5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN...

11 Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.trSerhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr

5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN

ELEŞTİRİSİ

Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

Elektronik ve Haberleşme Bölümü

5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ

Bu bölümde, geri bildirim bir sistemde oluşan istenmeyen etkileri azaltma veya ortadan kaldırmada ne kadar etkili olduğu, gerekli argümanlar kullanılarak ispatlanmaya ve Matlab’ta yapılan benzetim sonuçlarıyla da bunların doğruluğu gösterilmeye çalışılacaktır. İstediğimiz çıkış değeriyle gerçek çıkış arasındaki hata, sistemin içinde çoğunlukla ısınmalar, aşınmalar gibi istenmeyen durumlar yüzünden meydana parametre değişimlerine karşı duyarlılık yani bunlardan etkilenme, yine dışarıdan istemimiz dışında gelen bozucu etkiler, bu etkilerden bir kaçıdır.

5.1. Geri Bildirimin Hatayı Azaltma Etkisi ( E(s): sistem hatası )

Hata, yani istenilen çıkış değeri ile gerçek çıkış değeri arasındaki fark;E(s)=Yistenen –Ygerçek = Yi(s)-G(s)R(s) olacaktır.

Şekil 5.1 Açık Çevrim Bir Sistem

Y(s)=R(s) G(s)

Bu hatayı azaltmak mümkün mü? Geri bildirimli bir sistemde, R(s) istenen çıkış değeri (Yistenen ) , Y(s) ise gerçek çıkış değeridir (Yg(s) ).

Hata ; E(s)=R(s)-Y(s) olur.

Y(s)=T(s)*R(s)

+ E(s) -

Şekil 5.2 Geri bildirimli Sistem

H(s)=1 ise olduğu için

Kapalı çevrimde hata G(s)’ten 1+G(s) kat daha az etkilenecektir. Özellikle G(s)>>1 olduğu durumlarda paydadaki 1’i ihmal edebiliriz.

Geri bildirimli sistemde zaten Yi(s)=R(s) olduğundan hata sıfıra çok yakın çıkacaktır ve G(s)’teki değişimlerden hemen hemen hiç etkilenmeyecektir.

)s(R.)s(G1

)s(G)s(T).s(R)s(Y

E(s)= Yistenen –Ygerçek = )()(1

)()( sR

E(s)= Yistenen –Ygerçek

)s(R)s(G1

)s(G)s(Yi )s(R)s(Yi

Eğer geribildirim elemanının da H(s) gibi bir transfer fonksiyonu varsa;

5.2. Kontrol Sisteminin Parametre Değişimlerine Duyarlılığı ve Geribildirimin Duyarlılık Üzerindeki Etkisi

ise )(.)()(1

)()( sR

1)s(H)s(G

)s(R)s(H

1)s(R.

)s(H)s(G

)s(G)s(Y

Açık çevrim sistemlerde sistemin transfer fonksiyonunda

)s(G gibi bir değişiklik olursa;

kadar değişir. (Açık çevrim sistemde)

Kapalı çevrim sistemde;

)s(R).s(G)s(Y

)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y

s(Y)s(Y)s(Y

)s(R).s(G

)s(G)s(G1

)s(R.)s(G)s(G

)s(G)s(R

)s(G1)s(G)s(G1

)s(G).s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(Y

Sistemin duyarlılık (Sensitivity) tanımı: : Tüm sistem içindeki açık çevrim bir sürecin transfer fonksiyonunda meydana gelen bir değişimin tüm sistemin transfer fonksiyonunda meydana getirdiği değişmeye etkisini yüzde olarak gösteren orandır.

(Genel formül)

(Duyarlılık formülü)

5.2.1. Açık çevrim sistemde duyarlılık T(s)=G(s)’tir.

Sistem duyarlılığı %100 oranında etkilenir.

5.2.2. Kapalı çevrim sistemde duyarlılık

Duyarlılık (1+G(s)) kat küçülür.

22 )s(G1

)s(G)s(G1T

1))s(G1(*

Eğer geribildirim transfer fonksiyonu varsa (H(s));

G(s)H(s)>>1 ise geri bildirimde meydana gelen değişim tüm sistemi %100 etkiler.

100%)()(1

)()(1)(

)()(02

sHsGsG

Eğer değişim G(s)’te değil de G(s)’in içinde bir α parametresinde ise bunun tüm sisteme etkisi, zincirleme olarak, α’nın G(s)’te meydana getirdiği değişimin T(s)’e etkisi olarak yorumlanabilir.

