36 α 6 5
3 4
2 212 12
EA EA
α α
+
+ +
3
4
66
αα
+−
20+120 +120 0
322 α
3
4
66
αα
+−
3
24
2
4
4
αα
+ .sym 40
+40
33
3 EJ
=α 34
4 EJ
=α
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
68
o3p
2
2
1
1
2
2
20207
30203
:
MQMQ
BK
−−−
20207
30203
2
2o3
−−
−
=p
4o
T∆p
∆−
∆−
dTEJ
dTEJ
BK
T
T
α
α
0
0
:
∆−
∆
=∆
dTEJ
dTEJ
T
T
T
α
α
0
04o
p
=−+
−=
∆−
+−
=− ΣΣ
21321
2
20
20730
2
2
0 P
dTEJq
Pqq
Tα
PP
1) 1!
2== zuδ )602(6220110
21−−=−=+ yy ϕϕ
2802021
=+ yy ϕϕ
5952.01
−=yϕ 1738.02
=yϕ
3,203=P
2) 0pkup +=
−
+
−−
10
00174.01
4060
60120
2060
60120
52.571174.02060
56.109174.060120
−=−⋅+−=
−=⋅+−=
B
B
M
Q
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
69
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2
000.10=REI 000.12=stEI
,10 5−=tα ,5.0=Rd
4.0=Std
0t
:.KB ut
dTEJMM TBA
∆−== α ; 0== BA
0ttT u −=∆ ; ,0=w
94.0
03010000.12
65.0
03010000.10
5
5
−=−⋅⋅−=
−=−⋅⋅−=
−
−
tS
R
M
M
R
RR
EIk
= 000.104 =Rk
t
tt
S
SS
EIk
= 000.164 =
tSk
REI
tSEI Rd
tSd030=iT
0a 0=T
3h
421
3 4
3
3
3
3
6
6
6
6
9
9
9
9
+
fixed
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
70
1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ
3
3
3
3
44
244
2044
02244
−
−
=
+
+
+
+
t
t
t
t
t
t
S
R
R
S
R
S
S
R
SR
S
R
kk
sym
kkk
kkk
kkkk
4
!
3 ϕϕ −= 2
!
1 ϕϕ −= 1ϕ 3ϕ
000.10
1.28.01.28.08.01.28.01.2
3333
6.25.08.005.06.208.08.006.25.0
08.05.06.2
000.10 ⋅
−−
−−⇒
−
−
=∗
1ϕ 3ϕ
3
!
166
000.102.46.16.12.4
ϕϕ −=⇒
−=⋅
⇒
1ϕ⇒
⇒
−=
− 6
66.26.2
000.10 ⇒−=⋅000.10122.51ϕ 0002307.01 −=ϕ
6153846.1
6)000.5000.10(153846.7
433
+=
=++= ϕϕRM
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
71
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3
Ζητείται: ,1ϕ RM , SM , StM
411 10559.
833.265.15.1
34
53
43 −⋅−=−⇒−=
++ ϕϕ EI
5808.2341925.04
301 =+−=+= MEIM R ϕ
2453.25.174533.03
401 −=−−=+= MEIM St ϕ
3354.05
31
1 −== ϕEIM S
5.1q
3h
2W4
1
2
3
""1 ∞=EF 3,2,1i
SM
StM
RM
34
1EIC =
43
2EIC =
)5(3
33 =
=
EIC
38
451 2=⋅⋅
5.112
302 2=⋅⋅
1.5
1.5
2.2453
0.3354
ΕΑi = “∞”
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
72
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4
10=P 199=M
1 2 5 " "EA EA EA= = = ∞
,103=iEI
,10 4−=Tα 121 == dd
ou tt 100 =−=∆Τ
3 4 200 2EA EA= =
Ζητείται: α) ΣΣ PK , β) 4N
Παραδοχή:
42 2
2 2( 2 ) 2 2EA EAC = =
1zu
1yϕ
2yϕ
α)
=ΣK
2212 EF+α α6− α6−
=ΣP
−∆Τ−
∆Τ+
Md
EJ
dEJ
T
T
1
1
0
α
α
α24+ α22+ ,
α
α
2
2
4
44
+
+ EI
3LEJa = ςσυντελεστή Θερμοκρασ.:Ta
1
0!
1=yϕ
10P
0ttT u −=∆1
13
32
2
4
4
5
199M
1 32
XY
Z
EJC 4~3 =
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
73
β)
0!
1=yϕ ⇒ 1zu 2yϕ
−
=
−
−200
0120060
6022⇒
19298.2
−=⇒ yϕ 52632.1
−=zu
1 4 .52632 5.26312 2zEAN u C= ⋅ = ⋅ =
72157.3222631.54 =⋅=N
1
0!
1=yϕ
72157.3222631.54 =⋅=N
2631.522
52632.~41 =⋅=⋅= EFCuN z
EA
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
74
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5
000.10=EJ 1000=TGJ
Ζητείται: α) Μετατοπίσεις, στροφές στο Β
β) Φορτία διατομής Α
ϕϕϕϕ ~22!
===bb yx
1 1 200 102 2 10
EA = =
200EF
AB
C
D
(0, 0, 10)(10, 0, 10)
(0, 10, 10)(0, 0, 0)
A AB
C
C
102
EF xϕ
yϕ
0
0
0=bzϕ
bxϕ
free
EA = 200
EA
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
75
bzu bxϕ
byϕ
( )α
βαα
240100
601012
sym=
+ =
120
2
2
q
q
103 ==
yEJα
10010
1000 ===
TGIβ
zu ϕ~
4100600130
sym=
106
⇒ 075.1=zu 132925.0~ −=ϕ ϕϕϕ ~45cos ==x ϕϕϕ ~45sin ==y
+
−−
⋅
−−−
=
.
.
.2
133.0133.0
075.1000
2000600....01000....
6000120.... q
MMQ
y
x
z
α
α
α
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελίδα 1. Δοκοί με αρθρώσεις 76
2. Αντικατάσταση υποσυστημάτων με γενικευμένα ελατήρια /φορτία 81
3. Άκαμπτοι σύνδεσμοι 85
4. Αριθμητικά αποτελέσματα 89
5. Συνθήκες που διέπουν τη στατική συμπεριφορά της δοκού 91
6. Αρχή των δυνατών έργων: Μητρώα
δυσκαμψίας/ Εργικά ισοδύναμα φορτία 95
7. Δεσμεύσεις 100
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος
Θεσσαλονίκη 2011
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 76 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
1. ΔΟΚΟΙ ΜΕ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ
Πώς θα ληφθεί υπόψη η δοκός −i και το φορτίο 1P ; Γιατί;
Πώς θα ληφθεί υπόψη η δοκός j− και το φορτίο 2P ; Γιατί;
Πώς λαμβάνουν υπόψη προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων (π.χ. SAP)
την άρθρωση στο σημείο j ;
1) Περίπτωση: 0=
byM
b
b
b
b
a
a
y
z
y
z
y
z
y
z
u
u
MQMQ
ϕ
ϕα α
α
22
22
4626612612
2646612612
−−−
−−−
= (1)
3EJ=α
( ) 04626!
