Post on 06-Jan-2016
description
A logaritmus fogalma
Műveletek logaritmussal
Készítette:
2
A logaritmus fogalma
• A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk, ahol :
• Jele:
0;1;0 bésaa
balogAz a-t a logaritmus alapjának,A b-t a logaritmus numeruszának szoktuk elnevezni.
balogHa létezik: ba ba log
3
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?10lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja:10
Mivel 101 =10, ezért a definíció értelmében az 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 10-et.
110lg
LOGDef.
4
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?100lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja:10
Mivel 102 =100, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 100-at.
2100lg
LOGDef.
5
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?1,0lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja:10
Mivel 10-1 =0,1, ezért a definíció értelmében a -1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 0,1-t.
11,0lg
LOGDef.
6
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?1lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja: 10
Mivel 100 =1, ezért a definíció értelmében a 0 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az 1-t.
01lg
LOGDef.
7
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?1000lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja: 10
Mivel 103/2 = , ezért a definíció értelmében a 3/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.
5,11000lg
LOGDef.
Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát!
1000 2
1310 2
3
10
1000
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?10lg 2
3
1000
8
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?100lg 3
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja: 10
Mivel 10 2/3 = , ezért a definíció értelmében a 2/3 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.
3
2100lg 3
LOGDef.
Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát!
3 100 31
210 3
2
10
3 100
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?10lg 3
2
3 100
9
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?1,0lg
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja: 10
Mivel 10 -1/2 = , ezért a definíció értelmében a -1/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.
2
11,0lg
LOGDef.
Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát!
1,0 2
1110 2
1
10
1,0
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?10lg 2
1
1,0
10
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?2lg A logaritmus alapja: 10
1505,02lg
2A nem írható fel pontosan 10 hatványaként. Ha mégis megpróbálnánk, akkor újabb ilyen jellegűlogaritmusok értékeit kellene kiszámítanunk.
Ilyenkor számológéppel, vagy függvénytáblázat segítségével célszerű meghatározni a közelítő értéket!
Vagyis:
210 1505,0
11
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?2log2
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja: 2
Mivel 21 =2, ezért a definíció értelmében a 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 2-t.
12log2
LOGDef.
12
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?4log2
Induljunk ki a logaritmus definíciójából!
A logaritmus alapja: 2
Mivel 2 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 2-re emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, a -t.
24log2
LOGDef.
Alakítsuk 2 hatványára a logaritmus numeruszát!
4 22
4
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?2log 22
4
13
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?9
1log3
Induljunk ki a logaritmus definíciójából!
A logaritmus alapja: 3
Mivel 3 -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 3-ra emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, az -t.
29
1log3
LOGDef.
Alakítsuk 3 hatványára a logaritmus numeruszát!
9
1 23
9
1
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?3log 23
9
1
14
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?4log2
Induljunk ki a logaritmus definíciójából:
A logaritmus alapja:
Mivel ezért a definíció értelmében a 4 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a -t emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 4 -t.
44log2
LOGDef.
Alakítsuk hatványára a logaritmus numeruszát!
4 42
424
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?2log4
2
2
22
15
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?25log5
1
Induljunk ki a logaritmus definíciójából!
A logaritmus alapja: 1/5
Mivel (1/5) -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/5-re emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.
225log5
1
LOGDef.
Alakítsuk 1/5 hatványára a logaritmus numeruszát!
252
5
1
25
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?5
1log
2
5
1
25
16
Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
?9
1log
3
1
Induljunk ki a logaritmus definíciójából!
A logaritmus alapja: 1/3
Mivel (1/3) 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/3-ra emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az -t.
29
1log
3
1
LOGDef.
Alakítsuk 1/3 hatványára a logaritmus numeruszát!
9
1 2
3
1
9
1
Vagyis a feladat átírható a következő módon:
?3
1log
2
3
1
9
1
17
A logaritmusok azonosságai
yxyx aaa logloglog yxyx aaa loglog:log
Azonos alapú logaritmusok:
xnx an
a loglog
xn
xx an
an
a log1
loglog1
1log aa01log a
Különböző alapú logaritmusok
1loglog ab ba b
xx
a
ab log
loglog
0;0;1;10;:. yxbaésbafelt
Legutóbbi diára
18
Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
dcbax lglglglglg Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok
Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!
10;;:logloglog
10;;logloglog
ayxayxyx
ayxayxyx
aaa
aaa
cd
abx lglg
cd
abx
19
Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
dcbax lg3
2lg5,0lg3lg2lg
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!