Şekil 5.3 G(s)’ i bir α parametresiyle değişen geribildirimli sistem

T(s) bir α ya bağlıysa denklem şu hale gelir.

Pay ve payda eşitse duyarlılık sıfır olur.

spayda

)),(ln(

),(),(ln

spaydaspayspaydaspay

paydapayT SSS

Örnek 5.1: Çıkışla giriş arasındaki gerilim bağıntısı V0 =-Ka.Vin olan geribildirimsiz sistemde transfer fonksiyonu doğrudan T=Ka ‘dır. Aynı sistemi kazancı dışardan potla (Toplam değeri R1+R2= 500K’lık pot) değiştirilebilen bir geribildirimli yükselteç haline dönüştürürsek;

Kazanç - K a

+ V i -

+ V o -

Şekil.5.4. Açık Çevrim Sistem

Kazanç - K a

+ V i -

Pot =500K R 1

+ V o -

Şekil.5.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem

Potansiyometrenin geri bildirim kazancı

Bu durumda

Kapalı çevrim sistemin Ka’daki değişimlere duyarlılığı;

Ka’yı büyük seçersek ona karşılık duyarlılık düşük olacaktır. β=0.1’e ayarlayalım. Eğer Ka kazancını da 10000 seçersek ;

4TK 10

1.0101

5.3. Geribildirimin geçici ve kalıcı durum yanıtları üzerindeki etkisi

Açık çevrim bir sistemde istenilen sonuç alınamıyorsa ya bu sistem değiştirilir, ya önüne bir denetleyici konulup parametreleriyle oynanır ya da geri beslemeli hale getirilir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

zaman(sn)

tekerinhiz

Geçici durum yanıtı

Kalıcı durum yanıtı

Şekil 5.5. Kontrol Sistemlerinin Kalıcı ve Geçici Durum Yanıtı

Şekil 5.6. Açık Çevrim sistemde yapılabilecek iyileştirmeler

sGD R(s) sG Y(s); istenen değeri vermiyorsa

1. Sistem değiştirilebilir

2. Önüne denetleyici konulabilir

3. Son çare: Geri bildirim

Örnek.5.2. Endüvi (armatür) denetimli bir motorun çıkışında hızının zamana göre değişimini açık ve kapalı kontrol sistemleri açısından incelemek istiyoruz.

Çözüm: a) Öncelikle açık çevrim sistemin girişinin Laplace

dönüşümü bulunur. Va(s)= basamak girişidir. Bu gerilim

motora girmektedir. 3. bölümde sistemin blok şemasını ve giriş gerilimiyle çıkış hızı arasındaki yaklaşık transfer fonksiyonunu bulmuştuk.

Yük J=Eylemsizlik b=sürtünme

ia Armatür Akımı

Va=k2E

Şekil 5.7. Açık çevrim hız kontrol sistemi

Şekil 5.8. Açık çevrim endüvi denetimli motorun blok diyagramı ile gösterimi

motorun transfer fonksiyonu

Giriş Çıkış

aa RsL

Armatür Tm(s) =TL(s)

Yük Hız w(s)

1 Konum

G1(s)= sV

K1= bR KK

Bu durumda Va(s)= basamak girişi uygulandığında

w(s) çıkış yanıtımız :

kısmi kesirlere ayrılırsa

bulunur.

)s(w G(s)Va(s)

s )* w(s)

A= EkKEk/K 2121

Sonuç olarak

Sistemin basamak yanıtı: t=0’da değeri 1-1=0 olan, t sonsuza gittikçe değeri 1-0=1’e yaklaşan bir davranış gösterecektir.

)s(w EkK 21

w(t)= EkK 21 ( 1 - e /t)

B= (s) w(s)0s = (s)

Ek 20s EkK 21=

b) Devreyi takometre ile kapalı çevrim hale getirdikten sonra yine basamak yanıtına bakalım.

