aicapAssociazione Italiana

Calcestruzzo Armato e Precompresso

GUIDA ALL’USO GUIDA ALL’USO DELL’EUROCODICE 2 DELL’EUROCODICE 2

NELLA PROGETTAZIONE NELLA PROGETTAZIONE STRUTTURALESTRUTTURALE

Napoli

10 Maggio 2007

EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA DI EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA DI CARICO ASSIALE (SEZ.5)CARICO ASSIALE (SEZ.5)

Franco MOLAFranco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI

Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria StrutturalePolitecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale

GENERALITA’

DEFINIZIONI

•Elementi o sistemi controventati

•Elementi o sistemi controventanti

•Elementi isolati

•Lunghezza effettiva

•Momenti nominali di secondo ordine

PRINCIPI

•Non linearità meccanica

•Non linearità geometrica

•Imperfezioni

•Interazione con strutture adiacenti

GENERALITA’

Analisi generale includente gli effetti legati a:

GLI EFFETTI DI SECONDO ORDINE POSSONO ESSERE TRASCURATI SE

INFERIORI DEL 10% DEI CORRISPONDENTI DI PRIMO ORDINE

Valore limite per la snellezza

Criteri semplificati per stimare la sensibilità agli effetti del secondo ordine di elementi isolati

lim

C20 A B

n

efA 1 1 0.2

B 1 2 s yd c cdA f (A f )

mC 1.7 r m 01 02r M M

Ed c cdn N A f

(A=0.7)

(C=0.7)0102 MM (B=1.1)

SNELLEZZA PER ELEMENTI ISOLATI

1 20

1 2

k kl 0.5 l 1 1

0.45 k 0.45 k

1 2 1 2

01 2 1 2

10k k k kl l max 1 ; 1 1

k k 1 k 1 k

EFFETTI GLOBALI NEGLI EDIFICI

EFFETTI DELLA VISCOSITA’

0B

EIl

N

cd cs

V,Ed 1 2s

E InF k

n 1.6 L

0Eqpef 0

0Ed

M,t

M

0

0Ed

Ed

,t 2

75

Mh

N

• Metodo Generale (GM) (Analisi in presenza di non linearità geometrica e meccanica)

• Metodo della Rigidezza Nominale (RN) (Metodo P-D,valutazione dei fattori di amplificazione degli effetti di primo ordine secondo il metodo della colonna modello migliorato)

• Metodo della Curvatura Nominale (CN) (Metodo del momento complementare)

I METODI DI MISURA DELLA SICUREZZA

• Non linearità meccanica e geometrica

• Nella legge s-e del calcestruzzo il parametro k deve valutarsi in

corrispondenza a fcd ed Ecd=Ecm/(gce=1.2)

• Amplificazione delle deformazioni istantanee con (1+ef)

• Non considerazione del contributo irrigidente del calcestruzzo

teso

IL METODO GENERALE

e0

v

F

P

v

F

bF

uF

vb vu vbu

(2)

(1)

(1) Crisi per instabilità

(2) Crisi per collasso sezionale

IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE

• Non linearità geometrica

• Non linearità meccanica: stima della distribuzione delle

rigidezze flessionali

• Confronto fra le sollecitazioni agenti e quelle resistenti

c cd c s s sEI K E I K E I

• Non linearità geometrica: metodi generali o approssimati

v

F

a

a 2

a 1

P

2 2

1 2 1 1 12

kl 4 lP a a P M P M M M M

EI EI

s

1 2c

ef

K 1

k kK

1

ck1

fk [MPa]

20

s

cef

K 0

0,3K

1 0,5

s 2% s1% 2%

1M M 11 1

2k 4 1MM

1

a1 sinusoidale

20.030.0

2.01702

n

nK

IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE

N [kN]

M [kN m]

PE PU*PU

e0MI=Pe0

M=MI/(1-)

PE=2EI/4l2

=P/PE

c cd c s s sEI K E I K E I

IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE

• Elementi singoli, forza normale costante, lunghezza di libera

inflessione definita

• Confronto fra il momento agente e quello resistente ultimo

Ed 0Ed 2M M M 0e 02 01 02 02 01M 0,6M 0,4M 0,4M M M

2 Ed 2M N e 20

2

l1e

r c

r0

1 1K K

r r• Stima della curvatura nella sezione critica

yd

0

1r 0.45d

u

ru bal

n nK 1

n n

Ed

cd c

u

Nn

f A

n 1

baln 0,4

efK 1 1

ckf

0,35200 150

M01

M02

Momento complementare

IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE

1/r [1/m]

M [kNm]

N [kN]