10;;:
logloglog
ayxayxyx aaa
3
23
2
12
lglg
db
cax
3
23
2
12
db
cax
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést!
10;;loglog aésxaxxn naa
3
2
2
132 lglglglglg dcbax
20
Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
dcbax lglg3lg2lglg
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
1321lglg dcbaxdcab
x32
1
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
1321 lglglglglg dcbax
21
Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
dcbax lglglglg
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
132lg dcbaxbcd
ax lg
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
111 lglglglglg dcbax
22
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
11lg3lg2lg a
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
119lglg a 99a
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
11lg3lglg 2 a
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
23
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
9lg2
34lg
2
1lg b
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!
10;;:logloglog ayxayxyx aaa
27:2lglg b27
2b
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
2
3
2
1
9lg4lglg b
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
27lg2lglg bA hatványok kiszámolása után:
24
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
5lg227lg3
18lg
3
2lg c
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
253
14lglgc
3
100c
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
23
1
3
2
5lg27lg8lglg
c
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
25lg3
1lg4lglg cA hatványok kiszámolása után:
25
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
3lg2
15lg
2
16lg15lg
2
1lg d
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!
10;;:logloglog
10;;logloglog
ayxayxyx
ayxayxyx
aaa
aaa
5
3615lglg
d
5
3635 c
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
3lg5lg6lg15lglg d
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
18c
26
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
15lg4,2lglg xAlkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
154,2lglg x36lglg x
36xAz azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
27
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
18lg12lg2lg x
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!
10;;:logloglog ayxayxyx aaa
18:144lglg x8lglg x8x
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
18lg12lglg 2 x
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
28
Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
2lg35lg2lg x
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
825
1lglg x
25
8lglg x
25
8x
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa
32 2lg5lglg x
Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.
29
Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
• A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.
65lg vagy 6lg5lg 10;;logloglog ayxayxyx aaa
65lg vagy 65lg Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket!
A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt:
30lg11lg Azaz: 6lg5lg65lg
30
Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
• A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.
22lg vagy 2lg2lg 10;;logloglog ayxayxyx aaa
22lg vagy 22lg Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket!
A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt:
4lg4lg Azaz: 2lg2lg22lg
31
Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
• A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.
33lg vagy 3lg3lg 10;;logloglog ayxayxyx aaa
33lg vagy 33lg Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket!
A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt:
9lg6lg Azaz: 3lg3lg33lg
32
Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
?10 2lg7lg
LOGDef.
Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!
2
7lg2lg7lg 1010
10;;:logloglog ayxayxyx aaa
ba ba log
2
710 2
7lg
Vagyis:
2
710 2lg7lg
33
Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
?5 7log2log 55
LOGDef.
Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!
72log7log2log 555 55 10;;logloglog ayxayxyx aaa
ba ba log 145 14log5
Vagyis: 145 7log2log 55
34
Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
?3 4log5log8log 333
LOGDef.Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!
4
58log
4log5log8log 3333 33
10;;:logloglog
10;;logloglog
ayxayxyx
ayxayxyx
aaa
aaa
ba ba log 103 10log3
Vagyis: 103 4log5log8log 333
35
Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
?4 9log3log 24
LOGDef.Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!
2444 93log9log23log 44 10;;logloglog ayxayxyx aaa
ba ba log
2434 243log4 Vagyis:
Térjünk át a kitevőben a 2 alapról 4-es alapú logaritmusra a logaritmus alapváltásra vonatkozó összefüggéssel, hogy azonosak legyenek a logaritmusok alapjai
9log2b
xx
a
ab log
loglog
2log
9log
4
4 2
1
4
4
4log
9log
5,0
9log4 9log2 4
Ekkor az eredeti feladat átírható: ?4 9log23log 44
2434 9log3log 24
36
Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
?5 9log2log6 25125
LOGDef.Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!
34log3log4log 555 55 10;;logloglog ayxayxyx aaa
ba ba log
125 12log5 Vagyis:
Térjünk át a kitevőben az 5 alapú logaritmusokra!
2log6 125
b
xx
a
ab log
loglog
125log
2log6
5
5 3
5
5
5log
2log6
3
2log6 5 2log2 5
Ekkor az eredeti feladat átírható: ?5 3log2log2 55
125 9log2log6 25125
9log 25 25log
9log
5
5 2
5
5
5log
9log
2
9log5 2
1
5 9log 3log5
37
Logaritmikus egyenletek
38
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
ba ba log
1log2 3 x
Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához!