22 =+++−=bbb yzyzy uuM ϕϕα
αα
( )bb zyzy uu
626
41 2
2 −−=αα
ϕϕ (2)
0=jM0=aM
0=kQ
0N
1P
2Pi
a kj
a b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 77 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
(2) → (1)
azu
ayϕ bzu
−
−
+−
−
−
+−
+−
+−
−
646126
426
46612
24662
424
4626
646126
426
46612
22
2
2
22
22
22
22
22
2
2
α
bz
ay
az
Q
M
Q
0=
αyM
( ) ( )
( ) ( )5566
3344
××
××
⇒
⇒
LL
LL
kk
kk
333333
3332
)33(
−−
−−=× αLk
Φορτία π.χ. ∆Τ
Β.Κ.: ,23
dEJQQ TBA
∆Τ== α
d
EJM TA∆Τ−= α
23
T
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 78 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
2) Περίπτωση: 0=αyM
[ ] 02646!
22 =+++−= bzyzy buuM ϕϕα
ααα
[ ] 22
41266
bb yzzy uu ϕϕ
αα−−=
( )
−−−−−= bzyzzzz bbb
uuuuQ ϕϕαααα
612266
4612 2
2
=
bzQ
2333
333333
−−
−−= αk
3) Περίπτωση: 0=αzQ
22
22
0000
0
−
−α
Σχολιασμός !
a b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 79 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Δίδονται
- Το 66 × μητρώο baL
−K της δοκού ba −
(δείκτης L : τοπικό σύστημα αναφοράς)
α b
zx
βαθμοί ελευθερίας: ay
az
bx
ay
az
ax uuuu ϕϕ ,,,,,
- Τα 55 × μητρώα baL
−Ka και baL
−Kb τα οποία λαμβάνουν υπόψη τις
συνθήκες ayM 0= και byM 0= , αντιστοίχως (δεν υπάρχουν βαθμοί
ελευθερίας ayϕ και b
yϕ , αντιστοίχως)
αα
b
b
baL
−Ka
baL
−Kb
Οι βαθμοί ελευθερίας του κόμβου i σε ένα κοινό σύστημα αναφοράς
συμβολίζονται ως εξής:
i
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 80 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Να σχολιασθεί ο συνδυασμός/χρησιμοποίηση των μητρώων και βαθμών
ελευθερίας στις παρακάτω περιπτώσεις (προβλήματα που προκύπτουν,
τρόποι αντιμετώπισης, πλεονεκτήματα/μειονεκτήματα, επίλυση με
πρόγραμμα SAP):
1)
j i k
l
jiL−K , ki
L−K , −i
LKi
ixU , i
zU , iyΦ
2)
k
j i
2a) jiL−Ki , ki
L−Ki , i
xU , izU , i
yΦ
2b) jiL−K , ki
L−Ki , i
xU , izU , i
yΦ
Συνθήκη ισορροπίας: iyM 0= ;
2c) jiL−Ki , ki
L−Ki , i
xU , izU
3) M
4)
0
00
00000
00
=+
Φ
k
iy
Αποτελέσματα για iyΦ
στην περίπτωση
0=k και 1010−=k ;
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 81 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
2. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΤΗΡΙΑ / ΦΟΡΤΙΑ
Παράδειγμα 1:
0111 === ϕwu , ,02 =u ,02 =w 0333 === ϕwu 02 ≠ϕ
=
xxxxxxxxxxLxxxxx
LEJk
2
324
LEJC 4
2 =
Παράδειγμα 2: Τρίστυλο πλαίσιο – Αντικατάσταση τμήματος 1-2-3
2P
Γενικευμένο ελατήριο/Φορτίο
k
1 1 2
2
3LEJC 4
2 =
2C
"", ∞→EFL
L
1
1
2 2 3
xu
yϕ
zu
H
1P
2P
h
"":AE
L
kH
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 82 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Βήμα 1: Σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας του τμήματος 1-2-3.
=+ 2kk ""1
2xu 2zu
2yϕ 3xu
3zu 3yϕ
22
222
2
2222
22
2122
221
2222
11
460260
61206120
0000
26044660
61206120
0060012
αααα
αααα
αααααα
αααα
αα
−
−
−
+−+
−−−
−++
EAEA
hh
EAhEA
,31 hEJ=α 3
2 EJ=α
Βήμα 2: Διάνυσμα φόρτισης (τμήμα 1-2-3)
Συνοριακές συνθήκες, κ.τ.λ.
Δευτερεύον σύστημα:
00
3
111
32
====
=
z
yzx
xx
uuuuu
ϕ
1
1
2 2 3,
1P
h
kH
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 83 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
3xu 2
yϕ 3yϕ
,
420
24
46
0612
22
22
22
122
2
1
11
αα
αα
αα
αα
hh
h
+
12
12
2
1
2
1
p
p
H
−=P
,21 ααα == =h
=22
223
4022680126
EJK
1212
21
21
PP
H−
Βήμα 3: Απαλοιφή εσωτερικών βαθμών ελευθερίας ( )2yϕ
(Μέθοδος GAUSS)
2yϕ 3xu
3yϕ
⇒
=22
223
4022680126
EJK
( )
( )41και
43
12
12
4020126
268
21
21
22
22
3
3
3
2
−∗
−∗
−=
⇒
pH
puEJ
y
x
y
ϕ
ϕ
+
+
−
−−−
−−−
4812
1243
12
214
46022
460
291266
268
2
1
2
1
1
21
2222
22
3
PP
PH
pEJ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 84 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
+
−
=
−−⇒
48516
12
5.35.105.15.70
268
21
1
_
21
3
3
2
2
22
3
p
p
p
uEJ Hy
x
y
ϕ
ϕ
Επικόμβιες
φορτίσεις
στον κόμβο 3
Δυσκαμψία ελατηρίου σύζευξης 3C )(Ck
=L
Νέο σύστημα:
−
−= 23 5.35.1
5.15.7LLL
LEJC k
, 3k48
2
1P
21P
kC
+
161PH
2P
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 85 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
3. ΑΚΑΜΠΤΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ
Τρόποι προσομοίωσης; Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα
Rigid offsets:
Δίδεται:
=bαk 3EJ=α 22
22
4626612612
2646612612
−−−
−−−
α
Μητρώο δυσκαμψίας
εύκαμπτου τμήματος
b−α
άκαμπτοτμήμα
άκαμπτοτμήμα
Ζητείται: =cdk ?
