ACT2025 - Cours 6

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Sixième cours

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Rappel:

• Échéance moyenne

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

• Duplication du capital

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

• Duplication du capital

• Règle de 72

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

• Duplication du capital

• Règle de 72

• Triplication du capital

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

• Duplication du capital

• Règle de 72

• Triplication du capital

• Règle de 114

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Rappel:

• Échéance moyenne

• Échéance moyenne approchée

• Duplication du capital

• Règle de 72

• Triplication du capital

• Règle de 114

• Méthode de bissection

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Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4e année et 3000$ à la fin de la 6e année.

Déterminer le taux d’intérêt par la méthode de bissection.

Exemple 1:

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 1: (suite)

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 1: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison t = 6 est

10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000

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Exemple 1: (suite)

Cette équation de valeur

10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000

peut être réécrite sous la forme

f(i) = 10000(1 + i)6 - 4000(1 + i)3 - 5000(1 + i)2 - 3000 = 0

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Ainsi le taux d’intérêt recherché est un zéro de la fonction

f(x) = 10000(1 + x)6 - 4000(1 + x)3 - 5000(1 + x)2 - 3000

Exemple 1: (suite)

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Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres

a < b tels que f(a) et f(b)

sont de signes opposés.

Exemple 1: (suite)

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Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres

a < b tels que f(a) et f(b)

sont de signes opposés.

Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux tels nombres a et b.

Exemple 1: (suite)

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En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que

f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27

Exemple 1: (suite)

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En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que

f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27

Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4.3% et 4.9%. Ceci est la première étape de la méthode de bissection.

Exemple 1: (suite)

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Nous aurons pu prendre d’autres valeurs que 4.3% et 4.9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée à ces valeurs connait un changement de signe.

Exemple 1: (suite)

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La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu

du segment [a, b] et d’évaluer la fonction f à ce point milieu.

Exemple 1: (suite)

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Dans notre cas, nous avons que le point milieu est

et la fonction f évaluée à ce point milieu est

f(4.6%) = 49.19

Exemple 1: (suite)

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Comme f n’a pas le même signe lorsque évaluée à a et à b, alors seulement une et une seule des extrémités du segment [a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à la fonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celui de

Exemple 1: (suite)

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Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2 .

Exemple 1: (suite)

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Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2 .

Exemple 1: (suite)

Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: (a + b)/2 et b .

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Nous avons dans notre exemple

f(4.3%) = -103.98, f(4.9%) = 205.27, f(4.6%) = 49.19

Exemple 1: (suite)

Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et 4.6%, nous poursuivons la méthode en répétant l’étape 2 mais avec le segment [4.3%, 4.6%].

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x f(x)

4.3% -103.98

4.9% 205.27

4.6% = (4.3% + 4.9%)/2 49.19

4.45% = (4.3% + 4.6%)/2 -27.76

4.525% = (4.45% + 4.6%)/2 10.63

Exemple 1: (suite)

Nous avons le tableau suivant

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x f(x)

4.4875% = (4.45% + 4.525%)/2 -8.59

4.50625% = (4.4875% + 4.525%)/2 1.01

4.496875% = (4.4875% + 4.50625%)/2 -3.79

4.5015625% = (4.496875% + 4.50625%)/2 -1.39

4.50390625% = (4.5015625% + 4.50625%)/2 -0.19

Exemple 1: (suite)

Nous avons le tableau suivant

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Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement

i ≈ 4.50%

Exemple 1: (suite)

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Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux d’intérêt recherché est approximativement

i ≈ 4.50%

Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante (celle de millième), c’est-à-dire tout ce que nous savons concernant le taux d’intérêt i est que

4.50390625% < i < 4.50625 %

Exemple 1: (suite)

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Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si

i ≈ 4.503%, i ≈ 4.504%, i ≈ 4.505%, i ≈ 4.506%

Exemple 1: (suite)

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Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si

i ≈ 4.503%, i ≈ 4.504%, i ≈ 4.505%, i ≈ 4.506%

Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusqu’au moment où celle-ci, la troisième décimale, ne changerait plus avec les étapes subséquentes. En poursuivant, nous obtiendrions le taux d’intérêt

i = 4.504271967%

Exemple 1: (suite)

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Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement

de courte durée.

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Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 365 jours. Ainsi

Méthode « actuel/actuel »:

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Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours

Méthode « 30/360 »:

où A1 (resp. A2) est l’année du début (resp. de la fin) de l’investissement, M1 (resp. M2) est le mois du début (resp. de la fin) de l’investissement et J1 (resp. J2) est le jour du début (resp. de la fin) de l’investissement.

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Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 360 jours. Ainsi

Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier:

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• L’intérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour d’un placement, mais pas les deux.

• Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans d’autres.

• Pour une année bissextile, l’année a 366 jours dans certains cas et 365 dans d’autres.

Remarque 1:

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Déterminons l’intérêt versé dans le cas d’un placement rémunéré au taux d’intérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes.

Exemple 2:

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Méthode « actuel/actuel »:

Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier). Ainsi

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

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Méthode « 30/360 »:

Dans ce cas, nous avons

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

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Méthode « actuel/360 »:

Dans ce cas,

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

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CHAPITRE IIIAnnuités simples

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Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu d’annuité.

Définition 1:

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• Annuités certaines

Types d’annuité:

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• Annuités certaines

• Annuités éventuelles

Types d’annuité:

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La période de paiement d’une annuité est l’intervalle entre deux paiements.

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Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre?

Nous allons supposer que

• les paiements de l’annuité sont tous égaux

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Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre?

Nous allons supposer que

• les paiements de l’annuité sont tous égaux

• la période de capitalisation de l’intérêt coïncide avec la période de paiement de l’annuité

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Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

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Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

Nous dirons que c’est une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-immediate ».

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La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par

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La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par

La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par

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La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par

La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par

Nous laisserons tomber l’indice i de ces notations lorsqu’il n’y aura aucune confusion sur ce qu’est le taux d’intérêt i.

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Nous avons alors le diagramme d’entrées et sorties suivant:

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Nous obtenons que

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:

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Nous obtenons que

En utilisant la formule connue suivante:

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:

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Nous obtenons que

Calcul de la valeur actuelle: (suite)

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Zénon fait l’achat d’une moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement . Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 10% par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après l’achat.

Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total d’intérêt payé pour chacune des options.

Exemple 3:

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Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%

Exemple 3: (suite)

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Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%

Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année!

Exemple 3: (suite)

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Le diagramme d’entrées et sorties est

où le paiement mensuel est noté par P1

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeur est

où

Exemple 3: (suite)

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Donc le paiement mensuel est

P1 = 548.22 $

et le montant total d’intérêt est

24(548.22) - 12000 = 1157.28 $

Exemple 3: (suite)

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Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 10%/12 = 0.83333333%

Exemple 3: (suite)

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Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 10%/12 = 0.83333333%

Là aussi il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avec le taux effectif d’intérêt par année!

Exemple 3: (suite)

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Le diagramme d’entrées et sorties est

où le paiement mensuel est noté par P2

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeur est

où

Exemple 3: (suite)

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Donc le paiement mensuel est

P2 = 387.21 $

et le montant total d’intérêt est

36(387.21) - 12000 = 1939.42 $

Exemple 3: (suite)