Transcript of Algebra lineal y sus aplicaciones, 3ra edición david c. lay
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- 6. lgebra lineal y sus aplicaciones TERCERA EDICIN ACTUALIZADA
David C. Lay University of Maryland College Park TRADUCCIN Jess
Elmer Murrieta Murrieta 00 Maq. Prelimi(LAY).indd v 10/13/06
12:08:06 AM
- 7. Authorized translation from the English language edition,
entitled Linear Algebra and its applications, 3/e by David C. Lay
published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley,
INC., Copyright 2006. All rights reserved. ISBN 0321287134
Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, Linear Algebra
and its applications, 3/e por David C. Lay publicada por Pearson
Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2006.
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140 Jet Propulsion Lab/NASA. 161 Bo Strain; Reprinted by permission
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Center. 289, 469 Eyewire. 301 Stone. 373 Corbis. 374 From North
American Datum of 1983, Charles Schwartz editor, National Geodetic
Information Center. 426 Anglo-Australian Observatory/Royal
Observatory, Edinburgh. 447 NASA. 448 GEOPIC image courtesy of
Earth Satellite Corporation, Rockville, MD. TERCERA EDICIN, 2007
D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco
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970-26-0906-2 ISBN 13: 978-970-26-0906-3 Impreso en Mxico. Printed
in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07 LAY, DAVID C. LGEBRA
LINEAL Y SUS APLICACIONES PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2007 ISBN:
978-970-26-0906-3 rea: Matemticas Formato: 20 25.5 cm Pginas: 584
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- 8. A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijas Christina, Deborah
y Melissa, cuyo apoyo, nimos, y eles oraciones hicieron posible
este libro 00 Maq. Prelimi(LAY).indd vii 10/13/06 12:08:08 AM
- 9. Acerca del autor David C. Lay tiene los ttulos de B. A. de
Aurora University (Illinois), y de M. A. y PH. D. por la
Universidad de California en Los ngeles. El profesor Lay ha sido
cate- drtico e investigador en matemticas desde 1966,
principalmente en la Universidad de Maryland, College Park. Tambin
ha trabajado como profesor visitante en la Universi- dad de
msterdam, en la Universidad Libre de msterdam y en la Universidad
de Kai- serslautern, Alemania. Tiene ms de treinta artculos de
investigacin publicados como anlisis funcional y lgebra lineal.
Como miembro fundador del Grupo de Estudio del Currculum de lgebra
Lineal patrocinado por la N.S.F., el profesor Lay ha sido lder en
el movimiento actual para modernizar el plan de estudios de lgebra
lineal. El profesor Lay tambin es coautor de varios textos
matemticos, entre ellos, Introduction to Functional Analysis, con
Angus E. Taylor, Calculus and its Applications, con L. J. Goldstein
y D. I. Schneider, y Linear Algebra Gens Assets for Undergraduate
Mathematics, con D. Carlson, C. R. Johnson y A. D. Porter.
Catedrtico de primera lnea. El profesor Lay ha recibido cuatro
premios univer- sitarios por excelencia docente, incluido en 1996
el de Distinguished ScholarTea- cher de la Universidad de Maryland.
En 1994, se le concedi uno de los Premios de la Mathematical
Association of America, que lleva el ttulo de Distinguished College
or University Teaching of Mathematics. Ha sido elegido por los
estudiantes universitarios miembro de la Alpha Lambda Delta
National Scholastic Honor Society y de la Golden Key National Honor
Society. En 1989, la Aurora University le concedi el premio
Outstanding Alumnus. El doctor Lay es miembro de la American
Mathematical Society, de la Canadian Mathematical Society, de la
International Linear Algebra Society, de la Mathematical
Association of America, Sigma Xi, y de la Society for Industrial
and Applied Mathematics. Desde 1992, ha formado parte de la junta
directiva nacional de la Association of Christians in the
Mathematical Sciences. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd viii 10/13/06
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- 10. Contenido Prefacio ix Nota para los estudiantes xv
Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1 EJEMPLO INTRODUCTORIO:
Modelos lineales en economa e ingeniera 1 1.1 Sistemas de
ecuaciones lineales 2 1.2 Reduccin por filas y formas escalonadas
14 1.3 Ecuaciones vectoriales 28 1.4 La ecuacin matricial Ax = b 40
1.5 Conjuntos solucin de los sistemas lineales 50 1.6 Aplicaciones
de los sistemas lineales 57 1.7 Independencia lineal 65 1.8
Introduccin a las transformaciones lineales 73 1.9 La matriz de una
transformacin lineal 82 1.10 Modelos lineales en negocios, ciencias
e ingeniera 92 Ejercicios suplementarios 102 lgebra de matrices 105
EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseo de
aviones 105 2.1 Operaciones de matrices 107 2.2 La inversa de una
matriz 118 2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 128 2.4
Matrices partidas 134 2.5 Factorizaciones de matrices 142 2.6 El
modelo de Leontief de entrada y salida 152 2.7 Aplicaciones a los
grficos por computadora 158 2.8 Subespacios de Rn 167 2.9 Dimensin
y rango 176 Ejercicios suplementarios 183 ix C A P T U L O 1 C A P
T U L O 2 00 Maq. Prelimi(LAY).indd ix 10/13/06 12:08:09 AM
- 11. x Contenido Determinantes 185 EJEMPLO INTRODUCTORIO:
Determinantes en geometra analtica 185 3.1 Introduccin a los
determinantes 186 3.2 Propiedades de los determinantes 192 3.3
Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 201 Ejercicios
suplementarios 211 Espacios vectoriales 215 EJEMPLO INTRODUCTORIO:
Vuelo espacial y sistemas de control 215 4.1 Espacios y subespacios
vectoriales 216 4.2 Espacios nulos, espacios columna y
transformaciones lineales 226 4.3 Conjuntos linealmente
independientes; bases 237 4.4 Sistemas de coordenadas 246 4.5 La
dimensin de un espacio vectorial 256 4.6 Rango 262 4.7 Cambio de
base 271 4.8 Aplicaciones a ecuaciones en diferencias 277 4.9
Aplicaciones a cadenas de Markov 288 Ejercicios suplementarios 298
Valores propios y vectores propios 301 EJEMPLO INTRODUCTORIO:
Sistemas dinmicos y los bhos manchados 301 5.1 Vectores propios y
valores propios 302 5.2 La ecuacin caracterstica 310 5.3
Diagonalizacin 319 5.4 Vectores propios y transformaciones lineales
327 5.5 Valores propios complejos 335 5.6 Sistemas dinmicos
discretos 342 5.7 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales 353
5.8 Estimaciones iterativas para valores propios 363 Ejercicios
suplementarios 370 C A P T U L O 3 C A P T U L O 5 C A P T U L O 4
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- 12. Ortogonalidad y mnimos cuadrados 373 EJEMPLO INTRODUCTORIO:
Reajuste del Nivel de Referencia Norteamericano 373 6.1 Producto
interior, longitud y ortogonalidad 375 6.2 Conjuntos ortogonales
384 6.3 Proyecciones ortogonales 394 6.4 El proceso Gram-Schmidt
402 6.5 Problemas de mnimos cuadrados 409 6.6 Aplicaciones a
modelos lineales 419 6.7 Espacios con producto interior 427 6.8
Aplicaciones de los espacios con producto interior 436 Ejercicios
suplementarios 444 Matrices simtricas y formas cuadrticas 447
EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imgenes multicanal 447 7.1
Diagonalizacin de matrices simtricas 449 7.2 Formas cuadrticas 455
7.3 Optimizacin restringida 463 7.4 La descomposicin en valores
singulares 471 7.5 Aplicaciones al procesamiento de imgenes y a la
estadstica 482 Ejercicios suplementarios 491 Apndices A Unicidad de
la forma escalonada reducida A1 B Nmeros complejos A3 Glosario A9
Respuestas a ejercicios impares A19 ndice I1 Contenido xi C A P T U
L O 6 C A P T U L O 7 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xi 10/13/06
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- 13. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xii 10/13/06 12:08:10 AM
- 14. xiii Prefacio La respuesta de estudiantes y profesores a
las primeras tres ediciones de lgebra lineal y sus aplicaciones ha
sido muy gratificante. Esta tercera edicin actualizada proporciona
un apoyo sustancial tanto para la enseanza como para el uso de
tecnologa en el curso. Como antes, el texto presenta una
introduccin elemental moderna al lgebra lineal y una amplia
seleccin de interesantes aplicaciones. El material es accesible a
estudiantes que hayan adquirido la madurez necesaria, por lo
general, en clculo, despus de com- pletar satisfactoriamente dos
semestres de matemticas a nivel universitario. La meta principal
del texto es ayudar a los estudiantes a dominar los conceptos y las
habilidades bsicas que despus utilizarn en sus carreras. Los temas
incluidos siguen las recomendaciones del Linear Algebra Curriculum
Study Group, las cuales se basan en una investigacin cuidadosa de
las necesidades reales de los estudiantes y en un consen- so
logrado entre profesionales de muchas disciplinas que utilizan
lgebra lineal. Espero que este curso sea una de las clases de
matemticas ms tiles e interesantes que puedan tomarse durante los
estudios universitarios. CARACTERSTICAS DISTINTIVAS Introduccin
temprana de conceptos clave Muchas ideas fundamentales del lgebra
lineal se introducen en siete lecturas, una lec- tura al inicio de
cada captulo, en el establecimiento concreto de Rn, y despus se
exa- minan de manera gradual desde diferentes puntos de vista.
Posteriormente aparecen generalizaciones de estos conceptos como
extensiones naturales de ideas familiares, vi- sualizadas a travs
de la intuicin geomtrica desarrollada en el captulo 1. En la opinin
del autor, una de las caractersticas positivas del texto es que el
nivel de dificultad es bastante uniforme a lo largo del curso. Una
visin moderna de la multiplicacin de matrices La notacin correcta
es crucial, y el texto refleja la forma real en que los cientficos
e ingenieros aplican el lgebra lineal en la prctica. Las
definiciones y comprobaciones se enfocan en las columnas de una
matriz en lugar de en sus entradas. Un tema esencial es considerar
un producto vector-matriz Ax como una combinacin lineal de las
columnas de A. Este moderno enfoque simplifica muchos argumentos, y
vincula las ideas de espa- cio vectorial con el estudio de sistemas
lineales. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xiii 10/13/06 12:08:10 AM
- 15. Transformaciones lineales Las transformaciones lineales
forman un hilo que se entreteje en la tela de este texto. Su
utilizacin mejora el sentido geomtrico de lo escrito. Por ejemplo,
en el captulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una
visin dinmica y grfica de la multipli- cacin matriz-vector. Valores
propios y sistemas dinmicos Los valores propios aparecen
equitativamente pronto en el texto, en los captulos 5 y 7. Como
este material se estudia durante varias semanas, los alumnos tienen
ms tiempo del usual para absorber y revisar estos conceptos
crticos. Los valores propios se aplican a sistemas dinmicos
discretos y continuos, los cuales aparecen en las secciones 1.10,
4.8, 4.9, y en cinco secciones del captulo 5. Algunos cursos llegan
al captulo 5 en unas cinco semanas pues cubren las secciones 2.8 y
2.9 en lugar del captulo 4. Estas dos secciones opcionales
presentan todos los conceptos del espacio vectorial incluidos en el
captulo 4, mismos que son necesarios para abordar el captulo 5.
Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadrados Estos temas reciben
un tratamiento ms comprensible en comparacin con el que se en-
cuentra comnmente en los textos bsicos. El Linear Algebra
Curriculum Study Group ha enfatizado la necesidad de contar con una
unidad sustancial en los problemas de ortogonalidad y mnimos
cuadrados, debido a que la ortogonalidad cumple un papel importante
en los clculos computacionales y en el lgebra lineal numrica, y
porque los sistemas lineales inconsistentes surgen muy
frecuentemente en el trabajo prctico. CARACTERSTICAS PEDAGGICAS
Aplicaciones Una amplia seleccin de aplicaciones ilustra el poder
del lgebra lineal para explicar principios fundamentales y
simplificar los clculos en ingeniera, ciencia computacio- nal,
matemticas, fsica, biologa, economa y estadstica. Algunas
aplicaciones apare- cen en secciones diferentes; otras se explican
mediante ejemplos y ejercicios. Adems, cada captulo abre con un
ejemplo introductorio que especifica la etapa apropiada para
efectuar determinada aplicacin del lgebra lineal, y proporciona una
motivacin para desarrollar las matemticas que siguen. Despus, el
texto retoma la aplicacin en una seccin cercana al final del
captulo. Un fuerte nfasis geomtrico En el curso, todos los
conceptos importantes reciben una interpretacin geomtrica, de- bido
a que muchos estudiantes aprenden de mejor manera cuando pueden
visualizar una idea. Existe una cantidad sustancialmente mayor de
ilustraciones de lo usual, y algunas de las figuras no han
aparecido nunca antes en un texto de lgebra lineal. Ejemplos En
contraste con lo que se acostumbra en la mayor parte de los libros
de lgebra, este texto dedica una proporcin ms grande de su material
de exposicin a ejemplos. Existen ms ejemplos de los que
ordinariamente presentara un profesor en clase. Pero como han sido
escritos con cuidado y de manera detallada, los estudiantes pueden
leerlos por s mismos. xiv Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xiv
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- 16. Prefacio xv Teoremas y demostraciones Los resultados
importantes se establecen como teoremas. Otros conceptos tiles se
des- pliegan dentro de recuadros iluminados para utilizarse como
referencias rpidas. La mayor parte de los teoremas tienen
comprobaciones formales, escritas pensando en los alumnos
principiantes. En algunos casos, los clculos esenciales de una
comprobacin se muestran en un ejemplo seleccionado cuidadosamente.
Algunas verificaciones de rutina se dejan para la seccin de
ejercicios, cuando esto resulta benfico para los estudiantes.
Problemas de prctica Antes de cada serie de ejercicios aparecen
algunos problemas de prctica seleccionados en forma cuidadosa. La
serie de ejercicios va seguida por soluciones completas. Estos
problemas se enfocan en dificultades potenciales que pueden
encontrarse en la serie de ejercicios o proporcionan un
calentamiento para la ejecucin posterior de los ejerci- cios; con
frecuencia, las soluciones contienen sugerencias o advertencias
tiles acerca de la tarea. Ejercicios La abundancia de ejercicios
incluye desde clculos de rutina hasta preguntas conceptuales que
requieren de mayor reflexin. Un buen nmero de preguntas innovadoras
destacan las dificultades conceptuales que el autor ha encontrado
en los estudiantes a travs de los aos. Cada serie de ejercicios se
organiza cuidadosamente, en el mismo orden general que el texto:
las asignaciones de tarea pueden encontrarse con facilidad cuando
slo se ha estudiado una parte de determinada seccin. Una
caracterstica notable de los ejercicios es su simplicidad numrica.
Los problemas se desdoblan rpidamente, por lo que los estu- diantes
pasan poco tiempo realizando clculos numricos. Los ejercicios se
concentran en inducir la comprensin de los temas, en vez de
demandar clculos mecnicos. Preguntas de verdadero o falso Para
estimular a los estudiantes a leer todo el texto y a pensar de
manera crtica, se han desarrollado 300 preguntas simples del tipo
verdadero o falso que aparecen en 33 seccio- nes del texto, justo
enseguida de los problemas computacionales. Estas preguntas pueden
responderse directamente a partir del texto y preparan al
estudiante para los problemas conceptuales que vienen despus. Los
estudiantes aprecian estas preguntas luego de reconocer la
importancia de leer el texto con cuidado. Con base en pruebas de
clase y discusiones con estudiantes, se decidi no poner las
respuestas en el texto. Para compro- bar la comprensin del
material, existen 150 preguntas adicionales del tipo verdadero o
falso (casi siempre al final de los captulos.) El texto proporciona
respuestas simples V/F a la mayor parte de estas preguntas, pero
omite las justificaciones a las respuestas (que, por lo general,
requieren de cierta reflexin). Ejercicios de escritura Para todos
los estudiantes de lgebra lineal resulta esencial poseer la
capacidad de escri- bir enunciados matemticos coherentes, no slo
para quienes obtendrn un ttulo en ma- temticas. El texto incluye
muchos ejercicios para los cuales parte de la respuesta consiste en
proporcionar una justificacin escrita. Los ejercicios conceptuales
que requieren una comprobacin corta contienen, por lo general,
sugerencias que ayudan al estudiante a ini- ciar la bsqueda de la
solucin. Para gran parte de los ejercicios de escritura con nmero
impar, se incluye una solucin al final del texto o se proporciona
una sugerencia. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xv 10/13/06 12:08:12
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- 17. Temas computacionales El texto acusa el impacto de la
computadora tanto en el desarrollo como en la prctica del lgebra
lineal en las ciencias y la ingeniera. Las frecuentes notas
numeradas dirigen la atencin hacia aspectos de cmputo y distinguen
entre conceptos tericos, digamos la inversin de matrices, e
implementaciones de computadora, tales como las factorizacio- nes
LU. CD ANEXO Y SOPORTE EN LA RED La edicin actualizada del texto
incluye una copia completa (en ingls) de la Gua de estudio (Study
Guide) en el CD anexo. Esta gua fue escrita para ser una parte
integral del curso. Un cono SG en el texto dirige a los estudiantes
a subsecciones especiales de la gua que sugieren cmo dominar los
conceptos clave del curso. La gua proporciona una solucin detallada
a cada tercer ejercicio con nmero impar, lo que permite a los
estudiantes verificar su trabajo. Se proporciona una explicacin
completa cada vez que un ejercicio de escritura con nmero impar
tiene slo una sugerencia en las respuestas. Existen advertencias
frecuentes que identifican los errores comunes y muestran cmo
evitarlos. Los recuadros de MATLAB presentan comandos cada vez que
uno de stos es necesario. Los apndices en la Gua de estudio
proporcionan informacin comparable acerca de Maple, Mathematica y
calculadoras grficas TI y HP. Inicio del trabajo con tecnologa Si
su curso incluye algn trabajo con MATLAB, Maple, Mathematica o
calculadoras TI o HP, puede leer uno de los proyectos que aqu se
presentan para obtener una introduc- cin a la tecnologa. (Vea la
pgina 104 del texto.) Archivos de datos Cientos de archivos
contienen datos para alrededor de 900 ejercicios numricos incluidos
en el texto, estudios de caso y proyectos de aplicacin. Los datos
estn disponibles en una diversidad de formatos para MATLAB, Maple,
Mathematica y las calculadoras grfi- cas TI-83+/86/89 y HP48G. Al
permitir a los estudiantes la introduccin de matrices y vectores
para un problema en particular con unos cuantos golpes de tecla,
los archivos de datos eliminan errores de entrada y ahorran tiempo
en la realizacin de tareas. Nuevos proyectos de MATLAB Estos
proyectos exploratorios invitan a los estudiantes a descubrir
aspectos matemticos y numricos que son bsicos en lgebra lineal.
Escritos por Rick Smith, fueron desa- rrollados para acompaar un
curso computacional de lgebra lineal en University of Florida,
donde se ha utilizado lgebra lineal y sus aplicaciones por muchos
aos. Los proyectos estn sealados mediante el cono CD en puntos
adecuados del texto. Alre- dedor de la mitad de los proyectos
exploran conceptos fundamentales como el espacio de columna, la
diagonalizacin, y las proyecciones ortogonales; otros se enfocan en
aspectos numricos como los flops, mtodos iterativos, y la DVS, y
algunos examinan aplicaciones como las cadenas de Markov.
www.pearsoneducacion.net/lay Esta pgina web contiene el material
incluido en el CD anexo, excepto la Gua de estu- dio y los nuevos
proyectos de MATLAB. Adems, el sitio contiene el primer captulo xvi
Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xvi 10/13/06 12:08:13 AM
- 18. Prefacio xvii del texto actualizado y el primer captulo de
la Gua de estudio (en ingls). Este material es proporcionado para
ayudar a los profesores a iniciar con su curso, tal como si una
librera distribuyera el texto justo antes de que las clases
comenzaran. Para los estudian- tes, el sitio en red contiene hojas
de repaso y exmenes de prctica (con soluciones) que cubren los
temas principales del texto. Provienen de manera directa de cursos
que el autor ha impartido en los ltimos aos. Cada hoja de repaso
identifica definiciones clave, teoremas y habilidades de una parte
especfica del texto. Aplicaciones por captulos El sitio en la red
tambin contiene siete casos de estudio, los cuales amplan los temas
introducidos al inicio de cada captulo al agregar datos del mundo
real y oportunidades para efectuar una exploracin ms profunda. Por
otro lado, ms de veinte proyectos de aplicacin hacen extensivos los
temas del texto o introducen nuevas aplicaciones, como ranuras
cbicas, rutas de vuelo en aerolneas, matrices de dominancia en
competencias deportivas, y cdigos de correccin de errores. Algunas
aplicaciones matemticas son las tcnicas de integracin, la
localizacin de races polinomiales, las secciones cni- cas, las
superficies cuadrticas, y los extremos para funciones de dos
variables. Tambin se incluyen temas de lgebra lineal numrica, como
nmeros de condicin, factorizacin de matrices, y el mtodo QR para
encontrar valores propios. Entrelazados en cada an- lisis se
encuentran ejercicios que pueden involucrar grandes series de datos
(y por ende requerir el uso de la tecnologa para resolverlos).