1x∆ 2x∆
cyMayM byM
dyM
czQ azQ bzQ dzQ
στύλος
πέδιλοσυνδετήρια δοκός
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 86 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Μητρώο cdk = Μητρώο bαk
1Xzyy QMMc
∆⋅−=αα
⇒ 2η σειρά = 2η σειρά - 1η σειρά 1x∆∗
αzz QQc
= ⇒ 1η σειρά = 1η σειρά
bd zz QQ = ⇒ 3η σειρά = 3η σειρά
2Xzyy bbdQMM ∆⋅+= ⇒ 4η σειρά = 4η σειρά + 3η σειρά 2x∆∗
(Το ίδιο ισχύει και για τις στήλες)
22
222
2
12
112
1
6412662126612612
6212664126612612
xxxx
xxxx
∆+∆+∆+∆−−−
∆+∆+∆+∆−−−−−
Σειρές + Στήλες
,kk ⋅= αcd 3EJ=α
22
2
22
2212
12
2
21
212
12
121
112
1
21
)(12
6
64
126126
62126
1261212612
126
62126)(12
664126
1261212612
x
x
x
xxxx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
∆+
∆+
∆+
∆+∆∆+∆+
∆+∆−−
∆+∆+−
∆∆+∆+
∆+∆+∆+
∆+∆+∆−−
∆−−−∆−−
k
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 87 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Εναλλακτικός τρόπος: Γεωμετρικές συνθήκες
ααϕ yzz xuu
c⋅∆+= 1
αϕϕ yyc
=
cy
z
cy
z uxuVVT ==
∆= αα
αϕϕ 10
1 1
2xyzz bbduu ∆−= ϕ
bd yy ϕϕ =
=∆−
=b
y
z
dy
z uxuϕϕ 10
1 2
bbd VTV =
Εάν:
bbb
b b
kkkk
kα
αααα = ; Tbaab kk =
,1caa vTv −= ,1
dbb vTv −= ( ) Ta
Tc
Ta
1−= Tvv
( ) Tb
Td
Tb
1−= Tvv
και επειδή:
[ ] !=
=
b
aabT
bTaiA
vvkvv δδδ :Τμήμα b−α
[ ]
d
ccdTd
Tc v
vkvv δδ : Τμήματα dbbc −+−+− αα
c a
b d
1x∆
2x∆
czu azu
bzu dzu
φ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 88 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Μετά από αντικατάσταση ,Tαv T
bv προκύπτει:
( ) ( )[ ] !
1
111 =
−
−−−
db
ca
bbba
abaaTb
Td
Ta
Tc vT
vTkkkk
TvTv δδ
[ ]
d
ccdTd
Tc v
vkvv δδ
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
!
11
1111
=
−−
−−−−
d
c
bbbT
b
babT
aaaaT
aTd
Tc
sym vv
TkT
TkTTkTvv δδ
[ ]
d
ccdTd
Tc v
vkvv δδ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1111
−−
−−−−
=bbb
Tb
babT
aaaaT
acd
sym TkT
TkTTkTk
cdk : βλέπε μητρώο 3.1
ή με ,1 ⋅=∆ dx ,2 ⋅=∆ bx ⋅= c
3)( cEJcd =k
12 ( )cd 612 −− -12 ( )cb 612 −−
( )dccd 12412 222 ++ ( )cd 612 + ( )[ ]dbccdb +++ 6212 22
sym 12 ( )cb 612 +
( )222 41212 ccbb ++
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 89 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν τα αριθμητικά αποτελέσματα;
- Τί είναι μήκος λέξης;
- Floating point arithmetic; digit;
± Fractional part a * 10b, 0.1≤| a |<1
(εκτός αν a =0)
Παράδειγμα: 4103258.1 −⋅ 13258. 310−⋅
00358.0 358. 210−⋅
13258 13258. 510⋅
01.1 101. 110⋅
Εάν χρησιμοποιηθούν δύο θέσεις μετά το κόμμα, τι τιμή πέρνουν οι
παραπάνω αριθμοί;
Επιρροή τρόπου επίλυσης συστήματος εξισώσεων και
αριθμός θέσεων μετά το κόμμα (digits)
Μέθοδος GAUSS
2 θέσεις μετά το κόμμα
Δίδεται: bAx =
=
10.011-1
A
[ ],21 xxT =x [ ]10T =b
Ακριβής λύση: 990099.001.1121 === xx
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 90 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Α Pivot: )1,1(a
021 =− xx )01.0(−∗
101.0 21 =+ xx
021 =− xx
0.1)01.01(0 2 =++ x ⇒ 2 θέσεις:
0.101.1 2 =x
11 101.10101. 2 ⋅=⋅ x
12 =x 1'' 21 == xx
Β Pivot: )1,2(α
101.0 21 =+ xx )100(−∗
021 =− xx
101.0 21 =+ xx (α)
100)1001(0 21 −=+− xx (b)
Ομως: το 1011001 =+ υπολογίζεται (2 θέσεις)
ως ⇒⋅ 310101.0 1001010.0 3 ⇒⋅
Επομένως η εξίσωση (b) λαμβάνει τη μορφή:
101.0 21 =+ xx (α)
100100 2 −=− x
12 =′x
Από εξίσωση (α) προκύπτει: 01 =′x
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 91 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
5. Συνθήκες που διέπουν τη στατική συμπεριφορά της δοκού
1. Γεωμετρικές συνθήκες
udxdu
x ′==ε
wx ′′−=κ
2. Συνθήκες ισορροπίας
0=+ xpdxdN ;
Qdx
dM = , zpdxdQ −= , 02
2
=−= zpdx
Md
3. Νόμος υλικού
uEFEFN x ′== ε
⇒′′−=−= )(wEIEIM xκ ( )( )″′′wEI zp=
4. Συνοριακές συνθήκες
uO 00
=′=
ww
pO 00(00)(
=′′>−=′′==′′′>−=′′′=
wwfMwwfQ
0000
=′′=′′==
wwww
p
u
OO
0== ϕw 0=′= ww uO
00 =p `
Γεωμετρικές συνοριακές συνθήκες uO
Στατικές συνοριακές συνθήκες p0
Μικτές συνοριακές συνθήκες "0"""0 puO +=
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 92 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Παρατηρήσεις: Ισχύουν σε κάθε σημείο:
( ) MWpwEI z →→=″′′ σε κάθε σημείο
Αφετηρία: Μέθοδος Διαφορών, Μητρώων Μεταφοράς,
Αναλυτικές μέθοδοι κ.τ.λ.
Προβλήματα:
Εργικές Προτάσεις – Αρχή των δυνατών έργων
0=+ ai AA δδ ⇔
Για γεωμετρικά επιτρεπτές μετατοπίσεις / παραμορφώσεις
Μη επιτρεπτές
uu ≠ u0
Σώμα σε ισορροπία →έργο που παράγουν φορτία διατομής = έργο
των εξωτερικών δυνάμεων.
