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Theoretische Grundlagen der Informatik
7. Ubungstermin · 7. Januar 2020Guido Bruckner
KIT – Die Forschungsuniversitat in der Helmholtz-Gemeinschaft
INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · LEHRSTUHL ALGORITHMIK
www.kit.edu
Ubung
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Ubersicht
Inhalt
Konstruktion von GrammatikenChomsky-0-Grammatiken und DTMs
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Der Cocke-Younger-Kasami-AlgorithmusNEA aus Chomsky-3-GrammatikEindeutige und mehrdeutige Grammatiken
Chomsky-Normalform
Grammatiken und Chomsky-Hierarchie
Chomsky-2-Grammatiken
Organisatorisches
Evaluation
1
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
2
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
alleSprachen
semi-entscheidbareSprachen
entscheidbareSprachen
aus Ubung 3:
(entscheidbar)
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
2
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Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
2
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
2
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
2
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Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.⇔
A B
A B⇔
3
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Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.⇔
Beweis aus der Vorlesung von :
A B
A B⇒
Schreibe S auf das Band.
Repeat
Wahle nichtdeterministisch eine anwendbare Ableitungsregel.Vergleiche das erzeugte Wort mit der Eingabe w .Bei Gleichheit wird w akzeptiert.
Wir konstruieren eineNTM, die L akzeptiert.
A B⇔
3
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Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.
Es gibtdeterministische TMM, die L akzeptiert.
⇔ ⇔A B
C
A B⇔
In der Vorlesung wurde dann bewiesen.⇒ AC
Und es gilt auch allgemein, dass .⇒
Beweis aus der Vorlesung von .A B⇒
B C
3
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.
Es gibtdeterministische TMM, die L akzeptiert.
⇔ ⇔A B
C
A B⇔
In der Vorlesung wurde dann bewiesen.⇒ AC
Und es gilt auch allgemein, dass .⇒
Beweis aus der Vorlesung von .A B⇒
B C
DTMs und NTMs sind gleich machtig. (Wenn Laufzeit egal ist.)
3
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.
Es gibtdeterministische TMM, die L akzeptiert.
⇔ ⇔
Beweis aus der Vorlesung von :
A B
C
A B⇒
Schreibe S auf das Band.
Repeat
Wahle nichtdeterministisch eine anwendbare Ableitungsregel.Vergleiche das erzeugte Wort mit der Eingabe w .Bei Gleichheit wird w akzeptiert.
Wir konstruieren eineNTM, die L akzeptiert.
A B⇔
3
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-0-Grammatiken und DTMs
Satz aus der Vorlesung (Vorlesung 13, 17.12.2019):Die von Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die vonnichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptierten Sprachen.
L ist Typ 0, d.h.,es gibt Grammatik G
mit L(G) = L.
Es gibt nichtdeterm.TMM, die L
akzeptiert.
Es gibtdeterministische TMM, die L akzeptiert.
⇔ ⇔A B
C
Hier beweisen wir :A ⇒
Fur i = 1, 2, 3, . . .
Wir konstruieren eineDTM, die L akzeptiert.
C
A B⇔
Fur jede Folge F von genau i Ableitungsregeln
Schreibe S auf das Band.Wenn F anwendbar, vergleiche erzeugtes Wort mit der Eingabe w .Bei Gleichheit wird w akzeptiert, ansonsten das Band geloscht.
3
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
4
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
4
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
4
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
5
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Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
5
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache? Typ 2
5
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
5
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
G = (Σ, V , S, R) Σ = {a, b, c} V = {S, T , U, V , W}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
5
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {aibjck ∈ {a, b, c}? | i = j ∨ j = k}
G = (Σ, V , S, R) Σ = {a, b, c} V = {S, T , U, V , W}S → TU | VW ,T → aTb | ε,U → Uc | ε,W → bWc | ε,V → Va | ε.
R = {
}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
5
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
6
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Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
6
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache? Typ 1
6
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Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 1 formal definieren und formulieren.
Typ 1
6
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 1 formal definieren und formulieren.
Typ 1
fur i ∈ {0, 1}
6
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}
G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Sprache?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 1 formal definieren und formulieren.
