คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 7)

การกระจายสมบรณ 2

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (การกระจายสมบรณ 2) หมวด เนอหา ตอนท 7 (7/14) หวขอยอย 1. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) 2. ความแปรปรวน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถวดการกระจายสมบรณ โดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ 2. สามารถหาความแปรปรวนของขอมลทไมแจกแจงความถ

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและระบความส าคญของสวนเบยงเบนมาตรฐานได 2. อธบายความหมายและระบความส าคญของความแปรปรวนได 3. อธบายสมบตและอธบายความสมพนธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนได 4. ค านวณสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลทไมแจกแจงความถได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ)

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) ในสอตอนน เราจะศกษาเรองการวดการกระจายของขอมลตอจากตอนทแลว โดยการกระจายทจะศกษาในตอนนคอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน ในกรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ

ผสอนควรแสดงวธพสจนการเทากนของทงสองสตรของสวนเบยงเบยมาตรฐานของตวอยาง หลงจากทนกเรยนไดลองฝกคด

พสจน 2 22

1 1

n n

i i

i i

X X X nX

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

2 2

2

1 1

22

1 1 1

2 22

1

2

2

2

n n

i i i

i i

n n n

i i

i i i

n

i

i

X X X X X X

X X X X

X nX nX

22

1

n

i

i

X nX

#

นกเรยนควรไดฝกค านวณการหาสวนเบยงเบนมาตรฐานทงสองประเภท โดยผสอนใหตวอยางเพมเตมตอไปน ตวอยาง

1. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร 100, 110, 105, 103, 107,117 2. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง 100, 110, 105, 103, 107,117

วธท า

1. 100 110 105 103 107 117107

6

2 2 2 2 2 2

100 107 110 107 105 107 103 107 107 107 117 107

6

49 9 4 16 0 100

6

5.45

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

2. 100 110 105 103 107 117107

6X

2 2 2 2 2 2

100 107 110 107 105 107 103 107 107 107 117 107. .

6 1

49 9 4 16 0 100

5

S D

5.97 #

ตวอยางตอไปนเปนการฝกฝนผเรยนแกปญหาโจทยทมความผดพลาดจากการบนทกขอมล ตวอยาง ในการส ารวจราคาหนของบรษทใหมแหงหนง ทเปดใหซอขายในตลาดหนได 20 วน พบวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหนคอ 50 และ 10 บาท ตามล าดบ ตอมาพบวาบนทกราคาในวนท 5 ผดไป โดยบนทกราคา 60 บาท เปน 70 บาท จงหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตองของราคาหนบรษทน วธท า ให 1 2 20, ,...,X X X คอราคาหนในวนท 1,2,..., 20 ตามล าดบ โดยท 5 70X

ดงนน

20

1 5020

i

i

X

20

1

1000i

i

X

และ 2

202

21 50 10020

i

i

X

20

2

1

52000i

i

X

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

แตถาเราแกไขคา 5X จาก 70 เปน 60 เราจะไดวา

20

1

1000 70 60 990i

i

X

และ 20

2 2 2

1

52000 70 60 50700i

i

X

ท าใหคาเฉลยเลขคณตทถกตองคอ

99049.5

20 บาท

และสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตองคอ

250700

49.520

84.75

9.21 #

จากตวอยางขางตน เปนการแกไขขอมลทมการอานผด 1 คา เราอาจใชแนวคดเดยวกนน แกไขปญหาในกรณทเราอานขอมลผดหลายคาไดเชนกน ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง ในการส ารวจราคาหนของบรษทใหมแหงหนงทเปดใหซอขายในตลาดหนได 20 วน พบวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหนคอ 50 และ 10 บาท ตามล าดบ ตอมาพบวา

บนทกราคาในวนท 5 ผดไป โดยบนทกราคา 60 บาท เปน 70 บาท และ บนทกราคาในวนท 10 ผดไป โดยบนทกราคา 80 บาท เปน 60 บาท

จงหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานประชากรทถกตองของราคาหน ตวอยาง ในการส ารวจราคาหนของบรษทใหมแหงหนงทเปดใหซอขายในตลาดหนได 20 วน พบวาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรราคาหนคอ 50 และ 10 บาท ตามล าดบ ตอมาพบวา

บนทกราคาในวนท 5 ผดไป โดยบนทกราคา 60 บาท เปน 70 บาท บนทกราคาในวนท 10 ผดไป โดยบนทกราคา 80 บาท เปน 60 บาท และ บนทกราคาในวนท 15 ผดไป โดยบนทกราคา 40 บาท เปน 50 บาท

จงหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรทถกตองของราคาหน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ตวอยางการพสจนสมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ให 1 2, ,..., NX X X เปนประชากรทมคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน จงพสจนวา สวนเบยงเบนมาตรฐานของ 1 2, ,..., NcX cX cX เปน c พสจน เนองจากคาเฉลยเลขคณตของ 1 2, ,..., NcX cX cX คอ c ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของ 1 2, ,..., NcX cX cX คอ