[ ] 0=+−− ∫∫b
a
b
az
b
awPMdxwpdxEI δϕδδκδκ
[ ] 0=+−−′′′′ ∫∫b
a
b
az
b
awPMdxwpdxwwEI δϕδδδ
Ισοδυναμία: Αρχή των δυνατών έργων ↔ Συνθ. Ισορροπίας και
στατικές Σ.Σ.
x
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 93 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
[ ] 0=+−−′′′′ ∫∫b
a
b
az
b
a
wPMdxwpdxwEIw δδϕδδ
Επειδή ∫ δκM ⇒ wwEIM ′′−=′′−= κ;
[ ] ( ) [ ]b
a
b
a
b
a
b
a
uvuvduvvduvu =⇒+−= ∫∫∫ δ
( ) [ ] b
a
b
a
wEIwdxwEIw ′′′−=′′′′∫ δδ
( ) ( )b
a
b
a
b
a
wEIwdxwEIwwEIw ′′′=′′′′+′′′′⇒ ∫∫ δδδ
( ) ( ) b
a
b
a
b
a
wEIwdxwEIwwEIw ′′′+′′′′−=′′′′ ∫∫ δδδ
[ ]b
a
b
a
wEIwwEIwdxwEIw ′′′′+′′′′−=′′′′ ∫∫ δδδ
[ ] [ ]b
a
b
a
b
a
wEIwwEIwwEIwdxwEIw δδδδ ′′′−′′′+′′′′=′′′′ ∫∫
[ ] [ ] [ ] [ ] 0=−′′′+−′′′+−′′′′ ∫∫b
a
b
a
b
a
b
az
b
a
wPwEIwMwEIwdxwpwEIw δδδϕδδδ
0000
=+= p
0=uδ ( uu = ανήκει στο u0 )
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 94 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0)0()0( =+′′′−+′′+−′′′′∫ pba
baz
b
a
PEIwwMEIwdxpEIwwp
δδϕδ
0=ab ; b∀ 0a =⇒
εσωτερικό στο0=−′′′′ zpEIw
Εφόσον 0=uδ στο u0
00
=+′′′=+′′
PEIwMEIw
στο p0
==
DuE
εεσ
στο εσωτερικό
Εφαρμογή: Συνθήκες ισορροπίας κ.τ.λ.
Αφετηρία για Αριθμητικές Μεθόδους
Η λύση EIw ′′′′ ή 0=Aδ ↔ ισοδύναμα
Διαφορές:
σε κάθε σημείο zpEIw =′′′′ ↔ ∫ ⇒ προτερήματα, μειονεκτήματα
Η αρχή δυνατών έργων εκπληρεί (εδώ) συνθήκες ισορροπίας και στατικές
συνοριακές συνθήκες
Πρέπει όμως να εκπληρωθούν οι γεωμετρικές συνοριακές συνθήκες ( )uu = ;
π.χ.
Γενικά:
Εαν μία διαφορετική εξίσωση περιέχει 2m παραγώγους: )2()1(
==
=′′′′−=′′
mm
pwIEpuAE
z
x
Εργική πρόταση: περιέχει m παραγώγους wEIw ′′′′∫δ , dxuAEu ′′∫δ
Γεωμετρικές Συνθήκες: παράγωγο)1( −≤ m πρέπει να εκπληρούνται ( )ww ′,
Στατ. Συνθήκες →≥ m Η εργική πρόταση προσπαθεί να τις εκπληρώσει
το δυνατόν καλύτερα ( )QMww ,ˆ, =′′′′′ .
0=′= ww
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 95 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
6. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ : ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΕΡΓΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΦΟΡΤΙΑ
6.1 Δίδεται
)(22)(11 ss huhuu ⋅+⋅= (Παραδοχή)
( )sh −= 121
1 ( )sh += 121
2
,Ds AsAA ⋅+= ( ),21
21 AAAs += ( )1221 AAAD −=
( ),12
sx += 2dsdx =
2
dsdu
dxds
dsdu
dxdu ==
[ ] ( )12212211 212
212
21)()( uuuushushu
dxdu −=
+
−=+=′
( ) ( ) ( ) dssAAuuuuEdxuEAu Ds +−−=′′ ∫∫−
12
1
1122
12
δδδ
( ) ( )1212 uuuuEAs δδ −−=
[ ]
−
−=
2
121 11
11uuEAuu s
δδ
k (ράβδου)
2u
1u
1A 2A
xs = -1 s = 1s
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 96 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
6.2 Εργικά ισοδύναμα φορτία
6.2.1 Ράβδος
( ) ( )[ ]122121 ppsppp −++=
( ) dsdxsx2
12
=⇒+=
Παραδοχή: )(33)(22)(11)( ssss huhuhuu ++=
( ),21 2
1 ssh −= ( ),21 2
2 ssh += 23 1 sh −=
Τί ιδιότητες έχουν τα πολυώνυμα ;ih (τύπου Lagrange) Έργο εξωτερικών δυνάμεων:
=⋅∫ dxup s δ
0)(
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) dssussussuppspp2
121
21
21 2
32
22
11221
1
1
−+++−⋅−++= ∫
−
δδδ
sp dp
⋅+
++
−= sDsDs puppuppu
342
32
32
32
32
8 321 δδδ
( )
++
+
= 2132211 366
ppupupu δδδ
[ ]( )
+=
366
21
2
1
321
pppp
uuu δδδ
2u1u
x
s = -1s = 1
s s
3u
1 3 21p 2p
)(xp
1 3 2
61p 62p321 pp +
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 97 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
6.2.2 Δοκός (κάμψη)
Παραδοχή:
)(4)(3)(2)(1)( xbxbxaxax HHwHHww ϕϕ +++=
Ιδιότητες ;iH (τύπου Hermite: ww ′, )
∫ =dxwpzδ
( ) ( ) aaz wp δϕξξξδξξ 321
0
32 2231 −+−++−= ∫
( ) ( ) ξδϕξξδξξ dw ab 3232 23 −+−+
[ ] zbbaa pww
12212
2
2
2
−= δϕδδϕδ
zp
a bx, ξ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 98 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
6.3 Βαθμοί ελευθερίας / Συνοριακές συνθήκες / Καταναγκασμοί:
Τεκμηρίωση διαδικασίας
ΣΣΣ =Κ Puuu ΤΣ
ΤΣ δδ (1)
Δίδεται: ,
653
542
321
=Σ
KKKKKKKKK
K
[ ] ,221 ϕuuu =ΤΣ [ ]121 MPP=Τ
ΣP
(1)⇒ [ ]+++ 2322111 ϕδ kukuku
[ ]+++ 2524122 ϕδ kukuku
[ ] 1222112625132 MPuPukukuk δϕδδϕδϕ ++=++ (2)
1η Περίπτωση: == 22 uu γνωστή
0!
