ลิมิตของลําดับอนันต

4

โดยใชการจัดการเรียนรูแบบรวมมือเทคนิค TAI

แบบฝกทักษะคณิตศาสตร

สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6

เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต

สุวิชา บุญรังสมิันตุตําแหนง ครู วิทยฐานะ ครูชํานาญการ

โรงเรยีนบางปะกง “บวรวิทยายน” จังหวัดฉะเชิงเทราสํานักงานเขตพื้นที่การศกึษามัธยมศึกษา เขต 6

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต

จัดทําขึ้นเพื่อประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติม ค33202 สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 โดยใชควบคูกับการจัดการเรียนรูแบบรวมมือเทคนิค TAI ซึ่งเปนรูปแบบการเรียนรูที่ผสมผสานระหวางการเรียนแบบรวมมือและการสอนรายบุคคลเขาดวยกันทําใหสนองตอความแตกตางระหวางบุคคล มีการกําหนดใหนักเรียนที่มีความสามารถแตกตางกันมาทํางานรวมกันเปนกลุมเล็ก โดยใหนักเรียนแตละคน ลงมือปฏิบัติกิจกรรมดวยตนเองตามความสามารถจากแบบฝกทักษะ และสงเสริมความรวมมือภายในกลุม นักเรียนที่เรียนเกงจะพยายามชวยเหลือเพื่อนที่เรียนออน ทําใหมีการแลกเปลี่ยนประสบการณการเรียนรูและการมีปฏิสัมพันธทางสังคม

แบบฝกทักษะนี้จะชวยสงเสริมการเรียนรูใหนักเรียนไดฝกฝนทักษะเพิ่มเติม เพื่อใหเกิดความรูความเขาใจในบทเรียน เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร และสงเสริมใหนักเรียนมีเจตคติที่ดีตอการเรียนคณิตศาสตร ภายในเลมประกอบดวยแบบทดสอบ กอนการใชแบบฝกทักษะ ใบความรู แบบฝกหัด(ก) แบบฝกหัด(ข) แบบฝกหัดคูขนาน แบบทดสอบ หลังการใช แบบฝกทักษะ และเฉลยในภาคผนวกทายแบบฝกทักษะ

การจัดทําแบบฝกทักษะคณิตศาสตรชุดนี้สําเร็จลุลวงไปดวยดี ไดรับการสนับสนุนสงเสริม จากผูอํานวยการโรงเรียนบางปะกง “บวรวิทยายน” และคณะครูโรงเรียนบางปะกง “บวรวิทยายน” ทุกทาน ผูจัดทําขอขอบพระคุณทุกทานที่ ไดนําแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ลําดับอนันต และอนุกรมอนันต ไปทดลองใชพรอมทั้งใหขอเสนอแนะ และคําแนะนําจนทําใหแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ทั้ง 9 เลมเสร็จสมบูรณ

ผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวาแบบฝกทักษะคณิตศาสตรนี้จะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรูวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติม ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที ่6 ตอไป

สุวิชา บุญรังสิมันตุ

คํานํา

ก

ลิมิตของลําดบัอนันต

เร่ือง หนา คํานํา ก สารบัญ ข คําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะ 1 ขอตกลงในการทําแบบฝกทักษะ 1 คําแนะนําในการใชแบบฝกทักษะ 1 ผลการเรียนรูประจําหนวยการเรียนรูลําดับอนันตและอนุกรมอนันต 2 สาระสําคัญ 3 จุดประสงคการเรียนรู 3 สาระการเรียนรู 3 ตารางสรุปคะแนนแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต 4 แบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต 5 ใบความรูที่ 1 เรื่อง ลิมิตของลําดับอนันต 11 แบบฝกหัดที่ 1 (ก) 16 แบบฝกหัดที่ 1 (ข) 20 แบบฝกหัดที่ 2 (ก) 24 แบบฝกหัดที่ 2 (ข) 26 แบบฝกหัดที่ 3 (ก) 28 แบบฝกหัดที่ 3 (ข) 33 แบบทดสอบหลังการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต 38 บรรณานุกรม 44 ภาคผนวก 45 เฉลยแบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต 46 เฉลยแบบฝกหัดที่ 1 (ก) 47 เฉลยแบบฝกหัดที่ 1 (ข) 48 เฉลยแบบฝกหัดที่ 2 (ก) 49 เฉลยแบบฝกหัดที่ 2 (ข) 50 เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 (ก) 51 เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 (ข) 56 เฉลยแบบทดสอบหลังการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต 61

