Post on 05-Mar-2020
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 1
บทท 2
พกดเชงขว
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2301207 Calculus III 2561/1st
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 2
2.1 จดและสมการในพกดเชงขว
ในระบบพกดฉาก เราบอกตาแหนงของจดบนระนาบโดย
อางองตาแหนงกบเสนตรง 2 เสนทตดและตงฉากกน
และตดกนเปนมมฉากท จดกาเนด
เสนตรงแนวนอนของแกนพกดฉากคอ แกน X
และ เสนตรงแนวดงของแกนพกดฉากคอ แกน Y
ดงรปท 2.1.1 (ก)
รปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ข)
ในระบบพกดเชงขว เราใชเสนตรงทผานจด O ชวยในการบอก
ตาแหนงของจดในระนาบ ดจากรปท 2.1.1 (ข) ประกอบ
เสนตรงทผานจด O เรยกวา แกนเชงขว เพอความสะดวกใน
ศกษาเราใชแกน X ทางดานบวก หรอแกน OX ของระบบพกด
ฉากเปนแกนเชงขวในระบบพกดเชงขว และเรยกจดกาเนด O วา
ขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 3
การบอกตาแหนงของจดในระนาบกจะใชแกนเชงขว OX ในการ
อางองตาแหนง
ให P เปนจดบนระนาบ
ให r เปนระยะทางจากจด O ไปยงจด P
และสวนของเสนตรง OP ทามม กบแกน OX
ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP
เปนการวดทวนเขมนาฬกา แลว 0
ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP
เปนการวดตามเขมนาฬกา แลว 0
เราจะระบตาแหนง พกดเชงขว ของจด P
ในระบบพกดเชงขวดวยคอนดบ (r, ) ดงแสดงในรปท 2.1.2
รปท 2.1.2
การเขยนจดและกราฟในระบบพกดฉากนยมเขยนในกระดาษ
กราฟทประกอบดวยเสนทขนานกนในแนวนอนและแนวดง ดง
รปท 2.1.3 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 4
ในระบบพกดเชงขวเราระบตาแหนงของจด P
ดวยระยะทางจากจด O ถงจด P และ มมท OP ทากบแกน OX
เพราะฉะนนกระดาษกราฟทเหมาะสมในการเขยนจดหรอกราฟ
ในระบบพกดเชงขวจงควรมจดคงทเพอใหเปน ขว O
มวงกลมรศม 1, 2, 3, ... รอบขว
และ เสนตรงผานขวซงทามมตาง ๆ กน
เชน 0, 6 ,
3 ,
2 , ... ดงรปท 2.1.3 (ข)
รปท 2.1.3 (ก) รปท 2.1.3 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 5
ตวอยางของจดในระบบพกดเชงขว เชน A(2, 0), B(3, 6),
C(3, 3
2 ), D(3, 6
7 ), E(4, 2
3)
และ F(3, 6
11)
รปท 2.1.4
จะเหนวา สาหรบแตละจดในระนาบทไมใชจดกาเนด
จะมพกดเชงขว (r, ) สาหรบจดนนอยอยางนอยพกดหนง
และในทางกลบกน สาหรบแตละพกดเชงขว (r, ) ซง r 0
เราจะหาตาแหนงของจดในระนาบทมพกดนนไดจดหนงเสมอ
สาหรบจดกาเนดเราตกลงกนวา
สาหรบมม ใด ๆ
พกด (0, ) จะเปนพกดเชงขวของจดกาเนด
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 6
โปรแกรม GeoGebra
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 7
ในบางครง เราอาจจะยอมให r มคาเปนลบไดกลาวคอ
ถา P มพกดเชงขวเปน (r, ) เมอ r 0 แลว พกดเชงขว
(-r, ) จะหมายถงพกดของจด Q ซงเปนจดทไดจากการ
ลากเสนตรงจากขวไปในทศทางตรงกนขามกบ OP เปนระยะทาง
r
ดงแสดงในรปท 2.1.5
รปท 2.1.5
สรป ตาแหนงของจด P(r, ) จะไดความยาวสวนของเสนตรง
OP = r และตาแหนงของจด P เปนดงน
ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา
สวนของเสนตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม
ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา
สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม
ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา
สวนเสนของตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม
ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา
สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 8
ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, ) และพกดฉาก (x, y)
ของจด P บนระนาบโดยท P ทไมใชจดกาเนด อาจพจารณาได
จากรปท 2.1.6
รปท 2.1.6
จะได x = r cos , y = r sin
และ 2r = 2x + 2y , tan = xy
การเปลยนจาก พกดเชงขว เปน พกดฉาก
กาหนดพกดเชงขว P(r, ) เมอเปลยนเปนพกดฉาก
จะได x = r cos
y = r sin
การเปลยนจาก พกดฉาก เปน พกดเชงขว
กาหนดพกดฉาก P(x, y) เมอเปลยนเปนพกดเชงขว
จะได 2r = 2x + 2y ... (1)
tan = xy ... (2)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 9
ตวอยาง 2.1.1 จงหาพกดเชงขวของจดในพกดฉากตอไปน
เมอ r 0 และ 0 2
1. (-2, 0) 2. (- 3, 1)
วธทา
รปท 2.1.7 (ก) รปท 2.1.7 (ข)
จาก 2r = 2x + 2y และ tan = xy
1. จะได r = 0)2( 2 = 2 และ tan = 2
0
= 0
เพราะวา จด (-2, 0) อยบนแกน X ทางดานลบ
เพราะฉะนน =
เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (-2, 0) คอ (2, )
2. จะได r = 22 1)3( = 2 และ tan = -3
1
เพราะวาจด (- 3, 1) อยในจตภาคท 2.
เพราะฉะนน = 6
5
เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (- 3, 1) คอ (2, 6
5 )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 10
หมายเหต จากสมการ (1) คาของ r อาจเปนบวกหรอลบ
และจากสมการ (2) คาของมมอาจมไดหลายคา
เพราะฉะนนคาของ r, ทไดจาก (1) และ (2)
ตองสอดคลองเงอนไข x = r cos และ y = r sin ดวย
ตวอยางเชน P(-1, -1) จากสมการ (1) และ (2)
จะได 2r = 2x + 2y = 2 และ tan = xy = 1
จะเหนวาคาของ r, มไดหลายคา แตเราจะเลอก (r, ) ทเปน
พกดเชงขวของ P เฉพาะทสอดคลองกบคาของ x และ y เทานน
ซงจะพบวากยงเลอกไดหลายคาเชน
( 2 , 4
5 ) , (- 2 , 4), ...