2 =uδ (γιατί;)
Από τη σχέση (2) προκύπτει:
( ) ( ) =+++ 2631223111 ϕδϕϕδ kkukuku
( ) ( )22 512211 ukMukPu −+−= δϕδ
1u 2ϕ
251
221
63
31
ukMukP
kkkk
−−
=
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 99 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
2η Περίπτωση: uu == 2
!
1 u
uuu δδδ == 21
(2) ⇒
( ) ( )[ ]2634221 ϕδ kkukkkku +++++
( )[ ] ( ) 122126532 MPPukukk δϕδϕδϕ ++=+++
u 2ϕ
1
21
653
53421 2M
PPKkk
kkkkk +=
++++
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 100 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
7. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ (Constraints)
7.1
Ελατήριο με σταθερά k : 2
21 xk=Π
( ) ( )
332211
2233
2122
211 2
121
21:
uPuPuP
uukuukukp
−−−
−+−+Π
3
2
1
3
2
1
33
3322
221
0
0
PPP
uuu
kkkkkk
kkk=
−−+−
−+
ΣK
Δίδονται:
10321 === kkk 21 =P , 42 =P , 23 −=P
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 101 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
242
1010010201001020
3
2
1
−=
−−−
−
uuu
4,01 =u 6,02 =u 4,03 =u
7.2 Το ίδιο πρόβλημα, αλλά με τη ΔΕΣΜΕΥΣΗ: 3
!
2 uu =
Α) Μέθοδος LAGRANGE
( λ : Lagrange multiplier)
)( 32
* uup −+Π=Π λ
=
Σ
00 1-101-1 0
3
2
1
3
2
1
PPP
uuu
λ
K
4,01 =u 6,02 =u 4,03 =u 2=λ
Έλεγχος: 2η εξίσωση:
23323212 1)( Pukukkuk =⋅+−++⋅− λ
24216,0106,0)1010(4,010 2 ===⋅+⋅−++⋅− P
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 102 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Β) Penalty Method ""∞→a
ΔΕΣΜΕΥΣΗ: 3
!
2 uu =
232
* )(2
min uuap −+Π=→Π
""∞→a : 032 →− uu
1 2 2 1 1
2 2 3 3 2 2
3 3 3 3
0
0
k k k u Pk k k a k a u P
k a k a u P
+ − − + + − − = − − +
4,01 =u 6,02 =u 23 102 u
au +
+−=
6,010
23 +
+−=
au
59998,0:5998,0:5980,0:5818,0:5,0:4182,0:
000.100000.10
000.1100101
3
3
3
3
3
3
======
======
uuuuuu
aaaaaa
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 103 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Παρατήρηση:
""∞→a : →− )( 32 uua Lagrange multiplier λ
Εδώ 2=λ (Βλέπε Α)
auu
+=−
102
32 ⇒ λ=+
=−a
auua10
2)( 32
Θα πρέπει: ""∞→a : λλ →
9998,1100010200000:998,11001020000:
9802,110102000:8182,1110200:
12020:18182,0112:
000.100000.10
000.1100101
====
====
====
======
λλλλλλ
aaaaaa
Γ) Μητρώα Μετασχηματισμού:
11 uu = , 32 uu =
π.χ
newvTv ⋅= ~
[ ]321 uuuT =v [ ]21 uuTnew =v
=
2
1
3
2
1
101001
uu
uuu
v T~ newv
TKTK ~~Σ= T
new PTP ⋅= Tnew
~
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 104 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
−
−+=
−−+−
−+=Σ
00101001
0
0~
22
221
33
3322
221
kkkkk
kkkkkk
kkkTK
−
−+=
=
−
−+
=Σ
22
221
22
221
00110001~
kkkkk
kkkkk
T TKT
+
=
=32
1
3
2
1
110001~
PPP
PPP
T PT
+
=
−
−+
32
1
2
1
22
221
PPP
uu
kkkkk
4,01 =u 32 6,0 uu ==
Ας θεωρήσουμε το φορέα του σχήματος 1 με τα ακόλουθα ελαστικά και
γεωμετρικά χαρακτηριστικά:
1,001,02,001,03,0000.000.1 1211 ====== AJAJvE
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 105 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
100 KN
4 m
3 m
Σχήμα 1
Η διακριτοποίηση του φορέα με ευθύγραμμα γραμμικά πεπερασμένα οδηγεί
στο παρακάτω διακριτό σύστημα (σχήμα 2)
100
4
3 [1] [1]
[2]
1 4
2 3
1
2
3 4
5
6
y
x
Έστω ότι ο φορέας υπόκειται στην δέσμευση 1 4u u= (ισότητα των
οριζοντίων μετακινήσεων -ατένεια ζυγώματος)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 106 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Α Τρόπος: Πολλαπλασιαστές Lagrange
Επιλέγουμε τους κόμβους 2 και 3 και εφαρμόζουμε την προαναφερόμενη
δέσμευση ( assign → joint → constraint → equal → translation xu )
Από την επίλυση προκύπτουν οι ακόλουθες αντιδράσεις:
100
[1] [1]
[2]
50 5030,37 30,37
Αν ζητήσουμε από το πρόγραμμα τις αξονικές δυνάμεις των στοιχείων τότε
θα διαπιστώσουμε ότι η αξονική του ζυγώματος (στοιχείο [2]) είναι μηδενική.
Ας θεωρήσουμε την ισορροπία των δυνάμεων στον κόμβο 2.
100
50y
x
N=02
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 107 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
Η εξίσωση ισορροπίας δεν επαληθεύεται επειδή δεν ελήφθη υπόψη η
δύναμη λόγω της δέσμευσης (constraint force); υπενθυμίζουμε ότι η
εξίσωση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση
PBKu T =+ λ
εσωτερικές δυνάμεις
Δυνάμεις λόγω δέσμευσης
εξωτερικές δυνάμεις
Από το αρχείο αποτελεσμάτων (xxx.out) λαμβάνουμε την πληροφορία ότι η
αντίστοιχη δύναμη της δεσμεύσης είναι 50−
λ05050100 =−+−=Σ NFx
ΠΑΡΑΤΉΡΗΣΗ: Για να εμφανιστούν οι δυνάμεις λόγω δέσμευσης στο
αρχείο (xxx.out) θα πρέπει να δοθούν οι παρακάτω
εντολές:
Analyze > Set Options > Generate
Output > Select Output Results >
Επιλογή: Reaction / Spring forces
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ σελίδα ―Στατικό μοντέλο φέροντος οργανισμού 108
―Έδαφος - Θεμελιώσεις 112
―Διαφραγματική λειτουργία πλάκας ορόφου 114
―Ροπές αδρανείας δοκών/ πλακοδοκών 116
―Ισοδύναμα πλαίσια 117
―Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 118
―Παρατηρήσεις/Σχόλια 124
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος
Θεσσαλονίκη 2011
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
108
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Κτήριο ή Κτίριο ⇒ Κτήριο
Συστήματα Φορέων
- Πλαισιακά συστήματα ως τμήμα μικτών συστημάτων ή μεμονομένα (αμιγές πλαίσιο) – Μεμονομένα /συζευγμένα τοιχώματα – Μικτά συστήματα /Πλαίσια
Μόρφωση/Στατικό μοντέλο φέροντας οργανισμού (Φ.0.)