2 22

1 1

2

1

N N

i i

i i

N

i

i

cX c c X

N N

X

cN

c #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

ผสอนอาจยกตวอยางเพอใหนกเรยนเหนถงการใชสมบตของคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานไดมากขน ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง บรษทแหงหนงจายโบนสพนกงาน โดยก าหนดใหจาย 6 เทาของเงนเดอน รวมกบเงนพเศษอก 10000 บาทตอคน ถาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของเงนเดอนมคาเทากบ 20000 บาท และ 5000 บาท ตามล าดบ ขอความตอไปนขอใดถกตอง

1. นาย ก มเงนเดอน 25000 บาท จะไดรบโบนส 160000 บาท 2. คาเฉลยเลขคณตของโบนสคอ 130000 บาท 3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของโบนสคอ 30000 บาท 4. สวนเบยงเบนมาตรฐานของโบนสคอ 40000 บาท

เฉลย 1. ถก 2. ถก 3. ถก 4. ผด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

2. ความแปรปรวน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

2. ความแปรปรวน

ผสอนอาจเพมทกษะการค านวณใหกบผเรยน ดวยตวอยางตอไปน ตวอยาง จงหาความแปรปรวนของสวนสงของประชากร 10 คน ทประกอบดวย 150, 160, 155, 156, 164, 170, 174, 186, 180, 175 เซนตเมตร

วธท า 150 160 155 156 164 170 174 186 180 175

10

1670

10

167 เซนตเมตร

102

2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

167

10

17 7 12 11 3 3 7 19 13 8

10

1264

10

i

i

X

126.4 เซนตเมตร 2 #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

แบบฝกหดเพมเตม 1. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของตวอยางตอไปน

110, 100, 120, 138, 142

2. จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของประชากรตอไปน 110, 100, 120, 138, 142

3. ในการสมตวอยางจงหวดในภาคอสานเพอส ารวจปรมาณน าฝน เราไดขอมลดงตอไปน

จงหวด ปรมาณน าฝน (มลลเมตร) ขอนแกน

นครราชสมา ชยภม รอยเอด หนองคาย อดรธาน

1200 800

1500 1100 1000 1000

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานตวอยางของปรมาณน าฝน

4. ครอบครวหนงมบตร 3 คน อาย 15, 18, 21 ป ตามล าดบ จงหาความแปรปรวนของอายบตรของครอบครวน ในอก 5 ปขางหนา

5. บรษทแหงหนงมสตรในการจายโบนสพนกงาน คอ 2 เทาของเงนเดอนบวกดวย 2000 บาท ถาเงนเดอนของพนกงานในบรษทแหงนมความแปรปรวน 500 บาท 2 จงหาความแปรปรวนของโบนส

6. ในการส ารวจรายไดของประชากร 10 คน พบวามคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 2000 บาท และ 400 บาท 2 ตามล าดบ ตอมาภายหลงทราบวาไดบนทกรายไดของนาย ก ผดไป โดยนาย ก มรายได 1800 บาท แตบนทกเปน 2000 บาท จงหาความแปรปรวนทถกตองของขอมลชดน

7. ในการส ารวจรายไดของตวอยาง 10 คน พบวามคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 2000 บาท และ 400 บาท 2 ตามล าดบ ตอมาภายหลงทราบวาไดบนทกรายไดของนาย ก ผดไป โดยนาย ก มรายได 1800 บาท แตบนทกเปน 2000 บาท จงหาความแปรปรวนทถกตองของขอมลชดน

8. ในการส ารวจรายไดของประชากร 10 คน พบวามคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 2000 บาท และ 400 บาท 2 ตามล าดบ ตอมาภายหลงทราบวาไดบนทกรายไดของนาย ก ผดไป โดยนาย ก มรายได 1800 บาท แตบนทกเปน 2000 บาท และ บนทกรายไดของนาย ข ผดไป โดยนาย ข มรายได 1900 บาท แตบนทกเปน 1800 บาท จงหาความแปรปรวนทถกตองของขอมลชดน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

9. ขอมลชดหนง (ประชากร) ประกอบดวย 3,5,10, ,15a และมคาเฉลยเลขคณต 10 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน

10. จงหาคา a ของขอมลในขอ 9 โดยทเราทราบเพยงแตวาขอมลดงกลาวมความแปรปรวนเทากบ 17.84 และ a เปนจ านวนเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

สรปสาระส าคญประจ าตอน

สาระหลกของสอตอนน คอ การหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของขอมลไมแจกแจงความถ

ผสอนควรสรปสาระส าคญทไดศกษามาในหวขอการกระจายสมบรณทงหมด ดวยการยกตวอยางตอไปน ตวอยาง จงหาพสย สวนเบยงเบนควอไทล สวนเบยงเบนเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรตอไปน 5, 8, 9, 7, 6, 4, 3 วธท า เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก จะไดดงน

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

1. พสย max min 9 3 6X X 2. สวนเบยงเบนควอไทล

3 1. .2

8 4

2

2

Q QQ D

3. สวนเบยงเบนเฉลย

3 4 5 6 7 8 9 426

7 7

3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6

. .7

1.71

M D

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2 2 2 2 2 2 23 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6

7

9 4 1 0 1 4 9

7

2 #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

แบบฝกหดระคน

1. ในการส ารวจอณหภมในเมองหลวงตาง ๆ พบวามคาเฉลยเลขคณต 30 องศาเซลเซยส และมความแปรปรวน 5 องศาเซลเซยส 2 จากการพยากรณพบวาอก 10 ปขางหนา อณหภมของแตละเมองจะสงขนอก 1 องศาเซลเซยส จงหาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของอณหภมของเมองหลวงในอก 10 ปขางหนา 1. 30,5 2. 40,5 3. 31,5 4. 40,15

2. ให 1 2, ,..., NX X X เปนขอมลทม คาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ 50 และ 10 ตามล าดบ ถาก าหนดให 1 3i iY X , 1,2,...,i N แลว คาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของ 1 2, ,...., NY Y Y มคาเทากบเทาไร 1. -149, 10 2. 50, 30 3. -149, 30 4. -149, -30

3. ขอความใดตอไปนถกตอง 1. ขอมลชดหนง สวนเบยงเบนมาตรฐานมคามากกวาหรอเทากบความแปรปรวนเสมอ 2. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปน 0 กตอเมอ ขอมลทกตวมคาเทากน

3. ถา 1 2, ,..., NX X X มสมบตวา 2 2

1

N

i

i

X N

แลว 1 2 ... 0NX X X

4. สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายของ ไก แกว และขวญ ในอก 5 ปขางหนาจะมากกวาในปจจบนเสมอ

4. สมตวอยางขอมล 2 ชด ประกอบดวย 1 2 20, ,...,X X X และ 1 2 10, ,...,Y Y Y ตามล าดบ สมมตให

20 2

1

20i

i

X X

และ 10 2

1

40i

i

Y Y

ถา X Y แลวความแปรปรวนของ

1 2 20 1 2 10, ,..., , , ,...,X X X Y Y Y มคาเทากบขอใด

1. 1 2. 2 3. 6029

4. 6028

5. ประชากรชดหนงประกอบดวย 1 2 20, ,...,X X X โดยมคาเฉลยเลขคณต 4 และ

20

2

1

5 600i

i

X

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของ 1 2 202 ,2 ,..., 2X X X

1. 29 2. 2 29 3. 4 29 4. 29 6. สวนสงของนกเรยน 4 คนแรก คอ 150,160,170,180 เซนตเมตร และพสยของนกเรยน 4 คนแรก

รวมกบ นาย ก มคาเทากบ 40 ความแปรปรวนประชากรของนกเรยน 5 คนน มคาเทากบขอใด 1. 50 2. 100 3. 150 4. 200

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

7. ขอมลอายของตวอยางนกศกษา 5 คน คอ 1 2 3 4 5, , , ,X X X X X โดยท 20X และ 5

2

1

2500i

i

X

ตอมามการเพมตวอยางนกศกษาทมอาย 20 ป อก 1 คน แลวความแปรปรวนของ

อายของนกศกษาทง 6 คน เทากบขอใดตอไปน

1. 10 ป 2. 250

3 ป 3. 100 ป 2 4. 250

3 ป 2

8. คะแนนสอบของนกเรยน 10 คน มคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 20 และ 4 ตามล าดบ ถาในการบนทกคะแนนมความผดพลาด โดยกรอกคะแนนของนกเรยนคนหนงทได 35 คะแนน เปน 15 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนทถกตอง 1. 20, 10 2. 22, 20 3. 22, 22 4. 40, 50

9. ขอมลประชากร 2 จ านวน มพสยเทากบ 8 และมธยฐานเทากบ 20 แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบขอใด 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8

10. ในการสอบยอยครงหนงมคะแนนเตม 100 คะแนน มคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเปน 60 และ 16 ตามล าดบ ในการตดเกรดปลายภาค ครจะปรบคะแนนเตมของการสอบยอยใหเหลอ 20 คะแนน คาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบยอย เมอมการปรบคะแนนแลว มคาเทากบขอใด 1. 60, 16 2. 60, 3.2 3. 12, 3.2 4. 12, 0.64

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

ภาคผนวกท 2 ความแปรปรวนของประชากรหลายกลม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

ในบางครงเราตองการหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล โดยแบงเปนกลมยอยๆดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จากการส ารวจราคาสนคาของประชากรรานคา 2 พนท ไดขอมลดงตารางตอไปน

พนทแรก พนทท 2 จ านวนประชากร

1 20N 2 20N คาเฉลยเลขคณต

1 10 2 15 ความแปรปรวน 2

1 4 2

2 9 จงหา

1. คาเฉลยเลขคณตรวมของประชากรทง 2 กลม 2. ความแปรปรวนรวมของประชากรทง 2 กลม

วธท า ให 1 2 20, ,...,X X X เปนขอมลราคาสนคาในพนทแรก และ 1 2 20, ,...,Y Y Y เปนราคาสนคาในพนทท 2

1.

20

11 10

20

i

i

X

และ

20

12 15

20

i

i

Y

ดงนน 20

1

200i

i

X

และ 20

1

300i

i

Y

ท าใหคาเฉลยเลขคณตรวม

20 20

1 1 200 30012.5

20 20 40

i i

i i

X Y

บาท

2. จาก 2

1 4 จะไดวา

202

21 10 420

i

i

X

20

2

1

2080i

i

X

และจาก 2

2 9 จะไดวา

202

21 15 920

i

i

Y

20

2

1

4680i

i

Y

ดงนน ความแปรปรวนรวม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

20 202 2

2 21 1 12.520 20

2080 4680156.25

40

i i

i i

X Y

12.75 บาท 2 #

ตวอยาง จากการส ารวจราคาสนคาของประชากรรานคา 2 พนท ไดขอมลดงตารางตอไปน

พนทแรก พนทท 2 จ านวนประชากร

1 20N 2 40N คาเฉลยเลขคณต

1 10 2 15 ความแปรปรวน 2

1 4 2

2 9 จงหา

1. คาเฉลยเลขคณตรวมของประชากรทง 2 กลม 2. ความแปรปรวนรวมของประชากรทง 2 กลม

วธท า ให 1 2 20, ,...,X X X เปนขอมลราคาสนคาในพนทแรก และ 1 2 40, ,...,Y Y Y เปนราคาสนคาในพนทท 2

1.

20

11 10

20

i

i

X

และ

40

12 15

40

i

i

Y

ดงนน 20

1

200i

i

X

และ 40

1

600i

i

Y

ท าใหคาเฉลยเลขคณตรวม

20 40

1 1 200 600 40

20 40 60 3

i i

i i

X Y

บาท

2. จาก 2

1 4 จะไดวา

202

21 10 420

i

i

X

20

2

1

2080i

i

X

และจาก 2

2 9 จะไดวา

402

21 15 940

i

i

Y

40

2

1

9360i

i

Y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

ดงนน ความแปรปรวนรวม

20 402 2

2

2 1 1 40

20 40 3

2080 9360 1600

60 9

i i

i i

X Y

12.89 บาท 2 # ในกรณทว ๆ ไป เรามสตรในการหาความแปรปรวนรวม ดงตอไปน กรณท 1 2

2 22 1 1 2 2

1 2

N N

N N

รวม

กรณท 1 2 1 2

2 2

2 21 1

1 2

N N

i i

i i

X Y

N N

รวม รวม

ผสอนอาจฝกประสบการณของผเรยน โดยการใหค านวนหาความแปรปรวนรวมของตวอยาง

ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จากการส ารวจราคาสนคาของตวอยางรานคา 2 พนท ไดขอมลดงตารางตอไปน

พนทแรก พนทท 2 จ านวนตวอยาง

1 20N 2 20N คาเฉลยเลขคณต

1 10X 2 15X ความแปรปรวน 2

1. . 4S D 2

2. . 9S D จงหา

1. คาเฉลยเลขคณตรวมของตวอยางทง 2 กลม 2. ความแปรปรวนรวมของตวอยางทง 2 กลม

ตวอยาง จากการส ารวจราคาสนคาของตวอยางรานคา 2 พนท ไดขอมลดงตารางตอไปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

พนทแรก พนทท 2 จ านวนตวอยาง

1 20N 2 40N คาเฉลยเลขคณต

1 10X 2 15X ความแปรปรวน 2

1. . 4S D 2

2. . 9S D จงหา

1. คาเฉลยเลขคณตรวมของตวอยางทง 2 กลม 2. ความแปรปรวนรวมของตวอยางทง 2 กลม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

ภาคผนวกท 3 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

1. 17.94, 322 2. 16.05, 257.6 3. 236.64

4. 6 ป 2 5. 2000 บาท 2 6. 4000 บาท 2

7. 4400 บาท 8. 1300 บาท 2 9. 29.6

10. 10

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 3 2. 3 3. 2 4. 2 5. 2

6. 4 7. 3 8. 2 9. 3 10. 4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได