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Alexandre Luís Trovon de Carvalho Lourisnei Fortes Reis
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77Os livros de Matemática da coleção Interativa
apresentam os conteúdos de modo inovador, possibilitando a construção do conhecimento
matemático de forma signifi cativa, prática e contextualizada.
Nos quatro volumes, a Matemática é relacionada a problemas atuais e aos interesses dos alunos, por meio da apresentação de situações de investigação nas quais o uso de ferramentas matemáticas é indispensável. Assim, as ideias e os conceitos são aplicados a fi m de satisfazer essa necessidade.
A proposta inova ao introduzir as funções e o estudo da geometria em todos os anos escolares. Além disso, estão disponíveis desafi os, projetos e atividades complementares que favorecem a compreensão e o aprofundamento do conhecimento matemático.
MATEMÁTICA
LIVRO DO PROFESSOR
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Casa Publicadora BrasileiraTatuí, SP
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
Alexandre Luís Trovon de Carvalho Lourisnei Fortes Reis
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C. Qualidade Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, sem prévia autorização escrita do autor e da Editora.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Carvalho, Alexandre Luís Trovon deMatemática, 7 / Alexandre Luís Trovon de
Carvalho, Lourisnei Fortes Reis. – 6. ed. – Tatuí, SP : Casa Publicadora Brasileira, 2015.
Suplementado pelo Livro do professor.ISBN 978-85-345-2172-7 (aluno)ISBN 978-85-345-2173-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Reis,
Lourisnei Fortes. II. Título.
15-00316 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Alexandre Luís Trovon de Carvalho
• Graduado em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP• Mestre em Matemática Aplicada pela Unicamp – Campinas – SP• Doutor em Matemática pela Unicamp – Campinas – SP
Lourisnei Fortes Reis
• Graduado em Ciências com Habilitação em Matemática pela Unijuí – Ijuí – RS
• Graduado em Pedagogia pela Famo – São Paulo – SP
Autores |Direitos de publicação reservados àCasa Publicadora BrasileiraRodovia SP 127 – km 106Caixa Postal 34 – 18270-970 – Tatuí, SPTel.: (15) 3205-8800 – Fax: (15) 3205-8900Ligação Gratuita: 0800-112710E-mail: sac.didaticos@cpb.com.br
Gerência de DidáticosAlexander DutraCoordenação PedagógicaCarmen Souza
Coordenação EditorialAdriana TeixeiraEditoraçãoCristhiane Chagas e Fernanda Loiola BarbosaRevisãoCecília Ortolan e Priscila Rostirolla
Projeto Gráfico e CapaEnio Scheffel Jr., Fernando Lima e Sandra Ferreira BarbosaImagens da CapaFotoliaProgramação VisualLeonardo Alves e Rone SouzaIlustraçõesIlustra Cartoon
Consultoria PedagógicaAntonio Marcos AlvesCarlo Magnus Melo BergamaschiRodrigo Augusto Santos Silva
IMPRESSO NO BRASIL/Printed in Brazil6a edição – 1a impressão2015
5a edição – 1a impressão2015
Tipologia: Cronos Pro Light, 13/17 – 7079/29486 (A) – 7080/29490 (P)
Conheça nossa linha completa de materiais didáticos – da Educação Infantil ao Ensino Médio – e de literatura infantojuvenil.
Acesse: cpbeducacional.com.brLigue: 0800-112710
Filial Brasília, DF Fone: (61) 3321-2021
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APRESENTAÇÃO
Oi, colega!
Junte-se a nós! Nossa aventura pela Matemática continua, e queremos
que você participe dela conosco. Ao estudar com esta cole-ção, você vai se deparar com situações intrigantes que o(a) ajudarão a conhecer mais sobre o mundo em que vivemos e a entender como a Matemática aparece nas mais diversas circunstâncias do dia a dia. No fim de cada unidade, você en-contrará uma atividade especial, em que poderá aplicar os co-nhecimentos que adquiriu às mais variadas áreas, tais como: ecologia, meio ambiente, artes, entre outras. Lembre-se de que você não estará sozinho(a) nessa aventura. Seus colegas de classe e seu professor estarão ao seu lado!
Descubra!Junto com o professor Roberval, você fará grandes desco-
bertas. Ele sempre estará por perto para dar uma mãozinha com dicas e explicações. Você explorará a matemática das abelhas, observará como os conhecimentos matemáticos facilitam o nosso cotidiano e muito mais. Alguns assuntos aparecerão diversas vezes nessa jornada a fim de relembrar o que você já viu e abrir caminho para aquisição de novos saberes. Você também poderá partilhá-los com os colegas por meio de trabalhos em grupo. Isso porque a matemática é algo que as pessoas aprendem e descobrem juntas.
Divirta-se! Esperamos que essa aventura seja divertida e prazerosa.