ในกรณทตองการ r 0 และ เปนมมบวกทเลกทสด
จะได พกดเชงขวของ P คอ ( 2 , 4
5 )
รปท 2.1.8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 11
จากตวอยาง 2.1.1
ถาเรากาหนดให r 0 เราจะได
จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก
จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, 0)
จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก
จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, -6) หรอ (-2,
611)
ถากาหนดชวงของ เปนแบบอน เชน
ให -2
23 เราจะได
จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก
จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, ) หรอ (-2, 0)
จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก
จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, 6
5 ) หรอ (-2, -6)
ซงจะเหนไดวาในระบบพกดเชงขว จด ๆ
หนงอาจจะมพกดเชงขวหลายแบบ
ขอสงเกต
จดบนแกน Y ทมพกดฉากเปน (0, y)
จะมพกดเชงขวเปน (y, 2) หรอ (y, 2n +
2) เมอ n I
จดบนแกน X ทมพกดฉากเปน (x, 0)
จะมพกดเชงขวเปน (x, 0) หรอ (x, 2n) เมอ n I
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 12
ตวอยาง 2.1.2 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน
1. P(7, -4) 2. Q(2,
34 )
วธทา
รปท 2.1.9
จาก x = r cos และ y = r sin
1. จะได x = 7 cos(-4) = 7 cos
4 =
27
และ y = 7 sin(-4) = -7 sin
4 = -
27
เพราะฉะนน จด (7, -4) ในระบบพกดเชงขว
จะมพกดฉากเปน (2
7 , -2
7 )
2. จะได x = 2 cos
34 = -1 และ y = 2 sin
34 = - 3
เพราะฉะนน จด (2, 3
4 ) ในระบบพกดเชงขว
จะมพกดฉากเปน (-1, - 3)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 13
จากทกลาวมาขางตน จดใด ๆ ในระนาบทบอกตาแหนงของ
จดดวยพกดฉาก (x, y) สามารถเปลยนเปนพกดเชงขว (r, )
ได
จากแนวคดแบบเดยวกนเราสามารถเปลยนสมการท
แสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y ในระบบพกดฉาก
เปนสมการทแสดงความสมพนธระหวางตวแปร r,
ในระบบพกดเชงขวได
รปท 2.1.10 (ก) รปท 2.1.10 (ข)
สงทเราจะศกษาตอไปคอการเปลยนแปลงระหวาง
สมการในพจนของ x, y ในพกดฉาก กบ
สมการในพจนของ r, ในพกดเชงขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 14
ตวอยาง 2.1.3 จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน
ใหอยในระบบพกดเชงขว
1. x = 4 2. y = 2
3. 2x = 4y 4. 2x + 2y - 4x = 0
5. 2x + 2y - 6y = 0
วธทา 1. จาก x = 4
จะได r cos = 4
เพราะฉะนน r = 4 sec จะเปนสมการทตองการ
2. จาก y = 2
จะได r sin = 2
เพราะฉะนน r = 2 cosec จะเปนสมการทตองการ
3. จาก 2x = 4y
จะได 2r 2cos = 4r sin
r(r 2cos - 4 sin ) = 0
เพราะฉะนน r = 0 หรอ r 2cos = 4 sin
r = 0 หรอ r = 4 sec tan
จาก r = 4 sec tan จะเหนวา
ถา = 0 แลว r = 0
เพราะฉะนน r = 4 sec tan จะเปนสมการทตองการ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 15
4. จาก 2x + 2y - 4x = 0
จะได 2r - 4r cos = 0
r(r - 4 cos ) = 0
เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 4 cos
จาก r = 4 cos จะเหนวา ถา = 2 แลว r = 0
เพราะฉะนน r = 4 cos จะเปนสมการทตองการ
5. จาก 2x + 2y - 6y = 0
จะได 2r - 6r sin = 0
r(r - 6 sin ) = 0
เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 6 sin
จาก r = 6 sin จะเหนวา ถา = แลว r = 0
เพราะฉะนน r = 6 sin จะเปนสมการทตองการ
สรป
สมการในระบบพกดฉาก สมการในระบบพกดเชงขว
x = 4 r = 4 sec
y = 2 r = 2 cosec 2x = 4y r = 4 sec tan 2x + 2y - 4x = 0 r = 4 cos 2x + 2y - 6y = 0 r = 6 sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 16
ตวอยาง 2.1.4 จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน
ใหอยในระบบพกดฉาก
1. r + 8 sin = 0 2. r = cos2
2
3. r = sin2cos3
12 4. r = 4
5. r + 4 cos = 0 6. r = 2 sin + 2 cos
7. r = 4 sec
วธทา 1. จาก r + 8 sin = 0
คณดวย r จะได 2r + 8r sin = 0
เพราะฉะนน 2x + 2y + 8y = 0 จะเปนสมการทตองการ
2. จาก r = cos2
2
จะได r(2 - cos ) = 2
2r - r cos = 2
2r = 2 + r cos
ยกกาลงสองทงสองขาง 4 2r = 4 + 4r cos + 2r 2cos
จะได 4( 2x + 2y ) = 4 + 4x + 2x
เพราะฉะนน
3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0 จะเปนสมการทตองการ
3. จาก r = sin2cos3
12
จะได 3r cos + 2r sin = 12
เพราะฉะนน 3x + 2y = 12 จะเปนสมการทตองการ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 17
4. จาก r = 4 จะได 2r = 16
เพราะฉะนน 2x + 2y = 16 จะเปนสมการทตองการ
5. จาก r + 8 cos = 0
คณดวย r จะได 2r + 8r cos = 0
เพราะฉะนน 2x + 2y + 8x = 0 จะเปนสมการทตองการ
6. จาก r = 2 sin + 2 cos
2r = 2r sin + 2r cos
2x + 2y = 2x + 2y
เพราะฉะนน 2x + 2y - 2x - 2y = 0 จะเปนสมการทตองการ
7. จาก r = 4 sec เพราะฉะนน r cos = 4
เพราะฉะนน x = 4 จะเปนสมการทตองการ
สรป
สมการในระบบพกดเชงขว สมการในระบบพกดฉาก
r + 8 sin = 0 2x + 2y + 8y = 0
r = cos2
2 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0
r = sin2cos3
12 3x + 2y = 12
r = 4 2x + 2y = 16
r + 4 cos = 0 2x + 2y + 8x = 0
r = 2 sin + 2 cos 2x + 2y - 2x - 2y = 0
r = 4 sec x = 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 18
2.2 การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว
การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว หรอฟงกชน
r = f() มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟในระบบพกดฉาก
นนคอคานวณคาของ r และ ทสอดคลองกบสมการของ
ฟงกชน แลวเขยนจด (r, ) ตามทคานวณได
ตวอยาง 2.2.1 จงเขยนกราฟของสมการ
r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]
วธทา คานวณหาคา r จากสมการ
r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]
จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (2, 0), (3, 6),
(2 + 2 , 4), (2 + 3,
3), (4,
2), ... , (2, 2)
ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.1 (ก)
รปท 2.2.1 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 19
รปท 2.2.1 (ข)
เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2 ]
โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.1 (ค)
เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [2 , ]
โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.1 (ข) รปท 2.2.1 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 20
รปท 2.2.1 (ง)
เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [, 2
3 ]
โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.1 (จ)
เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin
เมอ อยในชวง [2
3 , 2]
โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.1 (ง) รปท 2.2.1 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 21
รปท 2.2.1 (ฉ) เปนกราฟของสมการ
r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.1 (ฉ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 22
กราฟเชงขวเขยนโดยโปรแกรม GeoGebra
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 23
ตวอยาง 2.2.2 จงเขยนกราฟของสมการ
r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]
วธทา คานวณหาคา r จากสมการ
r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]
จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), (1 + 3, 6),
(1 + 2 , 4), (2,
