Transcript of áLgebra lineal 7ma edición - stanley l. grossman
- 1. Contenido iii LGEBRA LINEAL MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS
GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND
LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS
SIDNEY TORONTO Stanley I. Grossman S. University of Montana
University College London Jos Job Flores Godoy Universidad
Iberoamericana Ciudad de Mxico Revisin tcnica: Elsa Fabiola Vzquez
Valencia Universidad Iberoamericana Ciudad de Mxico Carmen Judith
Vanegas Universidad Simn Bolvar Caracas, Venezuela Eleazar Luna
Barraza Universidad Autnoma de Sinaloa, Mxico M. Rosalba Espinoza
Snchez Universidad de Guadalajara Mxico Mara del Pilar Goi Vlez
Universidad Autnoma de Nuevo Len, Mxico Adrin Infante Universidad
Simn Bolvar Caracas, Venezuela Sptima edicin
- 2. LGEBRA LINEAL
- 3.
Prefacio...................................................................................................
XI
Agradecimientos........................................................................................
XVIII Examen
diagnstico.................................................................................
XXI Captulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales.....................
1 1.1 Dos ecuaciones lineales con dos
incgnitas.............................................. 2 1.2 m
ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana
..............................................................................................
8 1.3 Introduccin a
MATLAB........................................................................
30 1.4 Sistemas homogneos de
ecuaciones........................................................
38 Captulo 2 Vectores y
matrices.......................................... 45 2.1
Definiciones
generales..............................................................................
46 2.2 Productos vectorial y matricial
................................................................ 62
2.3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
............................................... 94 2.4 Inversa de
una matriz
cuadrada...............................................................
102 2.5 Transpuesta de una
matriz.......................................................................
127 2.6 Matrices elementales y matrices
inversas.................................................. 134 2.7
Factorizaciones LU de una matriz
........................................................... 146 2.8
Teora de grficas: una aplicacin de matrices
......................................... 164 Captulo 3
Determinantes ................................................. 175
3.1
Definiciones.............................................................................................
176 3.2 Propiedades de los determinantes
............................................................ 192
3.3 Determinantes e inversas
.........................................................................
209 3.4 Regla de
Cramer......................................................................................
219 3.5 Demostracin de tres teoremas importantes y algo de historia
................ 224 Captulo 4 Vectores en R2 y R3
.......................................... 231 4.1 Vectores en el
plano
.................................................................................
232 4.2 El producto escalar y las proyecciones en R2
............................................ 247 4.3 Vectores en el
espacio...............................................................................
258 4.4 El producto cruz de dos vectores
............................................................. 269
4.5 Rectas y planos en el espacio
...................................................................
279 Contenido
- 4. VIII Contenido Captulo 5 Espacios
vectoriales......................................... 295 5.1
Definicin y propiedades bsicas
............................................................. 296
5.2 Subespacios
vectoriales............................................................................
308 5.3 Combinacin lineal y espacio
generado................................................... 315 5.4
Independencia
lineal................................................................................
331 5.5 Bases y
dimensin....................................................................................
349 5.6 Cambio de
bases......................................................................................
362 5.7 Rango, nulidad, espacio rengln y espacio columna
................................ 384 5.8 Fundamentos de la teora de
espacios vectoriales: existencia de una base
(opcional).............................................................
409 Captulo 6 Espacios vectoriales con producto interno.... 417 6.1
Bases ortonormales y proyecciones en Rn
................................................ 418 6.2
Aproximaciones por mnimos
cuadrados................................................. 443 6.3
Espacios con producto interno y
proyecciones......................................... 464 Captulo 7
Transformaciones lineales............................... 479 7.1
Definicin y
ejemplos...............................................................................
480 7.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y
ncleo................ 493 7.3 Representacin matricial de una
transformacin lineal............................ 501 7.4
Isomorfismos...........................................................................................
526 7.5
Isometras................................................................................................
534 Captulo 8 Valores caractersticos, vectores caractersticos y
formas cannicas................ 545 8.1 Valores caractersticos y
vectores caractersticos...................................... 546
8.2 Un modelo de crecimiento de poblacin
(opcional)................................. 569 8.3 Matrices
semejantes y
diagonalizacin.....................................................
578 8.4 Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal
..................................... 591 8.5 Formas cuadrticas y
secciones cnicas
................................................... 600 8.6 Forma
cannica de
Jordan.......................................................................
612 8.7 Una aplicacin importante: forma matricial de ecuaciones
diferenciales.......................................................................
622 8.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton
y
Gershgorin............................................................................................
635 Apndice A Induccin matemtica
.................................................................
647 Apndice B Nmeros
complejos.....................................................................
655 Apndice C El error numrico en los clculos y la complejidad
computacional.............................................................................
665 Apndice D Eliminacin gaussiana con
pivoteo.............................................. 675 Apndice E
Uso de
MATLAB........................................................................
683
- 5. Contenido IX Respuestas a los problemas
impares................................ 685 Captulo 1
........................................................................................................
685 Captulo 2
........................................................................................................
687 Captulo 3
........................................................................................................
698 Ejercicios de repaso captulo
3..........................................................................
700 Captulo 4
........................................................................................................
701 Ejercicios de repaso captulo
4..........................................................................
706 Captulo 5
........................................................................................................
707 Captulo 6
........................................................................................................
714 Ejercicios de repaso captulo
6..........................................................................
717 Captulo 7
........................................................................................................
717 Captulo 8
........................................................................................................
722 Ejercicios de repaso captulo
8..........................................................................
731 Apndices
........................................................................................................
731 ndice onomstico
............................................................... 737
ndice analtico
....................................................................
738
- 6. Anteriormente el estudio del lgebra lineal era parte de los
planes de estudios de los alumnos de matemticas y fsica,
principalmente, y tambin recurran a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teora de matrices para trabajar en reas tcnicas
como la estadstica mul- tivariable. Hoy en da, el lgebra lineal se
estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las computadoras
y al aumento general en las aplicaciones de las matemticas en reas
que, por tradicin, no son tcnicas. Prerrequisitos Al escribir este
libro tuve en mente dos metas. Intent volver accesibles un gran
nmero de temas de lgebra lineal para una gran variedad de
estudiantes que necesitan nicamente cono- cimientos firmes del
lgebra correspondientes a la enseanza media superior. Como muchos
estudiantes habrn llevado un curso de clculo de al menos un ao,
inclu tambin varios ejem- plos y ejercicios que involucran algunos
temas de esta materia. stos se indican con el smbolo Clculo . La
seccin 8.7 es opcional y s requiere el uso de herramientas de
clculo, pero salvo este caso, el clculo no es un prerrequisito para
este texto. Aplicaciones Mi segunda meta fue convencer a los
estudiantes de la importancia del lgebra lineal en sus campos de
estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace
referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son
cortos, como las aplicaciones de la multipli- cacin de matrices al
proceso de contagio de una enfermedad (pgina 67). Otros son un poco
ms grandes; entre stos se pueden contar el modelo de
insumo-producto de Leontief (pginas 18 a 19 y 111 a 113), la teora
de grficas (seccin 2.8), la aproximacin por mnimos cuadrados
(seccin 6.2) y un modelo de crecimiento poblacional (seccin 8.2).
Adems, se puede encontrar un nmero significativo de aplicaciones
sugestivas en las sec- ciones de MATLAB . Teora Para muchos
estudiantes el curso de lgebra lineal constituye el primer curso
real de matemticas. Aqu se solicita a los estudiantes no slo que
lleven a cabo clculos matemticos sino tambin que desarrollen
demostraciones. Intent, en este libro, alcanzar un equilibrio entre
la tcnica y la teora. Todas las tcnicas importantes se describen
con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su
utilizacin. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que
se pueden probar utilizando los resultados dados aqu. Las
demostraciones ms difciles se dan al final de las secciones o en
apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro
que propor- Prefacio
- 7. XII Prefacio cionar a los estudiantes tanto las habilidades
algebraicas para resolver los problemas que surjan en sus reas de
estudio como una mayor apreciacin de la belleza de las matemticas.
Caractersticas La sptima edicin ofrece nuevas caractersticas y
conserva la estructura ya probada y clsica que tena la edicin
anterior. Las nuevas caractersticas se enumeran en la pgina XIV.
Examen diagnstico El examen diagnstico, nuevo en esta edicin, busca
identificar si el alumno posee las nociones mnimas necesarias para
un curso exitoso de lgebra lineal. Este examen se compone de 36
reactivos divididos en 7 problemas, cada uno de los cuales evala
alguna habilidad matemtica especifca. En la pregunta 1 se evala la
habilidad de manipular operaciones aritmticas sim- ples. En la
pregunta 2 se estima el concepto de conjuntos, que son los
elementos que tienen una o varias propiedades en comn. En la
pregunta 3 se aprecia la manipulacin de conjuntos con sus
operaciones de unin, interseccin y complemento. En el problema 4 se
revisan las habili- dades bsicas de lgebra. En el problema 5 se
evala la habilidad de factorizar expresiones al- gebraicas simples.
En la pregunta 6 se calcula la habilidad para resolver ecuaciones
lineales sim- ples. Finalmente, en la pregunta 7 se estima la
habilidad para encontrar races de polinomios. Ejemplos Los
estudiantes aprenden matemticas mediante ejemplos completos y
claros. La sptima edi- cin contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno
de los cuales incluye todos los pasos algebraicos necesarios para
completar la solucin. En muchos casos se proporcionaron secciones
de ayuda didctica para facilitar el seguimiento de esos pasos.
Adicionalmente, se otorg un nombre a los ejemplos con el objeto de
que resulte ms sencillo entender el concepto esencial que ilustra
cada uno. Ejercicios El texto contiene cerca de 2750 ejercicios. Al
igual que en todos los libros de matemticas, stos constituyen la
herramienta ms importante del aprendizaje. Los problemas conservan
un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un
equilibrio entre la tcnica y las de- mostraciones. Los problemas ms
complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y unos
cuantos excepcionalmente difciles con dos (**). stos se
complementan con ejercicios de problemas impares, incluyendo
aquellos que requieren demostraciones. De los 2750 ejercicios,
alrededor de 300 son nuevos. Muchos son aportaciones de profesores
destacados en la materia. Tambin hay varios problemas en las
secciones Manejo de calculadora y MATLAB. Teorema de resumen Una
caracterstica importante es la aparicin frecuente del teorema de
resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada en comn
dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales. En la
seccin 1.1 (pgina 5) se presenta el teorema por vez primera. En las
secciones 2.4 (p. 114), 2.6 (p. 138), 3.3 (p. 215), 5.4 (p. 337),
5.7 (p. 395), 7.4 (p. 529) y 8.1 (p. 557) se en- cuentran versiones
cada vez ms completas de dicho teorema.
- 8. Prefacio XIII Autoevaluacin Los problemas de autoevaluacin
estn diseados para valorar si el estudiante comprende las ideas
bsicas de la seccin, y es conveniente que los resuelva antes de que
intente solucionar los problemas ms generales que les siguen. Casi
todos ellos comienzan con preguntas de opcin mltiple o
falso-verdadero que requieren pocos o ningn clculo. Manejo de
calculadora En la actualidad existe una gran variedad de
calculadoras graficadoras disponibles, con las que es posible
realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edicin
anterior, el texto incluye secciones de manejo de calculadora que
tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras
en este curso. Para esta edicin se han actualizado estas secciones
con uno de los modelos de vanguardia. Se presentan secciones donde
se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP 50g para la
resolucin de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es
utilizar la calculadora para encontrar las soluciones. Sin embargo,
debe hacerse hincapi en que no se requiere que los alumnos cuenten
con una calculadora graficadora para que el uso de este libro sea
efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una
caracterstica opcional que debe usarse a discrecin del profesor.