Επίπεδο πλαίσιο vs. Χωρικό πλαίσιο
– Συμμετρία – Καταπόνηση σε στρέψη – Χωρικά ομοιώματα – Όρια Εφαρμογής – Υλικό, δυσκαμψίες
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
109
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
110
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
111
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
112
ΕΔΑΦΟΣ – ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ
*) αγνοείται
Έδαφος
Δείκτης ελαστικής στροφής
2
1BL
vGk ϕϕ β−
= ή 3
12sBLk kφ = = (Γιατί;)
G : μέτρο διάτμησης εδάφους
v : λόγος Poisson “ )35.0( −
B : πλάτος θεμελίου // στον άξονα στροφής
L : μήκος θεμελίου στον άξονα στροφής
sk : σταθερά Winkler (μέτρο καθίζησης εδάφους)
*)
*)
*)BLkC s=ϕk
άξονας στροφής
B
Lθεμέλιο (Β, L)
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
113
),( yxukq s ⋅=
q : πίεση ][ Ε∆ , ][ Oks ∆ ,
u : υποχώρηση εδάφους ][M
E : επιφάνεια
O : όγκος, M : μήκος
Πότε πρέπει να ληφθεί υπόψη το έδαφος;
(Soil-Structure Interaction)
Έδαφος: θλιπτικές δυνάμεις --- μονόπλευρα ελατήρια
Θεμελίωση
φ
φ
ΜΜ Μq
μονόπλευρα ελατήρια
στύλος
ή ήϕk
C
συνδετήριαδοκός
ογκώδες πέδιλο + συνδετήρια δοκός
: rigid offset άκαμπτοι βραχίονες
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
114
ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΛΑΚΑΣ ΟΡΟΦΟΥ
– Η πλάκα ορόφου συμπεριφέρεται στο επίπεδό της ως στερεός δίσκος (δεν
παραμορφώνεται στο επίπεδό της)
– Περιπτώσεις που δεν είναι ρεαλιστική η παραπάνω παραδοχή;
(Γεωμετρική μορφή, ανοίγματα, φόρτιση)
– Πλεονεκτήματα της παραπάνω παραδοχής;
Μείωση υπολογιστικού όγκου, αποφυγή αριθμητικών προβλημάτων.
____________
Οι μετατοπίσεις, στροφές κόμβων που βρίσκονται στο επίπεδο της πλάκας
(εξαρτημένοι κόμβοι, slave, dependent) εκφράζονται ως συνάρτηση των
βαθμών ελευθερίας ενός κόμβου (master):
:× slave, dependent ( s ) :• m (master)
Γενικά:
,jmmms j −×+= rΩUU ms j ΩΩ =
jmz
y
x
mz
y
x
mz
y
x
sz
y
x
rrr
uuu
uuu
j −∆∆∆
×+=ωωω
,msx xxrj
−=∆ ,msy yyrj
−=∆ ,msz zzrj
−=∆
mmU
mΩ
jmr −
jSzu
yu
xuzω
yω
xω
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
115
( ) ( )yzzyxsx rruumj
∆−∆+= ωω
( ) ( )xzzxysy rruumj
∆+∆−+= ωω
( ) ( )xyyxzsz rruumj
∆−∆+= ωω
Οριζόντιο επίπεδο (μόνο zω ):
=
z
m
ω00
Ω ( ) yzxsx ruumj
∆−= ω ( ) xzysy ruumj
∆+= ω
και ( )mj zsz ωω =
Πώς λαμβάνει υπόψη το πρόγραμμα SAP τη διαφραγματική λειτουργία;
Διαφορά: constraints ↔ restraints
Μειονέκτημα εναλλακτικής λύσης;
Ροπές αδράνειας δοκών (πλακοδοκοί)
Δοκός: ""∞→A (διάταση)
""∞→I (οριζόντια κάμψη)
""∞→′A (ολίσθηση)
4
1
5 3
2
6
7
d d
dd
B
B
δοκός
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
116
Ροπές αδράνειας δοκών:
Πλακοδοκός
0bdb +⋅= 0bdb +⋅=
_____________________________________________________
Σχολιασμός, Πλεονεκτήματα, Μειονεκτήματα
_______________________________________________________
Εάν υπάρχουν n κόμβοι σε μία πλάκα ορόφου, πόσους βαθμούς
ελευθερίας έχουμε μετά τη θεώρηση διαφραγματικής λειτουργίας
της πλάκας;
(πάχος πλάκας)
+ ++
+
+
+
bd
0b
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
117
ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΠΛΑΙΣΙΑ
Τοιχίο (Επιφανειακός Φορέας)
Δοκός (Γραμμικός Φορέας) με διατομή ( LB, ) δια του κέντρου βάρους της
διατομής ( ji − ) + απολύτως στερεοί βραχίονες ( kii −− , ):
µ33,12,1265,65,
: 3333 LBBLILBIBLIAAAABLA
HLzyx
yx
=≅===′=′⋅=
<
– Προσομοίωση στερεών βραχιόνων
– Ορια εφαρμογής, Αδυναμίες, Πλεονεκτήματα
– Συζευγμένα ↔ μικτά πλαίσια
– Παραδείγματα διάταξης στύλων σε ανοικτούς πυρήνες
– Αριθμητικά προβλήματα Προβλήματα αξιοπιστίας
– Περιοχές αποκλίσεων.
B
L
H
z
y
x
j
i k
προβληματικήπεριοχή ;;
f
λεπτομέρεια
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
118
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
119
Ι Επίπεδα πλαίσια: Α) Επι μέρους τοιχία
Υποκατάσταση σύνθετου τοιχώματος από τα απλά τοιχώματα ορθογωνικής διατομής. Ενδιάμεσες δεσμεύσεις + οπλισμός στις γωνίες ⇒ αμφίβολο αν θα λειτουργήσουν ανεξάρτητα τα τοιχία Β) Ενιαία διατομή
Πλαίσιο x2Π yyJ (βλ. σελ. 110)
Πλαίσια ,3yΠ
y4Π (βλ. σελ. 109) Ο στύλος όχι στα μέσα των αντιστοίχων τοιχωμάτων αλλά στην προβολή του KB στο επίπεδο του πλαισίου
ΠέλμαΠλαίσιο y3Π
ΠέλμαΠλαίσιο
ΚορμόςΠλαίσιο x2Π
(βλ. σελ. 99, 100, 101)11, AI 22, AI
33, AI
y4Π
yyJ ∞=J
2.15 2.15
ϕk
1.04
ϕk
12 xxI
I
12
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
120
Σεισμική δύναμη στη διεύθυνση x : σφάλμα στην αντίσταση σε στρέψη ολόκληρου του κτηρίου (επειδή KBK ≠∆ όπως στην προσομοίωση)
ΙΙ Χωρικό πλαίσιο:
Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης πυρήνα κλιμακοστασίου
Προσομοίωση (α)
Προσομοίωση με 4 στύλους και άκαμπτους βραχίονες.