3), (1,
2), ... , (3, 2)
ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.2 (ก)
รปท 2.2.2 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 24
รปท 2.2.2 (ข)
เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.1 (ค)
เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [2 , ]
โดยจะพบวาบนชวง [2 ,
65 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
บนชวง [6
5 , ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของ
มม
รปท 2.2.2 (ข) รปท 2.2.2 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 25
รปท 2.2.2 (ง)
เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [, 2
3 ]
โดยจะพบวาบนชวง [, 3
4 ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของ
มม บนชวง [3
4 , 2
3 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.2 (จ)
เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง
[2
3 , 2] โดยจะพบวาคาของ r = 1 + 2 cos มคาระหวาง 0
กบ 3
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.2 (ง) รปท 2.2.2 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 26
รปท 2.2.2 (ฉ) เปนกราฟของสมการ
r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.2 (ฉ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 27
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 28
ตวอยาง 2.2.3 จงเขยนกราฟของสมการ
r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]
วธทา คานวณหาคา r จากสมการ
r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]
จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน
(3, 0), (2
33 , 12 ), (
23 ,
6), (0,
4), (-
23 ,
3),
(-2
33 , 125 ), (-3,
2), ... , (3, 2)
ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ
ดงรปท 2.2.3 (ก)
รปท 2.2.3 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 29
รปท 2.2.3 (ข)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 4 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, )
อยบนแขนของมม
รปท 2.2.3 (ค)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4 ,
2 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0
เพราะฉะนน
จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม
รปท 2.2.3 (ข) รปท 2.2.3 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 30
รปท 2.2.3 (ง)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [2 ,
43 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, )
อยบนดานตรงขามแขนของมม
รปท 2.2.3 (จ)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4
3 , ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3
เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.3 (ง) รปท 2.2.3 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 31
รปท 2.2.3 (ฉ)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [, 4
5 ]
โดยจะพบวา คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.3 (ช)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4
5 , 2
3 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0
เพราะฉะนน
จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม
รปท 2.2.3 (ฉ) รปท 2.2.3 (ช)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 32
รปท 2.2.3 (ซ)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [2
3 , 4
7 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0
เพราะฉะนน
จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม
รปท 2.2.3 (ฌ)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [4
7 , 2]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.3 (ซ) รปท 2.2.3 (ฌ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 33
รปท 2.2.3 (ฐ)
เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.3 (ฐ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 34
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 35
ตวอยาง 2.2.4 จงเขยนกราฟของสมการ
r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]
วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง
[0, ] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (0, 0), (1, 6),
( 2 , 4), ( 3,
3), (2,
2), ... , (0, ) ตอไปลงจด (r, )
ตามทคานวณไดในระนาบ
รปท 2.2.4 (ก) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อย
ในชวง [0, 2 ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.4 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อย
ในชวง [2 , ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม
รปท 2.2.4 (ก) รปท 2.2.4 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 36
รปท 2.2.4 (ค)
เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]
รปท 2.2.4 (ค)
ขอสงเกต วงกลมทเกดจากสมการ r = 2 sin
ใชชวงของมม [0, ] เทานน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 37
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 38
2.3 สมมาตรของกราฟในระบบพกดเชงขว
การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว หากเราไดพจารณาลกษณะ
สมมาตรแบบตาง ๆ ของกราฟจะทาใหเราเขยนกราฟในระบบ
พกดเชงขวไดงายขน สมมาตรทสาคญในระบบพกดเชงขวมดงน
สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว
เมอจด Q มพกดเปน (r, -) หรอ (-r, - )
รปท 2.3.1
กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q
บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ
แกนเชงขว
เพราะฉะนน ถา F(r, -) = 0 หรอ F(-r, - ) = 0
นนคอ F(r, -) = F(r, ) หรอ F(-r, - ) = F(r, )
แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 39
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0
มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
1. ถา F(r, -) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
หรอ
2. ถา F(-r, - ) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เชน
รปท 2.3.2 (ก) รปท 2.3.2 (ข) รปท 2.3.2 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน
ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมม
สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 40
สมมาตรเทยบกบขว
จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q ม
พกดเปน (-r, ) หรอ (r, + )
รปท 2.3.3
กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว กตอเมอ
ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟ
ของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบขว
เพราะฉะนน
ถา F(-r, ) = 0 หรอ F(r, + ) = 0
นนคอ F(-r, ) = F(r, ) หรอ F(r, + ) = F(r, )
แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 41
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0
มสมมาตรเทยบกบขว
1. ถา F(-r, ) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
หรอ
2. ถา F(r, + ) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบขว เชน
รปท 2.3.4 (ก) รปท 2.3.4 (ข) รปท 2.3.4 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน
ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมม
สมมาตรเทยบกบขว ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 42
สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว
เมอจด Q มพกดเปน (-r, -) หรอ (r, - )
รปท 2.3.5
กราฟของสมการ F(r, ) = 0
มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 กตอเมอ
ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟ
ของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ
เสนตรง = 2
เพราะฉะนน
ถา F(-r, -) = 0 หรอ F(r, - ) = 0
นนคอ F(-r, -) = F(r, ) หรอ F(r, - ) = F(r, )
แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 43
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0
มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
1. ถา F(-r, -) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
หรอ
2. ถา F(r, - ) = F(r, )
แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 เชน
รปท 2.3.6 (ก) รปท 2.3.6 (ข) รปท 2.3.6 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน
ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมม
สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 44
ตวอยาง 2.3.1 จงตรวจสอบวากราฟของ
2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2 ]
มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม
และจงเขยนกราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2 ]
วธทา ให F(r, ) = 2r - 4 sin 2 = 0 ... (1)
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม
1. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได
F(r, -) = 2r - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, )
2. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย -
จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2( - )
= 2r + 4 sin 2
F(r, )
เพราะฉะนน สรปไมได
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม
แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1)
จะได F(-r, ) = (-r)2 - 4 sin 2
= 2r - 4 sin 2
= F(r, )
เพราะฉะนน 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 45
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบ
กบเสนตรง = 2 หรอไม
1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1)
จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2(-)
= 2r + 4 sin 2 F(r, )
2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1)
จะได F(r, - ) = 2r - 4 sin 2( - )
= 2r + 4 sin 2 F(r, )
เพราะฉะนน สรปไมได
การเขยนกราฟ 2r = 4 sin 2
เพราะวากราฟ 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว เราจงเขยน
กราฟบนชวง [0, 2 ] เฉพาะคา r 0 ดงรปท 2.3.7 (ก)
แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน
วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.7 (ข)
รปท 2.3.7 (ก) รปท 2.3.7 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 46
หมายเหต กราฟของสมการ 2r = 4 sin 2 ... (*)
เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*)
ตองเปน ททาให 4 sin 2 0
ดงนนคา ททาให 4 sin 2 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ
จาก 4 sin 2 0
sin 2 0
จะได 0 2 และ 2 2 3
นนคอ 0 2 และ
23
เพราะฉะนน กราฟของสมการ (*)
จะมจดในกราฟเมอ อยในชวง [0, 2 ] และ [,
23 ] เทานน
พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ
r = 2sin4
และ r = - 2sin4
โดยทฟงกชนทงสองจะใหกราฟเหมอนกน กลาวคอ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 47
กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]
จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4
เมอ อยในชวง [, 2
3 ]
ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 1. ดงรปท 2.3.7 (ค)
และ
กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [, 2
3 ]
จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]
ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 3. ดงรปท 2.3.7 (ง)
รปท 2.3.7 (ค) รปท 2.3.7 (ง)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 48
ตวอยาง 2.3.2 จงตรวจสอบวากราฟของ
r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2]
มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม
และจงเขยนกราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2]
วธทา ให F(r, ) = r - 4 - 4 cos = 0 ... (1)
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม
แทนคา ดวย - ในสมการ (1)
จะได F(r, -) = r - 4 - 4 cos(-)
= r - 4 - 4 cos
= F(r, )
เพราะฉะนน r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม
1. แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1)
จะได F(-r, ) = -r - 4 - 4 cos F(r, )
2. แทนคา ดวย + ในสมการ (1)
จะได F(r, + ) = r - 4 - 4 cos( + )
= r - 4 + 4 cos
F(r, )
เพราะฉะนน สรปไมได
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 49
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบ
เสนตรง = 2 หรอไม
1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1)
จะได F(-r, - ) = -r - 4 - 4 cos(-)
= -r - 4 - 4 cos F(r, )
2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1)
จะได F(r, - ) = r - 4 - 4 cos( - )
= r - 4 + 4 cos F(r, )
เพราะฉะนน สรปไมได
การเขยนกราฟ
เพราะวากราฟ r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, ] ดงรปท 2.3.8 (ก)
แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน
วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.8 (ข)
รปท 2.3.8 (ก) รปท 2.3.8 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 50
ขอสงเกต กราฟ r f (sin ) และ r f (cos( )) มสมมาตร
เทยบกบเสนตรง 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 51
กราฟบางรปทสาคญในระบบพกดเชงขว
1. r = k เมอ k เปนจานวนจรง
มกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0)
และมรศม k หนวย
ตวอยางเชน กราฟของ r = 4, r = 2
รปท 2.3.9 (ก) รปท 2.3.9 (ข)
2. = 0
มกราฟเปนเสนตรงททามม 0 กบแกนเชงขว
ตวอยางเชน กราฟของ = 4 , =
3
รปท 2.3.10 (ก) รปท 2.3.10 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 52
3.
3.1 r = 2k sin เมอ k เปนจานวนจรง และ 0
มกราฟเปนวงกลม จดศนยกลางอยทจด (k, 2)
และมรศม k หนวย
3.2 r = 2k cos เมอ k เปนจานวนจรง และ 0
มกราฟเปนวงกลมจดศนยกลางอยทจด (k, 0)
และมรศม k หนวย
ตวอยางเชน กราฟของ r = 8 sin และ r = 6 cos
รปท 2.3.11 (ก) รปท 2.3.11 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 53
4. r = a + b sin และ r = a + b cos
เมอ a, b เปนจานวนจรง และ 0 2
4.1 ถา a = b แลว กราฟผานขว
และเราจะเรยกกราฟนวา คารดออยด (cardioid)
4.2 ถา a b
แลว เราจะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon)
4.3 ถา a b แลว กราฟไมผานขว
4.4 ถา a b แลว กราฟผานขว
และ มวงวน (loop) อยภายใน
ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 + 4 sin , r = 4 + 3 sin
และ r = 2 + 4 sin มดงน
รปท 2.3.12 (ก) รปท 2.3.12 (ข) รปท 2.3.12 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 54
กราฟของ r = 4 + 4 cos , r = 4 + 3 cos
และ r = 2 + 4 cos มดงน
รปท 2.3.13 (ก) รปท 2.3.13 (ข) รปท 2.3.13 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 55
5.
