Post on 20-Jan-2016
description
5.1 Kiválasztási axióma
15. VÉGTELEN HALMAZOKVÉGTELEN HALMAZOK
Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres.
2
Def
)( ha ),( )( CABCCBcardAcard
Rövidítés: BA
B majorálja A-t. Ha B majorálja A-t, de nem ekvivalensek, akkor B szigorúan majorálja A-t.
Példa:
Legyen B:= Z, A:= 2Z (páros számok halmaza).
B A, mert : B A, (x) := 2x, bijekció, és
Z Z2
Kérdések:
reflexív? .1
v? tranzití .2
trikus?antiszimme .5
dichotom? .3
? hogy , ra- .6 BABA
trivi
trivi
igaz, nem biz.
igaz, nem biz.
Cantor-tétel
s?jólrendezé .4
Schröder-Bernstein-tétel
3
4
Schröder-Bernstein-tétel:
.BAABBA
Biz. Feltehetjük, hogy X, Y diszjunkt halmazok és legyen f: X Y, g: Y X injektív függvény.
Utódok (ősök) sorozata: x X esetén f(x), g(f(x)), f(g(f(x))), …
„Árva” : olyan X \ g (Y) vagy Y \ f(X) beli elem, amelynek nincs „őse” a másik halmazban.
árvába torkollik végtelen
5
Legyen XX = X \ g (Y) { az X \ g (Y)-beli elemek X-beli utódai }
Legyen XY = { az Y \ f(X)-beli elemek X-beli utódai }
Legyen X = { X-beli elemek, amelyeknek nincs árva őse }
XX
XY
X
f(X) = g1(X) = Y
f(XX) = YX
g1(XY) = YY
6
Biz.
f bijektív és
y X : f(y) = Y y Y y Y = f(y)
5.1.11.
5.1.12.
7
5.2 Megszámlálható halmazok
8
Biz.
Ha X véges
X nem lehet végtelen, mert
lenne
többi trivi
9
Biz.
10
Biz. esetén legyen
bijekció f :
11
Biz. A = A1 A2 …
Diszjunkt halmazokat csinálunk:
A1’ = A1 ,
A2’ = A2 \ A1’ ,
A3’ = A3\ (A1’ A2’) ...
12 Ai’ halmazokra igaz:
1. Ai’ Ai i -re.
2. A = A1’ A2’ ... .
3. Ai’ Aj’ = olyan i, j esetén, ahol i j.
Feltétel Ai’ halmazok sorbarendezhetők :
A1’ = { a11, a12, a13, ...},
A2’ = { a21, a22, a23, ...},
A3’ = { a31, a32, a33, ...},
13
Biz.
Z = N+ {0} N
5.2.6 Tétel megszámlálható is
Biz.
14
diszjunktság miatt helyettesítsük X-et X \ Y-nal
Legyen Z Y megszámlálható végtelen, f : Z X Z bijekció, és
ZYxx
Zxxfxg
\ ha ,
ha ,
g : Y X Y bijekció !
15
Biz. Tfh Y véges
4. fejezet nem lehet ekvivalens saját valódi részhalmazával
Tfh Y végtelen, x Y , és legyen Z = { x }, X = Y \ Z
Y = X Z ~ X
végtelen megszámlálhatótétel
16
5.3 Nem megszámlálható halmazok
Biz.
2
211,0:
xx
xx
def
17
Biz.* A N-en értelmezett karakterisztikus függvénye
N összes véges részhalmaza: megszámlálható sok
N összes végtelen részhalmaza
f leképezés
f bijekció
Lemma. nem megszámlálható számosságú.
18
Biz. Előzőekből tudjuk: (0,1) [0,1)[0,1] R.
Legyen A = {x xR, 0 x < 1}.
Probléma: a szokásos módon nem tudjuk leírni a 0 egészrészű számokat:
0,1999999999999999...
0,2000000000000000...
vizsgálatunk tárgya:
B = {xx 0-val kezdődő tizedestört, és nem tartalmaz valamely helytől kezdve csupa 9-est}.
19
Próbáljuk meg B halmazt sorbarendezni !
x1 = 0,a11a12a13 ...
x2 = 0,a21a22a23 ...
x3 = 0,a31a32a33 ...
y = 0,b1b2b3 ... bk akk, bk[0..8] .
...
y[0, 1) és y B , de y xi !
20
Biz.
megszámlálható végtelen
= X
RX ~
Kontinuumhipotézis:
Nem létezik olyan X halmaz, amire
N X (N).
Általánosított kontinuumhipotézis:
Y X (Y).
Tetszőleges Y halmazra nem létezik olyan X halmaz, amire
Válasz:
ZFC-ben egyik sem cáfolható és egyik sem bebizonyítható!
Gödel 1939Cohen 1963
21