Muitos jogos e atividades interessantes são apresentados para que você sinta prazer em aprender. Você construirá suas próprias obras de arte e solucionará vários desafios. Lembre-se: aprender pode ser muito divertido, mas exige tempo e esforço. Mais que isso, requer o pensar constan-te. Esperamos que você aprenda e pense bastante! Faça da mente seu laboratório e mãos à obra!
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UNIDADE 1Capítulo 1 – Números ������������������������ 6
1. Múltiplos e máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Critérios de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Múltiplos comuns e operações
com frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. Multiplicação e divisão de frações . . . . . . . . . . 35 7. Multiplicação e divisão de decimais . . . . . . . . . 41 Ciências – A matemática das abelhas . . . . . . . . . 49
Capítulo 2 – Um mundo de formas geométricas ������������������������������������� 52
1. Representações e decomposições . . . . . . . . . . . 52 2. Olhando de maneiras diferentes . . . . . . . . . . . . 59 3. Experiências com sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4. Contornos e polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5. Paralelas e perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6. Medindo e utilizando ângulos . . . . . . . . . . . . . . 78 7. Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Cidadania – Brasileiros em Ruanda . . . . . . . . . . . . 94
Capítulo 3 – Números negativos ����������� 95 1. O que são números negativos? . . . . . . . . . . . . . . 952. Representação de números negativos . . . . . . . 102 3. Somando e subtraindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4. Multiplicando e dividindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Saúde – Alimentos e suas calorias . . . . . . . . . . . . . 119 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
UNIDADE 2 Capítulo 4 – Expressões e equações ������122
1. Modelos para expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2. Sentenças envolvendo letras . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3. Equações – Que bichos são esses? . . . . . . . . . . 132 4. Sistemas – Tentativa e erro . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Criptografia – A matemática dos códigos . . . . . 144
Capítulo 5 – Funções e gráficos ������������145 1. Pontos e coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2. Representação cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3. Forma algébrica das funções . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Cidadania – Funções no dia a dia . . . . . . . . . . . . . 168 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
UNIDADE 3 Capítulo 6 – Tudo nas devidas proporções ��������������������������������������� 174
1. Grandezas e relações entre elas . . . . . . . . . . . . . 174 2. Funções e grandezas diretamente
proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3. Fotos, mapas e plantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4. Proporções que variam inversamente . . . . . . . 191 5. Equações, proporções e regra de três . . . . . . . . 196 Ciências – As proporções do corpo . . . . . . . . . . . 202 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
UNIDADE 4Capítulo 7 – Medindo superfícies e volumes �210
1. Calculando a área de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2. Blocos e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3. Calculando o volume de blocos . . . . . . . . . . . . . 225 Ciências – Deslocamento e volume . . . . . . . . . . . 231
Capítulo 8 – Tratamento da informação ���232 1. Porcentagem na análise de informações . . . . . 232 2. Moda, mediana e ferramentas para
a análise de informações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 3. Pictogramas e gráficos de setores . . . . . . . . . . . 246 Cidadania – Expectativa de vida . . . . . . . . . . . . . . 255 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Atividades complementares ��������������� 259Glossário ��������������������������������������� 289Referências ������������������������������������� 293Material de apoio ����������������������������� 297
SUMÁRIO
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1UNIDADEUNIDADEUNIDADE
TEMAS DESTA UNIDADE
ü Múltiplos e divisores de um número
ü Múltiplos comunsü Operações com frações e
números decimaisü Representações e
decomposições de formas geométricas
ü Retas perpendiculares, paralelas e oblíquas
ü Simetria de rotação, translação e refl exão
ü Representação de números negativos
ü Operações com números negativos
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1. MÚLTIPLOS E MÁQUINAS Na natureza, diversas formas seguem padrões.
Elas se organizam de maneira regular, seguindo princípios que podem ser geométricos ou numé-ricos. Recentemente, descobriu-se que alguns tu-mores se desenvolvem mais ou menos de acordo com certas regras matemáticas. Por essa razão, hoje os cientistas estudam propriedades de for-mas geométricas, chamadas fractais, buscando um diagnóstico mais rápido e preciso para esses tipos de câncer.
A. L
. T. C
.
Fractal produzido em computador.
Por meio da ideia de máquinas e funções, este estudo tem por objetivo construir a sequência de múltiplos de um dado número explorando o fato de que essa sequência é infi nita.
O que são fractais? Essa fi gura colorida é bem legal, mas
não me diz muita coisa...
Fractais são formas geométricas
construídas de acordo com determinada regra, como
uma sequência.
Nas situações a seguir, conheceremos alguns fractais.
1 NÚMEROS
Na página 13 das “Orientações ao Professor”, as atividades 1, 2 e 3 exploram as regularidades, a multiplicação e o uso de calculadora.
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Situação 1 Partindo de um triângulo, podemos formar a
sequência abaixo.
fi gura 1 fi gura 2 fi gura 3
Você saberia dizer como essa sequência foi formada? Confi ra o processo passo a passo.
1. Desenhamos um triângulo equilátero (fi gura 1).2. Marcamos a metade do comprimento de
cada lado e unimos esses pontos formando um triângulo menor. Retirando esse triângulo, obte-mos a fi gura 2.