A logaritmusnak akkor van értelme, ha
01x
1log2 333 x
19 xx8 Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz
1x
39
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
ba ba log
23log2
1 x
Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához!
A logaritmusnak akkor van értelme, ha
03 x
23log
2
1
2
1 2
1
x
43 x1x Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz
3x
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
24lg3lg2lg xx
A logaritmusoknak akkor van értelme, ha
2423 xx
5x Ez a megoldás a feltétel-nek is eleget tesz.
2x2x és 3x Azaz a kettő feltételEgyütt:
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! 10;;logloglog ayxayxyx aaa
24lg23lg xxBontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!
2462 xx 0302 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:
2
120112;1
x
2
111
6xEz a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
12log4log 33 xx
A logaritmusoknak akkor van értelme, ha
324 xx
5x Ez a megoldás a feltétel-nek is eleget tesz.
4x4x és 2x Azaz a kettő feltételEgyütt:
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot!
10;;logloglog ayxayxyx aaa
24log3 xxBontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!
3862 xx 0562 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:
2
51466 2
2;1
x
2
46
1xEz a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.
És az 1-et írjuk fel 3 alapú logaritmus kifejezésével3log3
Hivatkozott azonosság
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
95lg x
95lg4lg3lg xxx
A logaritmusoknak akkor van értelme, ha
9543 xxx
7x Ez a megoldás a feltétel-nek is eleget tesz.
3x3x és 4x Azaz a három feltétel
Együtt:
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot!
43lg xx
Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!
95122 xxx 02142 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:
2
211444 2
2;1
x
2
104
3xEz a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.
Hivatkozott azonosság
5
9x
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
10lg
12log13log 55 xx
A logaritmusoknak akkor van értelme, ha
102
13
x
x
3x
3
1x
3
1x és 2x
Azaz a két feltétel együtt:
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó azonosságot!
2
13lgx
x Írjuk fel az 1-t 10 alapú logaritmus kifejezésével
21013 xx201013 xx
x721Ez a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.
Hivatkozott azonosság
Nincs megoldása az egyenletnek
Feltételek:
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
12log105log 57 xx
2x és 2xAzaz a két feltétel együtt:
Az egyenlet értelmezési tartománya üres halmaz, ezért nincs megoldása az egyenletnek
0x
Feltételek:
Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán a következő egyenletet!
165log 27 xx
0652 xxEbből következik, hogy 2x
Feltételek:
vagy 3x2
61455 2
2;1
x
3x
2x
Írjuk fel az 1-t 7 alapú logaritmus segítségével!
7log65log 72
7 xx
7652 xx0152 xx
/ -7
2
11455 2
2;1
x
2
295 Ez megoldása a feladatnak, merta megoldás pozitív
2
295 Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás negatív. 295
Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!
165log 220 xx
0652 xxEbből következik, hogy 2x
Feltételek:
vagy 3x2
61455 2
2;1
x
3x
2x
Írjuk fel az 1-t 20 alapú logaritmus segítségével!
20log65log 202
20 xx
20652 xx01452 xx
/ -20
2
141455 2
2;1
x
7Ez megoldása a feladatnak, merta megoldás természetes szám,és a feltételnek is eleget tesz
2 Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás nem természetes szám.
N 2
Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!
37log42log 32 xx
2x és 7xAzaz a két feltétel együtt:
72 xFeltételek:
A szóba jöhető megoldások: 3; 4; 5; 6
Ezek közül csak a 4 lehet a feladat megoldása.
48
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
központi érettségi 1990/A/7. (14 pont)
1
5
5
5log
4log x
44log2log4log 2,03
55 xxx
A logaritmus értelmezéséből következő feltételek:
4x 26,123 x 4x4x
A 4log 2,0 x átírható 5 alapú logaritmusok hányadosaként:
4log5
1 x
51
log
4log
5
5 x 1
4log5
x
Azaz: 4log 2,0 x 4log5 xAzaz, az eredeti egyenlet felírható a következőképen:
44log2log4log 53
55 xxx
49
42log 3
5x
Vagyis az összevonások elvégzése után a feladat:
A logaritmus definíciója szerint:
43 52x
2523 xA hatványozás elvégzése után:
| +2
273 x3x Lenne az egyenlet megoldása, de
43 Vagyis x=3 nem tesz eleget a logaritmus létezésének feltételének
Nincs megoldása az egyenletnek