RECURSOS PARA EL PROFESOR Pgina de recursos para profesores En la
pgina Web www.pearsoneducacion.net/lay el profesor tambin puede
acceder a una pgina de descarga donde encontrar todos los archivos
de los materiales que acom- paan al libro de texto. Entre otras
cosas, esta pgina incluye: Manual de soluciones a los ejercicios
del libro. Banco de exmenes en formato electrnico. Dos captulos
adicionales a los del libro impreso. Manuales de las aplicaciones y
calculadoras ms utilizadas. Curso de CourseCompass en lnea Este
libro cuenta tambin con un curso precargado en CourseCompass, que
es una plata- forma completa para cursos en lnea desarrollada por
Blackboard Technologies y com- plementada con contenidos de Pearson
Educacin. En sta el profesor puede asignar exmenes y tareas,
organizar todos los materiales del curso, comunicarse con sus alum-
nos y administrar las calificaciones. Para mayor informacin, visite
www.pearsonedu- cacion.net/coursecompass RECONOCIMIENTOS El autor
expresa su gratitud a muchos grupos de personas que lo han ayudado
a travs de los aos con diferentes aspectos del libro. Se agradece a
Israel Gohberg y Robert Ellis por ms de quince aos de colaboracin
en la investigacin del lgebra lineal, lo cual ha conformado en gran
medida una visin particular de esta materia. 00 Maq.
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- 19. Ha sido un privilegio trabajar con David Carlson, Charles
Johnson, y Duane Porter en el Linear Algebra Curriculum Study
Group. Sus ideas sobre la enseanza del lgebra lineal han influido
en este texto de muchas maneras importantes. Agradezco de manera
sincera a los siguientes revisores por su anlisis cuidadoso y sus
sugerencias constructivas: Revisores de la tercera edicin y
ejecutores de pruebas en clase David Austin, Grand Valley State
University G. Barbanson, University of Texas at Austin Kenneth
Brown, Cornell University David Carlson, San Diego State University
Greg Conner, Brigham Young University Casey T. Cremins, University
of Maryland Sylvie DesJardins, Okanagan University College Daniel
Flath, University of South Alabama Yuval Flicker, Ohio State
Universitv Scott Fulton, Clarkson University Herman Gollwitzer,
Drexel University Jeremy Haefner, University of Colorado at
Colorado Springs William Hager, University of Florida John Hagood,
Northern Arizona University Willy Hereman, Colorado School of Mines
Alexander Hulpke, Colorado State University Doug Hundley, Whitman
College James F. Hurley, University of Connecticut Jurgen
Hurrelbrink, Louisiana State University Jerry G. Ianni, La Guardia
Community College (CUNY) Hank Kuiper, Arizona State University
Ashok Kumar, Valdosta State University Earl Kymala, California
State University, Sacramento Kathryn Lenz, University of
Minnesota-Duluth Jaques Lewin, Syracuse University En-Bing Lin,
University of Toledo Andrei Maltsev, University of Maryland Abraham
Mantell, Nassau Community College Madhu Nayakkankuppam, University
of Maryland-Baltimore County Lei Ni, Stanford University Gleb
Novitchkov, Penn State University Ralph Oberste-Vorth, University
of South Florida Dev Sinha, Brown University Wasin So, San Jose
State University Ron Solomon, Ohio State University Eugene Spiegel,
University of Connecticut Alan Stein, University of Connecticut
James Thomas, Colorado State University Brian Turnquist, Bethel
College Michael Ward, Western Oregon University Bruno Welfert,
Arizona State University Jack Xin, University of Texas at Austin
Para esta actualizacin de la tercera edicin, agradezco a Thomas
Polaski, de Win- throp University, quien revis materiales
complementarios de la tercera edicin y siem- pre estuvo dispuesto a
dar un consejo. Tambin estoy agradecido con Rick Smith, de
University of Florida, por adaptar sus proyectos de MATLAB para la
actualizacin, y con Jeremy Case, de Taylor University, por su ayuda
con los proyectos. Por ltimo, agra- dezco a todo el personal de
Addison-Wesley por su trabajo en esta actualizacin. David C. Lay
xviii Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xviii 10/13/06 12:08:15
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- 20. xix Nota para los estudiantes Este curso puede ser el ms
interesante y valioso entre todas las clases de matemticas que
pueden cursarse durante los estudios universitarios. De hecho,
algunos estudiantes me han escrito o hablado despus de graduarse y
an utilizan de manera ocasional este texto como una referencia en
sus carreras en varias corporaciones importantes y en escuelas de
posgrado en ingeniera. Los siguientes comentarios ofrecen algunos
con- sejos prcticos e informacin que pueden ayudarle a dominar el
material y a disfrutar el curso. En lgebra lineal, los conceptos
son tan importantes como los clculos. Los ejer- cicios numricos
simples que inician cada serie de ejercicios slo ayudan a verificar
su comprensin de los procedimientos bsicos. Posteriormente, en su
carrera, las compu- tadoras realizarn los clculos, pero ser
necesario elegir los adecuados, saber cmo interpretar los
resultados, y despus explicar las soluciones a otras personas. Por
esta razn, en el texto muchos ejercicios le piden explicar o
justificar los clculos realizados. Con frecuencia se solicita una
explicacin escrita como parte de la respuesta. Para la gran mayora
de los ejercicios con nmero impar, encontrar la explicacin deseada
o al menos una buena sugerencia. Debe evitar la tentacin de buscar
las respuestas a los ejer- cicios hasta no haber intentado escribir
una solucin por usted mismo. De otra manera, es posible considerar
que algo ha sido comprendido an cuando en realidad no sea as. Para
dominar los conceptos del lgebra lineal, es necesario leer y releer
el texto con sumo cuidado. Los trminos nuevos se presentan en
negritas, algunas veces encerrados en recuadros de definicin.Al
final del texto se incluye un glosario de trminos. Los con- ceptos
importantes se establecen como teoremas o se incluyen en recuadros
iluminados, para utilizarse como referencia rpida. Es recomendable
leer las cuatro primeras pginas del prefacio para aprender ms sobre
la estructura del texto. Esto le proporcionar un marco para
comprender la manera en que se desarrollar el curso. En sentido
prctico, el lgebra lineal es un lenguaje. Este lenguaje debe
aprenderse de la misma forma en que se aprende un idioma extranjero
con trabajo diario. El material presentado en una seccin no se
comprende con facilidad a menos que se haya estudiado por completo
el texto y se hayan resuelto los ejercicios de las secciones pre-
vias. Por eso es necesario mantenerse al corriente con el curso, lo
cual le ahorrar mucho tiempo y angustia. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd
xix 10/13/06 12:08:16 AM
- 21. Notas numricas Se recomienda leer las notas numricas
incluidas en el texto, incluso si no se est utili- zando una
computadora o calculadora grfica junto con el libro. En la vida
real, la mayor parte de las aplicaciones de lgebra lineal implican
clculos que estn sujetos a algn error numrico, an cuando dicho
error pueda ser muy pequeo. Las notas numricas le advertirn acerca
de dificultades potenciales al utilizar posteriormente el lgebra
lineal en su carrera, y si estudia estas notas ahora, existe una
mayor posibilidad de que las recuerde despus. Si el lector disfruta
la lectura de las notas numricas, es posible que luego desee tomar
un curso de lgebra numrica. Debido a la alta demanda de mayor poder
compu- tacional, los cientficos en computacin y los matemticos
trabajan en el lgebra lineal numrica para desarrollar algoritmos ms
rpidos y confiables con qu realizar clculos, y los ingenieros
elctricos disean computadoras ms rpidas y pequeas para ejecutar los
algoritmos. Este campo resulta estimulante, y su primer curso en
lgebra lineal lo ayudar a prepararse para abordarlo. xx Nota para
los estudiantes 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xx 10/13/06 12:08:16
AM
- 22. Cifras de inflexin, WEB 223 Interpolacin de polinomios, WEB
27, 184 Isomorfismo, 177, 251 Matriz jacobiana, WEB 209 Polinomio
de Laguerre, 261 Transformadas de Laplace, 140, 202 Polinomio de
Legendre, 436 Transformaciones lineales en clculo, 232-233, 329-330
Secuencia de Lucas, WEB 325 Ranuras, WEB 26 Desigualdad del
tringulo, 433 Polinomios trigonomtricos, 440 lgebra lineal numrica
Matriz de banda, 151 Matriz diagonal en bloques, 138, 140
Factorizacin de Cholesky, 462, 492 Matriz compaera, 372 Nmeros de
condicin, 131-132, WEB 131, 133-134, 200, 445, 478 Rango efectivo,
268, 474 Aritmtica de punto flotante, 10, 23, 211 Subespacios
fundamentales, 270, 380, 479 Rotacin de Givens, 104 Matriz de Gram,
492 Matriz de Hilbert, 134 Reflexin de Householder, 184, 444 Matriz
mal condicionada (problema), 131, 414 Mtodo de potencia inversa,
366-368 Mtodos iterativos, 363-370 Mtodo de Jacobi para los valores
propios, 317 LAPACK, 115, 138 Problemas a gran escala, 106, 138,
374 Factorizacin LU, 142-146, 149, WEB 150, 486 Conteos de
operacin, 23, 125, 143-144, 146, 190, 195 Productos externos, 117,
136 Procesamiento paralelo, 2, 116 Pivoteo parcial, 20, 146
Descomposicin polar, 492 Mtodo de potencia, 363-366 Potencias de
una matriz, WEB 114 Seudoinversa, 480, 492 Algoritmo QR, 318, 368
Factorizacin QR WEB 150, 405-407, WEB 405, 445 Factorizacin para
revelacin del rango 150, 300, 486 Teorema del rango, WEB 265, 271
Cociente de Rayleigh, 369, 445 Error relativo, 445 Complemento de
Schur, 139 Factorizacin de Schur, 445 Descomposicin en valores
singulares, 150, WEB 447, 471-482 Matriz dispersa, 106, 155, 195
Descomposicin espectral, 453 Factorizacin espectral, 150 Matriz
tridiagonal, 151 Matriz de Vandermonde, 184, 212, 372 Arquitectura
de tubera vectorial, 138 Ciencias fsicas Viga en voladizo, 286
Centro de gravedad, 39 Reacciones qumicas, 59-60, 63 Malla de
cristal, 248, 255 Descomposicin de una fuerza, 389 Sonido grabado
digitalmente, 278 Eliminacin Gaussiana, 14 Ley de Hooke, 120
Interpolacin de polinomios, WEB 26, 184 Primera ley de Kepler, 426
Imagen de satlite, 447 Modelos lineales en geologa y geografa,
423-424 Estimacin de la masa para sustancias radiactivas, 425
Sistema de masa y resorte, 223-224, 244 Modelo para circos
glaciales, 423 Modelo para el pH del suelo, 423 Matrices de giro de
Pauli, 183 Movimiento peridico, 335 Formas cuadrticas en fsica, 456
Datos de radar, 140 Datos ssmicos, 2 Sonda espacial, 140 Flujo de
calor de estado estable, 12, 101, WEB 150 Principio de
superposicin, 77, 96, 354 Ecuacin de los tres momentos, 286 Flujo
de trfico, WEB 61-62, 64 Superficie de tendencia, 423 Clima, 296
Experimento en tnel de viento, 27 Estadstica Anlisis de varianza,
412 Covarianza, 484-485, 489 Rango completo, 270 Bloques de
Helmert, 374 Error de mnimos cuadrados, 413 Lnea de mnimos
cuadrados, WEB 373, 419-421 Modelo lineal en estadstica, 419-425
Cadenas de Markov, 288-298, 310 Forma de desviacin media para los
datos, 421, 484 Inversa de Moore-Penrose, 480 Procesamiento de
imgenes multicanal, 447-448, 483-484, 489 Regresin mltiple, 423-424
Polinomios ortogonales, 431 Regresin ortogonal, 491 Potencias de
una matriz, WEB 114 Anlisis del componente principal, 447-448,
485-487 Formas cuadrticas en estadstica, 456 Reajuste del Nivel de
Referencia Norteamericano, 373-374 Coeficientes de regresin, 419
Sumas de cuadrados (en regresin), 427, 437-438 Anlisis de
tendencia, 438-440 Varianza, 427, 485 Mnimos cuadrados ponderados,
428, 436-438 00 Maq. Prelimi(LAY).indd i 10/13/06 12:08:01 AM
- 23. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd iv 10/13/06 12:08:06 AM
- 24. 1 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal EJEMPLO
INTRODUCTORIO Modelos lineales en economa e ingeniera A finales del
verano de 1949 Wassily Leontief, profesor de Harvard, introdujo
cuidadosamente la ltima de sus tarjetas perforadas en la
computadora de la universidad, la Mark II. Las tarjetas contenan
informacin acerca de la economa de Estados Unidos, y representaban
un resumen de ms de 250,000 piezas de informacin producidas por la
oficina encargada de las estadsticas laborales en Estados Unidos
despus de dos aos de trabajo intenso. Leontief haba dividido la
economa de Estados Unidos en 500 sectores, tales como la industria
del carbn, la industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para
cada sector, escribi una ecuacin lineal que describa la forma en
que dicho sector distribua sus salidas hacia otros sectores de la
economa. Debido a que la Mark II, una de las computadoras ms
grandes de la poca, no poda manejar el sistema resultante de 500
ecuaciones y 500 incgnitas, Leontief haba condensado el problema en
un sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas. La programacin de la
computadora Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief requiri
varios meses de esfuerzo, y l estaba ansioso por ver cunto tiempo
le tomara a la mquina resolver el problema. La Mark II zumb y
destell durante 56 horas hasta que finalmente produjo una solucin.