Resmenes de secciones Al final de cada seccin aparece un repaso
detallado de los resultados importantes hallados en sta. Incluye
referencias a las pginas de la seccin en las que se encuentra la
informacin completa. Geometra Algunas ideas importantes en lgebra
lineal se entienden mejor observando su interpretacin geomtrica.
Por esa razn se han resaltado las interpretaciones geomtricas de
conceptos im- portantes en varios lugares de esta edicin. stas
incluyen: La geometra de un sistema de tres ecuaciones con tres
incgnitas (p. 20) La interpretacin geomtrica de un determinante de
2 3 2 (pp. 183, 272) La interpretacin geomtrica del triple producto
escalar (p. 273) Cmo dibujar un plano (p. 282) La interpretacin
geomtrica de la dependencia lineal en R3 (p. 334) La geometra de
una transformacin lineal de R2 en R2 (pp. 510-517) Las isometras de
R2 (p. 536) Semblanzas histricas Las matemticas son ms interesantes
si se conoce algo sobre el desarrollo histrico del tema. Para
estimular este inters se incluyen varias notas histricas breves,
dispersas en el libro. Ade- ms, hay siete semblanzas no tan breves
y con ms detalles, entre las que se cuentan las de: Carl Friedrich
Gauss (p. 21) Sir William Rowan Hamilton (p. 54)
- 9. XIV Prefacio Arthur Cayley y el lgebra de matrices (p. 76)
Breve historia de los determinantes (p. 228) Josiah Willard Gibbs y
los orgenes del anlisis vectorial (p. 274) Historia de la induccin
matemtica (p. 651) Caractersticas nuevas de la sptima edicin
Gracias a la participacin de profesores y revisores, la nueva
edicin se ha enriquecido con diversos cambios, como son: Se ha
renovado el diseo de las pginas con la finalidad de que la obra
posea una es- tructura ms organizada y amable para el lector. La
mayora de las notas y las observaciones se reubicaron al margen a
fin de resaltar su importancia y evitar distraer al lector en el
discurso del tema. Algunos captulos de la edicin anterior fueron
reorganizados con objeto de propor- cionar flexibilidad a los
profesores en cuanto a los temas que habrn de abordar. Se incluye
un breve examen diagnstico cuya finalidad es ayudar a los
estudiantes a identificar las habilidades mnimas necesarias para
aprovechar de la mejor manera el contenido de este libro. Las
tutoras y problemas de MATLAB tambin se han actualizado, incluyendo
ahora mayores referencias e incluso muchos de los cdigos
necesarios. Gran cantidad de problemas nuevos, adems de otros
actualizados, que permitirn ejercitar y aplicar las habilidades
adquiridas. Por ende, la seccin de respuestas al final del libro ha
cambiado por completo. MATLAB El texto cuenta con ms de 230
problemas opcionales para MATLAB , muchos de los cua- les tienen
varios incisos, que aparecen despus de la mayora de las secciones
de problemas (MATLAB es una marca registrada de The Math Works,
Inc.). MATLAB es un paquete po- deroso pero amigable, diseado para
manejar problemas de una amplia variedad que requieren clculos con
matrices y conceptos de lgebra lineal. Se puede ver mayor
informacin sobre este programa en la seccin de apndices. Los
problemas relacionados directamente con los ejemplos y los
problemas normales exhortan al estudiante a explotar el poder de
clculo de MATLAB y explorar los principios del lgebra lineal
mediante el anlisis y la obtencin de conclusiones. Adems, se cuenta
con varios incisos de papel y lpiz que permiten que el alumno
ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos. La
seccin 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB ; antes
de estos proble- mas se presenta una introduccin y una tutora
breve. Los problemas de MATLAB en cada seccin estn diseados para
que el usuario conozca los comandos de MATLAB a medida que se van
requiriendo para la resolucin de problemas. Se cuenta con numerosas
aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del
lgebra lineal en el mundo real; stos pueden servir como trabajos de
grupo o proyectos cortos. Muchos de los problemas de MATLAB estn
diseados para animar a los estudiantes a describir teoremas de
lgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias
matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendr la
conclusin natural de que la inversa de una matriz triangular
superior es otra triangular superior. La demostracin de este
resul-
- 10. Prefacio XV tado no es trivial, pero tendr sentido si el
estudiante ve que el resultado es aceptable. Prc- ticamente todos
los conjuntos de problemas de MATLAB contienen algunos que llevan a
resultados matemticos. Lo mismo que en el caso del manejo de
calculadora, se resalta aqu el hecho de que el material de MATLAB
es opcional. Se puede asignar o no segn el profesor lo considere
con- veniente. En lugar de colocar la seccin de MATLAB a manera de
suplemento, se decidi conser- varlo dentro de los captulos para que
la integracin fuera mayor y ms efectiva. Adems, se ha cuidado que
primero se ensee a los estudiantes la manera de resolver los
problemas a mano, comprendiendo los conceptos, para despus poder
incorporar el uso de otras herramientas. lgebra lineal conserva el
diseo de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse
que, al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un
laboratorio separado que comple- mente el trabajo del saln de
clase. Numeracin La numeracin de este libro es estndar. Dentro de
cada seccin, los ejemplos, problemas, teore- mas y ecuaciones se
encuentran numerados consecutivamente a partir del nmero 1, y
siempre se incluye el captulo y la seccin. De esta forma, el
ejemplo 4 en la seccin 3.2 siempre se denomina ejemplo 3.2.4.
Adems, con frecuencia se proporciona el nmero de la pgina para que
resulte sencillo encontrar referencias. Organizacin El enfoque que
se ha utilizado en este libro es gradual. Los captulos 1 al 3
contienen el material computacional bsico comn para la mayor parte
de los libros de lgebra lineal. El captulo 1 presenta los sistemas
de ecuaciones lineales. El captulo 2 introduce los conceptos de
matri- ces y vectores, y presenta la relacin de stos con los
sistemas de ecuaciones, estudiados en el captulo 1. Esta
presentacin proporciona una mayor motivacin para el estudiante y
sigue el orden de la mayora de los temarios del curso. Tambin se
incluy una seccin (2.8) en la que se aplican matrices a la teora de
grficas. El captulo 3 proporciona una introduccin a los
determinantes e incluye un ensayo histrico sobre las contribuciones
de Leibniz y Cauchy al lgebra lineal (seccin 3.5). Dentro de este
material bsico, incluso hay secciones opcionales que representan un
reto un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo, la seccin 3.5
proporciona una demostracin completa de que det AB 5 detA detB. La
demostracin de este resultado, mediante el uso de matrices
elementales, casi nunca se incluye en libros introductorios. El
captulo 4 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de
los temas de este cap- tulo se cubren segn el orden con el que se
presentan en los libros de clculo, de manera que es posible que el
estudiante ya se encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo,
como una gran parte del lgebra lineal est relacionada con el
estudio de espacios vectoriales abstractos, los alumnos necesitan
un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en
el plano y el espacio proporciona de manera natural. El material ms
difcil de los captulos 5, 6 y 7 se ilustra con ejemplos que surgen
del captulo 4. La seccin 4.4 incluye un ensayo histrico sobre Gibbs
y el origen del anlisis vectorial. El captulo 5 contiene una
introduccin a los espacios vectoriales generales y es necesaria-
mente ms abstracto que los captulos anteriores. No obstante,
intentamos presentar el material como una extensin natural de las
propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la
forma en que surgi el tema. Se ha modificado el orden entre el
estudio de cambios de base (sec-
- 11. XVI Prefacio cin 5.6) y los conceptos de rango y nulidad de
matrices (seccin 5.7), por considerar que sta es una secuencia de
conceptos ms clara. En la seccin opcional (5.8) se demuestra que
todo espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los
conjuntos ordenados y el lema de Zorn. Dicho material es ms
complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir.
Sin embargo, como el lgebra lineal a menudo se considera el primer
curso en el que las demos- traciones son tan importantes como los
clculos, en mi opinin el estudiante interesado debe disponer de una
demostracin de este resultado fundamental. En el captulo 6 se
presenta la relacin existente entre los espacios vectoriales y los
productos internos, y se incluye una seccin (6.2) de aplicaciones
interesantes sobre la aproximacin por mnimos cuadrados. El captulo
7 contina el anlisis que se inici en el captulo 5 con una
introduccin a las transformaciones lineales de un espacio vectorial
a otro. Comienza con dos ejemplos que mues- tran la manera natural
en la que pueden surgir las transformaciones. La seccin 7.3
describe de manera detallada la geometra de las transformaciones de
R2 en R2 , e incluye expansiones, compresiones, reflexiones y
cortes. La seccin 7.5 ahora contiene un estudio ms detallado de las
isometras de R2 . El captulo 8 describe la teora de los valores y
vectores caractersticos o valores y vectores propios. Se introducen
en la seccin 8.1 y en la seccin 8.2 se da una aplicacin biolgica
minu- ciosa del crecimiento poblacional. Las secciones 8.3, 8.4 y
8.5 presentan la diagonalizacin de una matriz, mientras que la
seccin 8.6 ilustra, para unos cuantos casos, cmo se puede reducir
una matriz a su forma cannica de Jordan. La seccin 8.7 estudia las
ecuaciones diferenciales matriciales y es la nica seccin del libro
que requiere conocimiento del primer curso de clculo. Esta seccin
proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su
forma cannica de Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la
seccin 8.8 introduje dos de mis resultados fa- voritos acerca de la
teora de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de
los crculos de Gershgorin. El teorema de los crculos de Gershgorin
es un resultado muy rara vez estudiado en los libros de lgebra
lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar
los va- lores propios de una matriz. En el captulo 8 tuve que tomar
una decisin difcil: si analizar o no valores y vectores pro- pios
complejos. Decid incluirlos porque me pareci lo ms adecuado.
Algunas de las matrices ms agradablestienen valores propios
complejos. Si se define un valor propio como un nme- ro real, slo
en un principio se pueden simplificar las cosas, aunque esto sea un
error. Todava ms, en muchas aplicaciones que involucran valores
propios (incluyendo algunas de la seccin 8.7), los modelos ms
interesantes se relacionan con fenmenos peridicos y stos requieren
valores propios complejos. Los nmeros complejos no se evitan en
este libro. Los estudiantes que no los han estudiado antes pueden
encontrar las pocas propiedades que necesitan en el apndice B. El
libro tiene cinco apndices, el primero sobre induccin matemtica y
el segundo sobre nmeros complejos. Algunas de las demostraciones en
este libro hacen uso de la induccin matemtica, por lo que el
apndice A proporciona una breve introduccin a esta importante
tcnica para los estudiantes que no la han utilizado. El apndice C
analiza el concepto bsico de la complejidad de los clculos que,
entre otras cosas, ayudar a los estudiantes a entender las razones
por las cuales quienes desarrollan soft- ware eligen algoritmos
especficos. El apndice D presenta un mtodo razonablemente eficiente
para obtener la solucin numrica de los sistemas de ecuaciones. Por
ltimo, el apndice E incluye algunos detalles tcnicos sobre el uso
de MATLAB en este libro. Una nota sobre la interdependencia de los
captulos: este libro est escrito en forma se- cuencial. Cada
captulo depende de los anteriores, con una excepcin: el captulo 8
se puede cubrir sin necesidad de gran parte del material del
captulo 7. Las secciones marcadas como opcional se pueden omitir
sin prdida de la continuidad.