สารบัญ

ข

ลิมิตของลําดบัอนันต

1. การทําแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต จะทําแบบฝกทักษะควบคูไปกับการจัดการเรียนรูแบบรวมมือเทคนิค TAI

2. นักเรียนทํางานเปนกลุม กลุมละ 4 คน ภายในกลุมประกอบดวยนักเรียนเกง ปานกลาง และออน

3. นักเรียนภายในกลุมตองชวยเหลือซ่ึงกันและกัน 4. นักเรียนตองมีความซื่อสัตยตอตนเองไมเปดดูเฉลยกอน เพราะถานักเรียนเปดดูเฉลย

กอนเทากับวานักเรียนลอกคําตอบ ซึ่งทําใหนักเรียนไมไดทดสอบความรูความเขาใจและไมไดรับความรูจากแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้

1. นักเรียนทําแบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ แลวตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายแบบฝกทักษะ

2. นักเรียนในกลุมชวยกันศึกษาเอกสารจากแบบฝกทักษะคณิตศาสตร ควบคู ไปกับการจัดการเรียนรูแบบรวมมือเทคนิค TAI โดยมีครูคอยชีแ้นะ 3. นักเรียนในกลุมจับคูกันทําแบบฝกทักษะ ก เมื่อทําเสร็จ สมาชิกในกลุมตองชวยกันตรวจจากเฉลยในภาคผนวกทายแบบฝกทักษะ และชวยกันแกไขเมื่อมีคําตอบผิด ซึ่งถาทําไดต่ํากวารอยละ 80 ใหไปทําแบบฝกทักษะซอม (แบบฝกทักษะ ข) 4. เมื่อทําแบบฝกทักษะเสร็จ นักเรียนแตละคนทําแบบทดสอบหลังการใช แบบฝกทกัษะ แลวตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายแบบฝกทักษะ 5. นักเรียนแตละกลุมรวมคะแนนของสมาชิกในกลุม และคํานวณคะแนนเฉลี่ยของกลุม

ขอตกลงในการใชแบบฝกทักษะ

คําแนะนําในการใชแบบฝกทักษะ

คําช้ีแจงในการใชแบบฝกทักษะ

1

ลิมิตของลําดบัอนันต

ผลการเรียนรูประจําหนวยการเรียนรู ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต

1. หาลิมิตของลําดับอนันตโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได

2. หาผลบวกของอนุกรมอนันตได

3. นําความรูเร่ืองลําดับและอนุกรมไปใชแกปญหาได

2

ลิมิตของลําดบัอนันต

สาระสําคัญ

สําหรับลําดับอนันต na ใดๆ เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด และพจนที่ n เขาใกลหรือเทากับ

จํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทานั้น แลวเรียก L วา ลิมิตของลําดับ (limit of a sequence) และกลาววาลําดับนั้นมีลิมิตเทากับ L และเขียนแทนดวยสัญลักษณ

nnlim a = L

เรียกลําดับอนันตที่มีลิมิต

วา ลําดับลูเขา (convergent sequence) และเรียกลําดับอนันตที่ไมใชลําดับลูเขาวา ลําดับลูออก (divergent sequence)

ซึ่งการพิจารณาวาลําดับอนันตใดมีลิมิตหรือไมนั้น อาจทําไดโดยการพิจารณาจากกราฟของลําดับ เมื่อ n มากขึ้น โดยไมมีที่สิ้นสุด

จุดประสงคการเรียนรู 1. นักเรียนสามารถเขียนกราฟของลําดับที่กําหนดได 2. นักเรียนสามารถบอกไดวาลําดับอนันตที่กําหนดพจนที่ n ใหเปนลําดับลูเขาหรือลําดับลูออก โดยพิจารณาจากกราฟของลําดับ สาระการเรียนรู 1. ลิมิตของลําดับอนันต 2. ลําดับลูเขาและลําดับลูออก

แบบฝกทักษะคณิตศาสตร เร่ือง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต

เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับอนันต

3

ลิมิตของลําดบัอนันต

ตารางสรุปคะแนน แบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมติของลําดับอนันต

คําชี้แจง ใหนักเรียนนําคะแนนที่ไดจากแตละแบบฝกหัดและแบบทดสอบบันทึกลงในตาราง

รายการ คะแนน

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได

แบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ 10

แบบฝกหัดที่ 1 (ก) 10

แบบฝกหัดที่ 1 (ข) 10

แบบฝกหัดที่ 2 (ก) 5

แบบฝกหัดที่ 2 (ข) 5

แบบฝกหัดที่ 3 (ก) 5

แบบฝกหัดที่ 3 (ข) 5

แบบทดสอบหลังการใชแบบฝกทักษะ 10

คะแนนเฉลี่ยกลุม 10

4

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

คําชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เปนแบบทดสอบชนิดเลือกตอบ 4 ตัวเลือก

มีทั้งหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน 2. ใหนักเรียนเลือกคําตอบท่ีถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว

แลวเขียน ลอมรอบตัวอักษรที่เปนคําตอบ ใชเวลา 10 นาท ี 1. กําหนดให กราฟที่กําหนดใหตรงกับลําดับในขอใด เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

1a = -

n

ข. n

1a =

n

ค. n n - 1

1a = -

2

ง. n n - 1

1a =

2

คะแนนที่ได

...................

แบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4

ลิมิตของลําดบัอนันต

n

an

5

ลิมิตของลําดบัอนันต

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14 16

2. พิจารณากราฟของลําดับอนันตตอไปนี้ ลําดับใดเปนลําดับลูออก ก. ข. ค. ง.

n

an

n

an

an

n

n

an

6

ลิมิตของลําดบัอนันต

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3. พิจารณาลําดับ n

n

1a = 27 -

3

เมื่อ n = 1, 2, 3, ... ตรงกับกราฟในขอใด

ก.

ข. ค. ง.

n

n

an

an n

n

an

an

7

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

3

6

9

12

15

18

0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 1 3 5 7 9 11 13 15

4. ลําดับอนันตในขอใดมีลิมิตเทากับ 2

ก. ข. ค. ง.

n

an

n

an

n

an

n

an

8

ลิมิตของลําดบัอนันต

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5. ลําดับอนันตในขอใดเปนลําดับลูเขา เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

na =

4

ข. n 3

n + 1a =

n

ค. 2na = 5 - 2n + n

ง. n n - 1 n - 2a = a a เมื่อ 1 a 1 และ 2 a 2

6. ลําดับในขอใดเปนลําดับแกวงกวัด เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

n

1a = -

3

ข. n+1

na = -1

ค. n

na = - 3

ง. n-1

na = -2

7. ลิมิตของลําดับอนันตที่กําหนดใหเทากับเทาไร เมื่อพิจารณาจากกราฟตอไปนี้ ก. - 0.2 ข. 0 ค. 0.6 ง. หาคาไมได

an

n

9

ลิมิตของลําดบัอนันต

8. ลิมิตลําดับใดตอไปนี้ หาคาไมได เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n 3

2a =

n

ข. 2n

na = -1

ค. n

1a =

n + 2

ง. na = 5 - 4n 9. ขอใดกลาวถูกตอง ก. ลําดับแกวงกวัดบางลําดับเปนลําดับลูเขา ข. ลําดับลูเขาบางลําดับสามารถมีคาลิมิตไดหลายคา

ค. ลําดับลูออกทุกลําดับ เปนลําดับอนันตที่ไมมีลิมิต ง. ลําดับจํากัดทุดลําดับเปนลําดับลูเขา

10. ขอใดถูกตอง ก. ถา na = -4 แลว na หาคาลิมิตไมได

ข. ถา na = n + 2 แลว ลิมิตของ na คือ 2

ค. ถา n

n

1a =

2

แลว na เปนลําดับลูเขา

ง. ถา nn lim a = -4

แลว na เปนลําดับลูออก

10

ลิมิตของลําดบัอนันต

ในหัวขอนี้จะกลาวถึงสมบัติบางประการของลําดับ โดยจะพิจารณาพจนที่ n ของลําดับ เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีท่ีสิ้นสุด

(1) พิจารณากราฟของลําดับ n n

1a =

2

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1

2 1

4 1

8 1

16 1

32 1

64 1

128 1

256 …

เขียนลําดับไดเปน 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ...