La naturaleza de esta solucin se analizar en las secciones 1.6 y
2.6. Leontief, quien recibi el Premio Nobel de Economa en 1973,
abri la puerta a una nueva era en el modelado matemtico de la
economa. Sus esfuerzos desplegados en Harvard en 1949 marcaron uno
de los primeros usos significativos de las computadoras para
analizar lo que entonces era un modelo matemtico a gran escala.
Desde entonces, los investigadores de muchos otros campos han
empleado computadoras para analizar modelos matemticos. Debido a
las masivas cantidades de datos involucrados, por lo general, los
modelos son lineales; esto es, se describen mediante sistemas de
ecuaciones lineales. La importancia del lgebra lineal para las
aplicaciones se ha elevado en proporcin directa al aumento del
poder de las computadoras, cada nueva generacin de equipo y
programas de cmputo dispara una demanda de capacidades an mayores.
WEB 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 1 10/13/06 12:12:47 AM
- 25. L os sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el
corazn del lgebra lineal, y este captulo los utiliza para
introducir algunos de los conceptos centrales del lgebra lineal de
una manera simple y concreta. En las secciones 1.1 y 1.2 se
presenta un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones
lineales. Este algo- ritmo se utilizar para realizar clculos a lo
largo del texto. En las secciones 1.3 y 1.4 se muestra cmo un
sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin
vectorial y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir
problemas que involucran combi- naciones lineales de vectores a
preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Los conceptos
fundamentales de generacin, independencia lineal y transformaciones
linea- les, que se estudian en la segunda mitad del captulo,
desempearn un papel esencial a lo largo del texto mientras se
explora la belleza y el poder del lgebra lineal. 1.1 SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES Una ecuacin lineal en las variables x1, . . . ,
xn es una ecuacin que puede escribirse de la forma a1x1 + a2x2 + +
anxn = b (1) donde b y los coeficientes a1, . . . , an son nmeros
reales o complejos, por lo general co- nocidos. El subndice n puede
ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios del
libro, n est normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida
real, n puede ser igual a 50, 5000, o incluso a valores ms grandes.
Por lo tanto, la ciencia de las computadoras est slidamente ligada
al lgebra lineal mediante el crecimiento explosivo de los
procesamientos paralelos de datos y los clculos a gran escala. Los
cientficos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho ms
complejos de lo que crean posible hace unas cuantas dcadas. En la
actualidad, el lgebra lineal tiene para los estudiantes
universitarios un mayor valor potencial en muchos campos cientficos
y de negocios que cualquier otra materia de matemticas. El material
incluido en este texto proporciona la base para un trabajo
posterior en muchas reas interesantes. A continuacin se presentan
unas cuantas posibilidades; posteriormente se describirn otras.
Exploracin petrolera. Cuando un barco busca depsitos submarinos de
petrleo, diariamente sus computadoras resuelven miles de sistemas
de ecuaciones lineales por separado. La informacin ssmica para
elaborar las ecuaciones se obtiene a partir de ondas de choque
submarinas creadas mediante explosiones con pistolas de aire. Las
ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superficie marina y se
miden empleando gefonos conectados a extensos cables instalados
debajo del barco. Programacin lineal. En la actualidad, muchas
decisiones administrativas importantes se toman con base en modelos
de programacin lineal que utilizan cientos de variables. Por
ejemplo, la industria de las aerolneas emplea programas lineales
para crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,
monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear los diversos
programas de servicios de apoyo como mantenimiento y operaciones en
terminal. Redes elctricas. Los ingenieros utilizan programas de
cmputo de simulacin para disear circuitos elctricos y microchips
que incluyen millones de transistores. Estos programas utilizan
tcnicas de lgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales. 2
Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 01 Maq. Cap.
01(LAY).indd 2 10/13/06 12:12:56 AM
- 26. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3 Las ecuaciones 4x1
5x2 + 2 = x1 y x2 = 2 6 x1 + x3 son ambas lineales porque pueden
reordenarse algebraicamente como en la ecuacin (1): 3x1 5x2 = 2 y
2x1 + x2 x3 = 2 6 Las ecuaciones 4x1 5x2 = x1x2 y x2 = 2 x1 6 no
son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera ecuacin y
x1 en la se- gunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema
lineal) es una coleccin de una o ms ecuaciones lineales que
involucran las mismas variables digamos, x1, . . . , xn. Un ejemplo
es 2x1 x2 + 1.5x3 = 8 x1 4x3 = 7 (2) Una solucin del sistema es una
lista (s1, s2, . . . , sn) de nmeros que hacen de cada ecua- cin un
enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen,
respectivamente, a x1, . . . , xn. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una
solucin del sistema (2) porque, cuando estos valores sustituyen en
(2) a x1, x2 y x3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a
8 = 8 y 7 = 7. El conjunto de todas las soluciones posibles se
llama conjunto solucin del sistema lineal. Se dice que dos sistemas
lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Esto
es, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo
sistema, y cada solucin del segundo sistema es una solucin del
primero. Determinar el conjunto solucin de un sistema de dos
ecuaciones lineales resulta sencillo porque consiste en localizar
la interseccin de dos rectas. Un problema tpico es x1 2x2 = 1 x1 +
3x2 = 3 Las grficas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se
denotan mediante 1 y 2. Un par de nmeros (x1, x2) satisface las dos
ecuaciones de este sistema si, y slo si, el pun- to (x1, x2)
pertenece tanto a 1 como a 2. En el sistema anterior, la solucin es
el punto nico (3, 2), lo cual puede verificarse con facilidad. Vea
la figura 1. FIGURA 1 Exactamente una solucin. 2 3 x2 x1 l1 l2 01
Maq. Cap. 01(LAY).indd 3 10/13/06 12:12:57 AM
- 27. 4 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal x1 2x2 +
x3 = 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 1 2 1 0 2 8 4 5 9 Por
supuesto, la interseccin de dos rectas no debe darse necesariamente
en un solo punto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por
lo tanto, intersecar en todos los puntos sobre la recta. En la
figura 2 se muestran las grficas que corresponden a los siguientes
sistemas: Las figuras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos
generales acerca de los sistemas lineales, los cuales sern
verificados en la seccin 1.2. Un sistema de ecuaciones lineales
puede 1. no tener solucin, o 2. tener exactamente una solucin, o 3.