- 12. Prefacio XVII Materiales de apoyo Esta obra cuenta con
interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-
aprendizaje, as como facilitan su evaluacin, los cuales se otorgan
a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener
ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales,
contacte a su representante McGraw-Hill. Agradecimientos Estoy
agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escriba este
libro. Parte del material apareci primero en Mathematics for the
Biological Sciences (Nueva York, Macmillan, 1974) escrito por James
E. Turner y por m. Quiero agradecer al profesor Turner por el
permiso que me otorg para hacer uso de este material. Gran parte de
este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador
asociado en la University College London. Deseo agradecer al
departamento de matemticas de UCL por proporcionarme servicios de
oficina, sugerencias matemticas y, en especial, su amistad duran-
te mis visitas anuales. El material de MATLAB fue escrito por
Cecelia Laurie, de la University of Alabama. Gracias a la profesora
Laurie por la manera sobresaliente en que utiliz la computadora
para mejorar el proceso de enseanza. ste es un mejor libro debido a
sus esfuerzos. Tambin me gustara extender mi agradecimiento a
Cristina Palumbo, de The MathWorks, Inc., por proporcionarnos la
informacin ms reciente sobre MATLAB . La efectividad de un libro de
texto de matemticas depende en cierto grado de la exactitud de las
respuestas. Ya en la edicin anterior del libro se hicieron
esfuerzos considerables para tratar de evitar los errores al mximo.
Las respuestas fueron verificadas por varios profesores, entre los
que cabe destacar la importantsima labor de Sudhir Goel, de
Valdosta State College, y David Ragozin, de la University of
Washington, quien elabor el Manual de Soluciones del libro. Cecelia
Laurie prepar las soluciones a los problemas de MATLAB . En el caso
de esta nueva edicin, las soluciones a los problemas nuevos estn
elaboradas por los profesores que los aportaron. Dado que hay gran
cantidad de problemas nuevos, la seccin de respuestas al final del
libro se modific casi por completo. Agradezco a aquellas personas
que hicieron comentarios a la edicin anterior. Todos ellos son muy
valiosos. En esta edicin fue posible incorporar muchos de ellos. Mi
agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLAB
por la revisin de los problemas de MATLAB : Thomas Cairns,
University of Tulsa Karen Donelly, Saint Josephs College Roger
Horn, University of Utah Irving Katz, George Washington University
Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater Stanley I. Grossman
Missoula, Montana Jos Job Flores Godoy Universidad
Iberoamericana
- 13. XVIII Prefacio De manera especial agradecemos a los
siguientes profesores sus contribuciones y revisiones de la sexta
edicin de esta obra: Abelardo Ernesto Damy Sols, Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Guadalajara Dax Andr Pinseau Castillo, Universidad Catlica de
Honduras; Universidad Pedaggica Nacional de Honduras Eduardo
Soberanes Lugo, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Sinaloa Erik Leal Enrquez, Universidad
Iberoamericana, Ciudad de Mxico; Universidad Aut- noma
Metropolitana Azcapotzalco Irma Patricia Flores Allier, Instituto
Politcnico Nacional Israel Portillo Arroyo, Instituto Tecnolgico
del Parral, Chihuahua Ivn Castaeda Leyva, Universidad de Occidente,
unidad Culiacn Kristiano Racanello, Fundacin Universidad de las
Amricas, Puebla Mara Asuncin Montes Pacheco, Universidad Popular
Autnoma del Estado de Puebla Mara Eugenia Noriega Trevio,
Universidad Autnoma de San Luis Potos Martha Patricia Melndez
Aguilar, Instituto Tecnolgico de Celaya La divisin de Ingenieras,
Matemticas y Ciencias de McGraw-Hill agradece tambin a todos los
profesores que han contribuido con este importante proyecto: Adn
Medina, Instituto Tecnolgico de Culiacn Alfonso Bernal Amador,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Alfredo Gmez Rodrguez, Universidad
Nacional Autnoma de Mxico, Facultad de Ingeniera Andrs Basilio
Ramrez y Villa, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma
de Mxico Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnolgico de Mazatln
Arturo Fernando Quiroz, Tecnolgico Regional de Quertaro Arturo Muoz
Lozano, Universidad La Salle del Bajo Arturo Valenzuela Valenzuela,
Instituto Tecnolgico de Culiacn Aureliano Castro, Escuela de
Ingeniera, Universidad Autnoma de Sinaloa Beatriz Velazco,
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Culiacn Benigno Valez, Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Culiacn Bertha Alicia Madrid,
Universidad Iberoamericana, campus Cuidad de Mxico
Agradecimientos
- 14. Agradecimientos XIX Carlos Camacho Snchez, Instituto
Tecnolgico de Culiacn Carlos Garzn, Universidad Javeriana, Cali,
Colombia Carlos Rodrguez Provenza, Universidad Politcnica de
Quertaro Csar Meza Mendoza, Instituto Tecnolgico de Culiacn Dinaky
Glaros, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Culiacn Edgar Hernndez Lpez, Universidad Iberoamericana,
campus Len Edith Salazar Vzquez, Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Toluca Edmundo Barajas Ramrez,
Universidad Iberoamericana, campus Len Eduardo Miranda Montoya,
Iteso Erndira Gabriela Avils Rabanales, Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Erik Norman Guevara
Corona, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Esperanza Mndez
Ortiz, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Fernando Lpez, Escuela de Ingenieras Qumico-Biolgicas, Universidad
Autnoma de Sinaloa Gabriel Martnez, Instituto Tecnolgico de
Hermosillo Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnolgico de Mazatln
Gonzalo Veyro Santamara, Universidad Iberoamericana, campus Len
Guillermo Luisillo Ramrez, ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico
Nacional Hctor Escobosa, Instituto Tecnolgico de Culiacn Hortensia
Beltrn Ochoa, Instituto Tecnolgico de Los Mochis Irma Yolanda
Paredes, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras,
Universidad de Guadalajara Javier Nez Verdugo, Universidad de
Occidente, unidad Guamchil Jess Gamboa Hinojosa, Instituto
Tecnolgico de Los Mochis Jess Manuel Canizalez, Universidad de
Occidente, unidad Mazatln Jess Vicente Gonzlez Sosa, Universidad
Nacional Autnoma de Mxico Jorge Alberto Castelln, Universidad
Autnoma de Baja California Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto
Tecnolgico de Tijuana Jos Alberto Gutirrez Palacios, Facultad de
Ingeniera, Universidad Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca
Jos Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad
Culiacn Jos Carlos Ahumada, Instituto Tecnolgico de Hermosillo Jos
Carlos Aragn Hernndez, Instituto Tecnolgico de Culiacn Jos Espndola
Hernndez, Tecnolgico Regional de Quertaro Jos Gonzlez Vzquez,
Universidad Autnoma de Baja California Jos Guadalupe Octavio
Cabrera Lazarini, Universidad Politcnica de Quertaro Jos Guadalupe
Torres Morales, ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico Nacional Jos
Guillermo Crdenas Lpez, Instituto Tecnolgico de Tijuana Jos Luis
Gmez Snchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatln Jos Luis
Herrera, Tecnolgico Regional de San Luis Potos Jos No de la Rocha,
Instituto Tecnolgico de Culiacn
- 15. Juan Carlos Pedraza, Tecnolgico Regional de Quertaro Juan
Castaeda, Escuela de Ingenieras Qumico-Biolgicas, Universidad
Autnoma de Sinaloa Juan Leoncio Nez Armenta, Instituto Tecnolgico
de Culiacn Juana Murillo Castro, Escuela de Ingeniera, UAS Leonel
Monroy, Universidad del Valle, Cali, Colombia Linda Medina,
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Ciudad de Mxico Lorenza de Jess, Instituto Tecnolgico de Culiacn
Luca Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus Len Lucio
Lpez Cavazos, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Quertaro Luis Felipe Flores, Instituto Tecnolgico
de Los Mochis Luis Lpez Barrientos, EPCA Marco Antonio Blanco
Olivares, Tecnolgico Regional de San Luis Potos Marco Antonio
Rodrguez Rodrguez, Instituto Tecnolgico de Los Mochis Mara Sara
Valentina Snchez Salinas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Maritza Pea Becerril, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Toluca Martha Gutirrez Mungua, Universidad
Iberoamericana, campus Len Martn Muoz Chvez, UNIVA Michell Gmez,
Universidad ICESI, Cali, Colombia Miguel ngel Aguirre Pitol,
Universidad Autnoma del Estado de Mxico Nasario Mendoza Patio,
Tecnolgico Regional de Quertaro Norma Olivia Bravo, Universidad
Autnoma de Baja California Oscar Guerrero, Instituto Tecnolgico y
de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn Oscar Ren
Valdez Casillas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico Oswaldo
Verdugo Verdugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn Porfirio Lpez,
Universidad de Occidente, unidad Guamchil Ramn Duarte, Escuela de
Ingeniera, Universidad Autnoma de Sinaloa Ral Soto Lpez,
Universidad de Occidente, Unidad Culiacn Ricardo Betancourt Riera,
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Hermosillo Ricardo Martnez Gmez, Universidad Nacional Autnoma de
Mxico Roberto Guzmn Gonzlez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico
Roberto Robledo Prez, Instituto Tecnolgico de Len Rosa Mara
Rodrguez Gonzlez, Universidad Iberoamericana, campus Len Rosalba
Rodrguez Chvez, Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional Autnoma
de Mxico Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn
Sithanatham Kanthimathinathan, Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Quertaro Susana Pineda Cabello,
ESIME Culhuacn, Instituto Politcnico Nacional Walter Magaa,
Universidad de Sanbuenaventura, Cali, Colombia XX
Agradecimientos
- 16. Examen diagnstico Problema 1. Realice la siguientes
operaciones. a) 53 1 35 2 28 b) 8(7 2 16) c) 25(6) 2 8 d) 4 7 12 5
3 2 1 2 e) 3 4 2 3 7 6 2 f ) 2 7 3 5 3 10 2 Problema 2. Enumere los
elementos de los siguientes conjuntos. a) B 5 {x|x es vocal de la
palabra albaricoque} b) Q 5 {x|x es un mes del ao} c) L 5 {x|x es
par y divide a 10} c) P 5 (x, y)|x es impar y divide a 21 y y 5 3 x
Problema 3. Considere los siguientes conjuntos. U 5 {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18} A 5 {x H U|x es par
menor que 10} B 5 {x H U|x es divisor de 12} C 5 {x H U|x , 6} D 5
{x H U|5 , x , 16} E 5 {x H U|x es un dgito} Determine los
siguientes conjuntos. a) A x B b) C y B c) E x (D y B) d) D 2 B e)
B 2 D f ) A9 g) E9 h) (D y A)9 i) (B 2 D)9 Problema 4. Simplifique
las siguientes expresiones. a) 4x2 [2y 2 (5x 2 4y)] b) (a 2 4b) (3a
1 2b)
- 17. XXII Examen diagnstico c) 1 1 1 1 x d) 1 1 1 a b c c a b
Problema 5. Factorice las siguientes expresiones. a) m2 2 9m 1 20
b) m2 2 4mn 2 21n2 c) 4x2 1 8xy 1 4y2 d) 3x2 1 7 4 x 1 1 8 Problema
6. Resuelva las siguientes ecuaciones. a) 3x 1 6 5 24x 2 8 b) 5 6 7
4 2 3 3 5 12 3 2 1 5 2 1 x x x x c) y2 1 a2 5 (a 1 y)2 2 a(a 1 1)
d) 1 2 1 2 1 2 1 1 5 2 2 z a a b z a a b z b a b z b a b Problema
7. Encuentre las races de los siguientes polinomios. a) 5x2 1 3x 2
2 b) x2 1 8x 2 240 c) 17 10 x2 1 3x 1 5 d) 3x2 1 27 e) 4x2 2
20
- 18. Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos del captulo En
este captulo el estudiante. . . Recordar algunos conceptos
asociados con rectas en el pla- no y un mtodo de solucin de
ecuaciones algebraicas simul- tneas con dos variables (seccin 1.1).