5.1 r = k sin 2n, r = k cos 2n
เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2
มกราฟเปนกลบกหลาบ 4n กลบ
5.2 r = k sin((2n + 1)), r = k cos((2n + 1))
เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2
มกราฟเปนกลบกหลาบ 2n + 1 กลบ
ตวอยางเชน
กราฟของ r = 4 sin 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ
ดงรปท 2.3.14 (ก)
กราฟของ r = 4 sin 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ
ดงรปท 2.3.14 (2)
รปท 2.3.14 (ก) รปท 2.3.14 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 56
กราฟของ r = 4 cos 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ
ดงรปท 2.3.15 (ก)
กราฟของ r = 4 cos 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ
ดงรปท 2.3.15 (ข)
รปท 2.3.15 (ก) รปท 2.3.15 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 57
6. กราฟ spiral
Hyperbolic spiral r = a เมอ a เปนจานวนจรง
Spiral of Archimedes r = a เมอ a เปนจานวนจรง
Parabolic spiral r = a + b เมอ a, b เปนจานวนจรง
Logarithmic spiral r = re เมอ a เปนจานวนจรง
ตวอยางเชน
Hyperbolic spiral r = 1 Spiral of Archimedes r = 2
รปท 2.3.16 (ก) รปท 2.3.16 (ข)
Parabolic spiral r = 2 + 3 Logarithmic spiral r = 4.0e
รปท 2.3.16 (ค) รปท 2.3.16 (ง)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 58
7. กราฟ Lemniscates
เปนกราฟของสมการ 2r = 2a cos 2
หรอ 2r = 2a sin 2 เมอ a เปนจานวนจรง
ตวอยางเชน
Lemniscate 2r = 4 cos 2 Lemniscate 2r = 9 sin 2
รปท 2.3.17 (ก) รปท 2.3.17 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 59
8. กราฟ r = a sin(k) เมอ k ไมเปนจานวนเตม
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 60
2.4 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขว
ให R เปนบรเวณทปดลอมดวยฟงกชนทตอเนอง r = f()
และ เสนตรง = และ =
เมอ r 0
แบงชวง [, ] ออกเปน n ชวงยอย
ดวยจด 0 , 1 , 2 , ... , n
โดยท = 0 1 2 ... n =
รปท 2.4.1
สาหรบ i = 1, 2, ... , n
ให iR เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง = 1i
และ = i และเสนโคง r = f()
ให 1iP มพกดเปน (f( 1i ), 1i )
และ iP มพกดเปน (f( i ), i )
*i มคาอยระหวาง 1i และ i
*iP มพกดเปน (f( *
i ), *i )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 61
รปท 2.4.2
และ ให วงกลมรศม O *iP ตดเสนตรง = 1i ทจด 1iQ
และตดเสนตรง = i ทจด iQ
เพราะฉะนน 1iQ มพกดเปน (f( *i ), 1i )
และ iQ มพกดเปน (f( *i ), i )
จะได พนท iR พนทเซกเตอร 1iiQOQ
= 21(f( *
i ))2( i - 1i )
เพราะฉะนน พนท R =
n
1i
พนท iR
n
1i21(f( *
i ))2( i - 1i )
เพราะวา r = f() เปนฟงกชนทตอเนอง
เพราะฉะนน n
lim
n
1 i21(f( *
i ))2( i - 1i ) =
21 2r d
เพราะฉะนน
พนท R = 21
2r d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 62
ตวอยาง 2.4.1 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย
เสนโคง r = 2 + 2 sin บนชวง [0, 2]
วธทา
รปท 2.4.3
เพราะฉะนน พนท = 21
2
0
2r d
= 21
2
0
(2 + 2 sin )2 d
= 21
2
0
(4 + 8 sin + 4 2sin ) d
= 2
0
2 d + 4 2
0
sin d + 2
0
2 2sin d
= 2[ ] 02
+ 4[ -cos ]
02
+
2
0
(1 - cos ) d
= 4 + 4(-1 + 1) + [ - 22sin ]
02
= 4 + 2
= 6
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 63
ตวอยาง 2.4.2 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย
เสนโคง r = 4 + 4 cos บนชวง [4 ,
32 ]
วธทา
รปท 2.4.4
เพราะฉะนน พนท = 21
32
4
2r d
= 21
32
4
(4 + 4 cos )2 d
= 8
32
4
(1 + 2 cos + 2cos ) d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 64
= 8
32
4
d + 16
32
4
cos d + 4
32
4
2 2cos d
= 8[ ] 4
32
+ 16[ sin ]
4
32
+ 4
32
4
(1 + cos 2) d
= 8(3
2 - 4) + 16(sin
32 - sin
4) + 4[ ]
4
32
+ 2
32
4
cos 2 d2
= 8(125 ) + 16(
23 -
21 ) + 4(
32 -
4)
+ 2[ sin 2 ] 4
32
= 8(125 ) + 16(
23 -
21 ) + 4(
125 ) + 2(sin
34 - sin
2)
= 5 + 16(23 -
21 ) + 2(-
23 - 1)
= 5 + 7 3 - 8 2 - 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 65
ตวอยาง 2.4.3 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย
เสนโคง r = 4 cos 2
วธทา
รปท 2.4.5
เพราะวากราฟของ r = 4 cos 2
มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
จากรปท 2.4.5 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง
r = 4 cos 2 เสนตรง = 0 และ = 2
แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
r = 4 cos 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 66
พนทในบรเวณทปดลอมดวย r = 4 cos 2 เสนตรง = 0
และ = 2 มคา =
21
2
0
2r d
= 21
2
0
(4 cos 2)2d
= 4
2
0
2 2cos 2 d
= 4
2
0
(1 + cos 4) d
= 4[ + 41 sin 4 ]
02
= 4[(2 + 0) - (0 + 0)] = 2
เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
r = 4 cos 2 มคาเทากบ 8
หมายเหต ในกรณทหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
r = 4 cos 2 โดยไมนาสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ
เสนตรง = 2 ของกราฟมาชวย และทาการอนทเกรตบน
ชวง [0, 2] จะไดพนท = 21
2
0
(4 cos 2)2d = 8 เหมอนกน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 67
ตวอยาง 2.4.4 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos
วธทา
รปท 2.4.6 (ก)
เพราะวากราฟของ 2r = 4 cos
มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
จากรปท 2.4.6 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 2
แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos
พนทในบรเวณปดลอมดวย 2r = 4 cos เสนตรง = 0
และ = 2 มคา =
21
2
0
2r d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 68
21
2
0
2r d
= 21
2
0
4 cos d
= 2[ sin ] 02
= 2(sin2 - 0)
= 2
เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos มคาเทากบ 8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 69
หมายเหต
ในการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos
โดยไมนาการมสมมาตรของกราฟมาชวย เราตองพจารณาดงน