2 4 8 16 32 64 128 256

รูปที่ 1

จากรูปที่ 1 จะเห็นวา ถา n มีคามากขึ้นไมมีที่สิ้นสุด แลว an มีคาลดลงเขาใกล 0 แตไมเทากับ 0

หมายเหตุ กราฟของลําดับ จะใชเสนประเพื่อแสดงใหเห็นแนวของจุดเทานั้น แตเสนประไมใชสวนหนึ่งของกราฟ

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

an

ใบความรูที่ 1 เรื่อง ลิมติของลําดับอนันต

11

ลิมิตของลําดบัอนันต

(2) พิจารณากราฟของลําดับ na = 3

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na 3 3 3 3 3 3 3 3 … เขียนลําดับไดเปน 3, 3, 3, 3, …

รูปที่ 2

จากรูปที่ 2 จะเห็นวา na เปน 3 เสมอสําหรับทุกคาของ n

ดังนั้นในขอ (1) ลําดับ n n

1a =

2 มีลิมิตเทากับ 0 เขียนแทนดวยสัญลักษณ

nn

1lim = 0

2

และในขอ (2) ลําดับ na = 3 มีลิมิตเทากับ 3 เขียนแทนดวยสัญลักษณ nlim 3 = 3

เรียกลําดับอนันตที่มีลิมิตวา ลําดับลูเขา (convergent sequence)

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

an

เมื่อ มากขึ้นโดยไมมีท่ีสิ้นสุด และพจนที่ เขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง เพียงจํานวนเดียวเทานั้น แลวเรียก วา ลิมิตของลําดับ (limit of a sequence) และกลาววาลําดับนั้นมีลิมิตเทากับ และเขียนแทนดวยสัญลักษณ

(อานวา ลิมิตของลําดับ เมื่อ มากขึ้นโดยไมมีท่ีสิ้นสุด เทากับ )

12

ลิมิตของลําดบัอนันต

(3) พิจาณากราฟของลําดับ n

1a = 1+ -

2

n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na 1

2 5

4 7

8 17

16 31

32 65

64 127

128 257

256 …

เขียนลําดับไดเปน 1 5 7 17 31 65 127 257, , , , , , , , ...

2 4 8 16 32 64 128 256

รูปที่ 3

จากรูปที่ 3 จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกลเสนทึบที่ปรากฏ ซึ่งหมายความวา เมื่อ n มี

คามากขึ้นโดยไมมีท่ีสิ้นสุด พจนที่ n จะเขาใกล 1 แตจะไมเทากับ 1

ดังนั้น ลําดับ n

1a = 1+ -

2

n

เปนลําดับลูเขา และมีลิมิตเทากับ 1

เขียนแทนดวนสัญลักษณ n

1lim 1+ - = 1

2

n

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

an

13

ลิมิตของลําดบัอนันต

(4) พิจาณากราฟของลําดับ na = 2n (ลําดับคือ 2, 4, 6, 8, 10, ... )

รูปที่ 4

จากรูปที่ 4 จะเห็นวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด พจนที่ n ของลําดับจะมากข้ึนและไมเขา

ใกลจํานวนใดจํานวนหนึ่ง จึงกลาวไดวาลําดับ na = 2n ไมมีลิมิต ลําดับนี้จึงไมใชลําดับลูเขา เรียกลําดับ

อนันตที่ไมใชลําดับลูเขาวา ลําดับลูออก (divergent sequence)

(5) พิจาณากราฟของลําดับ na = -1n (ลําดับคือ -1, 1, -1, 1, -1, ... )

รูปที่ 5

จากรูปที่ 5 จะเห็นวา เมื่อ n เปนจํานวนคี่ พจนที่ n เปน -1 และ เมื่อ n เปนจํานวนคู พจนที่ n เปน 1 เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด พจนที่ n ของลําดับนี้จะไมเขาใกลคาใดคาหนึ่ง ลําดับ

na = -1n จึงไมมีลิมิต ดังนั้นลําดับนี้จึงเปนลําดับลูออก

และเรียกลําดับที่มีลักษณะของกราฟขึ้นและลงสับกันโดยไมเขาใกลจํานวนใดจํานวนหนึ่งเชนนี้วา ลําดับแกวงกวัด (oscillating sequence)

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

an

n

an

14

ลิมิตของลําดบัอนันต

จากที่กลาวมาขางตน จึงอาจกลาวถึงลําดับไดดังนี้ 1. ลําดับที่จะนํามาพิจารณาลิมิตนั้นตองเปนลําดับอนันต 2. ถากลาววา L เปนลิมิตของลําดับที่มีพจนที่ n เปน an หมายถึง เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีที่

สิ้นสุด พจนที่ n ของลําดับจะเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทานั้น และเขียนแทนดวยสัญลักษณ

nnlim a = L

3. ลําดับอนันตที่มีลิมิต เรียกวา ลําดับลูเขา สวนลําดับอนันตที่ไมมีลิมิต เรียกวา ลําดับลูออก