Typ 1
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
6
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Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
w = 1101 :
7
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Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
S → 1 T X1 → 11 T X1X1 → 110 T X0X1X1 → 110L1 R1X0X1X1
w = 1101 :
7
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
S → 1 T X1 → 11 T X1X1 → 110 T X0X1X1 → 110L1 R1X0X1X1
→ 110L1 X0R1X1X1 → 110L1 R0R1X1X1
w = 1101 :
7
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
S → 1 T X1 → 11 T X1X1 → 110 T X0X1X1 → 110L1 R1X0X1X1
→ 110L1 X0R1X1X1 → 110L1 R0R1X1X1
→ 110L1 R0X1R1X1 → 110L1 X1R0R1X1 → 110L1 R1R0R1X1
w = 1101 :
7
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Konstruktion von Grammatiken
Geben Sie fur die folgende Sprache eine Grammatik an.L = {ww | w ∈ {0, 1}?}G = (Σ, V , S, R) Σ = {0, 1} V = {S, Xi , Ri , Li , T}
S → T | εT → 0TX0 | 1TX1 | L0R0 | L1R1
R = {
}
fur i ∈ {0, 1}
R0X0 → X0R0R0X1 → X1R0R1X0 → X0R1R1X1 → X1R1
L0X0 → L0R0L0X1 → L0R1L1X0 → L1R0L1X1 → L1R1
R0 → 0R1 → 1L0 → 0L1 → 1
S → 1 T X1 → 11 T X1X1 → 110 T X0X1X1 → 110L1 R1X0X1X1
→ 110L1 X0R1X1X1 → 110L1 R0R1X1X1
→ 110L1 R0X1R1X1 → 110L1 X1R0R1X1 → 110L1 R1R0R1X1
→ · · · → 110L1 R1R1R0R1 → · · · → 1101 1101
w = 1101 :
7
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
(c) Beweisen Sie die Maximalitat von k .
8
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Grammatik?
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Grammatik? Typ 2
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Grammatik?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
G = (Σ, V , S, R) Σ = {(, )} V = {S}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Grammatik?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(a) Konstruieren Sie eine Typ-k -Grammatik mit maximalem k , die L()
erzeugt.
G = (Σ, V , S, R) Σ = {(, )} V = {S}
S → (S)S | εR = {
}
1. Schritt: Von welchem Typ ist die Grammatik?
2. Schritt: Grammatik vom Typ 2 formal definieren und formulieren.
Typ 2
8
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
9
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊆ L():
9
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊆ L(): Klammern werden nie geloscht oder verschoben (Typ 2)
9
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊆ L(): Klammern werden nie geloscht oder verschoben (Typ 2)
Jede Produktion, die eine Klammer erzeugt, erzeugtgenau ein Paar ( und ). Also hat jedes Wort in L(G)genauso viele offnende wie schließende Klammern.
9
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊆ L(): Klammern werden nie geloscht oder verschoben (Typ 2)
Jede Produktion, die eine Klammer erzeugt, erzeugtgenau ein Paar ( und ). Also hat jedes Wort in L(G)genauso viele offnende wie schließende Klammern.
Jede Produktion, die mindestens eine Klammererzeugt, erzeugt ( vor ). Also beinhaltet fur jedes Wortw in L(G) jedes Prafix von w mindestens so vieleoffnende wie schließende Klammern.
9
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊇ L():
9
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊇ L(): Sei w in L() beliebig.
9
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊇ L(): Sei w in L() beliebig.
Algorithmus, der w erzeugt:
9
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊇ L(): Sei w in L() beliebig.
Algorithmus, der w erzeugt:w = (w1)w2, (w1) ist erstes Klammerpaar im Ausdruck
Fuhre S → (S)S aus
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(b) Zeigen Sie, dass Ihre Grammatik genau L() erzeugt.
Zu zeigen ist: L(G) = L()
L(G) ⊇ L(): Sei w in L() beliebig.
Algorithmus, der w erzeugt:w = (w1)w2, (w1) ist erstes Klammerpaar im Ausdruck
Fuhre S → (S)S aus
w = ε
Fuhre S → ε aus
9
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(c) Beweisen Sie die Maximalitat von k .
10
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(c) Beweisen Sie die Maximalitat von k .
L() ist nicht regular (Pumping-Lemma)
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(c) Beweisen Sie die Maximalitat von k .
L() ist nicht regular (Pumping-Lemma)
Regulare Sprachen entsprechen Chomsky-Typ 3
10
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Sprache der korrekten Klammerausdrucke
Uber dem Alphabet Σ = {(,)} ist die Sprache L() der korrekten Klammer-ausdrucke gegeben.(c) Beweisen Sie die Maximalitat von k .
L() ist nicht regular (Pumping-Lemma)
Regulare Sprachen entsprechen Chomsky-Typ 3
⇒ Chomsky-Typ 2 ist maximal.
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Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
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Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
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Chomsky-Normalform
Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G = (Σ, V , S, R) mit Σ ={a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
(a) Lasst sich der CYK-Algorithmus auf G (ohne Abanderungen) anwen-den? Begrunden Sie Ihre Antwort. Andern Sie gegebenfalls G ab.