Kapalı çevrimde:

Şekil 5.9. Kapalı çevrim hale getirilmiş endüvi denetimli motorun blok diyagramı

R(s)=K2.E/s

Güç yükselteci

Motor Hız(w(s))

Takometre

K)s(GK1

)s(GK)s(T

)s(w 11a

( Yükseltecin kazancı Ka ve motora ait K1 katsayıları >>1)

t1a KKK1p

t1a KKK

KK)s(R)s(T)s(w 211a

11a211a

KKs|)s(swA

11a211a

KKps|)s(wpsB

0 5 10 150

w(t) : Kapalı çevrim

Şekil.5.10. Sistemin Açık ve Kapalı Çevrim Zaman Yanıtı

w(t) : Açık çevrim

Açık çevrim ve Kapalı çevrim basamak yanıtını MATLAB’ta çizdirelim.Şekilden de görüldüğü gibi, takometre eklenerek sistemde bir geri bildirimin oluşturulması, geçici durum yanıtında bir iyileşmeye neden olmuş, sistemin istenen çıkışa çabukulaşmasında ve istenen değerle gerçek değer

arasındaki hatayı azaltmasında etkin rol oynamıştır.

EK)s(w

1)( 2 t

Kalıcı durum yanıtı ve kalıcı durum hatasına etkisi: Kalıcı durum hatası, sistemin geçici durum yanıtı yatıştıktan sonra sürekli durum boyunca gözlenen sabit hatadır. Kapalı çevrim bir sistemde E(s)= R(s)-Y(s) olduğuna göre,

Birim g.b. sistemlerde H(s)=1

olduğundan hata R(s) girişinin ne olduğuna göre değişir.

)s(R))s(H)s(G1

)s(G1()s(R))s(T1()s(R)s(T)s(R

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(H)s(G1)s(R)

)s(H)s(G1

)s(G1(

E(s)= )()(1

bulunur.

Son değer teoremine göre e() = telimt

sEslim0s

Örnek5.3. Transfer fonksiyonu, olan bir su seviyesi

kontrol sürecini ele alalım. Sistemin basamak girişine yanıtında meydana gelecek kalıcı durum hatası;

Örneğin K=100’e ayarlanmış ise sistemin kalıcı durum

) = 101

hatası e(

Diyelim ki K, Mars yüzeyinde çalışan bir robotun sürücü devresindeki bir pot ve değeri gece gündüz ısı farklılıklarından etkilenerek ayarlandığı değerden

K= %10) kayarak 90 ohm oldu .

e() = )0(G1

Kazançtaki bu değişim açık çevrim sistemde doğrudan aynı oranda çıkışa yansıyacaktır.Açık çevrim sisteminin hatasındaki değişim e =0.1

Kapalı çevrimde ise kalıcı durum hatası e( ) = 91

olacaktır.

Hatadaki değişim ise e101

1= - =0.0011

5.4. Geribildirimin Bozucu İşaretler Üzerindeki Etkisi

yani %0.11

Bir transistorün veya yükseltecin ürettiği gürültü, radar antenlerinin maruz kaldığı sert rüzgarlar, sistem üzerinde bozucu etki yaratırlar. Geri bildirimin en büyük avantajlarından biri bozucu işaretlerin sistem üzerindeki etkilerini azaltmasıdır.

Bir eskisine göre bir zorlanma göze çarpar. Açık ve kapalı çevrim kontrol sistemlerinin bozucu girişe yanıtını bulunuz.

Örnek.5.4. Çelik üretim sürecindeki motorlar, normal seyirlerinde dönerken (boşta çalışırken), çelik levha millerin arasına girdiğinde bir anda ani bir bozucu etkiyle karşılaşırlar. Motorlara ek bir eylemsizlik yükü binmiş gibi, dönüş hızında bir anlık bir yavaşlama, dönüşte az da olsa

Şekil.5.12. Armatür denetimli motor

( Kaynak: Dorf ve Bishop, 2005)

Taşıma Hattı

Çelik levha

Dönen Miller

Şekil.5.11. Haddehanedeki çelik levha üretim süreci

Giriş

TL(s) Va(s)

aa RsL

Armatür

Motor Sabiti Ia(s) Tm(s) -

Td(s) ( Bozucu etki )

Yük Hız w(s)

zıt emk

Çözüm: a) Td(s) basamak girişinin w(s) çıkış hızı üzerindeki azaltıcı etkisini (ya da bozucu etkinin neden olduğu hatayı ) görebilmek için diğer aralarındaki transfer fonksiyonunu bulmak gerekir.

Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden;

Giriş

T d (s) b Js

Yük Hız w(s)

Şekil.5.13 Bozucu Giriş-Çıkış Yanıtı İlişkisi (Açık Çevrim)

RKKbJs

abm R/KKbJs

basamak bozucu girişine sistemin yanıtı

E(s)=0-w(s)

Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası;

R(s)=0 iken eğer hala bir w(s) oluşuyorsa bu bozucu etkidendir.