4. การพิจารณาวาลําดับใดจะมีลิมิตหรือไมนั้น อาจทําไดโดยการพิจารณาจากกราฟของลําดับ เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีท่ีสิ้นสุด

15

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่1 (ก)

คําชี้แจง ใหนักเรียนใส “ลูเขา” ลงใน ……… หนาหมายเลขขอในแตละขอ

เมื่อลําดับนั้นเปนลําดับลูเขา และใส “ลูออก” เมื่อเปนลําดับลูออก

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

8 ขอ

n

an

……… (1)

n

an

……… (2)

16

ลิมิตของลําดบัอนันต

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

……… (3)

……… (4)

……… (5)

n

an

n

an

n

an

17

ลิมิตของลําดบัอนันต

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14 16

……… (6)

……… (7)

……… (8)

n

an

n

an

n

an

18

ลิมิตของลําดบัอนันต

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

……… (9)

……… (10)

n

an

n

an

19

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่1 (ข)

คําชี้แจง ใหนักเรียนใส “ลูเขา” ลงใน ……… หนาหมายเลขขอในแตละขอ

เมื่อลําดับนั้นเปนลําดับลูเขา และใส “ลูออก” เมื่อเปนลําดับลูออก

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

8 ขอ

……… (1)

……… (2)

n

an

n

an

20

ลิมิตของลําดบัอนันต

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

……… (3)

……… (4)

……… (5)

n

an

n

an

n

an

21

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

……… (6)

……… (7)

……… (8)

n

an

n

an

n

an

22

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

……… (9)

……… (10)

n

an

n

an

23

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่2 (ก)

คําชี้แจง ใหนักเรียนนําคําตอบท่ีกําหนดให ใสในชองวางของแตละขอใหถูกตอง

คําตอบ 1 1 1 1

-2, -1, - , - 0, , , 1, 22 3 3 2

, หาคาไมได

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

4 ขอ

(1) ………

(2) ………

n

an

n

an

24

ลิมิตของลําดบัอนันต

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

n

an

(3) ………

(4) ………

n

an

(5) ………

n

an

25

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่2 (ข)

คําชี้แจง ใหนักเรียนนําคําตอบท่ีกําหนดให ใสในชองวางของแตละขอใหถูกตอง

คําตอบ 1 1 1 1

-2, -1, - , - 0, , , 1, 22 3 3 2

, หาคาไมได

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

4 ขอ

(1) ………

(2) ………

n

an

n

an

26

ลิมิตของลําดบัอนันต

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

(3) ………

(4) ………

(5) ………

n

an

n

an

n

an

27

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่3 (ก)

คําชี้แจง ใหนักเรียนเขียนกราฟ เพ่ือตรวจสอบดูวาลําดับอนันตใดเปนลําดับลูเขา

ลําดับใดเปนลําดับลูออก ถาเปนลําดับลูเขา ใหหาลิมิตของลําดับนั้น

1. n

1a =

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 1

2 …

ดังนั้น

n

1a =

n เปนลําดับ..........................................

และ nnlima =

..............................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0 n

an

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

4 ขอ

28

ลิมิตของลําดบัอนันต

2. n + 1

n

1a = -1

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 1

-4

…

ดังนั้น

n + 1

n

1a = -1

n เปนลําดับ........................................

และ nnlima =

.......................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0 n

an

29

ลิมิตของลําดบัอนันต

3. na = 4n - 1 ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na

…

ดังนั้น na = 4n - 1 เปนลําดับ..........................................

และ nnlima =

............................................

n 1 2 3 4 5 6 7 8 0

an

30

ลิมิตของลําดบัอนันต

4. n 2

1a = cos(nπ)

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na

…

ดังนั้น

n 2

1a = cos(nπ)

n เปนลําดับ......................................

และ nnlima =

......................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0 n

an

31

ลิมิตของลําดบัอนันต

5. n

n+1a =

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na

…

ดังนั้น

n

n+1a =

n เปนลําดับ.......................................

และ nnlima =

..........................................

n 1 2 3 4 5 6 7 8 0

an

32

ลิมิตของลําดบัอนันต

แบบฝกหัดที ่3 (ข)

คําชี้แจง ใหนักเรียนเขียนกราฟ เพ่ือตรวจสอบดูวาลําดับอนันตใดเปนลําดับลูเขา

ลําดับใดเปนลําดับลูออก ถาเปนลําดับลูเขา ใหหาลิมิตของลําดับนั้น

1. 2na = n ลําดับคือ ……………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 4 36 …

ดังนั้น

2

na = n เปนลําดับ.......................................