Estudiar el mtodo de la reduccin gaussiana para resolver sistemas
de ecuaciones algebraicas, junto con trminos que se usarn a lo
largo del texto (seccin 1.2). Se familiarizar con el programa
Matlab, a n de resolver problemas relacionados con sistemas de
ecuaciones (seccin 1.3). Aprender los sistemas homogneos y las
caractersticas de su solucin (seccin 1.4). Captulo 1 En ingeniera
civil, al disear y analizar estructuras se resuelven sistemas de
ecuaciones que describen los esfuerzos que tendr que soportar la
construccin.
- 19. 2 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales Este libro
trata del lgebra lineal. Al buscar la palabra lineal en el
diccionario se en- cuentra, entre otras definiciones, la siguiente:
lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a la
lnea.1 Sin embargo, en matemticas la palabra lineal tiene un
significado mucho ms amplio. Una gran parte de la teora de lgebra
lineal elemental es, de hecho, una generalizacin de las propiedades
de la lnea recta. A manera de repaso se mencionan algunas
propiedades fundamentales sobre las lneas rectas: i) La pendiente m
de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) est dada
por m y y x x 5 2 2 2 1 2 1 55 y x si x1 Z x2 viii) Si x2 2 x1 5 0
y y2 Z y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente
es inde- finida.2 viii) Cualquier recta (a excepcin de aquella que
tiene una pendiente indefinida) se puede describir con su ecuacin
en la forma pendiente-ordenada al origen y 5 mx 1 b, donde m es la
pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y
en el punto en el que la recta cruza el eje y). iiiv) Dos rectas
distintas son paralelas si y slo si tienen la misma pendiente.
iiiv) Si la ecuacin de la recta se escribe en la forma ax 1 by 5 c,
(b Z 0), entonces se puede calcular fcilmente la pendiente m, como
m 5 2a/b. iivi) Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la
pendiente de la recta L2, m1 Z 0 y L1 y L2 son perpendiculares,
entonces m2 5 21/m1. ivii) Las rectas paralelas al eje x tienen
pendiente cero. viii) Las rectas paralelas al eje y tienen
pendiente indefinida. En la siguiente seccin se ilustrar la relacin
que existe entre resolver sistemas de ecuaciones y encontrar los
puntos de interseccin entre pares de rectas. 1.1 Dos ecuaciones
lineales con dos incgnitas Considere el siguiente sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incgnitas x y y: a x a y b a x a y b 1
5 1 5 11 12 1 21 22 2 (1.1.1) donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son
nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a una lnea
recta. Cualquier par de nmeros reales (x, y) que satis- face el
sistema (1.1.1) se denomina como solucin. Las preguntas que surgen
en forma natural son: tiene este sistema varias soluciones y, de
ser as, cuntas? Se respondern estas preguntas despus de ver algunos
ejemplos, en los cuales se usarn propiedades importantes del lgebra
elemental: Propiedad A Si a 5 b y c 5 d, entonces a 1 c 5 b 1 d.
Propiedad B Si a 5 b y c es cualquier nmero real, entonces ca 5 cb.
La propiedad A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene
una tercera ecuacin correcta. La propiedad B establece que si se
multiplican ambos lados de una ecuacin por una 1 Diccionario de la
Lengua Espaola, vigesimasegunda edicin, Real Academia Espaola.
Madrid: Espasa Calpe, 2001. 2 Indenida o innita, como tambin se le
denomina en otros libros. N Nota De forma breve tambin suele
referirse al sistema (1.1.1) como un sistema de 2 3 2. y xx2 x1 y2
y1 b m Figura 1.1 Descripcin de una recta.
- 20. 1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 3 EJEMPLO
1.1.1 EJEMPLO 1.1.2 EJEMPLO 1.1.3 constante se obtiene una segunda
ecuacin vlida. Los casos ms interesantes de la propiedad B se
presentan cuando c Z 0, ya que aunque la ecuacin 0 5 0 es correcta,
no es muy til. Sistema con una solucin nica Considere el sistema 3x
2 2y 5 4 5x 1 2y 5 12 (1.1.2) Si se suman las dos ecuaciones se
tiene, por la propiedad A, la siguiente ecuacin: 8x 5 16 (es decir,
x 5 2). Entonces, si se despeja de la segunda ecuacin, 2y 5 12 2 5x
5 12 2 10 5 2, entonces y 5 1. As, el par (2, 1) satisface el
sistema (1.1.2) y la forma en que se encontr la solucin muestra que
es el nico par de nmeros que lo hace. Es decir, el sistema (1.1.2)
tiene una solucin nica. Sistema con un nmero innito de soluciones
Considere el sistema x 2 y 5 7 2x 2 2y 514 (1.1.3) Se puede ver que
estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos
nmeros, x y y, que satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen
la segunda, y viceversa. Para com- probar esto se multiplica la
primera ecuacin por 2, esto est permitido por la propiedad B. Al
ser ambas ecuaciones equivalentes, lo nico que podemos hacer es
despejar una incgnita en trminos de cualquiera otra de las dos
ecuaciones. Entonces x 2 y 5 7 o y 5 x 2 7. As, el par (x, x 2 7)
es una solucin al sistema (1.1.3) para cualquier nmero real x. Es
decir, el sistema (1.1.3) tiene un nmero infinito de soluciones.
Para este ejemplo, los siguientes pares son solu- ciones: (7, 0),
(0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22, 29). Sistema sin solucin
Considere el sistema x 2 y 5 7 2x 2 2y 513 (1.1.4) Si se multiplica
la primera ecuacin por 2 (que de nuevo est permitido por la
propiedad B) se obtiene 2x 2 2y 5 14. Esto contradice la segunda
ecuacin. Por lo tanto, el sistema (1.1.4) no tiene solucin. y x 0
a11 x 1 a12 y 5 b1 a21 x 1 a22 y 5 b2 y x 0 a11 x 1 a12 y 5 b1 a21
x 1 a22 y 5 b2 y x 0 a11 x 1 a12 y 5 b1 a21 x 1 a22 y 5 b2 a)
Rectas no paralelas; un punto de interseccin b) Rectas paralelas;
sin puntos de interseccin c) Rectas que coinciden; nmero innito de
puntos de interseccin Solucin nica Sin solucin Nmero innito de
soluciones Figura 1.2 Dos rectas se intersecan en un punto, en
ninguno o (si coinciden) en un nmero innito de puntos. Solucin nica
Nmero innito de soluciones
- 21. 4 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema que
no tiene solucin se dice que es inconsistente. Geomtricamente es
fcil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se
repite que ambas ecuaciones del sistema (1.1.1) son de lneas
rectas. Una solucin a (1.1.1) es un punto (x, y) que se encuentra
sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, enton-
ces se intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces
nunca se intersecan (es decir, no tienen puntos en comn) o son la
misma recta (esto es, tienen un nmero infinito de puntos en comn).
En el ejemplo 1.1.1 las rectas tienen pendientes de 3 2 y 2 5 2 ,
respectivamente, por lo que no son paralelas y tienen un solo punto
en comn (2, 1). En el ejemplo 1.1.2, las rectas son paralelas
(tienen pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 1.1.3, las
rectas son paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en
la figura 1.2. Ahora se proceder a resolver el sistema (1.1.1)
formalmente. Se tiene a x a y b a x a y b 1 5 1 5 11 12 1 21 22 2
(1.1.1) Se deben analizar los siguientes casos: Caso I Si a12 5 a22
5 0, el sistema slo tiene una incgnita, que es x. Caso II Si a11 5
a21 5 0, el sistema slo tiene una incgnita, que es y. Caso III Si
a12 5 0 y a11 Z 0, a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces x 5 b a 1 11 , y se
puede usar la segunda ecuacin para despejar y. Caso IV Si a22 5 0 y
a11 Z 0, a12 Z 0 y a21 Z 0, entonces x 5 b a 2 21 , y se puede usar
la primera ecuacin para despejar y. Caso V Si a11 5 0 y a12 Z 0,
a21 Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 b a 1 12 , y se puede usar la
segunda ecuacin para despejar x. Caso VI Si a21 5 0 y a11 Z 0, a12
Z 0 y a22 Z 0, entonces y 5 b a 2 22 , y se puede usar la primera
ecuacin para despejar x. El ltimo caso necesita un desarrollo ms
detallado, de modo que consideremos que todos los coeficientes a11,
a12, a21 y a22 son diferentes a cero. Si se multiplica la primera
ecuacin por a22 y la segunda por a12 se tiene a11a22 x 1 a12a22 y 5
a22b1 a12a21 x 1 a12a22 y 5 a12b2 (1.1.5) Antes de continuar
observe que los sistemas (1.1.1) y (1.1.5) son equivalentes. Esto
quiere decir que cualquier solucin del sistema (1.1.1) es una
solucin del sistema (1.1.5) y viceversa. Ello se concluye
directamente de la propiedad B, suponiendo que la constante c sea
diferente de cero. Despus, si en (1.1.5) se resta la segunda
ecuacin de la primera, se obtiene (a11a22 2 a12a21)x 5 a22b1 2
a12b2 (1.1.6) Observe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces se puede
dividir entre este trmino para obtener x a b a b a a a a 5 2 2 22 1
12 2 11 22 12 21 Despus se puede sustituir este valor de x en el
sistema (1.1.1) para despejar y, y as se habr encontrado la solucin
nica del sistema. Sistemas equivalentes Sistema inconsistente
- 22. 1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 5 Se ha
demostrado lo siguiente: Si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces el
sistema (1.1.1) tiene una solucin nica. Cmo se relaciona esta
afirmacin con lo que se analiz anteriormente? En el sistema (1.1.1)
se puede ver que la pendiente de la primera recta es 2 a a 11 12 y
que la pendiente de la segun- da es 2 a a 21 22 . En los problemas
41, 42 y 43 se pide al lector que demuestre que a11a22 2 a12a21 5 0
si y slo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma
pendiente). De esta manera se sabe que si a11a22 2 a12a21 Z 0, las
rectas no son paralelas y el sistema tiene una solucin nica. Lo que
se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones
posteriores de este captulo y los siguientes se harn
generalizaciones de este teorema, y se har referencia a l como el
teorema de resumen conforme se avance en el tema. Una vez que se
hayan de- mostrado todas sus partes, se podr estudiar una relacin
asombrosa entre varios conceptos importantes de lgebra lineal. T
Teorema 1.1.1 Teorema de resumen (punto de vista 1) El sistema a11x
1 a12y 5 b1 a21x 1 a22y 5 b2 de dos ecuaciones con dos incgnitas x
y y no tiene solucin, tiene una solucin nica o tiene un nmero
infinito de soluciones. Esto es: ii) Tiene una solucin nica si y
slo si a11a22 2 a12a21 Z 0. ii) No tiene solucin o tiene un nmero
infinito de soluciones, si y slo si a11a22 2 a12a21 5 0. Los
sistemas de m ecuaciones con n incgnitas se estudian en la seccin
1.2 y se ver que siempre ocurre lo mismo con respecto a su solucin,
es decir, que no tienen solucin, o que tie- nen una solucin nica o
un nmero infinito de soluciones. A AUTOEVALUACIN 1.1 II) De las
siguientes afirmaciones con respecto a la solucin de un sistema de
dos ecuaciones con dos incgnitas, cul de ellas no es verdadera? a)
Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones. b) Su grfica
consiste en el (los) punto(s) de interseccin de las grficas de las
ecuaciones. c) Su grfica es la abscisa de las grficas de las
ecuaciones. d) Si el sistema es inconsistente, no existe una
solucin. II) Cul de las siguientes afirmaciones es cierta para un
sistema inconsistente de dos ecuaciones lineales? a) No existe una
solucin. b) La grfica del sistema est sobre el eje y. c) La grfica
de la solucin es una recta. d) La grfica de la solucin es el punto
de interseccin de dos lneas.