B)s(Td

abm R/KKbJs

w(s)=s

E(s)= -w(s) = - abm R/KKbJs

e()= sEslim0s

slim0s s

R/KKbJs

= abm R/KKb

Şekil. 5.14. Geri bildirimli motor kontrol sistemi

Benzer şekilde geri bildirimli kontrol sistemini R(s)=wR(s)=0 için yeniden düzenleyelim:

Hız wY(s)

Denetleyici

Takometre Kt

Hız w Y (s)

K t K a

T d (s) b J

Şekil. 5.15. Bozucu girişi ile çıkış arasındaki ilişki (R(s)=0)

Sistemin transfer fonksiyonu;

basamak bozucu girişine sistemin yanıtı;

‘dir.

md KKKR

atmbmKKKKKbJs

KKKKKbJs

KKKKK1

B)s(Td

w(s)=atmbm

KKKKKbJs

E(s)=0-w(s) E(s)= -w(s) =

Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası

Bu haliyle sonuçlara bakıldığında geribildirimin bozucu etkinin yarattığı hatayı azaltıp azaltmadığı anlaşılamayabilir.

KKKKKbJs

e( )= sEslim0s

= slim0s

KKKKKbJs

= atmbm

KKKKKb

0 10 20 30 40 50 60-2

Şekil.5.16. Bozucu giriş karşısında açık ve kapalı sistem hatalarının

zamana göre değişimi

Zamana göre her iki sistemin basamak yanıtları yandaki gibidir. Küçük olan kapalı çevrim hatasıdır. Açık çevrim ve kapalı çevrim sistemlerin hatalarını oranlar ve parametre değerlerini nicel olarak göz önüne alırsak

kapali

KKKKKb

BRR/KKb

KKKKKb

Tasarım Örneği: Manş Tünelinde Kullanılan Tünel Açma Makineleri Tünel açma makinesinin konum açısı kontrol modeli şekilde verilmiştir. Y(s) gerçek ilerleme yönü açısı, R(s) ise istenen açıdır. Karşılaşılan kaya kütleleri gibi yüklerin etkileri D(s) bozucu etkisi ile temsil edilmiştir. Tasarım hedefimiz, denetleyiciye ait uygun bir K kazancı seçmektir.

R(s) istenen açı

gerçek açı Denetleyici

s(s+1) 1

Makine

Bozucu etki D(s)

Şekil 5.17. Tünel Açma Makinesi Kontrol Sistemi

Çözüm: Bu iki girişe sistemin yanıtı Y(s) = T(s) R(s) + Td(s) D(s) ‘dir.

‘dir.

T(s)= 0)s(D)s(R

)s(Y =

1)s11K(1

1)s11K(

s11Kssss

T(s)=Ks12s

Td(s)= 0)s(R)s(D

1)s11K(1

s11Kssss

Td(s)= ‘dir.

Böylece

i) Bozucu D(s) girişinin çıkış üzerindeki etkisini azaltmak için K’yı büyük seçmeliyiz ( R(s)=0 ).

Sistemin r(t) birim basamak girişine yanıtı K kazancının büyük olmasından dolayı biraz salınımlı olacaktır.

( D(s) - işaretli bir engelleyici giriş)

Y(s) = Ks12s

R(s) + Ks12s

ii) D(s)=0 iken, K=100 için T(s)= 0)s(D)s(R

)s(Y =

100s12s

s111002

İki yanıtı da Matlab’ta görelim.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Şekil.5.18. K=100 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları

Bozucunun makinenin yönü üzerinde yol açtığı hata gerçekten fazlasıyla küçük, ama istenen açıya ulaşırken meydana gelen salınımı biraz azaltmalıyız. K’yı 20 seçersek aşma oldukça azalacak, hata da %10’ların altında (%4) yani 0.04 civarında kalacaktır.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Şekil.5.19. K=20 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları

Kapalı çevrim kontrol sisteminin ( T(s) ) makinedeki ve kontrolördeki (ileri yol G(s) ) değişimlere duyarlılığını ele alalım.

Buradan

Bir mekanik sistemdeki salınımlar gibi düşük frekanslar için s<1 ,

duyarlılık K 20 için TGS

çıkar. K arttıkça da sistemin duyarlılığı

azalır. Bu nedenle K=20 seçmek tüm ölçütler açısından ortak bir uygun değer olacaktır.