:∆K Ιδιότητες για κάμψη σε επίπεδο // στον άξονα :x
,yyI xsA′ και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη μηδέν.
:4,3 Ιδιότητες για κάμψη σε επίπεδο // στον άξονα :y
,21
xxJ ysA′21 και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη μηδέν.
:KB αξονικές παραμορφώσεις: μόνο A
– Πλεονεκτήματα: Συμβολή πυρήνα στην αντίσταση του κτηρίου σε
στρέψη.
– Δεν δίνεται zzJ (ροπή αδράνειας για στρέψη) σε κανένα στύλο.
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
121
Απαιτείται (γιατί;)
Να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του κορμού σε αντίθετη κάμψη των
δύο πελμάτων.
Τί δεν περιγράφεται όταν η ροπή αδράνειας σε στρέψη ""∞⇒ ;
Τί είναι στρέψη με στρέβλωση; Διαφορά με καθαρή στρέψη
(St. Venant);
Ροπή αδράνειας σε στρέψη σI (δοκοί 5-6 και 6-7)
GE
HbstI
= 224σ
:H ύψος από θεμέλιο, :t πάχος κορμού, :b μήκος κορμού,
:S απόσταση KB πυρήνα από το μέσο κορμού,
E και :G μέτρο ελαστικότητας και μέτρο διάτμησης
Προσομοίωση (β)
Προσομοίωση με 2 στύλους και απολύτως στερεούς βραχίονες
zzxxsy IIAAKB ,,,: ′
yyxs IAK ,: ′∆
Για να ληφθεί υπόψη η δυστρεψία του πυρήνα:
zzI στον στύλο KB ή ∆K
για ομοιόμορφη στρέψη: ,∑=i
iII σσ 12
3btI i =σ
για ανομοιόμορφη στρέψη: )21(2 2
2
1 βλ
+⋅≈
hId
GEI zz
I : μεγίστη ροπή αδρανείας της διατομής ενός πέλματος περι άξονα
δια κέντρου βάρους του πέλματος
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
122
h : ύψος ορόφου
1λ : συντελεστής πάκτωσης του κάθε πέλματος
( ,121 ≤λ 35.11 −≈λ )
β : GAhEI 22,7 ( A : επιφάνεια πέλματος)
G : μέτρο διάτμησης
Προσομοίωση (γ)
Σημεία 5, 7: κόμβοι (Διαφορά στη συμπεριφορά αν δεν υπάρχουν κόμβοι;)
TJ (ροπή αδράνειας σε στρέψη για δοκό 5-7):
( )
−⋅−=
121121.0
31 4
3
hththtJT
h : ύψος ορόφου
Γιατί TJ ; Δεν αρκεί ""∞=TJ ;
....,,,
κορχκορκορκορΑ′Αxy JJ
.... ,,, πελπελπελπελ xyx JJ Α′Α
άκαμπτοι, απολύτως στερεοί βραχίονες
(ν (ισχύουν και για στύλο 3)
x5
3
6 7
4
ty
y
x
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
123
• : στύλος : άκαμπτος βραχίων πλ : πλάτη
κ : κορμός πυρ: πυρήνας KB : κέντρο βάρους
Προσομοίωση (α): Στύλος στο T , στύλος στο ,πυρ.KB άκαμπτοι βραχίονες
Προσομοίωση (β): “ “ T , “ “ ,kKB “ “
Μέγεθος Προσομοίωση (α) Προσομοίωση (β)
δοκός στο σημείο
κKB ή πυρ.KB
A πυρ.A κA
xA′ κA κxA′
yA′ 0 κyA′
xxI 0 κxxI
yyI πυρ.yyI κ
yyI
zI 0 κzI
A 0 .πλA
δοκός στο σημείο
T
xA′ 0 πλ.xA′
yA′ .πλA πλ.yA′
xxI πυρ.xxI πλ.
xxI
yyI 0 πλ.yyI
zI πυρ.zI πλ.
zI
y
y
y
x x
T
KBπυρή
kKB
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
124
– Διαφορές : ανοικτοί, ημιανοικτοί, κλειστοί πυρήνες
– Τι είναι ανάστροφη κάμψη;
– Σε ποιές περιπτώσεις (γεωμετρία, φόρτιση) συνιστάται / δεν συνιστάται η
προσομοίωση με πλαισιακά μοντέλα; Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης.
– Ποιές είναι οι δυνατότητες των Η/Υ σήμερα:
σε μνήμη RAM;
σε χωρητικότητα δίσκων;
σε ταχύτητα;
σε παρουσίαση των αποτελεσμάτων;
– Ποιές είναι οι δυνατότητες πακέτων πεπερασμένων στοιχείων σήμερα:
σε εισαγωγή / έλεγχο δεδομένων;
σε έλεγχο αποτελεσμάτων;
– Πόσο διαρκεί η επίλυση ενός προβλήματος με 30.000 αγνώστους στην
περίπτωση στατικής και δυναμικής φόρτισης;
Δι αφορές στησυμπερι φοράΔιαφορές στη συμπεριφορά
ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α
σελίδα
ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 125
Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης
Θεσσαλονίκη 2011
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 125 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
125
1. Δίνεται η 3η σειρά του μητρώου δυσκαμψίας μιάς δοκού (κάμψη): [ ] [ ]4.0,2.1,8.0,2.134333231 −=kkkk .
Ποιά είναι η φυσική σημασία του στοιχείου 32k ; Να ελεγχθεί η ορθότητα των αριθμών (μήκος δοκού m…= )
2. Ζητείται το GLk (σύστημα zx − ) της ράβδου ba − . Τι παρατηρείται; Σχολιασμός!
3. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες των κόμβων 1 ÷4. Σχολιασμός! (καθολικό σύστημα )zx − .
4. Σχεδιάστε το μητρώο δυσκαμψίας της συνεχούς δοκού για τις δύο
εναλλακτικές αριθμήσεις των κόμβων (όχι τύπους). Σχολιασμός. Εναλλακτικοί τρόποι.
