Post on 14-Feb-2020
4 RESTRICTII DE UNILATERALITATE4. RESTRICTII DE UNILATERALITATE. TRANSFORMATE HILBERT
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
Fie o secvenţă reală cauzală în sensul că: Fie o secvenţă reală cauzală, în sensul că:
0, pentru 0x n n
Ce constrângeri derivă din această restricţie pentru transformata Fourier în timp discret ? jX e transformata Fourier în timp discret ? X e
Partea pară x (n) şi partea impară x (n) Partea pară xp(n) şi partea impară, xi(n)
p ix n x n x n p i
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
1 11( ) ( ( ) ( ))
2px n x n x n 1
( ) ( ( ) ( ))2ix n x n x n
x(n) x(-n)
n n
xp(n) xi(n)
nn
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
Din condiţia de nilateralitate: Din condiţia de unilateralitate:
2 ( ), 0px n n 2 ( ) 0x n n
( ) ( ), 0
0, 0
px n x n n
n
2 ( ), 0( )
0, 0ix n n
x nn
sau:
,
Introducem funcţia:2, 0
( ) 1 0
n
s n n
Introducem funcţia: ( ) 1, 0
0, 0
s n n
n
aşa încât px n s n x n
0ix n s n x n x n şi
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
1
1 1
2 1( ) 2 ( ) ( ) 1
zS z Z u n n
2, 0
( ) 1, 0
n
s n n
1 1
( ) ( ) ( )1 1z z
( ) ,
0, 0n
Notând:
( ) { ( )} ( ) { ( )} ( ) { ( )}X Z X Z X Z
avem
( ) { ( )}; ( ) { ( )}; ( ) { ( )}i i p pX z Z x n X z Z x n X z Z x n
avem( ) ( )( )
( ) ( )( ) (0)
pX z S X z
X z S X z x
( ) ( )( ) (0)iX z S X z x
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
( ) ( )( )
( ) ( )( ) (0)
p
i
X z S X z
X z S X z x
Rezultă:
11 1( ) ( ) ( )
2 2p p
C C
z z v dvX z X v S v dv X v
j v j z v v
{ 1}C v C v unde
1( ) ( ) (0)
2 i
C
z v dvX z X v x
j z v v
C
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
Pres p nem ( ) absol t s mabil e istă Presupunem x(n) absolut sumabil există transformata Fourier (TFTD) şi cercul z=1 se află în domeniul de olomorfie al funcţiei H( )în domeniul de olomorfie al funcţiei H(z).
( ) ( ) ( ) ( )j
j j jR IX z X e X e jX e
( ) ( ) ( ) ( )j R Iz ej
x(n) este o secvenţă reală
( ) TFTD{ ( )} ( )
( ) TFTD{ ( )} ( )
j jR p p
j j
X e x n X e
jX X
( ) TFTD{ ( )} ( )j jI i ijX e x n X e
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
Integralele se efect ea ă pe cerc l nitar Integralele se efectuează pe cercul unitar, 1
( ) ( ) , 12 R
z v dvX z X v z
j
( ) ( )
2
1( ) ( ) (0), 1
R
C
I
j z v v
z v dvX z X v x z
( ) ( ) ( ),2 I
C z v v
Pe C v=ejω şi vom exprima z sub forma z=rejω
1( ) ( ) , 1
2
j jj j
R j j
re eX re X e d r
Pe C, v e şi vom exprima z sub forma z re
( ) ( ) ,2 R j jre e
21 1 2 sin( )
( ) ( ) ( )j j j r jrX re jX re X e d
2
( ) ( ) ( )2 1 2 cos( )
j j jR I RX re jX re X e d
r r
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
Re ltă: Rezultă:
2
1 2 sin( )( ) ( ) , 1j j
I R
rX re X e d r
2( ) ( ) , 1
2 1 2 cos( )I RX re X e d rr r
Relaţia de mai sus permite calculul părţii Relaţia de mai sus permite calculul părţii imaginare a transformatei Z în exteriorul cercului unitar, în funcţie de partea reală, evaluată pe cerculunitar, în funcţie de partea reală, evaluată pe cercul unitar.