G(s)= 1ss

)s(G)s(G1

2Ks12s

s11Kss

Kaynaklar: 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 20052) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 19953)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf4)ÇAPRAZ,S.,KOÜ. Müh .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi

Ek5.1. Çözümlü SorularÇS5.1. Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü Okuma Sistemi (Dorf ve Bishop,2005)Hard disk sürücüsü, her türlü harekette, notbook’a ani şekilde bir şeyin çarpması gibi fiziksel şoklarda veya üzerinde bir parça değişimi yapıldıktan sonra bile hatasını tolore edip okuyucunun konumunu sağlıklı bir şekilde korumak ve okuma yapmak zorundadır. Tasarım sürecinin bu bölümle ilgili kısmı buna göre şekillenecektir. (Km=5, Lf = 1*10-3, J=1, b=20, Ka:10-1000, Rf=1, idi)

R(s) istenen kafakonumu

Yükselteç

Sargılar V(s)

Gerçek konum (s)

H(s)=1

Algılayıcı

Şekil.E5.1. Disk sürücüsü okuma sisteminin blok şema gösterimi (Dorf ve Bishop,2005)

Bozucu etki D(s) = 0 iken sistemin R(s)=0.1/s basamak girişine yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu;

KKbsRLJsRJsL

KKbsJsRsL

KKbsRJsRbsLJsL

Ka’yı şimdilik 80 seçelim.

Program Sonuçları:

Transfer function:

400-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.12Step Response

Zaman (sn.) (sec)

E(s)= R(s)-Y(s) = R(s) ( 1-T(s) ) = R(s)

KKbsRLJsRJsL

KK1= R(s)

KKbsRLJsRJsL

bsRLJsRJsL=s

e() = telimt

sEslim0s=

= slim0s

KKbsRLJsRJsL

bsRLJsRJsL

0=0. =

Giriş, R(s)= 0 iken, D(s) = 0.1/s basamak bozucu girişine sistemin yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu

KKbsRLJsRJsL

Td(s)=

bsJsRsL

KKbsJsRsLbsJs

Ka=80 için

Program sonuçları: Transfer function: 0.001 s + 1-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

x 10-4 Step Response

Zaman (sn.) (sec)

Çıkış grafiğine bakarsak (skala x10-4’tür) bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatası 3 x10-4 civarında olduğu görülür.

Daha küçük Ka değerleri için R(s) basamak girişine yanıtta aşma azalacaktır ama ikinci denklemde paydada olduğu için bozucu etkiden kaynaklanan hatanın da artmasına neden olacaktır.

KKbsRLJsRJsL

e() telimt

)s(Tslim d0s

slim0s

= maff2

KKbsRLJsRJsL

1.0= =

=2.5 x10-4 bulunur.

ÇS.5.2. Şekildeki makine kontrol sisteminde ;

duyarlılığını bulun b)

c) Bozucu etkileri ve

duyarlılığını aynı501 K aralığında seçin

anda en aza indirecek en

a)T(s)=Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulun

uygun K değerini

R(s) girişi

Y (s) Denetleyici

K 1 =1

Duyarga

Makine

Bozucu etki D(s)

Şekil.E5.2

Çözüm:

a) 0sDsR

= Kb1s

T/TS*SS G

KGKKG1K

i) D(s) bozucu girişine karşı Y(s) yanıtının küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. ii) Yine

’nin küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. Bu nedenle

K=50 seçilmelidir..

1sS*SS G

)s(D*Kb1s

b)s(D*)s(T)s(Y D

ÇS.5.3)Elektronik kalp pilleri, kalbin atış hızını düzenleyen cihazlardır.

Birim basamak şeklindeki bozucu girişe karşılık yanıtta oluşabilecek kalıcı durum hatası 0.02’den küçük olmalıdır.

R(s) istenen kalp at ış hızı

Gerçek kalp atış hızı

Kalp pili

Nabız ö lçüm duyargası

D(s) Bozucu etki

Şekil.E5.3.

a) Çıkışın R(s) ve D(s)’e bağlı genel denklemini yazın.

( Y(s)=T11 R(s) + T12 D(s) )

b) K için uygun bir değer veya değer aralığı bulun.c) Şayet K’nın ortalama değeri K=10 olsaydı, sistemin K parametresinde oluşabilecek küçük değişimlere duyarlılığı ne olacaktı?