tener una cantidad infinita de soluciones. Se dice que un sistema
de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucin o una
infinidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no
tiene ninguna solucin. Notacin matricial La informacin esencial de
un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en un
arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema (3) con los
coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz
FIGURA 2 (a) Sin solucin. (b) Con infinidad de soluciones. 2 3 x2
x1 l1 l2 (a) 2 3 x2 x1 l1 (b) x1 2x2 = 1 x1 2x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 x1
+ 2x2 = 1 (a) (b) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 4 10/13/06 12:12:58
AM
- 28. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5 se denomina matriz
coeficiente (o matriz de coeficientes) del sistema (3), y (4) se
denomina matriz aumentada del sistema. (Aqu, la segunda fila
contiene un cero porque la segunda ecuacin podra escribirse como
0x1 + 2x2 8x3 = 8.) La matriz aumentada de un sistema consta de su
matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las
constantes de los lados derechos de las ecuaciones. El tamao de una
matriz indica el nmero de filas y columnas que la integran. La
matriz aumentada (4) que se present lneas arriba tiene 3 filas y 4
columnas y se conoce como una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4). Si m
y n son enteros positivos, una matriz m n es un arreglo rectangular
de nmeros con m filas y n columnas. (El nmero de filas siempre va
primero.) La notacin matricial simplificar los clculos de los
ejemplos que se presentan enseguida. Resolucin de un sistema lineal
En esta seccin y en la siguiente se describe un algoritmo, o
procedimiento sistemtico, para resolver sistemas lineales. La
estrategia bsica es reemplazar un sistema con un sistema
equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) que sea
ms fcil de resolver. Dicho de manera sencilla, utilice el trmino x1
que est presente en la primera ecua- cin de un sistema para
eliminar los trminos x1 que haya en las otras ecuaciones. Des- pus
use el trmino x2 presente en la segunda ecuacin para eliminar los
trminos x2 en las otras ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que
obtenga un sistema de ecuaciones equivalente muy simple. Para
simplificar un sistema lineal se utilizan tres operaciones bsicas:
reemplazar una ecuacin mediante la suma de la propia ecuacin y un
mltiplo de otra ecuacin, intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar
todos los trminos de una ecuacin por una constante distinta de
cero. Despus del primer ejemplo, se ver por qu estas tres opera-
ciones no cambian el conjunto solucin del sistema. EJEMPLO 1
Resuelva el sistema (3). Solucin El procedimiento de eliminacin se
muestra enseguida con y sin notacin matricial, y los resultados se
colocan uno junto al otro para compararlos: Mantenga x1 en la
primera ecuacin y elimnela de las otras ecuaciones. Para hacer
esto, sume 4 veces la ecuacin 1 a la ecuacin 3. Por lo general,
luego de alguna prctica este tipo de clculos se realizan
mentalmente: x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 1 2 1
0 0 2 8 8 4 5 9 9 4[ecuacin 1]: + [ecuacin 3]: [nueva ecuacin 3]:
4x1 8x2 + 4x3 = 0 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 2 8
8 4 5 9 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 5 10/13/06 12:12:59 AM
- 29. 6 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal El
resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin
original: Ahora, multiplique la ecuacin 2 por 1/2 para obtener 1
como el coeficiente para x2. (Este clculo simplificar la aritmtica
del siguiente paso.) Utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 3x2
en la ecuacin 3. El clculo mental es El nuevo sistema tiene una
forma triangular:1 Al final, se desear eliminar el trmino 2x2 de la
ecuacin 1, pero resulta ms eficiente utilizar primero x3 en la
ecuacin 3, para eliminar los trminos 4x3 y +x3 en las ecua- ciones
2 y 1. Los dos clculos mentales son Es conveniente combinar los
resultados de estas dos operaciones: Ahora, despus de haber
limpiado la columna que est sobre la x3 en la ecuacin 3, re- grese
a la x2 en la ecuacin 2 y sela para eliminar el 2x2 ubicado sobre
ella. Debido al trabajo previo realizado con x3, ahora no existe
ninguna operacin que involucre a trminos de x3. 1En la prxima
seccin, el trmino intuitivo triangular se reemplazar por uno ms
preciso. x1 2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 1 4 4
0 3 13 9 3[ecuacin 2]: 3x2 12x3 = 12 + [ecuacin 3]: 3x2 + 13x3 = 9
[nueva ecuacin 3]: x3 = 3 x1 2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 3 1 2 1 0
0 1 4 4 0 0 1 3 4[ec. 3]: + [ec. 2]: [nueva ec. 2]: 4x3 = 12 x2 4x3
= 4 x2 = 16 1[ec. 3]: + [ec. 1]: [nueva ec. 1]: x3 = 3 x1 2x2 + x3
= 0 x1 2x2 = 3 x1 2x2 = 3 x2 = 16 x3 = 3 1 2 0 3 0 1 0 16 0 0 1 3
x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 0 3 13 9
01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 6 10/13/06 12:13:00 AM
- 30. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sume dos veces la
ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema En esencia, el
trabajo ya est hecho. Se observa que la solucin nica del sistema
ori- ginal es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos clculos
involucrados, resulta una buena prctica verificar las operaciones.
Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucin, sustituya estos
valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule: Los
resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, as
que (29, 16, 3) es una solucin del sistema. En el ejemplo 1 se
ilustra cmo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecua-
ciones corresponden a las operaciones sobre las filas apropiadas de
la matriz aumentada. Las tres operaciones bsicas mencionadas con
anterioridad corresponden a las siguien- tes operaciones sobre la
matriz aumentada. OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA 1. (Reemplazo)
Reemplazar una fila por la suma de s misma y un mltiplo de otra
fila.2 2. (Intercambio) Intercambiar dos filas. 3. (Escalamiento)
Multiplicar todas las entradas de una fila por una constante
distinta de cero. Las operaciones de fila pueden aplicarse a
cualquier matriz, no nicamente a una que surja como la matriz
aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices son
equivalentes por filas si existe una sucesin de operaciones
elementales de fila que convierta una matriz en la otra. Es
importante advertir que las operaciones de fila son reversibles. Si
dos filas se intercambian, pueden regresarse a sus posiciones
originales mediante otro intercambio. Si una fila se escala
mediante una constante c distinta de cero, al multiplicar despus la
nueva fila por 1/c se obtiene la fila original. Por ltimo,
considere una operacin de reemplazo que involucra dos filas por
ejemplo, las filas 1 y 2 y suponga que a la fila 2 se le suma la
fila 1 multiplicada por c para producir un nueva fila 2. Si desea
revertir esta operacin, sume a la nueva fila 2 la fila 1
multiplicada por c y obtenga la fila 2 original. Vea los ejercicios
29 a 32 al final de esta seccin. Por el momento, nuestro inters
reside en las operaciones de fila sobre la matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se
transforma en otro nuevo mediante operaciones de fila. (29, 16, 3)
Cada una de las ecuaciones originales determina un plano en el
espacio tridimensional. El punto (29, 16, 3) pertenece a los tres
planos. 2Una parfrasis comn del reemplazo de una fila es sumar a
una fila un mltiplo de otra fila. x1 = 29 x2 = 16 x3 = 3 1 0 0 29 0
1 0 16 0 0 1 3 (29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 0 2(16) 8(3) = 32 24
= 8 4(29) + 5(16) + 9(3) = 116 + 80 + 27 = 9 01 Maq. Cap.
01(LAY).indd 7 10/13/06 12:13:00 AM
- 31. 8 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Al
considerar cada uno de los tipos de operaciones de fila, puede
advertirse que cual- quier solucin del sistema original contina
siendo una solucin del sistema nuevo. Asi- mismo, como el sistema
original puede producirse mediante operaciones de fila sobre el
sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo tambin
es una solucin del sistema original. Esta explicacin justifica el
hecho siguiente. Si las matrices aumentadas de dos sistemas
lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas
tienen el mismo conjunto solucin. Aunque el ejemplo 1 es extenso,
puede afirmarse que, despus de algn tiempo de prctica, los clculos
se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los
ejercicios las operaciones de fila sern muy fciles de realizar, lo
cual permitir que el estudiante se enfoque en los conceptos
importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizar
operaciones de fila de manera precisa porque se utilizarn a lo
largo de todo el libro. En el resto de esta seccin se muestra cmo
utilizar las operaciones de fila para deter- minar el tamao de un
conjunto solucin, sin resolver por completo el sistema lineal.
Preguntas de existencia y unicidad En la seccin 1.2 se estudiar
porqu un conjunto solucin para un sistema lineal puede no contener
ninguna solucin, contener solamente una solucin, o contener una
infi- nidad de soluciones. Para determinar cul posibilidad es
verdadera para un sistema en particular, se formulan dos preguntas.
DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL 1. El
sistema es consistente? Es decir, existe al menos una solucin? 2.
Si existe solucin, slo hay una? Esto es, la solucin es nica? Estas
dos preguntas aparecern a lo largo del texto en muchas formas
diferentes. En esta seccin y en la prxima, se mostrar cmo
contestarlas mediante operaciones de fila sobre la matriz
aumentada. EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es
consistente: Solucin ste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que
se realizan las operaciones necesarias para obtener la forma
triangular En este punto ya se conoce x3; si su valor se
sustituyera en la ecuacin 2, sera posible calcular x2 y, por ende,
se podra determinar x1 a partir de la ecuacin 1. Por lo tanto, x1
2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 3 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 3 x1 2x2 + x3
= 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 8
10/13/06 12:13:01 AM
- 32. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 9 existe una solucin; y
el sistema es consistente. (De hecho, x2 se determina nicamente con
la ecuacin 2 puesto que x3 tiene un solo valor posible, y por lo
tanto x1 se resuelve solamente a partir de la ecuacin 1. De manera
que la solucin es nica.) EJEMPLO 3 Determine si el siguiente
sistema es consistente: (5) Solucin La matriz aumentada es Para
obtener una x1 en la primera ecuacin, se intercambian las filas 1 y
2: Para eliminar el trmino 5x1 en la tercera ecuacin, se agrega a
la fila 3 la fila 1 multi- plicada por 5/2: (6) Enseguida, utilice
el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar el trmino (1/2)x2
de la tercera ecuacin. Sume a la fila 3 la fila 2 multiplicada por
1/2: (7) Ahora, la matriz aumentada est en forma triangular. Para
interpretarla de manera co- rrecta, regrese a la notacin con
ecuaciones: (8) La ecuacin 0 = 5/2 es una forma corta de 0x1 + 0x2
+ 0x3 = 5/2. Desde luego, este sistema en forma triangular tiene
una contradiccin. No existen valores de x1, x2, x3 que satisfagan
(8) porque la ecuacin 0 = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5)
tienen el mismo conjunto solucin, el sistema original es
inconsistente (es decir, no tiene solu- cin). Preste atencin
especial a la matriz aumentada en (7). Su ltima fila es tpica de un
sistema inconsistente en forma triangular. 2 3 2 1 0 1 4 8 0 1/2 2
3/2 x2 4x3 = 8 2x1 3x2 + 2x3 = 1 5x1 8x2 + 7x3 = 1 0 1 4 8 2 3 2 1
5 8 7 1 2 3 2 1 0 1 4 8 5 8 7 1 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 5/2 2x1 3x2 +
2x3 = 1 x2 4x3 = 8 0 = 5/2 Este sistema es inconsistente porque no
existe un punto que pertenezca de manera simultnea a los tres
planos. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 9 10/13/06 12:13:02 AM
- 33. 10 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal P R O B L
E M A S D E P R C T I C A A lo largo del texto, debe intentar
resolver los problemas de prctica antes de trabajar con los
ejercicios. Despus de cada serie de ejercicios se presentan las
soluciones. 1. Exprese con sus propias palabras la siguiente
operacin elemental de fila que debe realizarse para resolver los
sistemas presentados a continuacin. [Para (a), existe ms de una
respuesta posible.] 2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha
sido transformada mediante operaciones de fila a la forma que se
presenta a continuacin. Determine si el sistema es consis- tente.
3. Es (3, 4, 2) una solucin del siguiente sistema? 4. Para cules
valores de h y k es consistente el siguiente sistema? NOTA NUMRICA
En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se
resuelven empleando una computadora. Para una matriz de
coeficientes cuadrada, los programas de cmpu- to casi siempre usan
el algoritmo de eliminacin que se presenta aqu en la seccin 1.2,
con pequeas modificaciones para mejorar su precisin. La gran mayora
de los problemas de lgebra lineal que se presentan en los ne-
gocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la
aritmtica de punto flotante. Los nmeros se representan como
decimales .d1 dp 10r, donde r es un entero y el nmero p de dgitos a
la derecha del punto decimal usualmente se encuen- tra entre 8 y
16. Normalmente, las operaciones aritmticas con estos nmeros
resultan inexactas, porque el resultado debe redondearse (o
truncarse) al nmero de dgitos almacenados. El error de redondeo
tambin se presenta cuando un nmero como 1/3 es introducido a la
computadora, puesto que su representacin debe aproximarse mediante
un nmero finito de dgitos. Por fortuna, las inexactitudes de la
aritmtica de punto flotante muy pocas veces causan problemas. Las
notas numricas incluidas en este libro lo prevendrn,
ocasionalmente, sobre aspectos que podr necesitar tener en
consideracin ms adelante en su carrera. a. x1 + 4x2 2x3 + 8x4 = 12
x2 7x3 + 2x4 = 4 5x3 x4 = 7 x3 + 3x4 = 5 b. x1 3x2 + 5x3 2x4 = 0 x2
+ 8x3 = 4 2x3 = 3 x4 = 1 5x1 x2 + 2x3 = 7 2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 7x1 +
5x2 3x3 = 7 1 5 2 6 0 4 7 2 0 0 5 0 2x1 x2 = h 6x1 + 3x2 = k 01
Maq. Cap. 01(LAY).indd 10 10/13/06 12:13:02 AM
- 34. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Resuelva los
sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las opera- ciones
elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matriz
aumentada. Utilice el procedimiento de eliminacin sistemtica
descrito en esta seccin. 3. Encuentre el punto (x1, x2) que
pertenece tanto a la lnea x1 + 5x2 = 7 como a la lnea x1 2x2 = 2.