(b) Prufen Sie, ob das Wort addd in L(G) liegt. Verwenden Sie dafur denCYK-Algorithmus.
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Chomsky-Normalform
Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G = (Σ, V , S, R) mit Σ ={a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
(a) Lasst sich der CYK-Algorithmus auf G (ohne Abanderungen) anwen-den? Begrunden Sie Ihre Antwort. Andern Sie gegebenfalls G ab.
(b) Prufen Sie, ob das Wort addd in L(G) liegt. Verwenden Sie dafur denCYK-Algorithmus.
(a) Nein. Begrundung:G ist nicht in Chomsky-Normalform
Chomsky-Normalform:A→ BC oder A→ a mit A, B, C ∈ V und a ∈ Σ
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt: Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt:
S → A | aB | aC
B → S | Ba
D → d | dDD
A→ B | C | cAd
C → D | c
Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt:
S → A | aB | aC
B → S | Ba
D → d | dDD
A→ B | C | cAd
C → D | c
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt:
S → A | aB | aC
B → S | Ba
D → d | dDD
A→ B | C | cAd
C → D | c
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt:
S → A | aB | aC
B → S | Ba
D → d | dDD
A→ B | C | cAd
C → D | c
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
1. Schritt:
S → A | aB | aC
B → S | Ba
D → d | dDD
A→ B | C | cAd
C → D | c
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
Alle Regeln sind der FormX → Y , Y ∈ V? oder X → a, a ∈ Σ
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
2. Schritt: Rechte Seiten haben Lange ≤ 2.
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
2. Schritt: Rechte Seiten haben Lange ≤ 2.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
2. Schritt: Rechte Seiten haben Lange ≤ 2.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
2. Schritt: Rechte Seiten haben Lange ≤ 2.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
2. Schritt: Rechte Seiten haben Lange ≤ 2.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd DD
A→ B | C | ZcAZd
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
3. Schritt: Es kommen keine Regeln A→ ε vor.
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
3. Schritt: Es kommen keine Regeln A→ ε vor.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
3. Schritt: Es kommen keine Regeln A→ ε vor.S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd X13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
B S
A
C
D Zc
Zd
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
B S
A
C
D Zc
Zd
B S
A
C
D Zc
Zd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
B S
A
C
D Zc
Zd
B S
A
C
D Zc
Zd
S
C
D Zc
Zd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
B S
A
C
D Zc
Zd
B S
A
C
D Zc
Zd
S
C
D Zc
Zd
S
C
D Zc
Zd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
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Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
S → A | ZaB | ZaC
B → S | BZa
D → Zd | Zd E
A→ B | C | ZcF
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → AZd
Eliminiere Kreis B → S → A→ B.4. Schritt:S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
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Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere verbleibende Kettenregeln: A→ B.4. Schritt:
13
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere verbleibende Kettenregeln: A→ B.4. Schritt:
(a) Topologische Sortierung: S, C, D, Zc , Zd ,
(b) Keine Kettenregeln mit linker Seite Zd und Zc ,
(c) Ersetze Kettenregeln mit linker Seite D,
(d) Ersetze Kettenregeln mit linker Seite C,
(e) Ersetze Kettenregeln mit linker Seite S.
S → ZaS | ZaC
D → Zd | Zd EC → D | Zc
Za → aZc → cZd → d
E → DDF → SZd
SZa | C | ZcF
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere verbleibende Kettenregeln: A→ B.4. Schritt:
S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
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Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere verbleibende Kettenregeln: A→ B.4. Schritt:
S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Normalform
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
Eliminiere verbleibende Kettenregeln: A→ B.4. Schritt:
S → ZaS | ZaC | SZa | C | ZcF
D → Zd | Zd E
C → D | Zc
Za → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
13
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b, c, d}, V = {S, A, B, C, D} und R:
S → A | aB | aC, B → S | Ba, D → d | dDD,A→ B | C | cAd, C → D | c.
(b) Prufen Sie, ob das Wort addd in L(G) liegt. Verwenden Sie dafur denCYK-Algorithmus.
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
F E
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S F E
F S CD
S
14
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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
15
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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
15
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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
15
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
15
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
F E
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S EF
15
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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
F E
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S EF
F
15
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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
F E
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S EF
F
Der allgemeine Fall
Vi j
Vik Vk+1j
15
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
F E
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S CD
S EF
F
15
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus
Chomsky-Normalform
F E
S → ZaS | ZaC | SZa | d | Zd E | c | ZcF
D → d | Zd E
C → d | Zd E | cZa → a Zc → c Zd → d
E → DD F → SZd
1 2 3 4i
Vi i
Vi i+1
Vi i+2
Vi i+3
Input
Variable A ∈ V ist in Vi i+j
gdw. A ?→ wi . . .wi+j .
w ist in L(G)⇔ S ∈ V1n.