จากสมการ 2r = 4 cos ... (*)
เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*)
ตองเปน ททาให 4 cos 0
ดงนนคา ททาให 4 cos 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ
จาก 4 cos 0
cos 0
จะได -2
2
เปนชวงทกราฟของสมการ (*) มจดอยบนกราฟ
พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ
r = cos4 กบ r = - cos4
โดยท ฟงกชน r = cos4 เมอ อยในชวง [-2 ,
2 ]
จะไดกราฟทางขวาของเสนตรง = 2
ดงรปท 2.4.6 (ข)
และ ฟงกชน r = - cos4 เมอ อยในชวง [-2 ,
2 ]
จะไดกราฟทางซายของเสนตรง = 2
ดงรปท 2.4.6 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 70
รปท 2.4.6 (ข) รปท 2.4.6 (ค)
พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos คอ
= 21
2
2
( cos4 )2 d + 21
2
2
(- cos4 )2 d
= 21
2
2
4 cos d + 21
2
2
4 cos d
= 21 [ 4 sin ]
2
2
+
21 [ 4 sin ]
2
2
= 24( sin
2 - sin(-
2)) +
24( sin
2 - sin(-
2))
= 4 + 4
= 8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 71
ตวอยาง 2.4.5 จงหาพนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin
และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin
วธทา
รปท 2.4.7
จดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin
หาไดโดยการแกสมการ 6 sin = 2 + 2 sin
4 sin = 2
sin = 21
= 6 หรอ
65
เพราะฉะนนจดตดของ เสนโคง r = 6 sin
และ เสนโคง r = 2 + 2 sin คอ (3, 6) และ (3,
65 )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 72
เพราะวากราฟของ r = 6 sin และ r = 2 + 2 sin
มสมมาตรกบเสนตรง = 2
จากรปท 2.4.7 เราจงหาพนท 1R และ พนท 2R
แลว จะได พนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin
และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ
2(พนท 1R + พนท 2R )
พนท 1R = 21
6
0
(6 sin )2 d = 9
6
0
2 2sin d
= 9
6
0
(1 - cos 2) d
= 9[ - 21 sin 2 ]
06
= 9[(6 -
43) - (0 - 0)]
= 2
3 - 4
39
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 73
พนท 2R = 21
2
6
(2 + 2 sin )2 d
= 2
2
6
(1 + 2 sin + 2sin ) d
= 2
2
6
(1 + 2 sin + 21 -
21cos 2) d
=
2
6
(3 + 4 sin - cos 2) d
= [ 3 - 4 cos - 21 sin 2 ]
6
2
= (2
3 - 0 - 0) - (2 - 2 3 -
43)
= + 4
39
พนท 1R + พนท 2R = (2
3 - 4
39 ) + ( + 4
39 ) = 2
5
เพราะฉะนนพนทของบรเวณทอยทงภายใน
เสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin
มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R )
= 5(2
5 )
= 5
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 74
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 75
ในกรณทเราตองการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย
ของเสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ]
ดงรปท 2.4.8
รปท 2.4.8
จะได
พนททปดลอมดวย เสนโคง r = f() และ r = g()
บนชวง [, ] มคา
= 21
[(f())2 - (g())2] d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 76
ตวอยาง 2.4.6 จงหาพนทของบรเวณทอย
ภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin
วธทา
รปท 2.4.9
จดตดของ เสนโคง r = 1 + cos และ เสนโคง r = sin
หาไดโดยการแกสมการ 1 + cos = sin
1 = sin - cos
1 = 2sin - 2 sin cos + 2cos
1 = 2sin + 2cos - 2 sin cos
1 = 1 - sin 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 77
เพราะฉะนน sin 2 = 0
2 = 0, , 2
= 0, 2 ,
บรเวณภายนอกเสนโคง r = 1 + cos
และ ภายในเสนโคง r = sin
เปนบรเวณปดลอมดวย r = 1 + cos และ r = sin
เสนตรง = 2 และ = ดงรปท 2.4.9
พนทแรเงา = 21
2
[(sin )2 - (1 + cos )2] d
= 21
2
( 2sin - 1 - 2 cos - 2cos ) d
= 21
2
(-1 - 2 cos - ( 2cos - 2sin ) d
= 21
2
(-1 - 2 cos - cos 2) d
= 21 [ - - 2 sin -
21 sin 2 ]
2
= 21 [(- - 0 - 0) - (-
2 - 2 - 0)]
= -4 + 1
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 78
ตวอยาง 2.4.7 จงหาพนทของบรเวณทอยภายนอกวงกลม
2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0
วธทา
รปท 2.4.10 (ก) รปท 2.4.10 (ข)
วงกลม 2x + 2y - 4y = 0
มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 sin
วงกลม 2x + 2y - 4x = 0
มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 cos
บรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0
และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0
คอ บรเวณภายนอกเสนโคง r = 4 sin
และ ภายในเสนโคง r = 4 cos
ประกอบดวยบรเวณ 1R และ 2R ดงรปท 2.4.10 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 79
จดตดของ เสนโคง r = 4 sin และ เสนโคง r = 4 cos
หาไดโดยการแกสมการ
4 sin = 4 cos
sin = cos
= 4
บรเวณ 1R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 sin
และ r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 4
พนท 1R = 21
4
0
[(4 cos )2 - (4 sin )2] d
= 8
4
0
( 2cos - 2sin ) d
= 8
4
0
cos 2 d
= 4[ sin 2 ] 04
= 4(1 - 0)
= 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 80
บรเวณ 2R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 cos
เสนตรง = -2 และ = 0
พนท 2R = 21
0
2
(4 cos ) 2 ) d
= 8
0
2
2cos d
= 8
0
2
(21 +
22cos ) d
= 8
0
2
(21 +
22cos ) d
= 4[ ] 2
0
+ 2[ sin 2 ]
2
0
= 4(0 + 2) + 2(0 + 0)
= 2
เพราะฉะนน พนทบรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0
และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0
= พนท 1R + พนท 2R
= 4 + 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 81
การหาพนทระหวางเสนโคง F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
ในบางครงตองหาจดตดของกราฟ
แตเนองจากจดในพกดเชงขวจดเดยวกนอาจเขยนพกดได
หลายแบบ ดงนนจดตดทตองการอาจจะหาไดไมครบถวน
ตวอยางเชน
การหาจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2
รปท 2.4.11 (ก) รปท 2.4.11 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 82
โดยการแกสมการ 3 = r = 2 sin 2
จะได sin 2 = 23
2 = ... , -3
16 , -3
11 , -3
10 , -3
5 , -3
4 , 3 ,
3
2 , 3
7 , 3
8 , 3
13 , 3
14 , ...