และ nnlima =

..........................................

n 1 2 3 4 5 6 7 8 0

an

คะแนนที่ได

................... ผานเกณฑ

4 ขอ

33

ลิมิตของลําดบัอนันต

2. n

n

2a = -1

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 1

2 …

ดังนั้น n

n

2a = -1

n เปนลําดับ........................................

และ n

nlim a =

..........................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0 n

an

34

ลิมิตของลําดบัอนันต

3. n

n

2a = -

3

ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na …

ดังนั้น

n

n

2a = -

3

เปนลําดับ..........................................

และ nnlim a =

..........................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0 n

an

35

ลิมิตของลําดบัอนันต

4. na = 10 - 3n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na …

ดังนั้น na = 10 - 3n เปนลําดับ..........................................

และ nnlim a =

..........................................

1 2 3 4 5 6 7 8 0

an

n

36

ลิมิตของลําดบัอนันต

5.

n

2n+1a =

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na …

ดังนั้น

n

2n+1a =

n เปนลําดับ.......................................

และ n

nlim a =

..........................................

n 1 2 3 4 5 6 7 8 0

an

37

ลิมิตของลําดบัอนันต

คําชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เปนแบบทดสอบชนิดเลือกตอบ 4 ตัวเลือก

มีทั้งหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน 2. ใหนักเรียนเลือกคําตอบท่ีถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว

แลวเขียน ลอมรอบตัวอักษรที่เปนคําตอบ ใชเวลา 10 นาท ี 1. ลําดับอนันตในขอใดเปนลําดับลูเขา เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

na =

4

ข. n 3

n + 1a =

n

ค. 2na = 5 - 2n + n

ง. n n-1 n-2a = a a เมื่อ 1 a 1 และ 2 a 2

2. ขอใดถูกตอง ก. ถา na = -4 แลว na หาคาลิมิตไมได

ข. ถา na = n + 2 แลว ลิมิตของ na คือ 2

ค. ถา n

n

1a =

2

แลว na เปนลําดับลูเขา

ง. ถา nn lim a = -4

แลว na เปนลําดับลูออก

คะแนนที่ได

...................

แบบทดสอบหลังการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4

ลิมิตของลําดับ

38

ลิมิตของลําดบัอนันต

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3. พิจารณาลําดับ n

n

1a = 27 -

3

เมื่อ n = 1, 2, 3, ... ตรงกับกราฟในขอใด

ก.

ข. ค. ง.

n

an

n

an

an n

n

an

39

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

4. กําหนดให กราฟที่กําหนดใหตรงกับลําดับในขอใด เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

1a = -

n

ข. n

1a =

n

ค. n n - 1

1a = -

2

ง. n n-1

1a =

2

5. ลิมิตของลําดับอนันตที่กําหนดใหเทากับเทาไร เมื่อพิจารณาจากกราฟตอไปนี้ ก. -0.2 ข. 0 ค. 0.6 ง. หาคาไมได

n

an

n

an

40

ลิมิตของลําดบัอนันต

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14 16

6. พิจารณากราฟของลําดับอนันตตอไปนี้ ลําดับใดเปนลําดับลูออก ก. ข. ค. ง.

n

an

n

an

an

n

n

an

41

ลิมิตของลําดบัอนันต

7. ลิมิตลําดับใดตอไปนี้ หาคาไมได เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n 3

2a =

n

ข. 2n

na = -1

ค. n

1a =

n + 2

ง. na = 5 - 4n 8. ขอใดกลาวถูกตอง ก. ลําดับแกวงกวัดบางลําดับเปนลําดับลูเขา ข. ลําดับลูเขาบางลําดับสามารถมีคาลิมิตไดหลายคา

ค. ลําดับลูออกทุกลําดับ เปนลําดับอนันตที่ไมมีลิมิต ง. ลําดับจํากัดทุดลําดับเปนลําดับลูเขา 9. ลําดับในขอใดเปนลําดับแกวงกวัด เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, ...

