THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทท 4Internal Loadings Developed in Structural Members

วตถประสงค

2. เพอใหสามารถเขยนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานและโครง frame โดยวธการเขยนสมการและโดยวธ graphic ไดอยางถกตอง

1. เพอใหสามารถหาแรงภายในทเกดขนทหนาตดตางๆ ของคานและโครง frame ได

3. เพอใหสามารถเขยนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานโดยวธ superposition

4.1 Internal Loadings at a Specific PointInternal loads ทเกดขนทจดๆ หนงในองคอาคารของโครงสรางจะหาไดจากวธ method of sectionsInternal loads เหลานเปนผลลพธ (resultants) ทเกดจากการกระจายของหนวยแรง (stress distribution) บนพนทหนาตดขององคอาคารทจดตดนน

ใน 2 มต internal forces ทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางประกอบดวย

Internal forces ทางดานซายมอและขวามอของจด C มคาเทากน แตทศทางตรงกนขาม

Shear forces (V, กระทาขนานกบหนาตด)Normal forces (N, กระทาตงฉากกบหนาตด)

Bending moment (M)

ในการออกแบบชนสวนโครงสราง เราจะตองหาคาแรงและ moment ภายในสงสด ทเกดขนในชนสวนกอน จากนน คานวณหาขนาดของชนสวน โดยใหวสดทใชสรางชนสวนมกาลงเพยงพอในการรบแรงกระทาขนตอนการหาคาแรงภายในทจด C1. เขยน FBD ของคาน และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยา

2. ทาการตดคานทจด C และเขยน FBD ของสวนทตด โดยระบแรงและ moment ภายในใหครบ

3. ใชสมการความสมดลหาแรงภายใน

Sign Convention

EXAMPLEจงหาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด D ของคาน

ชนสวน BC เปนชนสวนโครงสรางแบบใด?คาถาม:

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบจาก FBD เราควรเรมใชสมการสมดลของแรงหรอของโมเมนต?

0;AM+ =∑

0; 1060.7cos45 0ox xF A

+

→ = − =∑

0;yF+ ↑ =∑

Ay

Ax

45o

sin 45 (2)oBCF 500(3)(1) 0− =

1060.7 NBCF =

750 NxA =

1060.7sin 45oyA + 500(3) 0− =

750 NyA =

500(3) N

1.5 m 1.5 m

FBC

2. หาคาแรงในชนสวนของคาน

0; 750 0x DF N+

→ = + =∑

0; 500(1) 750 0y DF V+ ↑ = − − + =∑

0; 500(1)(0.5) 750(0.5) 0D DM M+ = + − =∑

750 NDN = −

250 NDV =

125 N-mDM =

750 N750 N

1060.7 N

500(1)N

4.2 Shear และ Moment Diagram ของคานโดยปกตแลว คานมกจะถกออกแบบเพอตาน bending moment M และแรงเฉอน VเปนหลกV และ M เปน function ของตาแหนง x ตามความยาวของคาน ซงหาไดโดยวธ method of sectionsโดยการตดคานทตาแหนง x ใดๆ วดจากปลายดานใดดานหนงของคานซงใชเปนจดอางอง

x

ขนตอนในการวเคราะห 1. เขยน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏกรยา2. เลอกพกด x โดยใหคาพกดแตละอนอยในชวงทอยระหวาง F, M, หรอ distributed loads w

3. ตดคานทพกด x1 หรอ x2 แลวเขยน FBD ของชนสวนของคาน

4. ใชสมการความสมดลหาสมการแรงเฉอน V(x) และ moment M(x)

5. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยทใหแกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตง

x1

x2x1

x2

EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0; 0x xF A+

→ = =∑

0;CM =∑

0;

2.5 2(5) 0y

y

FC

↑ + =

+ − =∑

5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2.5 kNyA =

7.5 kNyC =

2(5) kN2.5 m

2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต

7.5 kN

0 kN

2.5 kN

10 5 mx≤ <

0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =

12.5 2V x= −

0;M =∑1 1 1

12 2.5 02

M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 12.5M x x= −

2x1

0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =

7.5V = −

( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =

0;M =∑

27.5 75M x= − +

25 m 10 mx≤ <2(5) kN

2.5 m

10 5 mx≤ <

12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ <

7.5V = −

27.5 75M x= − +

ขอสงเกต

2. ตรงจดท moment ทศตามเขมฯ กระทา moment diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ couple moment ดงกลาว

3. ( )dV w xdx

= −

4. dM Vdx

=

10 5 mx≤ < 12.5 2V x= −2

1 12.5M x x= −

25 m 10 mx≤ < 7.5V = −

27.5 75M x= − −

1. ตรงจดท point load พงขนกระทา shear diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ point load ดงกลาว

ตวอยางจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

0; 0x xF B+

→ = =∑0;BM =∑

0;

B 0.75 0.5(3)(1.5) 0y

y

F↑ + =

+ − =∑

1 1(3) (3)(1.5) (3) 02 3yA ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠0.75 kNyA =

0.5(3)1.5 kN

1 m

kN 5.1=yB

2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต

0 kN1.5 kN0.5 kN

โดยการใชสามเหลยมคลาย( ) 1.5

3w x

x=

( ) 0.5 kN/mw x x=

0;yF+ ↑ =∑10.75 (0.5 ) 02

x x V− − =

20.75 0.25V x= −0;M =∑

1 1(0.5 )( ) 0.75 02 3

M x x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

30.75 0.08333M x x= −

0.5(x)0.5x

x/3

20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −

20 0.75 0.25V x= = −1.732 mx =

max3

0.75(1.732)

0.08333(1.732) 0.866 kN-m

M =

−=

( )dV w xdx

= −dM Vdx

=

ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกจะมคาสงสด (หรอตาสด)

EXAMPLE

Pw

aL

b

จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

= 100 kN/m = 15 m = 5 m = 10 m = 1000 kN

wLabP

1000 kN100 kN/m

5 m

15 m

10 m

Ay

Ax

Cy

0; -100(5) -1000 0y y yF A C↑ + = + =∑

0; 0x xF A+

→ = =∑= 0;AM+∑

1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ100(5) kN

=750 kNyC

( )-100(5)(2.5)-1000(10)+ 15 =0yC

=750 kNyA

Pw

aL

b

x1

x2

x3

เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?

750 kN

100 kN/m

V

M

x1

0;M =∑

1

1

0 50; 750 kN -100y

xF V x≤ ≤

= =∑

1

1

at 0, 750 kN 0at 5, 250 kN 2500 kN-m

x V Mx V M

= = == = =

11 1750 -100( )

2xM x x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2

1 1750 -50 kN-mx x=

100x1

750 kN

100 kN/m

V

M

5 m

x2

25 100; 750 kN -100(5) 250 kNy

xF V

≤ <

= = =∑

2-

2

at 5, 250 kN 2500 kN-m

at 10 , 250 kN 3750 kN-m

x V Mx V M

= = =

= = =

100(5) kN

( )2 2750 -100(5) - 2.5M x x=0;M =∑( )2 2750 -500 1250 kN-mx x= +

1000 kN

750 kN

100 kN/m

V

M

10 m

5 m

310 150; 750 kN -100(5) -1000 -750 kNy

xF V< ≤

= = =∑

at 10 ; -750 kN 3750 kN-mat 15; -750 kN 0 kN-m

x V Mx V M

+= = == = =

x3

0;M =∑

100(5) kN2.5 m

( )3 3 3750 -100(5) - 2.5 -1000 ( -10)M x x x=

( )3 3-750 -500 11250 kN-mx x= +

( )

2

2

5 10 m 250 kN 250 1250 kN-m

xVM x

< <=

= +

1

12

1 1

0 5 m 750 kN -100

750 -50 kN-m

xV xM x x

≤ <=

=

( )

3

3

10 15 m -750 kN -750 11250 kN-m

xVM x

< ≤

=

= +

V (kN)

M (kN-m)

1750 kN-100V x=

-750 kNV =

21 1750 -50 kN-mM x x=

250 kNV =

( )2250 1250 kN-mM x= +

5 m

5 m

10 m

10 m

2500

250

3750

( )3-750 11250 kN-mM x= +

750

750

V

-1000

-500

0

500

1000

0.0 5.0 10.0 15.0V

M

0500

1000150020002500300035004000

0.0 5.0 10.0 15.0

M

V (kN)

M (kN-m)

1750 kN-100V x=

-750 kNV =

21 1750 - 50 kN-mM x x=

250 kNV =

( )2250 1250 kN-mM x= +

5 m

5 m

10 m

10 m

2500

250

3750

( )3-750 11250 kN-mM x= +

750

750

1000 kN100 kN/m

aL

b

( )dV w xdx

= −

dM Vdx

=

ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว

4.3 ความสมพนธระหวางแรงแผกระจาย แรงเฉอน และโมเมนตดดชวยทาใหเขยน shear diagram และ moment diagram ไดงายขน

ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงแผกระจาย

ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงกระทาเปนจดและโมเมนตแรงคควบ สรป:1.

2..

3.

4.

5.