M [kN m]1/r0

MI

N=NEd

N=NEd

MI

MII

MII

MU

1/rU

2

20

Ed2 π

l

r

1NM

MI=M-MII

2

20

2 π

l

r

1NM

1/r

Curvatura di equilibrio (MC)

Curvatura nominale (CM)

MI

(1/r0)*

rm=-1/2 , C=2.2 (caso (a)) , k1=[h/3(EI)b][(EI)c/l]=0.6 , k2=0

rm=-1/2 , C=2.2 (caso (b)) , k1= , k2=0

rm=0 , C=1.7 (caso (c)) , k1= , k2=

rm=1 , C=0.7 (caso (d)) , k1=0.6 , k2=0

rm=1 , C=0.7 (caso (e)) , k1= , k2=0

ESEMPIO 1 – Controllo della snellezza

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(a)

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(b)

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(c)

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(d)

(EI)c l

Pd

(e)

450

450

50 50

(4+4)20

fck = 35 MPafyk = 450 MPaef = 2 = 0.2446Pd = 1.5 MN(EI)b/(EI)c=2/3h/l = 1.20l = 6 m

lim

20 0.714 1.22 2.262.76

0.373

lim

12 0.60.5 6 1 28.95

0.45 0.45 0.6

lim

20 0.714 1.22 2.262.76

0.373

lim

120.7 6 32.33

0.45

lim

20 0.714 1.22 1.748.49

0.373

lim

126 46.18

0.45

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(a)

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(b)

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(c)

lim

20 0.714 1.22 0.719.97

0.373

1 2

lim1 2

12 10 k k 0.66 max 1 ; 1 63.51

0.45 k k 1.6

lim

20 0.714 1.22 0.719.97

0.373

lim

126 2 92.38

0.45

(EI)b

(EI)c

h

l

Pd

(d)

(EI)c l

Pd

(e)

ESEMPIO 2 – Misura della sicurezza allo stato limite di instabilità, applicazione dei metodi RN e CN

l

PdFd

e0

70

70

(10+10)24

5 5

l = 12000 mm

e0 = 400 mm

fck = 40 MPa

fcd = 22.67 MPa

fyk = 450 MPa

fsd = 391 MPa

euk = 75‰

ef = 2.5

Pd = 1 MN

Fd = 40 kN

Ecm = 35 GPa

ESEMPIO 2 - Metodo RN, analisi strutturale

l

PdFd

e0

70

70

(10+10)24

5 5

EI=KcEcdIc+KsEsIs=17.751013 Nmm2

NB = 3.04 MN

NB / Ned = 1/ = 3.04 = 0.33

P = 10/8 ; F = 10/12

MEd = 1321 kNm

l0 = 2l = 24000 mm

r = 202.07 mm

l = 119

n = 0.09

Ks = 1 , , k2 = 0.063

Kc = 0.0254

Ecd = 29.167 GPa , Es = 200 GPa

1 ckk = f 20=1.41

α-1

αβ1lF

α-1

αβ1ePM F

dP

0dEd

bp,bf, coefficienti di correzione dipendenti dalla distribuzione dei momenti di primo ordine

ESEMPIO 2 - Metodo CN, analisi strutturale

l

PdFd

e0

70

70

(10+10)24

5 5 1/r = 1/r0 =eyd/(0.45d)= 6.6910-6 mm-1

e2 = 4l2/2 (1/r0) = 390.44 mm

MEd = MI + P e2

MEd = 1270 kNm

= 0.318

nu = 1.318

Kr = 1.338 > 1

essendo Kr > 1, si assume Kr = 1.

= –0.243

K = 0.39

essendo K < 1, si assume K = 1.

ESEMPIO 2 – Analisi sezionale

70

70

55

cu

A’s =45 .2 cm 2

As=45.2 cm 2

’s

yn

s

c = cu

’s = -1.70‰

s = 19.94‰

= yn/h = 0.139

N = -1 MN

MR = 1374 kNm

MEd (RN) = 1321 kNm

MEd (CN) = 1270 kNm

ESEMPIO 3 - Progetto di una colonna

l

Pd Fd

e0

y

z

l = 20210 mm

Pd = -1450 kN

e0 = 200 mm

Fd = 20 kN

d’ = 50 mm

n = Pd/(fcdbh) b = 800 mm

λ=2l 12/h=140 h=1000mm

1000

800

50 50

x

y

As

A’s=As

fck = 40 MPa

fcd = 22.67 MPa

fyk = 450 MPa

ef = 1.5

CONDIZIONE DI PROGETTO

l=140 ; n=-0.08

ESEMPIO 3 - Metodo CN

si assume nu = 1

Kr = 1.53 > 1 Kr = 1

K = 0.425 < 1 K = 1

1/r0 = yd/(0.45 d)

e2 = 4l2/2 yd/(0.45 d)