Çözüm:

Açık çevrim transfer fonksiyonu; s12s

K12)s(G

K12s12s

)s(Y)s(T

K12s12s

K12s12ss

)s(Y)s(T

b) tasarım koşulu bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatasının büyüklüğünün 0.02’den küçük olmasıdır.

R(s)=0 iken bulunmuştu. Çıkış 0 olması

1)s(D bozucu girişi nedeniyle istenmeyen bir Y(s)

çıkışıs(D)s(T)s(Y 12 )

gerekirken

oluşur :

dir ve kalıcı durum hatası

K12s12s

)s(Y)s(T

)s(Y0)s(E s

K12s12s

12s)s(E

02.0K12

K12s12s

12sssEslime

T/TS*SS G

K12s12s

s12s1*

K12s12s

10Kort 120s12s

10*12s12s

Ek.5.2. Bu Bölümle İlgili Matlab Kodları:

Şekil.5.10’a ait kodlar

Şekil.5.16’ya ait kodlar

ans = -1.8157

Derste göreceğimiz tünel açma makinesine ait kodlar

5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN...

Documents

Transcript of 5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN...

Türkiye'de Güçlü Devlet Geleneği Tezinin Eleştirisi

Küçük Burjuva İdeolojisinin Eleştirisi - Maksim Gorki

Doğu Batı Sayı 59 - Türk Sosyalizminin Eleştirisi

Sovyet İktisadının Eleştirisi - Mao Zedung

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR - Universitydocs.neu.edu.tr/staff/ilker.etikan/D6 OLASILIK VE...Kuramsal dağılımlar aynı zamanda bir olasılık dağılımıdır. Kuramsal Dağılımlar

Evrimsel İktisat ve Eleştirisi - yunus.hacettepe.edu.tryunus.hacettepe.edu.tr/~ozel/Evrim_ve_Iktisat.pdf · Evrimsel İktisat ve Eleştirisi Hüseyin Özel Hacettepe Üniversitesi

MEVLÂNÂ’NIN MESNEVÎ’SİNDE AKIL ELEŞTİRİSİ VE AKLIN … · 2017. 6. 22. · MEVLÂNÂ’NIN MESNEVÎ’SİNDE AKIL ELEŞTİRİSİ VE AKLIN İŞLEVSELLİĞİNE YÖNELİK

Kuramsal - keg.aku.edu.tr

ETKİLEŞİMLİ TAHTA KULLANIMININ AVANTAJLARI VE DEZAVANTAJLARINA YÖNELİK ÖĞRETMEN GÖRÜŞLERİ

Ilhan arsel tevrat ve incilin eleştirisi

İlhan Arsel-Kuranın eleştirisi 1

İlhan Arsel-Kuran eleştirisi 2

Kuran'ın Eleştirisi III

ALTHUSSER’ĐN KURAMSAL DÖNÜŞÜMLERĐ ÜZERĐNE …acikarsiv.ankara.edu.tr/browse/30677/265468.pdf · yapılması hedeflenen, Althusser’in iç kuramsal evrimini bizatihi onun

HALKIN SPOR KÜLTÜRÜNÜN GELİŞİMİNDE YEREL YÖNETİMLERİN AVANTAJLARI

KAPİTALİST DEVLET ÜZERİNE GELİŞTİRİLEN KURAMSAL TARTI ...

Örgütsel Güven-Kuramsal Çerçeve

2. BASKIsinematek.tv/wp-content/uploads/2015/12/Zafer-Özden-Film... · 2019. 9. 9. · Film eleştirisi uzun yıllar boyunca geleneksel bir çizgi yi izlemiştir; kuramsal yaklaşımların

İdeolojisinin Eleştirisi · PDF fileMaksim Gorki, Küçük­Burjuva İdeolojisinin Eleştirisi, Ortam Yayınları, 3. baskı Maksim Gorki Küçük­Burjuva İdeolojisinin Eleştirisi

Carnap’ın Metafizik Eleştirisi - ACAR Index · Carnap’ın Metafizik Eleştirisi 2011/16 145 Felsefe serüveni açısından bakıldığında, Carnap’ın esasen dil analizi

İdeolojisinin Eleştirisi · PDF fileMaksim Gorki, KüçükBurjuva İdeolojisinin Eleştirisi, Ortam Yayınları, 3. baskı Maksim Gorki KüçükBurjuva İdeolojisinin Eleştirisi