- 23. 6 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales III) Cul de las
aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de
ecua- ciones? 3 2 8 4 7 x y x y 2 5 1 5 a) El sistema es
inconsistente. b) La solucin es (21, 2). c) La solucin se encuentra
sobre la recta x 5 2. d) Las ecuaciones son equivalentes. IV) De
las siguientes ecuaciones que se presentan, cul de ellas es una
segunda ecua- cin para el sistema cuya primera ecuacin es x 2 2y 5
25 si debe tener un nme- ro infinito de soluciones? a) 6y 5 3x 1 15
b) 6x 2 3y 5 215 c) y 5 1 2 5 2 x2 1 d) 3 2 3 15 2 x y5 1 IV) Cul
de las grficas de los siguientes sistemas es un par de rectas
paralelas? a) 3x 2 2y 5 7 b) x 2 2y 5 7 4y 5 6x 2 14 3x 5 4 1 6y c)
2x 1 3y 5 7 d) 5x 1 y 5 1 3x 2 2y 5 6 7y 5 3x Respuestas a la
autoevaluacin I) c) II) a) III) c) IV) a) V) b) Problemas 1.1 En
los problemas 1 a 18 encuentre las soluciones (si las hay) de los
siguientes sistemas dados. En cada caso calcule el valor de D 5
a11a22 2 a12a21. 1. x 1 y 5 3 2. 22x 1 3y 5 3 x 1 2y 5 28 22x 2 3y
5 23 3. 24x 1 5y 5 0 4. 2 2x 5 1 22x 2 y 5 3 4x 2 3y 5 0 5. 27x 1
3y 5 0 6. 3x 2 7y 5 25 25x 1 10y 5 0 4x 2 3y 5 22 7. 27x 1 4y 5 1
8. 27x 1 4y 5 0 27x 2 4y 5 23 27x 2 4y 5 0 9. 213x 1 3y 5 7 10. 29x
2 3y 5 23 25x 1 22y 5 9 22x 1 4y 5 1 11. 22x 1 3y 5 3 12. x 1 2y 5
5 22x 2 3y 5 23 3x 1 4y 5 6 13. 22x 1 4y 5 23 14. 27x 1 2y 5 29 22x
1 4y 5 8 27x 1 2y 5 26
- 24. 1.1 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 7 15. 25x 1
7y 5 3 16. ax 1 by 5 c 25x 24x 5 28 ax 2 by 5 c 17. ax 1 by 5 c 18.
ax 2 by 5 c bx 1 ay 5 c bx 1 ay 5 d 19. Encuentre las condiciones
sobre a y b tales que el sistema en el problema 16 tenga una
solucin nica. 20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales
que el sistema en el problema 17 tenga un nmero infinito de
soluciones. 21. Encuentre las condiciones sobre a, b, c y d tales
que el sistema en el problema 18 no tenga solucin. En los problemas
22 a 28 encuentre el punto de interseccin (si hay uno) de las dos
rectas. 22. 2x 1 2y 5 1; 3x 2 5y 5 1 23. 24x 1 2y 5 1; 4x 2 2y 5 1
24. 24x 1 2y 5 21; 4x 2 2y 5 1 25. 7x 2 3y 5 23; 29x 1 5y 5 22 26.
22y 2 3x 5 7; 29y 1 5y 5 22 27. px 1 y 5 0; 2x 2 5y 5 2l 28. 23 5x
y 5 l; 25 3x y 5 0 Sea L una recta y L' la recta perpendicular L
que pasa a travs de un punto P. La distancia de la recta L al punto
P se define como la distancia* entre P y el punto de interseccin de
L y L' (ver figura 1.2). y x L1 P d L m 2 1 m Figura 1.3 Distancia
de la recta L al punto P. En los problemas 29 a 34 encuentre la
distancia entre la recta dada y el punto. 29. 2x 2 3y 5 4; (27, 22)
30. 25x 1 6y 5 2; (1, 3) 31. 2x 2 4y 5 242; (7, 221) 32. 7x 1 5y 5
6; (0, 0) 33. 3x 1 7y 5 0; (22, 28) 34. 1lx 2 12y 5 5; (0, 4) 35.
Encuentre la distancia entre la recta 2x 2 y 5 6 y el punto de
interseccin de las rectas 3x 2 2y 5 1 y 6x 1 3y 5 32. * Recuerde
que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en el plano xy, entonces
la distancia d entre ellos est dada por d 5 2 1 2x x y y( ) ( )1 2
2 1 2 2 .
- 25. 8 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales 36. Encuentre
la distancia entre la recta paralela a 23x 1 4y 5 25 y que pasa por
el punto (21, 21), y el punto de interseccin de las rectas 27x 1 2y
5 4 y 2x 2 8y 5 21. *37. Pruebe que la distancia entre el punto
(x1, y1) y la recta ax 1 by 5 c est dada por | |1 1 2 2 d ax by c a
b 5 1 2 1 38. Suponga que a11a22 2 a12a21 5 0. Demuestre que las
rectas dadas en el sistema de ecuacio- nes (1.1.1) son paralelas.
Suponga que a11 Z 0 o a12 Z 0 y a21 Z 0 o a22 Z 0. 39. Si existe
una solucin nica al sistema (1.1.1), muestre que a11a22 2 a12a21 Z
0. 40. Si a11a22 2 a12a21 Z 0 demuestre que el sistema (1.1.1)
tiene una solucin nica. 41. En un zoolgico hay aves (de dos patas)
y bestias (de cuatro patas). Si el zoolgico con- tiene 60 cabezas y
200 patas, cuntas aves y bestias viven en l? 42. Una tienda de
helados vende slo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de
jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de
jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4
galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un da, cuntos helados
con soda y cuntas malteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto 5 32
onzas, 1 galn 5 4 cuartos.] 43. La compaa Sunrise Porcelain fabrica
tazas y platos de cermica. Para cada taza o plato un trabajador
mide una cantidad fija de material y la pone en la mquina que los
forma, de donde pasa al vidriado y secado automtico. En promedio,
un trabajador necesita tres minutos para iniciar el proceso de una
taza y dos minutos para el de un plato. El material para una taza
cuesta 25 y el material para un plato cuesta 20. Si se asignan $44
diarios para la produccin de tazas y platos, cuntos deben
fabricarse de cada uno en un da de trabajo de 8 horas, si un
trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan
exactamente $44 en materiales? 44. Conteste la pregunta del
problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan 15 y
10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo. 45.
Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de
trabajo. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana En esta seccin se describe un mtodo para
encontrar todas las soluciones (si es que existen) de un sistema de
m ecuaciones lineales con n incgnitas. Al hacerlo se ver que, igual
que en el caso de 2 3 2, estos sistemas o bien no tienen solucin,
tienen una solucin nica o tienen un nmero infinito de soluciones.
Antes de llegar al mtodo general se vern algunos ejemplos sen-
cillos. Como variables, se usarn x1, x2, x3, etc., en lugar de x,
y, z, . . . porque la generalizacin es ms sencilla si se usa la
notacin con subndices. Solucin de un sistema de tres ecuaciones con
tres incgnitas: solucin nica Resuelva el sistema 2x1 1 4x2 1 6x3 5
18 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 3x1 1 x2 2 2x3 5 4 (1.2.1) EJEMPLO
1.2.1
- 26. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 9 N Nota Como se puede ver por el
desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuacin 4x1 1 5x2 1 6x3 5
24 por la ecuacin 23x2 2 6x3 5 212. En este ejemplo y otros
posteriores se sustituirn ecuaciones con otras ms sencillas hasta
obtener un sistema cuya solucin se pueda identicar de inmediato.
Solucin En este caso se buscan tres nmeros x1, x2, x3, tales que
las tres ecuaciones en (1.2.1) se satisfagan. El mtodo de solucin
que se estudiar ser el de simplificar las ecua- ciones como se hizo
en la seccin 1.1, de manera que las soluciones se puedan
identificar de inmediato. Se comienza por dividir la primera
ecuacin entre 2. Esto da x1 1 2x2 1 3x3 5 9 (1.2.2a) 4x1 1 5x2 1
6x3 5 24 (1.2.2b) 3x1 1 x2 2 2x3 5 4 (1.2.2c) Como se vio en la
seccin 1.1, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin
equi- valente. Esta nueva ecuacin puede sustituir a cualquiera de
las dos ecuaciones del sistema que se usaron para obtenerla.