ก. n

n

1a = -

3

ข. n+1

na = -1

ค. n

na = - 3

ง. n-1

na = -2

42

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

3

6

9

12

15

18

0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 1 3 5 7 9 11 13 15

10. ลําดับอนันตในขอใดมีลิมิตเทากับ 2 ก. ข. ค. ง.

n

an

n

an

n

an

n

an

43

ลิมิตของลําดบัอนันต

บรรณานุกรม กนกวลี อุษณกรกุล และ รณชัย มาเจริญทรัพย. (2555). แบบฝกหัดและประเมินผลการเรียนรู คณิตศาสตรเพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4–6 เลม 6. กรุงเทพฯ: สํานักพิมพเดอะบุคส. กวิยา เนาวประทีป. (2547). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร: ลําดับและอนุกรม. กรุงเทพฯ:

ฟสิกสเซ็นเตอร. ทรงวิทย สุวรรณธาดา. (2555). หนังสือเรียนเสริมคณิตศาสตรเพิ่มเติม ม. 6 ภาคเรียนที่ 2.

(พิมพครั้งที่ 2). กรุงเทพฯ: แม็คเอ็ดดูเคชั่น. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม

คณิตศาสตร เลม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4–6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร. ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพครั้งที่ 6). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว.

สมัย เหลาวานิชย. (2557). Hi-ED’s Mathematics คณิตศาสตร ม. 4–6 เลม 6 (รายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม). กรุงเทพฯ: บริษัท ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จํากัด.

สํานักบริหารงานการศึกษานอกโรงเรียน. (2547). ชุดการเรียนทางไกล ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย หมวดวิชาคณิตศาสตร รหัส คณ 30 (MA 30). กรุงเทพฯ: กลุมพัฒนาสื่อและเทคโนโลยี สถาบันการศึกษาทางไกล (ศูนยการศึกษาทางไกลไทยคม).

ลิมิตของลําดบัอนันต

ภาคผนวก

ลิมิตของลําดบัอนันต

1. ข 2. ก 3. ก 4. ก 5. ข 6. ข 7. ค 8. ง 9. ค 10. ค

เฉลยเแบบทดสอบกอนการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับ

46

ลิมิตของลําดบัอนันต

คําชี้แจง ใหนักเรียนใส “ลูเขา” ลงใน ……… หนาหมายเลขขอในแตละขอ

เมื่อลําดับนั้นเปนลําดับลูเขา และใส “ลูออก” เมื่อเปนลําดับลูออก

(1) …………

(2) …………

(3) …………

(4) …………

(5) …………

(6) …………

(7) …………

(8) …………

(9) …………

(10) …………

เฉลยแบบฝกหัดที่ 1 (ก)

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูอ่อก

ลูอ่อก

ลูอ่อก

ลูอ่อก

47

ลิมิตของลําดบัอนันต

คําชี้แจง ใหนักเรียนใส “ลูเขา” ลงใน ……… หนาหมายเลขขอในแตละขอ

เมื่อลําดับนั้นเปนลําดับลูเขา และใส “ลูออก” เมื่อเปนลําดับลูออก

(1) …………

(2) …………

(3) …………

(4) …………

(5) …………

(6) …………

(7) …………

(8) …………

(9) …………

(10) …………

ลูอ่อก

ลูเ่ข้า

ลูอ่อก

ลูเ่ข้า

ลูอ่อก

ลูเ่ข้า

ลูเ่ข้า

ลูอ่อก

ลูอ่อก

ลูอ่อก

เฉลยแบบฝกหัดที ่1 (ข)

48

ลิมิตของลําดบัอนันต

คําชี้แจง ใหนักเรียนนําคําตอบท่ีกําหนดให ใสในชองวางของแตละขอใหถูกตอง

คําตอบ 1 1 1 1

-2, -1, - , - 0, , , 1, 22 3 3 2

, หาคาไมได

(1) nnlim a =

……1……

(2) nnlim a =

……….…

(3) nnlim a =

…… 1

2……

(4) nnlim a =

……0 ……

(5) nnlim a =

…… -2……

เฉลยแบบฝกหัดที่ 2 (ก)

หาคาไมได

49

ลิมิตของลําดบัอนันต

คําชี้แจง ใหนักเรียนนําคําตอบท่ีกําหนดให ใสในชองวางของแตละขอใหถูกตอง

คําตอบ 1 1 1 1

-2, -1, - , - 0, , , 1, 22 3 3 2

, หาคาไมได

(1) nnlim a =

……2……

(2) nnlim a =

……….…

(3) nnlim a =

…… -2……

(4) nnlim a =

…… 1-

2……

(5) nnlim a =

……1……

เฉลยแบบฝกหัดที ่2 (ข)

หาคาไมได

50

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

คําชี้แจง ใหนักเรียนเขียนกราฟ เพ่ือตรวจสอบดูวาลําดับอนันตใดเปนลําดับลูเขา

ลําดับใดเปนลําดับลูออก ถาเปนลําดับลูเขา ใหหาลิมิตของลําดับนั้น

1. n

1a =

n ลําดับคือ

1 1 1 1 1 1 11, , , , , , , ,...