= ... , -6
16 , -6
11 , -6
10 , -6
5 , -6
4 , 6 ,
6
2 , 6
7 , 6
8 , 6
13 , 6
14 , ...
= ... , -3
8 , -6
11 , -3
5 , -6
5 , -3
2 , 6 ,
3 ,
6
7 , 3
4 , 6
13 , 3
7 , ...
จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด
จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ
( 3, 6), ( 3,
3), ( 3,
67 ), ( 3,
34 )
ดงรปท 2.4.11 (ข)
จากรปท 2.4.11 (ก) จะเหนวามจดตดของ วงกลม r = 3
และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด
แนวทางในการหาพกดจดตดทเหลออาจทาไดโดย
ถากราฟมสมมาตรกบแกนเชงขว ขว หรอ เสนตรง = 2
แลว เราจะสามารถหาพกดของจดตดทเหลอได
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 83
นอกจากใชสมบตของสมมาตรแบบตาง ๆ แลว เราสามารถ
ใชสมบตของจดในพกดเชงขวทเขยนไดหลายแบบ กลาวคอ
จด (r, ) กบจด ((-1)n r, + n) เมอ n เปนจานวนเตม
จะเปนจดเดยวกน
เพราะฉะนน กราฟของสมการ F(r, ) = 0
และ กราฟของสมการ F((-1)n r, + n) = 0
จะเปนรปเดยวกน สมการ F((-1)n r, + n) = 0
เรยกวา สมการเทยบเทา ของ F(r, ) = 0
เพราะฉะนน เราสามารถใชสมการเทยบเทามาชวยในการหา
จดตดของกราฟไดอยางเชนตวอยางขางตน
สมการเทยบเทาของ r = 3 คอ r = - 3
โดยการแกสมการ - 3 = r = 2 sin 2
จะได sin 2 = -23
2 = ... , -3
14 , -3
13 , -3
8 , -3
7 , -3
2 , -3 ,
34 ,
3
5 , 3
10 , 3
11 , 3
16 , ...
= ... , -6
14 , -6
13 , -6
8 , -6
7 , -6
2 , -6 ,
64 ,
6
5 , 6
10 , 6
11 , 6
16 , ...
= ... , -3
7 , -6
13 , -3
4 , -6
7 , -3 , -
6 ,
32 ,
6
5 , 3
5 , 6
11 , 3
8 , ...
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 84
จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด
จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ
(- 3, 3
2 ), (- 3, 6
5 ), (- 3, 3
5 ), (- 3, 6
11)
จากทแสดงมาทงหมดจะไดจดตดของ r = 3
และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด
ดงแสดงในรปท 2.4.12
รปท 2.4.12
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 85
ขอสงเกต
1. ปญหาลกษณะหนงทอาจเกดขนในการหาจดตดของ
กราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 กคอ
การท ขว เปนจดตดของกราฟ
แตไมสามารถหาไดโดยการแกสมการ
F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
สาเหตทเปนเชนนเนองจาก ขว มพกดเปน (0, )
โดยท เปนมมอะไรกได
ดงนนหากกราฟของ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
ผานขวดวยคามมทตางกน
เรากจะไมสามารถหาจดตดทเปนขวได
วธแกปญหาขางตน
ใหแทนคา r = 0 ในสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
หาก หาคา = 1 ททาให F(r, 1 ) = 0
และ หาคา = 2 ททาให G(r, 2 ) = 0
จะถอวา ขว เปนจดตดของกราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 86
ตวอยางเชน การหาจดตดของกราฟ
r = 1 + sin และ r = 1 - sin
รปท 2.4.13
โดยการแกสมการ 1 + sin = 1 - sin
จะได sin = 0
= n
เพราะฉะนนจะไดจดตด (1, 0) และ (1, )
แตไมไดขวเปนจดตดจากการแกสมการขางตน
ทเปนเชนน
เพราะวา กราฟ r = 1 + sin ผานขว เมอ = 2
3
และ กราฟ r = 1 - sin ผานขว เมอ = 2
เพราะฉะนน ขว เปนจดตดของ
กราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 87
2. การตรวจสอบวาจด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0
1. ถา 0 0F(r , ) 0
แลว จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0
2. ถา 0 0F(r , ) 0
แลวยงสรปไมไดวา
จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 หรอไม
ใหตรวจสอบกบสมการเทยบเทาของ F(r, ) 0 กอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 88
ตวอยางเชน กราฟเชงขว F(r, ) r 2cos(2 ) 0
F(1, ) 1 2cos(2( )) 1 1 03 3
เพราะวาจด (1, )3 สอดคลองเงอนไขสมการเทยบเทา
1F(( 1) (1), 1 ) F( 1, )3 3
1 2cos(2( ))3
21 2cos( )3
11 2( )2
0
เพราะฉะนน (1, )3 อยบนกราฟ F(r, ) r 2cos(2 ) 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 89
ตวอยาง 2.4.8 จงหาพนทของบรเวณทอย
ภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3
วธทา จากวธหาจดตดขางตนจะได ( 3, 6)
และ ( 3, 3) เปนจดตดของ r = 2 sin 2 และ r = 3
รปท 2.4.14 (ก) รปท 2.4.14 (ข)
เพราะฉะนนพนทแรเงาในรปท 2.4.14 (ข) มคา
= 21
[(f())2 - (g())2] d
= 21
3
6
[(2 sin 2)2 - ( 3))2] d
= 21
3
6
(4 2sin 2 - 3) d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 90
= 21
3
6
(4(2
4cos1 ) - 3) d
= 21
3
6
(2 - 2 cos4 - 3) d
= 21 [ - -
21 sin4 ]
6
3
= 21 [(-
3 -
21(-
23)) - (-
6 -
21(
23))]
= 21(
23 -
6)
= 43 -
12
เพราะวากราฟ r = 2 sin 2 และ r = 3
มสมมาตรกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
ดงนนจากรปท 2.4.12 จะเหนวา
พนทของบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2 sin 2
และ ภายนอกวงกลม r = 3 มคาเทากบ
= 4(21
[(f())2 - (g())2] d)
= 4(43 -
12 )
= 3 - 3
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 91
แบบฝกหด 2.1
1. จงหาพกดเชงขวของจดในระนาบ XY ตอไปน เมอกาหนดคา r 0 และ 0 2