Primero se simplifica el sistema (1.2.2) multiplicando ambos lados
de la ecuacin (1.2.2a) por 24 y sumando esta nueva ecuacin a la
ecuacin (1.2.2b). Esto da 24x1 2 8x2 2 12x3 5 236 4x1 1 5x2 1 6x3 5
24 23x2 2 6x3 5 212 La ecuacin 23x2 2 6x3 5 212 es la nueva ecuacin
(1.2.2b) y el sistema ahora es x1 1 2x2 1 3x3 5 9 23x2 2 6x3 5 212
3x1 1 x2 2 2x3 5 4 Entonces, la ecuacin (1.2.2a) se multiplica por
23 y se suma a la ecuacin (1.2.2c), lo que da por resultado: x1 1
2x2 1 3x3 5 9 23x2 2 6x3 5 212 25x2 2 11x3 5 223 Observe que en el
sistema (1.2.3) se ha eliminado la variable x1 de las ecuaciones
(1.2.3b) y (1.2.3c). Despus se divide la ecuacin (1.2.3b) por 23:
x1 1 2x2 1 3x3 5 9 x2 1 2x3 5 4 25x2 2 11x3 5 223 Se multiplica la
ecuacin (1.2.4b) por 22 y se suma a la ecuacin (1.2.4a); despus se
multiplica la ecuacin (1.2.4b) por 5 y se suma a la ecuacin
(1.2.4c): x1 2 x3 5 1 x2 1 2x3 5 4 x3 5 23 Ahora se multiplica la
ecuacin (1.2.5c) por 21: x1 2 x3 5 1 x2 1 2x3 5 4 x3 5 3 (1.2.3a)
(1.2.3b) (1.2.3c) (1.2.4a) (1.2.4b) (1.2.4c) (1.2.5a) (1.2.5b)
(1.2.5c) (1.2.6a) (1.2.6b) (1.2.6c)
- 27. 10 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales Por ltimo, se
suma la ecuacin (1.2.6c) a la ecuacin (1.2.6a) y despus se
multiplica la ecua- cin (1.2.6c) por 22 y se suma a la ecuacin
(1.2.6b) para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente
al sistema (1.2.1): x1 5 4 x2 5 22 x3 5 3 sta es la solucin nica
para el sistema. Se escribe en la forma (4, 22, 3). El mtodo que se
us se conoce como eliminacin de Gauss-Jordan.3 Antes de seguir con
otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en ste: iii) Se
dividi la primera ecuacin, entre una constante, para hacer el
coeficiente de x1 igual a 1. iii) Se eliminaron los trminos en x1
de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los coeficientes de
estos trminos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuacin
por las constantes adecuadas y sumndola a la segunda y tercera
ecuaciones, respectiva- mente, de manera que al sumar las
ecuaciones una de las incgnitas se eliminaba. iii) Se dividi la
segunda ecuacin entre una constante, para hacer el coeficiente de
x2 igual a 1 y despus se us la segunda ecuacin para eliminar los
trminos en x2 de la primera y tercera ecuaciones, de manera
parecida a como se hizo en el paso anterior. iv) Se dividi la
tercera ecuacin entre una constante, para hacer el coeficiente de
x3 igual a 1 y despus se us esta tercera ecuacin para eliminar los
trminos de x3 de la pri- mera y segunda ecuaciones. Cabe resaltar
el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes.
Es decir, cada sistema tena el mismo conjunto de soluciones que el
precedente. Esto es una consecuen- cia de las propiedades A y B de
la pgina 2. Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es
conveniente introducir una notacin que simplifica la escritura de
cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Una
matriz es un arreglo rectangular de nmeros y stas se estudiarn con
gran detalle al inicio de la seccin 2.1. Por ejemplo, los
coeficientes de las variables x1, x2, x3 en el sistema (1.2.1) se
pueden escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz
de coeficientes del sistema: 5 2 (1.2.7) Una matriz con m renglones
y n columnas se llama una matriz de m 3 n. El smbolo m 3 n se lee m
por n. El estudio de matrices constituye gran parte de los captulos
restantes de este libro. Por la conveniencia de su notacin para la
resolucin de sistemas de ecuaciones, las pre- sentamos aqu. Al usar
la notacin matricial, el sistema (1.2.1) se puede escribir como la
matriz aumentada 2 (1.2.8) Eliminacin de Gauss-Jordan Matriz de
coecientes Matriz aumentada 3 Recibe este nombre en honor del gran
matemtico alemn Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y del ingeniero
alemn Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea la semblanza bibliogrca de
Gauss en la pgina 21. Jordan fue un experto en investigacin
geodsica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo
sobre la solucin de sistemas de ecua- ciones apareci en 1888 en su
libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia). Matriz
Matriz de m 3 n
- 28. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 11 Reduccin por renglones Operaciones
elementales por renglones Ahora es posible introducir cierta
terminologa. Se ha visto que multiplicar (o dividir) los dos lados
de una ecuacin por un nmero diferente de cero da por resultado una
nueva ecuacin equivalente. Ms an, si se suma un mltiplo de una
ecuacin a otra del sistema se obtiene otra ecuacin equivalente. Por
ltimo, si se intercambian dos ecuaciones en un sistema de
ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres
operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz
aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan
operaciones elementales por renglones. Operaciones elementales por
renglones Las tres operaciones elementales por renglones aplicadas
a la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones son:
Operaciones elementales por renglones i) Multiplicar (o dividir) un
rengln por un nmero diferente de cero. ii) Sumar un mltiplo de un
rengln a otro rengln. iii) Intercambiar dos renglones. El proceso
de aplicar las operaciones elementales por renglones para
simplificar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.
Notacin 1. Ri cRi quiere decir reemplaza el i-simo rengln por ese
mismo rengln multiplicado por c. [Para multiplicar el i-simo rengln
por c se multiplica cada nmero en el i-simo rengln por c.] 2. Rj Rj
1 cRi significa sustituye el j-simo rengln por la suma del rengln j
ms el ren- gln i multiplicado por c. 3. Ri } Rj quiere decir
intercambiar los renglones i y j. 4. A B indica que las matrices
aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los siste- mas que
representan tienen la misma solucin. Matrices aumentadas
equivalentes En el ejemplo 1.2.1 se vio que al usar las operaciones
elementales por renglones i) y ii) varias veces, se puede obtener
un sistema cuyas soluciones estn dadas en forma explcita. Ahora se
repiten los pasos del ejemplo 1.2.1 usando la notacin que se acaba
de introducir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 4 5 6 3 1 2 | | | 18 24 4 1 2
3 4 5 6 3 1 2 | | | 9 24 4 1 2 3 0 3 6 0 5 11 | | | 9 12 23 22 22R
R R R R R R R 4 31 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2 1 2 3 0 1 2 0 5 11 |
| | 9 4 23 1 0 1 0 1 2 0 0 1 | | | 1 4 3 22 11R R R R R R R R 2 52
1 3 2 1 1 2 3 3 2
- 29. 12 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 1 0 1 0 1
2 0 0 1 | | | 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | | 4 2 3 22 11 22R R R R R
R R R23 3 1 1 3 2 2 3 De nuevo se puede ver de inmediato que la
solucin es x1 5 4, x2 5 22, x3 5 3. Solucin de un sistema de tres
ecuaciones con tres incgnitas: nmero innito de soluciones Resuelva
el sistema 2x1 1 4x2 1 6x3 5 18 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24 2x1 1 7x2 1
12x3 5 30 Solucin Para resolver este sistema se procede como en el
ejemplo 1.2.1, esto es, pri- mero se escribe el sistema como una
matriz aumentada: Despus se obtiene, sucesivamente, 2 2 2 1 2 3 4 5
6 2 7 12 | | | 9 24 30 1 2 3 0 3 6 0 3 6 | | | 9 12 12 22 22R R R R
R R R R 4 21 1 2 1 2 2 1 3 3 1 21 2 3 0 1 2 0 3 6 | | | 9 4 12 1 0
1 0 1 2 0 0 0 | | | 1 4 0 22 22R R R R R R R R 2 32 1 3 2 1 1 2 3 3
2 Esto es equivalente al sistema de ecuaciones x1 2 x3 5 1 x2 1 2x3
5 4 Hasta aqu se puede llegar. Se tienen slo dos ecuaciones para
las tres incgnitas x1, x2 y x3, y por lo tanto existe un nmero
infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige a x3 como
parmetro y se despejan a x1 y x2 en trminos de x3. Entonces x2 5 4
2 2x3 y x1 5 1 1 x3. sta ser una solucin para cualquier nmero x3.
Se escribe esta solucin en la forma (1 1 x3, 4 2 2x3, x3). Por
ejemplo, si x3 5 0, se obtiene la solucin (1, 4, 0). Para x3 5 10
se obtiene la solu- cin (11, 216, 10), y por ello para cada valor
de x3 habr una solucin distinta. Sistema inconsistente Resuelva el
sistema 2x2 1 3x3 5 4 2x1 2 6x2 1 7x3 5 15 x1 2 2x2 1 5x3 5 10
(1.2.9) EJEMPLO 1.2.2 EJEMPLO 1.2.3
- 30. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 13 Solucin La matriz aumentada para este
sistema es 2 2 0 2 3 2 6 7 1 2 5 | | | 4 15 10 El elemento 1,1 de
la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0
por cual- quier nmero real el resultado es 0. En su lugar se puede
usar la operacin elemental por renglo- nes iii) intercambiar dos
renglones, para obtener un nmero distinto a cero en la posicin 1,1.