= 1 + n(l2/54)yd/d

l

Pd Fd

e0

y

z

1000

800

50 50

x

y

As

A’s=As

= 0.1052

s = 0.0682

As = 3161 mm2

NR = –1450 kN

MR = 1777 kNm

Pd = –1450 kN

MEd = 1781 kNm

a= 0.749 m

M2=1086 kNm

124 222

100

80 224

222 124

ESEMPIO 3 - Metodo CN, analisi sezionale

s

s

n 0.81 g

2yds

1s

1 g n0.8 0.5 0.4 0.8 n 0.5

1 g 54

0

s sg k

Soluzione teorica Soluzione progettuale

= 0.1053

s = 0.0717

As = 3328 mm2

NR = –1450 kN

MR = 1834 kNm

ESEMPIO 3 - Metodo RN

1,P 1,F

10 1 10 1M M 1 M 1

8 1 1 12 1 1

M1 = M1,P + M1,F

1 1,P 1,FM M 1.25M 0.83M

1

a = Nd / NBE NBE = (EI) p2 / 4l2

EI = KcEcdIc + KsEsIs

2s

cd c c s 3cd

E h 12EI E I K 2A d

E 2 bh

2 2d cd

2 2cd cd

N 4l n fE bh r 10E

ck1

fk

20Kc = k1 k2 / (1 + fef)

NBE = 2 EcdIc / 4l2,

EI = EcdIc cKc + 6 z0 ws = c (n, l, ws)

, k2 = n / 170 ≤ 0.20,

2s cd0

cd yd

E f1 2

E fEI = EcdIc [Kc + 6 z0 ws]

s s

0.1218 11 1.93 0.0852 15.84 0.7

1 1,P 1,Fs

11.25 0.83

15.84 0.7

s s

1 0.03850.0383 0.02 0.0185 0.0383

15.84 0.7 15.84 0.7

s

s

n 0.81 g

s

s s

1 g 0.03850.8 0.5 0.4 0.8 n 0.5 0.0383

1 g 15.84 0.7

0

s sg k

s 1 + gs()

s

0.075 0.10604

0.05402

0.0864

0.080 0.10557

0.05778

0.0771

0.079 0.10566

0.05706

0.0793

0.0791

0.10565

0.05714

0.0791

Pd = –1450 kN

MEd = 1957 kNm

a= 0.814 m

M2=1262 kNm

MRd=1994 kNm

524 222

100

80

222

ESEMPIO 3 - Metodo RN, analisi sezionale

CONFRONTO TRA I METODICalcolo della forza orizzontale massima

-METODO CN

kN 30.5821.2013761994

137610007492001450

mm 749

maxmaxmax 20

2

Edu

CNCNCNEd

MM

lFlFeePlFM

e

kN 25.8821.2011812901994F

kNm 181110008141450M

mm 814e

kNm 29010002001450

RNmax

22

2

1

eP

M P

-METODO RN

l

Pd Fd

e0

y

z

CONFRONTO CON IL METODO GENERALE E IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

Fu (kN) e2 (mm) M2+MIP (kNm) ME,d (kNm)

CN 30.58 749 1376 1994= Mu

RN 25.88 814 1471 1994= Mu

MC 40.00 490 1000 1808<Mu

GM 46.50 419 897 1837< Mu

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0a [m m ]

-2 0

-1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

F [

kN

]

M C

F = 4 0 k N(M C )m ax

F = 4 6 .5 k N(G M )m ax

F = 3 0 .5 8 k N(C N )m ax

F = 2 5 .8 8 k N(R N )m ax

P = 1 4 5 0 k N l = 2 0 2 1 0 m m e 0 = 2 0 0 m m fck = 4 0 M P a fy k = 4 5 0 M P a

S E Z . A -A

8 0 0

1 0 0 0

5 0 5 0

A s A s

e0P

F

A A

l

A s = 3 7 8 0 m m 2

s = 0 .0 8 1 5

CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISICriterio di equivalenza

Metodo della Rigidezza Nominale

Metodo della Curvatura Nominale

2 1M M1

2

1 Ed 20

l 1M N 4

1 r

2cd1

0 c

n fMM 10E

0 c c 0 c c ydM E I / r E I / (0.45d)

2Ed cd

222 c

c c 2

N n fEr

E A4l

M2 (RN) M2 (CN)

02

2

2

14

r

lNM Ed

CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI

PE PU*PU

MI=Pe0

M=MI/(1-)

PUPU*

e0

(e0+e2)

M

N -N

MI=Pe0

M=P(e0+e2)

Metodo della Rigidezza Nominale Metodo della Curvatura Nominale