Post on 22-Apr-2015
AE-712 AEROELASTICIDADE
Roberto GIL Annes da Silva
(gil@ita.br), R: 6482 - IAE/ALA-L
(Túnel de Vento)
Modelos Aeroelásticos naBase Modal
• Problema geral: Estruturas com múltiplos graus de liberdade
Exemplo: Modelo em elementos finitos de uma semi-asa de aeronave comercial
• Os sistemas de engenharia, em sua maioria, são contínuos e têm infinitos graus
de liberdade;
• Tais sistemas requerem soluções de equações diferenciais parciais;
• Essas soluções são difíceis e em casos mais complexos não existem;
Sistemas com vários graus de liberdade
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Introdução
• A análise de sistemas com muitos graus de liberdade requer a solução de um
conjunto de equações diferenciais ordinárias, o que é relativamente simples;
• Para simplificar a análise, sistemas contínuos são freqüentemente aproximados
como sistemas com vários graus de liberdade.
Usa-se métodos de aproximação de um sistema contínuo em discreto, a saber:
• Substituir a massa ou a inércia distribuídas do sistema por um número
finito de massas concentradas ou corpos rígidos.
• Substituir a geometria do sistema por um grande número de pequenos
elementos (elementos finitos).
Modelagem de sistemas contínuos como sistemas com vários graus de liberdade
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Sistemas com vários graus de liberdade
• Determine as coordenadas adequadas para descrever as posições das várias
massa pontuais e corpos rígidos no sistema;
• Determine a configuração do sistema em equilíbrio estático e meça os
deslocamentos das massas e corpos rígidos em relação as respectivas posições
de equilíbrio estático;
• Desenhe o diagrama de corpo livre do sistema;
• Aplique a segunda lei de Newton.
Utilização da segunda lei de Newton para deduzir equações de movimento
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Sistemas com vários graus de liberdade
• Coeficiente de influência de rigidez
• É definido como a força no ponto i a um deslocamento unitário no ponto j quanto
a todos os outros pontos, exceto o ponto j.
Coeficientes de influência
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ijk
Sistemas com vários graus de liberdade
• Coeficiente de influência de rigidez
• Na forma matricial
Coeficientes de influência
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ijk
Sistemas com vários graus de liberdade
• Coeficiente de influência de inérciaÉ definido como a deflexão no ponto i provocada por uma carga unitária no ponto j.
Na forma matricial
Coeficientes de influência
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ija
1
, 1, 2, ,n
i ij jj
x a F i n
[ ]x a F
Sistemas com vários graus de liberdade
• Coeficiente de influência de inérciaÉ definido como os impulsos aplicados nos ponto i que provocam uma velocidade unitária no ponto j.
Na forma matricial
ijm
Energia potencial elástica
Para a i-ésima mola
A total é:
Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial
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Sistemas com vários graus de liberdade
Energia potencial elásticaComo:
Então:
Na forma matricial:
Energia cinética
Para a i-ésima massa:
A total é:
Na forma matricial:
Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial
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Sistemas com vários graus de liberdade
Equação de Lagrange:
Para sistemas conservativos .
Utilização de equações de Lagrange para deduzir equações de movimento:
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( ) 0njQ =
Sistemas com vários graus de liberdade
Coordenadas generalizadas de forças generalizadasEnergia cinética
• É um conjunto de n coordenadas independentes, designadas por .
• Podem ser comprimentos, ângulos ou qualquer outro conjunto de números
que defina a configuração do sistema exclusivamente a qualquer instante.
Equação de Lagrange:
Energias cinética e potencial:
Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial
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Sistemas com vários graus de liberdade
Derivando, temos:
Substituindo na equação de Lagrange:
Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial
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Sistemas com vários graus de liberdade
Problemas de autovalor:
Seja a solução da equação acima:
onde: – forma modal1
n
ii
X x=
=år
Então:
A equação característica é:
Com o autovalor2w
Solução da equação característica:
com
Tem-se
Solução do problema de autovalor
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1[ ] [ ] [ ]D k m-=
matriz dinâmica.
Sistemas com vários graus de liberdade
Ortogonalidade dos modos normais:2 ( ) ( )[ ] [ ]j jj m X k X
( ) ( )
( ) ( )
[ ] 0,
[ ] 0,
j T i
j T i
X m X i j
X k X i j
Se for um vetor arbitrário no espaço n-dimensional, então:
Pré-multiplicando por , tem-se que:
Teorema da expansão
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Sistemas com vários graus de liberdade
Normalizando:
Com
e dependem das condições iniciais.
Vibração livre de sistemas não amortecidos
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iA if
Sistemas com vários graus de liberdade
Autoproblema:
definindo:
Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal
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Sistemas com vários graus de liberdade
E normalizando os modos, temos:
Com
Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal
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Sistemas com vários graus de liberdade
Cuja solução é:
Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal
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Sistemas com vários graus de liberdade
Função de dissipação de Rayleigh
Equação de Lagrange
Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso
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Sistemas com vários graus de liberdade
Determinando T, V e R para um sistema amortecido, temos:
A equação anterior pode ser reescrita como:
Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso
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Sistemas com vários graus de liberdade
Fazendo
Temos:
Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso
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Sistemas com vários graus de liberdade
Isto é:
Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso
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2 2
2 2
i i i
ii
i
a w b zw
waz b
w
+ =
= +
Sistemas com vários graus de liberdade
A solução do sistema para , é:1iz < 2
( )
0
( ) cos sen (0)1
1sen (0)
1( ) sen ( )
i i
i i
i i
t ii di di i
i
ti
di
t ti di
di
q t e t t q
e t q
Q e t d
21di i i
Em vários sistemas amortecidos o atrito resulta em amortecimento negativo que
leva a instabilidade (ou vibração auto-excitada).
Em geral, tem-se:
Auto-excitação e análise de estabilidade
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Sistemas com vários graus de liberdade
Seja a solução é do tipo:
Auto-excitação e análise de estabilidade
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Sistemas com vários graus de liberdade
Substituindo a solução na equação de movimento, temos:
A solução não trivial é:
Tem-se o polinômio característico.
Com m = 2n
Auto-excitação e análise de estabilidade
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Sistemas com vários graus de liberdade
A estabilidade ou instabilidade dependem das raízes de D(s) .Seja:
Se é decrescente, é um sistema estável
Se pelo menos um valor de é crescente, é um sistema instável.
Se é oscilatório, é um sistema marginalmente estável.
Se o sistema possuir raízes múltiplas do tipo imaginárias , a solução é do
tipo , é um sistema instável.
Auto-excitação e análise de estabilidade
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0 jb tjb e< Þ Þ
0 jb tjb e> Þ Þ
ji tj js i e ww= Þ Þ
j js iw=2, , ,j j ji t i t i te te t ew w w ÞK
Sistemas com vários graus de liberdade