Se puede intercambiar el rengln 1 con cualquiera de los otros dos;
sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3 queda un 1 en esa
posicin. Al hacerlo se obtiene lo siguiente: 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3
2 6 7 1 2 5 | | | 4 15 10 1 2 5 2 6 7 0 2 3 | | | 10 15 4 1 2 5 0 2
3 0 2 3 | | | 10 5 4 22R R R R R21 3 2 2 1 Es necesario detenerse
aqu porque, como se ve, las ltimas dos ecuaciones son 22x2 2 3x3 5
25 2x2 1 3x3 5 4 lo cual es imposible (si 22x2 2 3x3 5 25, entonces
2x2 1 3x3 5 5, no 4), por lo que no existe alguna solucin. Se puede
proceder como en los ltimos dos ejemplos para obtener una forma ms
estndar: 2 2 1 2 5 | 10 0 1 | 0 2 3 | 4 1 0 8 | 15 0 1 | 0 0 0 | 1
11 22R R R R R R R R 2 22 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 53 2 3 2 5 2 Ahora la
ltima ecuacin es 0x1 1 0x2 1 0x3 5 21, lo cual tambin es imposible
ya que 0 Z 21. As, el sistema (1.2.9) no tiene solucin. En este
caso se dice que el sistema es inconsistente. Denicin 1.2.1D
Sistemas inconsistentes y consistentes Se dice que un sistema de
ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solucin. Se dice
que un sistema que tiene al menos una solucin es consistente. Se
analizarn de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1.2.1 se
comenz con la matriz de coeficientes 5 2 2 4 6 4 5 6 3 1 2 1A En el
proceso de reduccin por renglones, A1 se redujo a la matriz 5 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1R
- 31. 14 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales En el ejemplo
1.2.2 se comenz con 5 2 4 6 4 5 6 2 7 12 2A y se termin con 5 21 0
1 0 1 2 0 0 0 2R En el ejemplo 1.2.3 se comenz con 5 2 2 0 2 3 2 6
7 1 2 5 3A y se termin con 5 1 0 8 0 1 0 0 0 3R 3 2 Las matrices
R1, R2, R3 se denominan formas escalonadas reducidas por renglones
de las matri- ces A1, A2 y A3, respectivamente. En general, se
tiene la siguiente definicin: Denicin 1.2.2D Forma escalonada
reducida por renglones y pivote Una matriz se encuentra en la forma
escalonada reducida por renglones si se cumplen las siguientes
condiciones: iii) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos
son todos cero aparecen en la par- te inferior de la matriz. iii)
El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier rengln cuyos elementos no todos son cero es 1. iii) Si
dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero,
entonces el pri- mer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la
derecha que el primer 1 en el rengln de arriba. iv) Cualquier
columna que contiene el primer 1 en un rengln tiene ceros en el
resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un
ren- gln (si lo hay) se llama pivote para ese rengln. Cinco
matrices en la forma escalonada reducida por renglones Las
siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por
renglones: i) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ii) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 iii) 1
0 00 5 0 0 1 2 iv) 1 0 0 1 v) 1 0 2 5 0 1 3 6 0 0 0 0 N Nota La
condicin iii) se puede reescribir como el pivote en cualquier
rengln est a la derecha del pivote del rengln anterior. EJEMPLO
1.2.4
- 32. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 15 Las matrices i) y ii) tienen tres
pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes. Denicin 1.2.3D
Forma escalonada por renglones Una matriz est en la forma
escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i), ii) y
iii) de la definicin 1.2.2. Cinco matrices en la forma escalonada
por renglones Las siguientes matrices se encuentran en la forma
escalonada por renglones: i) 1 2 3 0 1 5 0 0 1 ii) 1 1 6 4 0 1 2 8
0 0 0 1 2 2 iii) 1 0 2 5 0 0 1 2 iv) 1 2 0 1 v) 1 3 2 5 0 1 3 6 0 0
0 0 En el siguiente ejemplo se muestra cmo dos matrices en forma
escalonada por renglones son equivalentes entre s. Sean 1 3 2 5 0 1
3 6 0 0 0 1 1 2 1 1 0 1 3 6 0 0 0 0 5 2 2 5A B 22R R R1 1 2 . Esto
significa que cualquier matriz que sea equivalente por renglones a
la matriz A tambin lo es a la matriz B. Como se vio en los ejemplos
1.2.1, 1.2.2 y 1.2.3, existe una fuerte relacin entre la forma
escalonada reducida por renglones y la existencia de la solucin
nica para el sistema. En el ejemplo 1.2.1 dicha forma para la
matriz de coeficien- tes (es decir, en las primeras tres columnas
de la matriz aumentada) tenan un 1 en cada rengln y exista una
solucin nica. En los ejemplos 1.2.2 y 1.2.3 la forma escalonada
reducida por renglones de la matriz de coeficientes tena un rengln
de ceros y el sistema no tena solucin o tena un nmero infinito de
soluciones. Esto siempre es cierto en cualquier sistema de
ecuaciones con el mismo nmero de ecuaciones e incgnitas. Pero antes
de estudiar el caso general se analizar la utilidad de la forma
escalonada por renglones de una matriz. Es posible resolver el
sistema en el ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de coeficientes a
esta forma. Solucin de un sistema mediante eliminacin gaussiana
Resuelva el sistema del ejemplo 1.2.1 reduciendo la matriz de
coeficientes a la forma escalonada por renglones. Solucin Se
comienza como antes: 2 2 2 4 6 4 5 6 3 1 2 | | | 18 24 4 1 2 3 4 5
6 3 1 2 | | | 9 24 4 R R1 1 2 1 N Nota Por lo general, la forma
escalonada por renglones de una matriz no es nica. Es decir, una
matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a ms de una matriz
en forma escalonada por renglones. Observacin 1 La diferencia entre
estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la
forma escalonada por renglones, todos los nmeros abajo del primer 1
en un rengln son cero. En la forma escalonada reducida por
renglones, todos los nmeros abajo y arriba del primer 1 de un
rengln son cero.As, la forma escalonada reducida por renglones es
ms exclusiva. Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida
por renglones se encuentra tambin la forma escalonada por ren-
glones, pero el inverso no es cierto. Observacin 2 Siempre se puede
reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglones o a
la forma escalonada por renglones realizando operaciones
elementales por renglones. Esta reduccin se vio al obtener la forma
escalonada reducida por renglones en los ejemplos 1.2.1, 1.2.2 y
1.2.3. EJEMPLO 1.2.6 EJEMPLO 1.2.5
- 33. 16 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 3 0 3 6 0 5 11 | | | 9 12 23 1 2 3 0 1 2 0 5 11 | | | 9 4 23
R R3 3 22 22 R R R R R R 4 3 2 2 1 1 2 1 3 2 Hasta aqu, este
proceso es idntico al anterior; pero ahora slo se hace cero el
nmero (25) que est debajo del primer 1 en el segundo rengln: 2 2 1
2 3 0 1 2 0 0 1 | | | 9 4 3 1 2 3 0 1 2 0 0 1 | | | 9 4 3 R R3 3
221 R R R5 2 3 3 La matriz aumentada del sistema (y los
coeficientes de la matriz) se encuentran ahora en la forma
escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x3 5 3.
Despus se usa la sustitucin hacia atrs para despejar primero x2 y
despus x1. La segunda ecuacin queda x2 1 2x3 5 4. Entonces x2 1
2(3) 5 4 y x2 5 22. De igual manera, de la primera ecuacin se
obtiene x1 1 2(22) 1 3(3) 5 9 o x1 5 4. As, de nuevo se obtiene la
solucin (4, 22, 3). El mtodo de solucin que se acaba de emplear se
llama eliminacin gaussiana. Se cuenta con dos mtodos para resolver
los ejemplos de sistemas de ecuaciones: ii) Eliminacin de
Gauss-Jordan Se reduce por rengln la matriz de coecientes a la
forma escalonada reducida por renglones usando el procedimiento
descrito en la pgina 10. ii) Eliminacin gaussiana Se reduce por
rengln la matriz de coecientes a la forma escalonada por renglones,
se despeja el valor de la ltima incgnita y despus se usa la
sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas. Cul mtodo es ms til?
Depende; al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora se
prefiere el mtodo de eliminacin gaussiana porque significa menos
operaciones elementales por renglones. De hecho, como se ver en el
apndice C, para resolver un sistema de n ecuacio- nes con n
incgnitas usando la eliminacin de Gauss-Jordan se requieren
aproximadamente 2 3 n sumas y multiplicaciones, mientras que la
eliminacin gaussiana requiere slo 3 3 n sumas y mul- tiplicaciones.
La solucin numrica de los sistemas de ecuaciones se estudiar en el
apndice D. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma
escalonada reducida por renglones de una matriz (una de stas se
estudia en la seccin 2.4). En estos casos la eliminacin de
Gauss-Jordan es el mtodo preferido. Ahora estudiaremos la solucin
de un sistema general de m ecuaciones con n incgnitas. La mayor
parte de las soluciones de los sistemas se har mediante la
eliminacin de Gauss-Jordan debido a que en la seccin 2.4 esto se
necesitar. Debe tenerse en mente, sin embargo, que la eliminacin
gaussiana suele ser un enfoque ms conveniente. El sistema general m
3 n (de m ecuaciones con n incgnitas) est dado por a x a x a x a x
b a x a x a x n n11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 1 1 1 1 5 1 1 1
11 5 1 1 1 1 5 a x b a x a x a x a x b a n n n n m 2 2 31 1 32 2 33
3 3 3 1xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 31 1 1 1 5 (1.2.10)
Sustitucin hacia atrs Eliminacin gaussiana
- 34. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 17 En el sistema (1.2.10) todos los
coeficientes aij y bi son nmeros reales dados. El problema es
encontrar todos los conjuntos de n nmeros, denotados por (x1, x2,
x3, . . . xn), que satisfacen cada una de las m ecuaciones en
(1.2.10). El nmero aij es el coeficiente de la variable xj en la
i-sima ecuacin. Es posible resolver un sistema de m ecuaciones con
n incgnitas haciendo uso de la elimina- cin de Gauss-Jordan o
gaussiana. En seguida se proporciona un ejemplo en el que el nmero
de ecuaciones e incgnitas es diferente. Solucin de un sistema de
dos ecuaciones con cuatro incgnitas Resuelva el sistema x1 1 3x2 2
5x3 1 x4 5 4 2x1 1 5x2 2 2x3 1 4x4 5 6 Solucin Este sistema se
escribe como una matriz aumentada y se reduce por ren- glones: 1 3
5 1 2 5 2 4 4 6 1 3 5 1 0 1 8 2 2 2 2 2 | | | | 44 22 22R R R22 2 1
1 3 5 1 0 1 8 2 4 2 2 2 2 | | 1 0 19 7 0 1 8 2 2 22 2 2| | R R2 2 2
2R R R31 1 2 Hasta aqu se puede llegar. La matriz de coeficiente se
encuentra en forma escalonada y redu- cida por renglones. Es
evidente que existe un nmero infinito de soluciones. Los valores de
las variables x3 y x4 se pueden escoger de manera arbitraria.
Entonces x2 5 2 1 8x3 1 2x4 y x1 5 22 219x3 27x4. Por lo tanto,
todas las soluciones se representan por (22 219x3 2 7x4, 2 1 8x3 1
2x4, x3, x4). Por ejemplo, si x3 5 1 y x4 5 2 se obtiene la solucin
(235, 14, 1, 2). Al resolver muchos sistemas, es evidente que los
clculos se vuelven fastidiosos. Un buen mtodo prctico es usar una
calculadora o computadora siempre que las fracciones se compli-
quen. Debe hacerse notar, sin embargo, que si los clculos se llevan
a cabo en una computa- dora o calculadora pueden introducirse
errores de redondeo. Este problema se analiza en el apndice C. Un
problema de administracin de recursos Un departamento de pesca y
caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume
cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del
alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2
consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del
B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de
consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y
5 unidades del C. Cada semana se proporcionan al lago 25 000
unidades del alimento A, 20 000 unidades del alimento B y 55 000
del C. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento, cuntos
peces de cada especie pueden coexistir en el lago? Solucin Sean x1,
x2 y x3 el nmero de peces de cada especie que hay en el ambiente
del lago. Si utilizamos la informacin del problema, se observa que
x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades del alimento A, x2
peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento A y x3
peces de la especie 3 consumen 2x3 unidades del alimento A.
Entonces, EJEMPLO 1.2.7 EJEMPLO 1.2.8
- 35. 18 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales x1 1 3x2 1 2x3
5 25 000 5 suministro total por semana de alimento A. Si se obtiene
una ecua- cin similar para los otros dos alimentos se llega al
siguiente sistema de ecuaciones: x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000 x1 1 4x2 1
x3 5 20 000 2x1 1 5x2 1 5x3 5 55 000 La matriz aumentada del
sistema es 1 3 2 1 4 1 2 5 5 | | | 225 000 20 000 55 000 Utilizando
reduccin de Gauss-Jordan 1 3 2 0 1 1 0 1 1 25 000 5 000 5 000 2 2 2
| | | 1 0 5 0 1 1 0 0 0 40 000 5 000 0 2 2 | | | 22 22 22 11 R R R
R R R R R R R R R2 32 2 1 3 3 1 1 1 2 3 3 2 Por consiguiente, si x3
se elige arbitrariamente, se tiene un nmero infinito de solu-
ciones dada por (40 000 2 5x3, x3 2 5 000, x3). Por supuesto, se
debe tener x1 $ 0, x2 $ 0 y x3 $0. Como x2 5x3 2 5 000 $ 0, se
tiene x3 $ 5 000. Esto significa que 0 # x1 # 40 000 2 5(5 000) 5
15 000. Por ltimo, como 40 000 2 5x3 $ 0, se tiene que x3 # 8 000.
Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago
con todo el alimento consumido son x1 5 40 000 2 5x3 x2 5 x3 2 5
000 5 000 # x3 # 8 000 Por ejemplo, si x3 5 6 000, entonces x1 5 10
000 y x2 5 1 000. Anlisis de insumo y producto (opcional) Los
siguientes dos ejemplos muestran la forma en la cual pueden surgir
los sistemas de ecua- ciones en el modelado econmico. El modelo de
insumo-producto de Leontief Un modelo que se usa con frecuencia en
economa es el modelo de insumo-producto de Leontief.4 Suponga un
sistema econmico que tiene n industrias. Existen dos tipos de
demandas en cada industria: la primera, una demanda externa desde
afuera del sistema. Por ejemplo, si el sistema es un pas, la
demanda externa puede provenir de otro pas. Segunda, la deman- da
que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por
ejemplo, en Estados Unidos la industria automotriz demanda parte de
la produccin de la industria del acero. N Nota El sistema de
ecuaciones tiene un n- mero innito de soluciones. Sin embar- go, el
problema de administracin de recursos tiene slo un nmero nito de
soluciones porque x1, x2 y x3 deben ser enteros positivos y existen
nada ms 3001 enteros en el intervalo [5000, 8000]. (Por ejemplo, no
puede haber 5237.578 peces.) EJEMPLO 1.2.9 4 As llamado en honor
del economista estadounidense Wassily W. Leontief, quien utiliz
este modelo en su traba- jo pionero Quantitative Input and Output
Relations in the Economic System of the United States en Review of
Economic Statistics 18(1936). Leontief gan el Premio Nobel de
Economa en 1973 por su desarrollo del anlisis de insumo-producto.
Modelo de insumo-producto de Leontief
- 36. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 19 Suponga que ei representa la demanda
externa ejercida sobre la i-sima industria. Suponga que aij
representa la demanda interna que la j-sima industria ejerce sobre
la i-sima industria. De forma ms concreta, aij representa el nmero
de unidades de produccin de la industria i que se necesitan para
producir una unidad de la industria j. Sea x1 la produccin de la
indus- tria i. Ahora suponga que la produccin de cada industria es
igual a su demanda (es decir, no hay sobreproduccin). La demanda
total es igual a la suma de demandas internas y externas. Por
ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se
observa que la industria 1 necesita a21 unidades de produccin de la
industria 2 para producir una unidad de su propia produccin. Si la
produccin de la industria 1 es x1, entonces a21x1 se trata de la
cantidad total que necesita la industria 1 de la industria 2. De
esta forma, la demanda interna total sobre la industria 2 es a21x1
1 a22x2 1 1 a2nxn. Al igualar la demanda total a la produccin de
cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones: 1 1 1 1
5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 11 1 12 2 1 1 1 21 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 a x a
x a x e x a x a x a x e x a x a x a x e x n n n n n n nn n n n
(1.2.11) O bien, reescribiendo el sistema (1.2.11) en la forma del
sistema (1.2.10) se obtiene 2 2 2 2 5 2 1 2 2 2 5 2 2 2 1 2 5 (1 )
(1 ) (1 ) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 a x a x a x e a x a x
a x e a x a x a x e n n n n n n nn n n (1.2.12) El sistema (1.2.12)
de n ecuaciones con n incgnitas es de fundamental importancia en el
an- lisis econmico. El modelo de Leontief aplicado a un sistema
econmico con tres industrias Suponga que las demandas externas en
un sistema econmico con tres industrias son 10, 25 y 20,
respectivamente. Suponga que a11 5 0.2, a12 5 0.5, a13 5 0.15, a21
5 0.4, a22 5 0.1, a23 5 0.3, a31 5 0.25, a32 5 0.5 y a33 5 0.15.
Encuentre la produccin de cada industria de manera que la oferta
sea exactamente igual a la demanda. Solucin En este caso n 53, 1 2
a11 5 0.8, 1 2 a22 5 0.9 y 1 2 a33 5 0.85 y el sistema (1.2.12) es
0.8x1 2 0.5x2 2 0.15x3 5 10 20.4x1 1 0.9x2 2 0.3x3 5 25 20.25x1 2
0.5x2 1 0.85x3 5 20 Si se resuelve el sistema por mtodo de
eliminacin de Gauss-Jordan en una calculadora o computadora,
trabajando con cinco decimales en todos los pasos, se obtiene 11 0
0 0 1 0 0 0 1 110 30442 118 74070 125 81787 | | | . . . Se concluye
que la produccin necesaria para que la oferta sea (aproximadamente)
igual a la demanda es x1 5 110, x2 5 119 y x3 5 126. EJEMPLO
1.2.10
- 37. 20 CAPTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales La geometra de
un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (opcional) En la
figura 1.2, de la pgina 3, se observ que se puede representar un
sistema de dos ecuacio- nes con dos incgnitas mediante dos lneas
rectas. Si las rectas tienen un solo punto de intersec- cin, el
sistema tiene una solucin nica; si coinciden, existe un nmero
infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una solucin y
el sistema es inconsistente. Algo similar ocurre cuando se tienen
tres ecuaciones con tres incgnitas. Como se ver en la seccin 4.5,
la grfica de la ecuacin ax 1 by 1 cz 5 d en el espacio de tres
dimensiones es un plano. Considere el sistema de tres ecuaciones
con tres incgnitas: ax 2 by 2 cz 5 d ex 2 fy 2 gz 5 h jx 2 ky 2 lz
5 m (1.2.13) en donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l y m son
constantes y al menos una de ellas en cada ecuacin es diferente de
cero. Cada ecuacin en (1.2.13) es la ecuacin de un plano. Cada
solucin (x, y, z) al sistema de ecuaciones debe ser un punto en
cada uno de los tres planos. Existen seis posibilidades: 1. Los
tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una
solucin nica para el sistema (vea la figura 1.4). 2. Los tres
planos se intersecan en la misma recta, por lo que cada punto sobre
la recta es una solucin y el sistema tiene un nmero infinito de
soluciones (vea la figura 1.5). 3. Los tres planos coinciden.
Entonces cada punto sobre el plano es una solucin y se tiene un
nmero infinito de soluciones. 4. Dos de los planos coinciden e
intersecan a un tercer plano en la recta. Entonces cada punto sobre
la recta es una solucin y existe un nmero infinito de soluciones
(vea la figura 1.6). 5. Al menos dos de los planos son paralelos y
distintos, por lo que ningn punto puede estar en ambos y no hay
solucin. El sistema es inconsistente (vea la figura 1.7). 6. Dos de
los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a
L (y no contiene a L), de manera que ningn punto del tercer plano
se encuentra en los dos primeros. No existe una solucin y el
sistema es inconsistente (vea la figura 1.8). En todos los casos el
sistema tiene una solucin nica, un nmero infinito de soluciones o
es inconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar
planos con exactitud, no ahonda- remos ms en el tema. No obstante,
es til analizar cmo las ideas en el plano xy se pueden extender a
espacios ms complejos. Figura 1.4 Los tres planos se intersecan en
un solo punto. Figura 1.5 Los tres planos se intersecan en la misma
recta. Figura 1.7 Los planos paralelos no tienen puntos en comn.
Figura 1.6 Dos planos se intersecan en una recta. Figura 1.8 El
plano 3 es paralelo a L, la recta de interseccin de los planos 1 y
2. z y x 0 Punto de interseccin z y x 0 z y x 0 z y x 0 z y x
0
- 38. 1.2 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de
Gauss-Jordan y gaussiana 211.3 m ecuaciones con n incgnitas 21 Carl
Friedrich Gauss es considerado el matemtico ms grande del siglo
XIX, adems de uno de los tres matemticos ms importantes de todos
los tiempos (Arqumedes y Newton son los otros dos). Gauss naci en
Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, un obrero amante del
trabajo, era excepcionalmente obstinado y no crea en la educacin
formal, e hizo todo lo que pudo para evitar que Gauss fuera a una
buena escuela. Por fortuna para Carl (y para las matemticas), su
madre, a pesar de que tampoco contaba con educacin, apoy a su hijo
en sus estudios y se mostr orgullosa de sus logros hasta el da de
su muerte a la edad de 97 aos. Gauss era un nio prodigio. A los
tres aos encontr un error en la libreta de cuentas de su padre. Hay
una ancdota famosa de Carl, cuando tena apenas 10 aos de edad y
asista a la escuela local de Brunswick. El profesor sola asignar
tareas para mante- ner ocupados a los alumnos y un da les pidi que
sumaran los nmeros del 1 al 100. Casi al instante, Carl coloc su
pizarra boca abajo con la palabra listo. Despus, el profesor
descubri que Gauss era el nico con la respuesta correcta, 5 050.
Gauss haba observado que los nmeros se podan arreglar en 50 pares
que sumaban cada uno 101 (1 1 100, 2 1 99, etc.) y 50 3 101 5 5050.
Aos ms tarde, Gauss bromeaba diciendo que poda sumar ms rpido de lo
que poda hablar. A la edad de 15 aos, el Duque de Brunswick se fij
en l y lo convirti en su protegido. El duque lo ayud a ingresar en
el Brunswick College en 1795 y, tres aos despus, a entrar a la
Universidad de Gttingen. Indeciso entre las carreras de mate-
mticas y filosofa, Gauss eligi las matemticas despus de dos
descubrimientos asombrosos. Primero invent el mtodo de m- nimos
cuadrados una dcada antes de que Legendre publicara sus resultados.
Segundo, un mes antes de cumplir 19 aos, resol- vi un problema cuya
solucin se haba buscado durante ms de dos mil aos: Gauss demostr
cmo construir, con tan slo una regla y un comps, un polgono regular
cuyo nmero de lados no es mltiplo de 2, 3 o 5.* El 30 de marzo de
1796, fecha de este descubrimiento, co- menz un diario que contena
como primera nota las reglas de construccin de un polgono regular
de 17 lados. El diario, que contiene los enunciados de 146
resultados en slo 19 pginas, es unos de los documentos ms
importantes en la historia de las matemticas. * De manera ms
general, Gauss prob que un polgono regular de n lados se puede
construir con regla y comps si y slo si n es de la forma n 5 2k p2
? p3 . . . pm donde k $ 0 y las pi son nmeros primos de Fermat
distintos. Los nmeros primos de Fermat son aquellos que toman la
forma 22n 11. Los primeros cinco nmeros primos de Fermat son 3, 5,
17, 257 y 65 537. Tras un corto periodo en Gttingen, Gauss fue a la
Universi- dad de Helmstdt y, en 1798, a los 20 aos, escribi su
famosa disertacin doctoral. En ella dio la primera demostracin
mate- mtica rigurosa del teorema fundamental del lgebra que indica
que todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades,
exactamente n races. Muchos matemticos, incluyendo a Euler, Newton
y Lagrange, haban intentado probar este resultado. Gauss hizo un
gran nmero de descubrimientos en fsica al igual que en matemticas.
Por ejemplo, en 1801 utiliz un nuevo procedimiento para calcular, a
partir de unos cuantos datos, la rbita del asteroide Ceres. En 1833
invent el telgrafo electro- magntico junto con su
colegaWilhelmWeber (1804-1891). Aun- que realiz trabajos brillantes
en astronoma y electricidad, la que result asombrosa fue la
produccin matemtica de Gauss. Hizo contribuciones fundamentales al
lgebra y la geometra y en 1811 descubri un resultado que llev a
Cauchy a desarrollar la teora de la variable compleja. En este
libro se le encuentra en el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan.
Lo