Vea la figura. 4. Encuentre el punto de interseccin de las rectas
x1 5x2 = 1 y 3x1 7x2 = 5. Considere cada matriz de los ejercicios 5
y 6 como la matriz au- mentada de un sistema lineal. Exprese con
sus propias palabras las siguientes dos operaciones elementales de
fila que deben rea- lizarse en el proceso para resolver el sistema.
En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal
ha sido reducida mediante operaciones de fila a la forma que se
muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de fila apropiadas y
describa el conjunto solucin del sistema original. 1.1 EJERCICIOS
Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14. x1 + 3x3 = 2 x2
3x4 = 3 2x2 + 3x3 + 2x4 = 1 3x1 + 7x4 = 5 x1 2x4 = 3 2x2 + 2x3 = 0
x3 + 3x4 = 1 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5 15. 16. 1 7 3 4 0 1 1 3 0 0 0
1 0 0 1 2 1 4 9 0 0 1 7 0 0 0 2 0 7. 8. 1 1 0 0 4 0 1 3 0 7 0 0 1 3
1 0 0 0 2 4 1 2 0 3 2 0 1 0 4 7 0 0 1 0 6 0 0 0 1 3 9. 10. x1 + 5x2
= 7 2x1 7x2 = 5 2x1 + 4x2 = 4 5x1 + 7x2 = 11 1. 2. 1 4 5 0 7 0 1 3
0 6 0 0 1 0 2 0 0 0 1 5 1 6 4 0 1 0 2 7 0 4 0 0 1 2 3 0 0 3 1 6 5.
6. x2 x1 x1 + 5x2 = 7 x1 2x2 = 2 x2 + 4x3 = 5 x1 + 3x2 + 5x3 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 = 6 x1 3x2 + 4x3 = 4 3x1 7x2 + 7x3 = 8 4x1 + 6x2 x3
= 7 x1 3x3 = 8 2x1 + 2x2 + 9x3 = 7 x2 + 5x3 = 2 x1 3x2 = 5 x1 + x2
+ 5x3 = 2 x2 + x3 = 0 11. 12. 13. 14. Determine si los sistemas de
los ejercicios 15 y 16 son consisten- tes. No resuelva los sistemas
por completo. 17. Las tres rectas x1 4x2 = 1, 2x1 x2 = 3, y x1 3x2
= 4 tienen un punto de interseccin comn? Explique su res- puesta.
18. Los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 x3 = 1, y x1 + 3x2 = 0
tienen al menos un punto de interseccin comn? Explique su
respuesta. En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los
valores de h tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un
sistema lineal consistente. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 11 10/13/06
12:13:03 AM
- 35. 12 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal En los
ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta seccin se citan
directamente, se han modificado un poco (pero siguen siendo
verdaderos), o se han alterado de alguna forma que los vuelve
falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como ver- dadero o
falso y justifique su respuesta. (Si el enunciado es verda- dero, d
la ubicacin aproximada en el texto donde aparece uno similar o haga
referencia a una definicin o teorema. Si es falso, d la ubicacin
del enunciado que se cita o utiliza de manera inco- rrecta, o
proporcione un ejemplo que muestre que no es verdadero en todos los
casos.) En muchas secciones de este texto aparecern preguntas
similares del tipo verdadero/falso. 23. a. Todas las operaciones
elementales de fila son reversibles. b. Una matriz de 5 6 tiene
seis filas. c. El conjunto solucin de un sistema lineal que incluya
las variables x1, . . . , xn es una lista de nmeros (s1, . . . ,
sn) que hace de cada ecuacin del sistema un enunciado verdadero
cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente, a
x1, . . . , xn. d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un
sistema li- neal involucran la existencia y la unicidad. 24. a. En
una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no
cambian nunca el conjunto solucin del sistema li- neal asociado. b.
Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen el mismo
nmero de filas. c. Un sistema inconsistente tiene ms de una
solucin. d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el
mismo conjunto solucin. 25. Encuentre una ecuacin que involucre a
g, h y k, la cual per- mita que esta matriz aumentada corresponda a
un sistema consistente: 1 4 7 g 0 3 5 h 2 5 9 k 26. Construya tres
matrices aumentadas diferentes de tres sistemas lineales cuyo
conjunto solucin sea x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0. 27. Suponga que el
sistema presentado a continuacin es con- sistente para todos los
valores posibles de f y g. Qu puede afirmarse acerca de los
coeficientes c y d? Justifique su res- puesta. x1 + 3x2 = f cx1 +
dx2 = g 28. Suponga que a, b, c y d son constantes de tal forma que
a es diferente de cero y el sistema presentado a continuacin es
consistente para todos los valores posibles de f y g. Qu puede
afirmarse acerca de los nmeros a, b, c y d? Justifique su
respuesta. ax1 + bx2 = f cx1 + dx2 = g En los ejercicios 29 a 32,
encuentre la operacin elemental de fila que transforma la primera
matriz en la segunda, determine entonces la operacin de fila
inversa que transforma la segunda matriz en la primera. Un aspecto
importante en el estudio de la transferencia de calor es determinar
la distribucin de la temperatura en estado estable sobre una placa
delgada cuando se conoce la temperatura presen- te alrededor de los
bordes. Suponga que la placa mostrada en la figura representa la
seccin transversal de una viga de metal, con un flujo de calor
insignificante en la direccin perpendicular a la placa. Sean T1, .
. . , T4 las temperaturas en los cuatro nodos in- teriores de la
malla que se muestra en la figura. En un nodo, la temperatura es
aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos ms cercanos a
la izquierda, arriba, a la derecha y abajo.3 Por ejemplo, 3Vea
Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA: Addison-Wesley
Publishing, 1991), pp. 145149. T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1 T2
T4 = 30 1 h 4 3 6 8 1 h 3 2 4 6 1 3 2 4 h 8 2 3 h 6 9 5 19. 20. 21.
22. 0 2 5 1 4 7 3 1 6 , 1 4 7 0 2 5 3 1 6 1 3 4 0 2 6 0 5 9 , 1 3 4
0 1 3 0 5 9 1 2 1 0 0 5 2 8 4 1 3 6 , 1 2 1 0 0 5 2 8 0 7 1 6 1 2 5
0 0 1 3 2 0 3 9 5 , 1 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 1 29. 30. 31. 32. 10 10
40 40 20 20 30 30 1 2 4 3 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 12 10/13/06
12:13:04 AM
- 36. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 13 33. Escriba un
sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin pro- porcione un estimado
para las temperaturas T1, . . . , T4. 34. Resuelva el sistema de
ecuaciones del ejercicio 33. [Suge- rencia: Para acelerar los
clculos, intercambie las filas 1 y 4 antes de comenzar las
operaciones de reemplazo.] S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E
M A S D E P R C T I C A 1. a. Para realizar clculos a mano, lo
mejor es intercambiar las ecuaciones 3 y 4. Otra posibilidad es
multiplicar la ecuacin 3 por 1/5; o reemplazar la ecuacin 4 por su
suma con la fila 3 multiplicada por 1/5. (En cualquier caso, no
utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 4x2 en la ecuacin 1.
Espere hasta alcanzar la forma triangular y hasta que los trminos
con x3 y x4 hayan sido eliminados de las primeras dos ecuaciones.)
b. El sistema est en forma triangular. La simplificacin posterior
comienza con x4 en la cuarta ecuacin. Utilice esta x4 para eliminar
todos los trminos con x4 locali- zados arriba de ella. Ahora, el
paso adecuado es sumar la ecuacin 4, multiplicada por 2, con la
ecuacin 1. (Despus de esto, vaya a la ecuacin 3, multiplquela por
1/2, y utilice la ecuacin resultante para eliminar los trminos con
x3 ubicados arriba de ella.) 2. El sistema correspondiente a la
matriz aumentada es La tercera ecuacin vuelve x3 = 0, que
ciertamente es un valor permisible para x3. Despus, al eliminar los
trminos con x3 en las ecuaciones 1 y 2, es posible encontrar
valores nicos para x2 y x1. Por lo tanto, existe una solucin y es
nica. Compare esta situacin con la del ejemplo 3. 3. Resulta
sencillo verificar si una lista especfica de nmeros es una solucin.
Sean x1 = 3, x2 = 4, y x3 = 2, y encuentre que Aunque se satisfacen
las primeras dos ecuaciones, la tercera no, entonces (3, 4, 2) no
es una solucin al sistema. Observe el uso de parntesis cuando se
hacen susti- tuciones, los cuales son muy recomendables como
proteccin contra errores arit- mticos. 4. Cuando la segunda ecuacin
se reemplaza por su suma con la primera ecuacin mul- tiplicada por
3, el sistema se convierte en Si k + 3h es diferente de cero, el
sistema no tiene solucin. El sistema es consistente para
cualesquiera valores de h y k que produzcan k + 3h = 0. x1 + 5x2 +
2x3 = 6 4x2 7x3 = 2 5x3 = 0 5(3) (4) + 2(2) = 15 4 4 = 7 2(3) +
6(4) + 9(2) = 6 + 24 18 = 0 7(3) + 5(4) 3(2) = 21 + 20 + 6 = 5 2x1
x2 = h 0 = k + 3h Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras
ecuaciones, se encuentra sobre la lnea de interseccin de los dos
primeros planos. Como (3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones,
no pertenece a los tres planos. (3, 4, 2) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd
13 10/13/06 12:13:18 AM
- 37. 14 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1.2
REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS En esta seccin se
perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 en un algoritmo de reduccin
por filas que permitir analizar cualquier sistema de ecuaciones
lineales.1 Las preguntas fundamentales de existencia y unicidad,
expuestas en la seccin 1.1, podrn contestarse utilizando la primera
parte del algoritmo. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya
sea vista como una matriz aumentada para un sistema lineal o no.