1.1 A(–1, 0) 1.2 B(4, –4)
1.3 C(1, – 3 ) 1.4 D( 2 , 2 )
1.5 E(–4, –4 3 ) 1.6 F(2 3 , –2)
1.7 G(0, 4) 1.8 H(–4, 4 3 )
2. จงเขยนจดในระบบพกดเชงขว
และหาพกดฉากของจดตอไปน
2.1 A(1, 0)
2.2 B(2, –611 )
2.3 C(3, 4 )
2.4 D(–4, 3 )
2.5 E(5, 32 )
2.6 F(–6, –65 )
2.7 G(7, 34 )
2.8 H(–7, –7)
2.9 I(8, 65 )
2.10 J(6, 611 )
3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว
3.1 x + y = 0 3.2 2x + 2y = 25
3.3 2x + 2y – 8y = 0 3.4 2x + 2y – 10x = 0
3.5 2x + 2y – 4x + 6y = 0 3.6 x = –5
4. จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก
4.1 r = 7 4.2 r = 2 cos
4.3 r = 4 sec 4.4 r = 16 sin
4.5 r = –8 coec 4.6 r = 4 sin + 2 cos
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 92
เฉลยแบบฝกหด 2.1
1. 1.1 (1, ) 1.2 (4 2 , 47 )
1.3 (2, 35 ) 1.4 (2,
4 )
1.5 (8, 34 ) 1.6 (4,
611 )
1.7 (4, 2 ) 1.8 (8,
32 )
2. 2.1 A(1, 0)
2.2 B( 3 , 1)
2.3 C(23 ,
23 )
2.4 D(–2, –2 3 )
2.5 E(–25 ,
235
)
2.6 F(–3, –3 3 )
2.7 G(–27 , –
237
)
2.8 H(–7, 0)
2.9 I(4 3 , 4)
2.10 J(3 3 , –3)
3. 3.1 = 43 หรอ = –
4 3.2 r = 5 หรอ r = –5
3.3 r = 8 sin 3.4 r = 10 cos
3.5 r = 4 cos – 6 sin 3.6 r = –5 sec
4. 4.1 2x + 2y = 49 4.2 2x + 2y – 2x = 0
4.3 x = 4 4.4 2x + 2y – 16y = 0
4.5 y = –8 4.6 2x + 2y – 2x – 4y = 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 93
แบบฝกหด 2.2
1. จงเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน
1.1 r = 5 sin 1.2 r = –6 cos
1.3 r = 6 sin 3 1.4 r = 5 cos 2
1.5 r = 4 sin – 4 cos 1.6 r = 2 + 4 sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 94
1.7 r = 6 cos 3 1.8 r = 6 sin 2
เฉลยแบบฝกหด 2.2
1.1 1.2
1.3 1.4
1.5 1.6
1.7 1.8
65432105 sin
65432106 cos
65432106 sin 3
65432105 cos 2
65432104 sin 4 cos
65432102 4 sin
65432106 cos 3
65432106 sin 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 95
แบบฝกหด 2.3
1. จงตรวจสอบวากราฟของ r = f() ตอไปน
มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2 หรอไม และจงเขยนกราฟ
1.1 r = –4 – 4 sin 1.2 r = –2 – 4 cos
1.3 r = –3 sin 3 1.4 r = sin – cos
1.5 r = cos 3 1.6 r = –cos
1.7 r = 2 2cos 1.8 r = –2 sin
6420
6
00
43210
4
00
210
2
00
43210
4
00
10.50
1
00
3210
3
00
210
2
00
1086420
10
00
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 96
เฉลยแบบฝกหด 2.3
1. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 2. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว
สมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =
2
3. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 4. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว
สมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =
2
5. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 6. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว
ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2 ไมสมมาตรกบเสนตรง =
2
7. สมมาตรกบแกนเชงขว สมมาตรกบขว 8. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว
สมมาตรกบเสนตรง = 2 สมมาตรกบเสนตรง =
2
1086420
10
04 4 sin ( )
6420
6
02 4 cos ( )
43210
4
03 sin 3 ( )
210
2
0sin ( ) cos ( )
43210
4
04 cos 3 ( )
10.50
1
0cos ( )
3210
3
02 cos ( )2
210
2
02 sin ( )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 97
แบบฝกหด 2.4
1. จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคงตอไปน
1.1 r = 1 + cos บนชวง [0, 2] 1.2 r = 2 cos 2 บนชวง [0, 2]
1.3 r = cos + sin บนชวง [0, ] 1.4 r = 3 - 2 cos บนชวง [0, 2]
1.5 r = 2 cos 3 บนชวง [0, 2] 1.6 r = 4 2cos บนชวง [0, 2]
2. จงหาพนทภายใน r = 4 sin และ r = 4 3 cos
3. จงหาพนทภายใน r = 4 sin 2 และ r = 4 cos
4. จงหาพนทภายใน r = 2 + sin 2 และ r = 2 + 3 cos
5. จงหาพนทภายใน r = 2 sin 3 และ r = 2 sin
6. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 และ 2x + 2y + x – y = 0
7. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 หรอ 2x + 2y – x = 0
โดยทบรเวณนนไมเปนสวนตดของวงกลมทงสอง
8. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4y = 0 และ x 3
9. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4x – 4y = 0 และ y 4
10. จากกราฟของสมการ r = 2 - 4 cos รปท 2.4.15 (ก) จงหาพนทสวนทแรเงา
11. จากกราฟของสมการ r = 3 + 6 sin รปท 2.4.15 (ข) จงหาพนทสวนทแรเงา
12. จากกราฟของสมการ r = 4 cos และ r = 4 sin 2 รปท 2.4.15 (ค) จงหาพนทสวนทแรเงา
รปท 2.4.15 (ก) รปท 2.4.15 (ข) รปท 2.4.15 (ค)
เฉลยแบบฝกหด 2.4
1. 1.1 23 1.2 2 1.3
2
1.4 11 1.5 1.6 6
2. 3
10 – 4 3 3. 4 – 3 3 4. 5 – 8
5. 32 –
34 6.
4 –
21 7.
163 +
85
8. 32 – 3 9. 2 – 4 10. 4 – 6 3
11. 29 +
2327
12. 4 + 3 3