6. เมอโมเมนตแรงคควบมทศทางตามเขมนาฬกาแลว moment diagram จะมคาเพมขน = คาโมเมนตแรงคควบ

เมอแรงกระทาเปนจดมทศทางพงลง แลว shear diagram จะมคาลดลง = คาแรงดงกลาว

การเปลยนแปลงของโมเมนตระหวางจดมคา =พนทภายใต shear diagram ระหวางจดดงกลาว

การเปลยนแปลงของแรงเฉอนระหวางจดมคา = คาลบของพนทภายใตแรง w ระหวางจดดงกลาว

slope ของ moment diagram ทจดใดๆ มคา = คาของแรงเฉอนทจดนน

slope ของ shear diagram ทจดใดๆ มคา = คาลบของแรง w ทจดนน

ขอสงเกต:

ถาแรง w(x) อยในรป polynomial ทม degree n แลว V(x) จะอยในรป polynomial ทม degree n+1 และ M(x) จะอยในรป polynomial ทม degree n+2

w(x) = 0 V=constant M=linear

w(x) =constant V=linear M=quadratic

w(x) =linear V=quadratic M=cubic

ตวอยาง

x (m)

V(N)1080

Slope = - 400Slope = 0

600 600

x (m)M (N-m)

-1588 Slope = 600Slope = 1080

Slope = 600-100

-580

ตวอยาง

x (m)

V (N) Slope = 03.5

M (N-m)

1.5

-1.5-3.5

x (m)

Slope = 3.57

Slope = 1.5 10Slope = -1.5

7 Slope = -3.5

ตวอยาง

x (m)

V (N) Slope = 0100

-500 Slope = 0

x (m)

M (N-m) Slope = 1001000

Slope = -500-1500

Slope = -5002500

ตวอยางท 7-6

EXAMPLE

สรปขนตอนการคานวณ การบานบทท 4: Beam

6 m

w = 45 kN/m

การบานบทท 4: Frame

กาหนดสง 20 ต.ค. 49 ทงรายการคานวณดวยมอ และผลการคานวณโดย Program GRASP หรอ SUTStructor

โครง frame เปนโครงสรางทไดมาจากการนาคานและเสามาเชอมตอกนดวย pinned joint หรอ rigid joint

4.4 Shear and Moment Diagrams for a Frameขนตอนในการวเคราะห 1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบของ

โครงขอแขง 2. ใช method of sections หาคาแรง

ในแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง

3. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยการเขยนสมการหรอวธกราฟก

Note: axial force มความสาคญในการออกแบบ frame ทมการเซเปนอยางมาก สาเหตคออะไร???

แผนภาพแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มลกษณะเปนอยางไร??

EXAMPLEจงเขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE ของโครงเฟรม

1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง

= 21.725 kNAy

By

Bx

= 9.275 kN

= 2.80 kN

2. ใช method of sections หาคาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง

By

Bx

= 9.275 kN

= 2.80 kN= 21.725 kNAy

21.725 kN

21.725 kN

0 kN

9.275 kN9.80 kN-m

9.275 kN9.80 kN-m

5.725 kN9.80 kN-m

5.725 kN

9.80 kN-m

5.725 kN

9.80 kN-m

3. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE

21.725 kN

By

Bx

= 9.275 kN

= 2.80 kN

0 kN

9.275 kN9.80 kN-m

-2.80 kN

slope = +0.4

slope = -2.80

slope = -0-9.80 kN

EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม

1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง

DyAy

Ax

= 59.2 kN= 20.8 kN

= 48.0 kN

2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง

59.2 kN20.8 kN48.0 kN

59.2 kN

59.2 kN20.8 kN96.0 kN-m

20.8 kN

96.0 kN-m

3. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE

20.8 kN48.0 kN

20.8 kN

96.0 kN-m

slope

= -12.

0

slope = 48

slope = 0

59.2 kN20.8 kN96.0 kN-m

1.3 m

59.2 kN

59.2 kN

การบานบทท 4: Frame EXAMPLEจงเขยน shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม

1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง

Cy

Ay

Ax

MA

ม unknown 4 คา ดงนน ตองแยกพจารณา FBD ของแตละชนสวน

Cy

Ay

Ax

MA

100 (3/5)

100 (4/5)= 30 kN

30 kN80 kN

80 kN

30 kN

= 100 kN

= 30 kN

= 360 kN-m

2. ใช method of sections หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ แรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง

20 kN

3. เขยน shear diagram และ moment diagram100 (3/5) = 60 kN

100 (4/5) = 80 kN30 kN

30 kN80 kN

80 kN

30 kN

100 kN

30 kN

360 kN-m

EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม

1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง

36 kN

2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง จากนน เขยน shear diagram และ moment diagramชนสวน AB

36 kN

ชนสวน BC ชนสวน CD

EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม

1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง

ชนสวน AB

2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง

Joint B

3. เขยน shear diagram และ moment diagramชนสวน AB

ชนสวน BC

End of Chapter 4