5. Να βρεθεί ο βέλτιστος τρόπος αρίθμησης του διπλανού φορέα. Να ερευνηθεί και σχολιασθεί η δυνατότητα επίλυσης του συστήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων.
a b z
x
z
x
1 2
3
4
PM
Δ =φ
11
24
33
42
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 126 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
126
6. Είναι δυνατή η επίλυση των παρακάτω συστημάτων με τη μέθοδο των
πεπερασμένων στοιχείων;
7. Να αξιοποιηθεί η συμμετρία (ομάδα φορτίων 1P ) / αντισυμμετρία (ομάδα φορτίων 2P ) του παρακάτω χωρικού πλαισίου.
P1 P1
P2
P2
P2
P2
P1 P1
8. Πώς θα λάβετε υπόψη τις δυνάμεις 1P και 2P ;
9. Αρίθμηση κόμβων:
P1
P2
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 127 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
127
10.Δίδεται: ,1000=EF 000.10=EI , ,12=q ,10= o45=α
Ζητείται: α) ,xu zu του κόμβου Β β) ,Q M του κόμβου Β Να χρησιμοποιηθεί μόνο ένα πεπερασμένο στοιχείο και το καθολικό σύστημα αναφοράς ZX − του σχήματος.
/2
/2
B
Z
Xa EF
EF
EI
11. Ζητείται: Προσομοίωση πλαισίου. (Εναλλακτικοί τρόποι \ σχολιασμός)
Θεμελίωση επί ελαστικού εδάφους
12. Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα εξιισώσεων με τη μέθοδο
Gauss:
=+=−
− 1100
212
21
xxxx
=−=+−
0110
21
212
xxxx
Να γίνει αποκοπή στα 2 δεκαδικά ψηφία Τί παρατηρείτε; (ακριβής λύση: 10110021 == xx )
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 128 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
128
13. Δίδεται:
( ) ( ) ( ) ( ) bbaa www ϕξξξξϕξξξξξ 23322332 232231 −+−+−+++−=
α) Να υπολογισθούν τα εργικά ισοδύναμα φορτία β) Γιατί ισχύει: ,TkTk L
TGL = L
TGL PTP =
14. Δίδεται:
5108 ⋅=RI ,4cm 1800=RA ,2cm 7103 ⋅=E 2mkN
41024 ⋅=REI 2mkN 4106 ⋅=SEI 2mkN
[ ]555333222 ϕϕϕ wuwuwu
21021000
4200
2105.3
,
81.367.8.1849.003.1533.167.05.667.022.00002.19
001549.003.3000033.167.008.300067.022.0067.08.18000001549.00
3
11
P
Psym
k
EIk S =−−−
−−−−
∗= ΣΣ
Ζητείται: α) ?,11 =k ?3 =P (τύπος + τιμή)
β) Δίδονται οι μετατοπίσεις και στροφές (στο καθολικό σύστημα): ,492 =u ,3.92 =w ,1.582 −=ϕ ,1.435 =u ,7.95 =w 3.535 =ϕ
,7.453 =u ,2.263 =w ,5.23 −=ϕ ,iSi uEIu ⋅= iSi wEIw ⋅=
p=
x=ξwa
φa
wb
φb
mkNq 20=
mkNq 70=
45102 cmIs ⋅=21300 cmAs =
RR AI , RR AI ,
ss AI , ss AI ,
q
3.5 m
6.0 m 6.0 mφ
u
w
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 129 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
129
Να υπολογισθούν και σχεδιασθούν οι ροπές της δοκού 3-5
γ) Το μητρώο Σk (ορθογωνική μορφή) έχει διαστάσεις nm × ?,=m ?,=n ?,=mnA ?,21 =A ?13 =A
δ) Να σχηματισθεί το μητρώο Σk για την περίπτωση ""∞=SEA και
""∞=REA _________________________________________________________
15. Να σχηματισθούν τα μητρώα 1
GLk και 2GLk . Τί παρατηρείτε και γιατί;
16. Γιατί ισχύουν οι τύποι:
,TkTk LT
GL = ;o
LT
GL pTP =
17. Δίδεται:
[ ]ZYXZYXZYXTGL UUUUUU ΦΦΦ=V
κόμβος 1 κόμβος 2 κόμβος 3
[ ]3,10,05,0,05,0,0 ++−=
Ζητείται: παραμορφωμένη δοκός
18.
α) Έχετε ένα πρόγραμμα που διαθέτει μόνο στοιχεία δοκού. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες στους κόμβους 1 και, 2; Τί προβλήματα μπορούν να παρουσιασθούν;
1
a2
1 2 3
Z
Y
X
1 2
40o
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 130 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
130
β) Έχετε ένα πρόγραμμα που επιτρέπει την εισαγωγή διαφορετικών συστημάτων αναφοράς σε κάθε κόμβο. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες;
19. Δίδεται:
Ζητείται:– Το Σk (ορθογωνική μορφή) – Πού βρίσκεται η θέση των ,33k ,35k 13k ; – Αριθμός πράξεων για την επίλυση συστήματος εξισώσεων;
20. Δίδονται τα φορτία διατομής ( ,Q ,M N ) και οι μετατοπίσεις και στροφές
στους κόμβους του παρακάτω πλαισίου:
– Πώς μπορούν να ελεγχθούν τα αποτελέσματα; ____________________________________________________________ 21. Δίδεται: PuuKu TT δδ =
[ ]644111 ϕυ wuwuT =u
[ ]644111 δϕδδδδυδδ wuwuT =u
[ ]654321 PPPPPPT =P
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
kkkkkksymkkkkkkkkkkkkkkk
K
100
100
20
kΣ=k33
P P
Mq
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 131 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
131
Να ληφθεί υπόψη: α) ,01 =w ?1 =wδ β) ,56 =ϕ ?6 =δϕ Να αιτιολογηθούν τα επιμέρους βήματα!
22.
23.
?=cabK
24.
– Επίπεδα πλαίσια – Χωρικό πλαίσιο – ,
sxu ,syu ( ) ?, =Φ= mmz uf
sϕ
T=?
T=?30o
a b
Δy
Δx
y
x
s
m
Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 132 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης
132
25.
?=K
26.
____________________________________________________________
27. Πότε πρέπει να υπολογισθεί ο Φ.Ο. ενός κτηρίου ως χωρικό πλαίσιο;
28. Πως μπορεί να ληφθεί υπόψη το έδαφος;
29. Πώς μπορεί να προσομοιωθεί ένα ογκώδες πέδιλο;
30. Τί είναι διαφραγματική λειτουργία της πλάκας ορόφου; Όρια εφαρμογής;
31. Μοντέλο ισοδύναμου πλαισίου; Όρια εφαρμογής;
32. Τί είναι ανοικτοί, ημιανοικτοί, κλειστοί πυρήνες;
33. Προσομοίωση πυρήνων με ισοδύναμα πλαίσια; Αδυναμίες;
34. Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης πυρήνων;
K=?
i i
K =?ab
ab