Entonces, la primera parte de esta seccin trata acerca de una
matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir dos
clases importantes de matrices que incluyen las matrices
triangulares de la seccin 1.1. En las definicio- nes presentadas a
continuacin, una fila o una columna distinta de cero en una matriz
sern una fila o una columna que contengan al menos una entrada
diferente de cero; una entrada principal de una fila se refiere a
la entrada diferente de cero que se encuentra ms a la izquierda (en
una fila distinta de cero). Una matriz escalonada (respectivamente,
matriz escalonada reducida) es una matriz que est en forma
escalonada (respectivamente, forma escalonada reducida). La
propiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrn
escalonado (como escalera) que avanza hacia abajo y a la derecha de
la matriz. La propiedad 3 es una simple consecuencia de la
propiedad 2, pero se incluy aqu para enfatizarla. Las matrices
triangulares de la seccin 1.1, tales como D E F I N I C I N Una
matriz rectangular est en forma escalonada (o en forma escalonada
por filas) si tiene las tres propiedades siguientes: 1. Todas las
filas distintas de cero estn arriba de cualquier fila integrada slo
por ceros. 2. Cada entrada principal de una fila est en una columna
situada a la derecha de la entrada principal de la fila que se
encuentra arriba de dicha entrada. 3. Todas las entradas que se
localicen en una columna situada debajo de una en- trada principal
son ceros. Si una matriz en forma escalonada satisface las
siguientes condiciones adiciona- les, entonces se encuentra en
forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas):
4. La entrada principal de cada fila distinta de cero es 1. 5. Cada
1 principal es la nica entrada distinta de cero en su columna.
1Este algoritmo es una variacin de lo que se conoce comnmente como
eliminacin gaussiana. Los matem- ticos chinos utilizaron un mtodo
de eliminacin similar alrededor del ao 250 a.C. El proceso no se
conoci en la cultura occidental sino hasta el siglo xix, cuando un
famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss, lo descubri. Un
ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, populariz el algoritmo al
emplearlo en un texto sobre geodesia en 1888. 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0
5/2 y 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 14
10/13/06 12:13:21 AM
- 38. estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est
en forma escalonada redu- cida. A continuacin se presentan ejemplos
adicionales. EJEMPLO 1 Las siguientes matrices estn en forma
escalonada. Las entradas prin- cipales () pueden tener cualquier
valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener
cualquier valor (incluso cero). Las siguientes matrices estn en
forma escalonada reducida porque las entradas princi- pales son
nmeros 1, y abajo y arriba de cada 1 principal slo existen ceros.
Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por filas (esto
es, transformarse mediante operaciones elementales de fila) para
producir ms de una matriz en forma escalonada, para ello se usan
diferentes sucesiones de operaciones de fila. Sin embargo, la forma
escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es nica.
El teorema siguiente se comprueba en el apndice A incluido al final
del texto. Si una matriz A es equivalente por filas a una matriz
escalonada U, se dice que U es una forma escalonada (o una forma
escalonada por filas) de A; si U est en su forma escalonada
reducida, se afirma que es la forma escalonada reducida de A. [La
mayora de los programas de matrices y de las calculadoras con
capacidad para resolver matrices utilizan la abreviatura RREF para
encontrar la forma escalonada reducida (por filas). Algunos usan
REF para la forma escalonada (por filas) (del ingls row reduced
echelon form y row echelon form).] Posiciones pivote Cuando las
operaciones de fila sobre una matriz producen una forma escalonada,
las operaciones de fila posteriores para obtener la forma
escalonada reducida no cambian las posiciones de las entradas
principales. Como la forma escalonada reducida es nica, las
entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en
cualquier forma es- calonada obtenida a partir de una matriz dada.
Estas entradas principales corresponden a los nmeros 1 principales
que hay en la forma escalonada reducida. T E O R E M A 1 Unicidad
de la forma escalonada reducida Cada matriz es equivalente por
filas a una y slo una matriz escalonada reducida. 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
, 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 15 01 Maq. Cap.
01(LAY).indd 15 10/13/06 12:13:22 AM
- 39. 16 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal En el
ejemplo 1, los cuadros () identifican las posiciones pivote. Muchos
conceptos fundamentales incluidos en los primeros cuatro captulos
de este libro estarn conecta- dos de una forma u otra con las
posiciones pivote que aparecen en una matriz. EJEMPLO 2 Reduzca por
filas la matriz A que se muestra a continuacin hasta la forma
escalonada, y localice las columnas pivote de A. Solucin Use la
misma estrategia bsica aplicada en la seccin 1.1. El elemento supe-
rior de la columna distinta de cero que se encuentra ms a la
izquierda de la matriz es la primera posicin pivote. En esta
posicin, debe colocarse una entrada distinta de cero, o pivote. Una
buena alternativa es intercambiar las filas 1 y 4 (porque las
comparaciones mentales en el siguiente paso no involucrarn
fracciones). Cree ceros debajo del pivote 1, para ello sume
mltiplos de la primera fila a las filas de abajo, y obtenga la
matriz (1) que se presenta enseguida. La posicin pivote de la
segunda fila debe estar lo ms a la izquierda que sea posible a
saber, en la segunda columna. Se elegir al 2 en esta posicin como
el siguiente pivote. Sume la fila 2 multiplicado por 5/2 a la fila
3, y la fila 2 multiplicado por 3/2 a la fila 4. D E F I N I C I N
En una matriz A, una posicin pivote es una ubicacin en A que
corresponde a un 1 principal en la forma escalonada reducida de A.
Una columna pivote es una columna de A que contiene una posicin
pivote. 1 4 5 9 7 0 2 Pivote 4 6 6 0 5 10 15 15 Prxima columna
pivote 0 3 6 4 9 A = 0 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 1 4 5 9 7 1 4 5
9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 Pivote 4 5 9 7 1 2 1 3 1 2 3 0
3 1 Columna pivote 0 3 6 4 9 (1) (2) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 16
10/13/06 12:13:23 AM
- 40. La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices
encontradas en la seccin 1.1. No hay forma de crear una entrada
principal en la columna 3! (No pueden usarse las filas 1 o 2 porque
al hacerlo se destruira el arreglo escalonado de las entradas prin-
cipales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una
entrada principal en la columna 4 intercambiando las filas 3 y 4.
La matriz est en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas 1,
2 y 4 de A son co- lumnas pivote. Un pivote, como el ilustrado en
el ejemplo 2, es un nmero distinto de cero situado en una posicin
pivote que se utiliza cuando es necesario para crear ceros por
medio de operaciones de fila. Los pivotes empleados en el ejemplo 2
fueron 1, 2 y 5. Debe ad- vertirse que estos nmeros no son los
mismos que los elementos reales de A ubicados en las posiciones
pivote iluminadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesin
diferen- te de operaciones de fila podra involucrar un conjunto de
pivotes distinto. Adems, un pivote no ser visible en la forma
escalonada si la fila se escala para convertir el pivote en un 1
principal (lo cual muchas veces es conveniente para realizar
clculos a mano). Con el ejemplo 2 como gua, ahora es posible
describir un procedimiento eficiente para transformar una matriz en
una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudio cuidadoso y
el dominio de este procedimiento producirn grandes dividendos
durante todo el curso. Algoritmo de reduccin por filas El algoritmo
que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y produce una
matriz en forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en
forma escalonada reducida. El algoritmo se ilustra mediante un
ejemplo. EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de fila para
transformar la siguiente matriz a la forma escalonada y despus a la
forma escalonada reducida: A = 0 Posiciones pivote 3 6 4 9 1 2 1 3
1 2 3 0 3 1 Columnas pivote 1 4 5 9 7 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 9
12 9 6 15 1 4 5 9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 5 Pivote 0 Columnas pivote 0 0
0 0 0 Forma general: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3) 1.2 Reduccin por las y
formas escalonadas 17 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 17 10/13/06
12:13:24 AM
- 41. 18 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Solucin
PASO 1 Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra ms
a la izquierda. En este caso es una columna pivote. La posicin
pivote est en la parte superior. PASO 2 Seleccione como pivote una
entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es necesario,
intercambie filas para mover esta entrada a la posicin pivote.
Intercambie las filas 1 y 3. (Tambin podran haberse intercambiado
las filas 1 y 2.) PASO 3 Use operaciones de reemplazo de fila para
crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote.
Como paso preliminar, se podra dividir la fila superior entre el
pivote, 3. Pero con dos nmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil
como sumar la fila 1 multiplicada por 1 a la fila 2. PASO 4 Cubra
(o no tome en cuenta) la fila que contiene la posicin pivote y
cubra todas las filas, si existe alguna, por encima de sta. Aplique
los pasos 1, 2 y 3 a la sub- matriz restante. Repita el proceso
hasta que no haya ms filas distintas de cero por modificar. Con la
fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la siguiente
columna pivote; para el paso 2, en dicha columna se seleccionar
como pivote la entrada superior. 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 Columna
pivote 9 12 9 6 15 3 Pivote 9 12 9 6 15 3 7 8 5 8 9 0 3 6 6 4 5 3
Pivote 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 3 6 6 4 5 01 Maq. Cap.
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- 42. Para el paso 3, se podra insertar el paso opcional de
dividir la fila superior de la submatriz entre el pivote 2. En vez
de eso, se suma 3/2 veces la fila superior a la fila de abajo. Esto
produce Cuando se cubre la fila que contiene la segunda posicin
pivote para el paso 4, queda una nueva submatriz que tiene
solamente una fila: Se ha alcanzado una forma escalonada para la
matriz completa sin tener que aplicar los pasos 1, 2 y 3 en esta
submatriz. Si se quisiera obtener la forma escalonada reducida,
tendra que efectuarse un paso ms. PASO 5 Empiece con el pivote
situado ms a la derecha trabajando hacia arriba y a la iz- quierda,
cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hgalo 1
mediante una operacin de escalamiento. El pivote situado ms a la
derecha est en la fila 3. Se crean ceros encima de l, sumando
mltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 2 y 1. El siguiente
pivote est en la fila 2. Escale esta fila dividindola entre el
pivote. Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la fila 2 a
la fila 1. 3 9 12 9 6 15 0 2 Pivote 4 4 2 6 0 3 Nueva columna
pivote 6 6 4 5 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 3 9 12 9 0 9 0
1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 Fila escalada por 1 2 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2
6 0 0 0 0 1 Pivote 4 3 9 12 9 0 9 0 2 4 4 0 14 0 0 0 0 1 4 Fila 1 +
(6)Fila 3 Fila 2 + (2)Fila 3 3 0 6 9 0 72 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4
Fila 1 + (9)Fila 2 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 19 01
Maq. Cap. 01(LAY).indd 19 10/13/06 12:13:25 AM
- 43. 20 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Por
ltimo, se escala la fila 1 al dividirla entre el pivote 3. sta es
la forma escalonada reducida de la matriz original. La combinacin
de los pasos 1 a 4 se llama fase progresiva del algoritmo de reduc-
cin por filas. El paso 5, que produce la forma escalonada reducida
nica, se llama fase regresiva. 1 0 2 3 0 24 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4
Fila escalada por 1 3 1 0 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 x1 5x3 = 1 x2 + x3 =
4 0 = 0 Soluciones de sistemas lineales El algoritmo de reduccin
por filas conduce directamente a una descripcin explcita del
conjunto solucin de un sistema lineal cuando se aplica, el
algoritmo, a la matriz aumentada del sistema. Por ejemplo, suponga
que la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transfor- mada
en la forma escalonada reducida equivalente Existen tres variables
porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistema de
ecuaciones asociado es (4) Las variables x1 y x2 correspondientes a
columnas pivote de la matriz se denominan variables bsicas.2 La
otra variable, x3, se llama variable libre. Cuando un sistema es
consistente, como en (4), el conjunto solucin puede descri- birse
de manera explcita al resolver el sistema de ecuaciones reducido
para las variables bsicas en trminos de las variables libres. Esta
operacin es posible debido a que la NOTA NUMRICA En el paso 2 que
se mostr con anterioridad, un programa de computadora general-
mente selecciona como pivote en una columna la entrada que tenga el
mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se
usa porque reduce los errores de redondeo en los clculos. 2Algunos
textos utilizan el trmino variables principales porque corresponden
a las columnas que contienen las entradas principales. 01 Maq. Cap.