3. Repetimos o que foi feito no passo anterior para cada um dos triângulos formados, obtendo a fi gura 3.
Podemos repetir o passo 2 para os triângulos
pequenos da fi gura 3?
Claro que sim! Dessa forma, obteremos um total de 27 triângulos
na nova fi gura.
Observando a fi gura 3, podemos determinar o próximo termo (fi gura 4).
fi gura 3 fi gura 4
Podemos também associar uma sequência numérica à sequência de fi guras contando o nú-mero de triângulos em cada etapa.
1 3 9 27
Sendo assim, o número de triângulos em cada etapa é dado pela seguinte sequência numérica:
1, 3, 9, 27
Você é capaz de descobrir qual é o próximo termo da sequência? Afi nal, quantos triângulos a próxima fi gura terá? A próxima fi gura terá 81 triângulos.
Situação 2Na máquina abaixo, todo número colocado
na entrada sai multiplicado por 5. Assim, dize-mos que a regra dessa máquina é “×5” (vezes 5). Inserindo o número 3, por exemplo, o resultado obtido será 15; colocando 10, o resultado será 50, e assim por diante.
5Ro
gério
Chi
mel
lo
Os valores de entrada e saída podem ser re-presentados por meio de uma tabela ou de es-quemas, conforme demonstrado a seguir.
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5
Entrada Saída
0 0
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
entrada saída
1 5
2 10
3 15
5
5
5
5
Na entrada da máquina, inserimos os núme-ros 0, 1, 2, 3, 4, e assim respectivamente. Na saída, é observada a seguinte sequência:
0, 5, 10, 15, 20, ...
Os números que saem da máquina apresen-tam intervalos de 5 em 5. E não é só isso: todo elemento dessa sequência é o resultado da mul-tiplicação de algum número inteiro por 5. Desse modo, dizemos que ela é a sequência dos múl-tiplos de 5, ou seja, cada um de seus elementos é um múltiplo de 5.
número procurado 5 235
Observe que a função ÷5 desfaz aquilo que é feito por 5 . Dessa forma, podemos deter-minar o número procurado:
235número
procurado
5
÷5
Efetuando a divisão, descobrimos que 235 ÷ 5 = 47. Portanto, o número procurado é 47.
Descobrimos também que 235 é o resultado da multiplicação de 47 por 5, isto é, ele é múltiplo de 5. Agora, façamos um teste com o número 238. Você saberia dizer se ele é múltiplo de 5?Não, pois 238 não é divisível por 5.
Para saber se 235 é múltiplo de 5,
devemos verifi car se existe algum número inteiro que, ao ser colocado na entrada da função
5 , tem como resultado 235.
Mas como saber se um número é múltiplo de 5? Por exemplo, 235 é
múltiplo de 5?
ATIVIDADES
1 Observe as etapas na construção da sequência a seguir, em que foram utilizados palitos de fósforo.
etapa 1 etapa 2 etapa 3
Quantos palitos de fósforo serão necessários para formar o elemento da próxima etapa?
11 13 15
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2 Em um restaurante, as mesas e as cadeiras podem ser organizadas formando a seguinte sequência:
a) Complete a tabela de acordo com a sequência encontrada.
Número de mesas Número de cadeiras
1 4
2 6
3 8
4 10
5 12
b) Quantas cadeiras estarão disponíveis para 10 mesas, organizadas conforme a sequência?
16 20 22
3 Observe o número de bolinhas de cada etapa da sequência abaixo.
1 3 6 10 15
a) Quantas bolinhas o próximo elemento da sequên-cia terá?
18 21 30
b) Sem desenhar, tente descobrir como o número de bolinhas aumenta de uma etapa para a seguin-te. Converse com seus colegas a respeito disso.
A diferença entre um termo e o seu anterior
aumenta de 1 em 1. Sendo assim, 3 – 1 = 2,
6 – 3 = 3, 10 – 6 = 4, 15 – 10 = 5, formando a
sequência 2, 3, 4, 5 a partir do resultado dos
termos.
4 Encontre a sequência de múltiplos dos números a seguir.
a) 2 = 0, 2, 4, 6, 8, …
b) 5 = 0, 5, 10, 15, …
c) 9 = 0, 9, 18, 27, 36, …
d) 10 = 0, 10, 20, 30, …
e) 11 = 0, 11, 22, 33, …
5 Preencha a tabela.
Sim Não
140
é múltiplo de
8? X
336 7? X
868 6? X
315 9? X
Junte-se a 2 ou mais colegas para realizar as ativi-dades 6, 7 e 8.
6 Algumas vacas estão pastando em um campo. Cada uma delas carrega três sinos no pescoço. Contando os sinos das vacas, o resultado poderá ser 53? Poderá ser 51? Expliquem a resposta.
O resultado não poderá ser 53, pois esse número
não é múltiplo de 3. Mas poderá ser 51, já que 3 · 17 = 51.
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