2 3 4 5 6 7 8

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8 …

ดังนั้น

n

1a =

n เปนลําดับลูเขา

และ nnlima = 0

เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 (ก)

n

an

51

ลิมิตของลําดบัอนันต

2. n+1

n

1a = -1

n ลําดับคือ

1 1 1 1 1 1 11, - , , - , , - , , - ,...

2 3 4 5 6 7 8

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8 …

ดังนั้น

n+1

n

1a = -1

n เปนลําดับลูเขา

และ nnlima = 0

n

an

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

52

ลิมิตของลําดบัอนันต

3. na = 4n - 1 ลําดับคือ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 3 7 11 15 19 23 27 31 …

ดังนั้น na = 4n - 1 เปนลําดับลูออก

และ nnlim a

หาคาไมได

n

an

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10

53

ลิมิตของลําดบัอนันต

4. n 2

1a = cos(nπ)

n ลําดับคือ 1 1 1 1 1 1 1

-1, , - , , - , , - , ,...4 9 16 25 36 49 64

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na -1 1

4 1

-9

1

16 1

-25

1

36 1

-49

1

64 …

ดังนั้น

n 2

1a = cos(nπ)

n เปนลําดับลูเขา

และ nnlima = 0

n

an

-1.20000

-1.00000

-0.80000

-0.60000

-0.40000

-0.20000

0.00000

0.20000

0.40000

0 2 4 6 8 10

54

ลิมิตของลําดบัอนันต

5. n

n+1a =

n ลําดับคือ 3 4 5 6 7 8 9

2, , , , , , , ,...2 3 4 5 6 7 8

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 2 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

7 9

8 …

ดังนั้น

n

n+1a =

n เปนลําดับลูเขา

และ nnlima = 1

n

an

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10

55

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10

คําชี้แจง ใหนักเรียนเขียนกราฟ เพ่ือตรวจสอบดูวาลําดับอนันตใดเปนลําดับลูเขา ลําดับใดเปนลําดับลูออก ถาเปนลําดับลูเขา ใหหาลิมิตของลําดับนั้น

1. 2na = n ลําดับคือ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 1 4 9 16 25 36 49 64 …

ดังนั้น

2na = n เปนลําดับลูออก

และ nnlim a

หาคาไมได

n

an

เฉลยแบบฝกหัดที ่3 (ข)

56

ลิมิตของลําดบัอนันต

2. n

n

2a = -1

n ลําดับคือ 2 1 2 1 2 1

-2, 1, - , , - , , - , ,...3 2 5 3 7 4

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …

na -2 1 2

-3

1

2

2-

5 1

3 2

-7

1

4 …

ดังนั้น

n

n

2a = -1

n เปนลําดบัลูเขา

และ nnlim a = 0

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0 2 4 6 8 10n

an

57

ลิมิตของลําดบัอนันต

3. n

n

2a = -

3

ลําดับคือ 2 4 8 16 32 64 128 256- , , - , , - , , - , ,...

3 9 27 81 243 729 2187 6561

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 2

-3

4

9 8

-27

16

81 32

-243

64

729 128

2187 256

6561 …

ดังนั้น

n

n

2a = -

3

เปนลําดับลูเขา

และ n

nlim a = 0

n

an

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8 10

58

ลิมิตของลําดบัอนันต

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 2 4 6 8 10

4. na = 10 - 3n ลําดับคือ 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14, …

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 7 4 1 -2 -5 -8 -11 -14 …

ดังนั้น na = 10 - 3n เปนลําดบัลูออก

และ n

nlim a

หาคาไมได

an

n

59

ลิมิตของลําดบัอนันต

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.

n

2n+1a =

n ลําดับคือ ……………………………………………………………….

n 1 2 3 4 5 6 7 8 … na 3 5

2 7

3 9

4 11

5 13

6 15

7 17

8 …

ดังนั้น

n

2n+1a =

n เปนลําดับลูเขา

และ n

nlim a = 2

n

an

60

ลิมิตของลําดบัอนันต

1. ข 2. ค 3. ก 4. ข 5. ค 6. ก 7. ง 8. ค 9. ข 10. ก

เฉลยแบบทดสอบหลังการใชแบบฝกทักษะ เลมที่ 4 ลิมิตของลําดับ

61