01(LAY).indd 20 10/13/06 12:13:26 AM
- 44. forma escalonada reducida coloca cada variable bsica en
una, y slo una, ecuacin. En (4), se puede despejar x1 de la primera
ecuacin y x2 de la segunda. (La tercera ecuacin no se toma en
cuenta porque no ofrece restricciones a las variables.) (5) Al
afirmar que x3 es libre, se implica la posibilidad de asignarle
cualquier valor. Una vez que se efecta esta asignacin, las frmulas
de (5) determinan los valores para x1 y x2. Por ejemplo, cuando x3
= 0, la solucin es (1, 4, 0); cuando x3 = 1, la solucin es (6, 3,
1). Cada asignacin diferente de x3 determina una solucin
(diferente) del sistema, y cada solucin del sistema est determinada
por una asignacin de x3. La solucin de (5) se denomina solucin
general del sistema porque proporciona una descripcin explcita de
todas las soluciones. EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del
sistema lineal cuya matriz aumentada se ha reducido a Solucin La
matriz est en forma escalonada, pero se requiere la forma
escalonada re- ducida antes de despejar las variables bsicas. A
continuacin se completa la reduccin por filas. El smbolo ~ colocado
antes de una matriz indica que sta es equivalente por filas a la
matriz precedente. Existen cinco variables puesto que la matriz
aumentada tiene seis columnas. Ahora el sistema asociado es (6) Las
columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5; as que las variables
bsicas son x1, x3 y x5. Las variables restantes, x2 y x4, deben ser
libres. Al despejar las variables bsicas, se 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1
3 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 0 10 0 0
2 8 0 10 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 0 10 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 1 6 0 3 0
0 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 x1 = 1 + 5x3 x2 = 4 x3 x3 es libre x1 +
6x2 + 3x4 = 0 x3 4x4 = 5 x5 = 7 1.2 Reduccin por las y formas
escalonadas 21 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 21 10/13/06 12:13:27
AM
- 45. 22 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal obtiene
la solucin general: (7) Observe que el valor de x5 ya qued fijado
por la tercera ecuacin del sistema (6). Descripciones paramtricas
de conjuntos solucin Las descripciones en (5) y (7) son
descripciones paramtricas de conjuntos solucin en los cuales las
variables libres actan como parmetros. La resolucin de un sistema
significa encontrar una descripcin paramtrica del conjunto solucin,
o determinar que el conjunto solucin est vaco. Cuando un sistema es
consistente y tiene variables libres, el conjunto solucin per- mite
obtener muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en el
sistema (4) se po- dra sumar cinco veces la ecuacin 2 a la ecuacin
1 y obtener el sistema equivalente Podra tratarse a x2 como
parmetro y despejar x1 y x3 en trminos de x2, y se tendra una
descripcin precisa del conjunto solucin. Sin embargo, para ser
consistente, se es- tablece la convencin (arbitraria) de usar
siempre las variables libres como parmetros para describir un
conjunto solucin. (La seccin de respuestas incluida al final del
texto refleja tambin esta convencin.) Cuando un sistema es
inconsistente, el conjunto solucin est vaco, incluso si el sistema
tiene variables libres. En este caso, el conjunto solucin no tiene
representacin paramtrica. Sustitucin regresiva Considere el sistema
siguiente cuya matriz aumentada est en forma escalonada pero no en
forma escalonada reducida: Un programa de computadora resolvera
este sistema por sustitucin regresiva, en lugar de calcular la
forma escalonada reducida. Esto es, el programa resolvera la
ecuacin 3 para x4 en trminos de x5 y sustituira la expresin para x4
en la ecuacin 2; resolvera la ecuacin 2 para x2 y luego sustituira
las expresiones para x2 y x4 en la ecuacin 1 y despejara x1. El
formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar la fase
regresiva de reduccin por filas, la cual produce la forma
escalonada reducida, requiere el mismo nmero de operaciones
aritmticas que la sustitucin regresiva. Pero la disciplina del
formato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de cometer
errores durante los x1 = 6x2 3x4 x2 es libre x3 = 5 + 4x4 x4 es
libre x5 = 7 x1 + 5x2 = 21 x2 + x3 = 4 x1 7x2 + 2x3 5x4 + 8x5 = 10
x2 3x3 + 3x4 + x5 = 5 x4 x5 = 4 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 22
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- 46. 3x2 6x3 + 6x4 + 4x5 = 5 3x1 7x2 + 8x3 5x4 + 8x5 = 9 3x1 9x2
+ 12x3 9x4 + 6x5 = 15 clculos efectuados a mano. Se recomienda de
manera enftica usar solamente la forma escalonada reducida para
resolver un sistema. La Gua de estudio (Study Guide) que acompaa a
este texto ofrece algunas sugerencias tiles para realizar
operaciones de fila con exactitud y rapidez. Preguntas de
existencia y unicidad Aunque una forma escalonada no reducida es
una herramienta poco eficiente para re- solver un sistema, est
considerada como el mecanismo correcto para resolver las dos
preguntas fundamentales enunciadas en la seccin 1.1. EJEMPLO 5
Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema
Solucin La matriz aumentada de este sistema se redujo por filas en
el ejemplo 3 a (8) Las variables bsicas son x1, x2 y x5; las
variables libres son x3 y x4. No hay ninguna ecuacin del tipo 0 = 1
que origine un sistema inconsistente, as que podra usarse sus-
titucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es
evidente la existencia de una solucin. Adems, la solucin no es nica
porque existen variables libres. Cada asignacin diferente de x3 y
x4 determina una solucin distinta. Por lo tanto, el siste- ma tiene
un nmero infinito de soluciones. NOTA NUMRICA En general, la fase
progresiva de la reduccin por filas es mucho ms larga que la fase
regresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide
generalmente en flops (u operaciones en punto flotante). Un flop es
una operacin aritmtica (, , *, /) con dos nmeros reales en punto
flotante.3 Para una matriz de n (n 1), la reduccin a la forma
escalonada puede requerir 2n3/3 n2/2 7n/6 flops (lo cual es aproxi-
madamente 2n3/3 flops cuando n es moderadamente grande por ejemplo,
n 30). Por otro lado, la reduccin posterior a la forma escalonada
reducida necesita cuando mucho n2 flops. 3Tradicionalmente, un flop
era slo una multiplicacin o una divisin porque la suma y la resta
requeran mucho menos tiempo y podan no tomarse en cuenta. La
definicin de flop que se da aqu es la preferida en la actualidad,
como consecuencia de los avances en la arquitectura de
computadoras. Vea Golub y Van Loan, Matrix Computations, 2a. edicin
(Baltimore: The Johns Hopkins Press, 1989), pp. 1920. 3 9 12 9 6 15
0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas
23 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 23 10/13/06 12:13:28 AM
- 47. 24 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Cuando un
sistema est en forma escalonada y no contiene ninguna ecuacin del
tipo 0 = b, con b diferente de 0, toda ecuacin distinta de cero
contiene una variable bsica con un coeficiente diferente de cero.
Las variables bsicas estn completamente determi- nadas (sin
variables libres), o por lo menos una de las variables bsicas puede
expresarse en trminos de una o ms variables libres. En el primer
caso existe una solucin nica; en el ltimo, hay un nmero infinito de
soluciones (una para cada asignacin de valores a las variables
libres). Estas observaciones justifican el teorema siguiente. El
procedimiento siguiente define cmo encontrar y describir todas las
soluciones de un sistema lineal. P R O B L E M A S D E P R C T I C
A 1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz
aumentada es 1 3 5 0 0 1 1 3 T E O R E M A 2 Teorema de existencia
y unicidad Un sistema lineal es consistente si, y slo si, la
columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una
columna pivote esto es, si, y slo si, una forma escalonada de la
matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma [0 0 b] con b
diferente de cero. Si un sistema lineal es consistente, entonces el
conjunto solucin contiene (i) una solucin nica, cuando no existen
variables libres, o bien (ii) un nmero infinito de soluciones,
cuando existe por lo menos una variable libre. USO DE LA REDUCCIN
POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL 1. Escriba la matriz
aumentada del sistema. 2. Utilice el algoritmo de reduccin por
filas para obtener una matriz aumentada equivalente de forma
escalonada. Decida si el sistema es o no consistente. Si no hay
solucin, detngase; en caso contrario, contine con el siguiente
paso. 3. Contine la reduccin por filas hasta obtener la forma
escalonada reducida. 4. Escriba el sistema de ecuaciones que
corresponda a la matriz obtenida en el paso 3. 5. Reescriba cada
ecuacin diferente de cero del paso 4 de manera que su nica variable
bsica est expresada en trminos de cualesquiera variables libres que
aparezcan en la ecuacin. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 24 10/13/06
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- 48. 2. Encuentre la solucin general del sistema x1 2x2 x3 + 3x4
= 0 2x1 + 4x2 + 5x3 5x4 = 3 3x1 6x2 6x3 + 8x4 = 2 En los ejercicios
1 y 2, determine cules matrices estn en forma escalonada reducida y
cules slo en forma escalonada. 6. Repita el ejercicio 5 para una
matriz de 3 2 diferente de cero. Encuentre las soluciones generales
de los sistemas cuyas matrices aumentadas se dan en los ejercicios
7 a 14. 1.2 EJERCICIOS 1. a. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 b. 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 c. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 d. 1 1 0 1 1 0 2 0 2
2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 4 2. a. 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 b. 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 c. 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 d. 0 1 1 1 1 0 0 2 2
2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3. 1 2 3 4 4 5 6 7 6 7 8 9 4. 1 3 5 7 3 5 7 9
5 7 9 1 Reduzca por filas las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la
forma escalonada reducida. Encierre las posiciones pivote incluidas
en la matriz final y en la matriz original, y enumere las columnas
pivote. 15. a. 0 0 0 0 b. 0 0 0 0 0 0 0 5. Describa las formas
escalonadas posibles de una matriz de 2 2 distinta de cero. Utilice
los smbolos (), * y 0, como en la primera parte del ejemplo 1. En
los ejercicios 15 y 16 se u