Input w = w1 . . .wn aus Σ?.1
2
3
a d d d
ZaZd
DCS Zd
DCS Zd
DCS
S CD
S EF
F
S
15
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
16
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Chomsky-Hierarchie
(semi-entscheidbar)Typ 0
Menge aller Sprachen
Chomsky-0-Gram.
Chomsky-1-Gram.
G = (Σ, V , S, R)R beliebig
u → v , |u| ≤ |v |u ∈ V +, S /∈ vS → ε
Chomsky-2-Gram.A→ v , A ∈ Vv beliebig
Chomsky-3-Gram.A→ v , A ∈ Vv ∈ {ε} ∪ Σ · V
(kontextsensitiv)Typ 1
(kontextfrei)Typ 2
(regular)Typ 3
(entscheidbar)
NTM akzeptiert LDTM akzeptiert L
NEA erkennt LDEA erkennt L
NTM mit Platz-bedarf n erkenntWorter d. Lange nin L⇒ NT APE(n)
CYK-Alg. erkenntL in polynom. Zeit
⇒ Chomsky-Normalform
16
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben sei die Grammatik G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b} und V ={X , Y , Z , S}, welche die Sprache L erzeugt. R sei durch die folgendenAbleitungsregeln gegeben.
S → ε | aS | aX
X → aS | bY
Y → aY | aX | bZ
Z → bZ | aS
Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
V = {X , Y , Z , S}
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Z
V = {X , Y , Z , S}
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Z
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Za
a
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
17
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Za b
a
a
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
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Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Za b b
a a
a a
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
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Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
NEA aus Chomsky-3-Grammatik
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Za b b
a a
a
a a
b
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
17
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NEA aus Chomsky-3-Grammatik
a, b
Gegeben: G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {a, b}, V = {X , Y , Z , S} und R ={S → ε | aS | aX , X → aS | bY , Y → aY | aX | bZ , Z → bZ | aS}.Geben Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A an, der Lerkennt.
S X Y Za b b
a a
a
a a
b
f
b
V = {X , Y , Z , S} R = {S → ε | aS | aX ,X → aS | bY ,Y → aY | aX | bZ ,Z → bZ | aS}.
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Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
Gegeben sei die Grammatik G = (Σ, V , S, R) mit Σ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *} und V = {S, Z}. R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0Z | 1Z | 2Z | 3Z | 4Z | 5Z |6Z | 7Z | 8Z | 9Z .
(a) Bestimmen Sie einen Syntaxbaum des Wortes 211-42+10*4.
(b) Ist die Grammatik eindeutig oder mehrdeutig? Begrunden Sie IhreAntwort.
18
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Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *}, V = {S, Z}, R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | . . . | 9 | 0Z | 1Z | . . . | 9Z .
(a) Bestimmen Sie einen Syntaxbaum des Wortes 211-42+10*4.
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Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *}, V = {S, Z}, R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | . . . | 9 | 0Z | 1Z | . . . | 9Z .
(a) Bestimmen Sie einen Syntaxbaum des Wortes 211-42+10*4.
2
1
1
−
42
+
10
∗
4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S S
S
S
18
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
2
1
1
−
42
+
10
∗
4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S S
S
S
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *}, V = {S, Z}, R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | . . . | 9 | 0Z | 1Z | . . . | 9Z .
(b) Ist die Grammatik eindeutig oder mehrdeutig?
18
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
2
1
1
−
42
+
10
∗
4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S S
S
S
2
1
1
−
42
+
10
∗
4Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S SS S
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *}, V = {S, Z}, R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | . . . | 9 | 0Z | 1Z | . . . | 9Z .
(b) Ist die Grammatik eindeutig oder mehrdeutig?
18
Guido Bruckner – 7. Ubung, Theoretische Grundlagen der Informatik Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Eindeutige und mehrdeutige Grammatiken
2
1
1
−
42
+
10
∗
4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S S
S
S
2
1
1
−
42
+
10
∗
4Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
S
S
S
S SS SG ist mehrdeutig, da es mehrere Syntaxbaume fur das
gegebene Wort gibt.
G = (Σ, V , S, R) mit Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *}, V = {S, Z}, R :S → S+S | S-S | S*S | Z ,
Z → 0 | 1 | . . . | 9 | 0Z | 1Z | . . . | 9Z .
(b) Ist die Grammatik eindeutig oder mehrdeutig?
18