Procedând la fel cu cea de a doua ecuaţie se obţine:
1 2 sin( )( ) ( ) (0) 1j j
R I
rX re X e d x r
Procedând la fel cu cea de-a doua ecuaţie, se obţine:
2( ) ( ) (0), 1
2 1 2 cos( )R IX re X e d x rr r
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
21
2 sin( ) sin( )lim ctg
1 2 cos( ) 1 cos( ) 2r
r
r r
care tinde către atunci când θ→ω, aşa încât integralele vor trebui calculate în sensul de valoriintegralele vor trebui calculate în sensul de valori principale:
1 1( ) . . ctg
2 2j j
I RX e V P X e d
1( ) . . ctg (0)
2 2j j
R IX e V P X e d x
4.1 Restricţii în domeniul frecvenţă pentru ţ ţ psecvenţe reale cauzale
S d fi f Hilb f i Se defineşte transformata Hilbert pentru o funcţie periodică de perioadă 2 (transformata Hilbert în d i l f ă) idomeniul frecvenţă) prin:
{ }( ) ( ) tH f V P f d { }( ) . . ( ) ctg
2FH f V P f d
i ltă ă t ţă lă şi rezultă că pentru o secvenţă cauzală:
1( ) { }( )jX e H X ( ) { }( )
21
( ) { }( ) (0)
jI F R
j
X e H X
X e H X x
( ) { }( ) (0)2R F IX e H X x
4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă
C di i d il li î f ă Condiţia de unilateralitate în frecvenţă:
( ) 0 pentru 0jX e ( ) p
Ne propunem să vedem ce efecte are această restricţie asupra secvenţei x(n)restricţie asupra secvenţei x(n).
x(n) nu poate fi reală, pentru că altfel ar trebui ca
( ) ( )j jX e X e
( ) ( ) ( ) { ( )} { ( )}j R R( ) ( ) ( ), { ( )} , { ( )}R I R Ix n x n jx n x n x n R R
Se spune că x(n) este semnalul analitic asociatp ( )oricăreia din secvenţele reale xR(n) sau xI(n)
4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă
TFTD { ( )} TFTD{ ( )} TFTD{ ( )}jTFTD { ( )} TFTD{ ( )} TFTD{ ( )}
( ) ( )
R I
j jr i
x n x n j x n
X e jX e
Notăm:
1( ) TFTD ( ) TFTD ( ) ( )j
r RX e x n x n x n
( ) ( ) ( ) ( )2r R
1( ) TFTD{ ( )} TFTD ( ) ( )jX e x n x n x n
( ) TFTD{ ( )} TFTD ( ) ( )2i IX e x n x n x n
j
Deci:
1( ) ( ) ( )
2j j j
rX e X e X e
11( ) ( ) ( )
2j j j
ijX e X e X e
4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă
Atât cât şi s nt transformate ale( )jX ( )jX Atât cât şi sunt transformate ale
unor secvenţe reale, astfel încât( )j
rX e ( )jiX e
( ) ( )j jr rX e X e
( ) ( )j ji iX e X e ( ) ( )i i
2 ( ) 0jX e 2 ( ), 0( )
0, 0j rX e
X e
2 ( ), 0( )
0, 0
jj ijX e
X e
4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă
Condiţia de nilateralitate Condiţia de unilateralitate
( ) ( ) 0 pentru. 0j jr iX e jX e
( ), 0( )
( ) 0
jj r
i j
jX eX e
jX e
( ), 0jrjX e
( ) ( ) ( )j j ji HX e H e X e Sau ( ) ( ) ( )i H rX e H e X e
, 0( )j j
H
Sau
d ( ), 0
jH
jH e
j
t t f t l Hilb t id l
unde
este transformatorul Hilbert ideal.
4.2 Restricţii în domeniul timp pentru semnale ţ p punilaterale în domeniul frecvenţă
R( )jX ReIm
( )jX e
-π π 2π ω( )jX e
ω( )jX ( )j
rX e
ω( )j
iX e
ω
Transformatorul Hilbert idealf
, 0( )j j
H e
20( ) ( )
jj jH HH e e H e
( ), 0HH e
j 0 ( ) sign , ,j
HH e
Funcţia de pondere a transformatorului Hilbert
1
0j j
1
( ) ( )2
j jnH Hh n H e e d
02 2
jn jnj je d e d
j j j j1 1
2 2
jn jnj e j e
jn jn
2
2
jn jne e
n
2sin ( )1 cos 2 2( ) pentru 0H
nnh n n
n n
n n
(0) 0Hh
Transformatorul Hilbert idealf
Hh n2
2
2
3 2
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n
22
3
22sin ( )2 2
n
2
2 2 , 0( )
0 , 0
Hnh n
nn
0 , 0n
Transformatorul Hilbert idealf
Observaţii:
– Funcţia de pondere este, cum era de aşteptat, o funcţie impară.
– Filtrul obţinut este necauzal.
– Modulul şi argumentul funcţiei de transfer:Modulul şi argumentul funcţiei de transfer:
( )jHH e arg ( )j
HH e
ω2
ω ω
2
ω-π π
2
Transformatorul Hilbert idealf
– Se constată imediat că.( )
( ) ( ) ( )( )
jj j ji
r H ijH
X eX e H e X e
H e
– Rezultă în domeniul timp.
( ) ( ) ( ) ( )I R H T Rm
x n x m h n m x n
( ) ( ) ( ) ( )R I H T Im
x n x m h n m x n
d t t H t l t f tunde s-a notat cu H operatorul transformator Hilbert în domeniul timp
. .T Hh n
4.3 Generarea unui semnal BLU
Este utilă introducerea unui semnal analitic în b d d b ăbanda de bază.
Semnalul modulator real xR(n) de frecvenţă Semnalul modulator real xR(n) de frecvenţă maximă ωM
Semnal analitic asociat
( ) ( ) ( ) ( ) ( )j ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )R I I Rx n x n jx n x n x n
( ) 0 pentru 0jX e ( ) 0 pentru. 0jX e
4.3 Generarea unui semnal BLU
Semnalul modulat0( ) ( ) ( ) ( )j n
R Is n x n e s n js n
d t f ţ tăt
În domeniul frecvenţă
unde ω0 este frecvenţa purtătoare.
În domeniul frecvenţă
0(( ) ( )jjS e X e
1( ) TFTD ( ) ( ) ( )
2j j j
r RS e s n S e S e
1( ) TFTD ( ) ( ) ( )
2j j j
i IjS e j s n S e S e
4.3 Generarea unui semnal BLU
( )jrX e
-π M πω
M
( )jijX e
ω-π π
ω
( )jX e ( )X e
-π πω
4.3 Generarea unui semnal BLU
( )jS e
0 M ω
0-π π
( )jS e ( )rS e
ω-π π
( )jijS e
-π π
ω
4.3 Generarea unui semnal BLU
Dacă este tot un spectru de il l d i
0 ,M ( )jS e
( ) ( ) ( )j j ji H rS e H e S e
suport unilateral, deci
( ) ( ) ( )i H r
sR(n) este tocmai semnalul BLU căutat.
Semnalul complex poate se mai poate scrie ( )( ) ( ) j nx n A n e ( ) ( )
sau partea reală şi cea imaginară (componentele în cuadratură)cuadratură)
( ) ( ) cos ( )Rx n A n n ( ) ( )sin ( )Ix n A n n
4.3 Generarea unui semnal BLU
1
2 2 2( ) ( ) ( )R IA n x n x n ( )
( ) arctg( )
I
R
x nn
x n
Semnalul modulat complex va fi
( )Rx n
0( ( ))( ) ( ) j n ns n A n e
i t lă t l l ă t t iar partea sa reală este semnalul căutat
0 0 0( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( )sinR R Is n A n n n x n n x n n 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R I
+( )Rx n cos ( )Rs n+–
H
( )R0cos n ( )R
H0sin n( )Ix n
Demodulatorul BLUe odu o u U
0 0 0( ) ( )sin ( ) ( )sin ( )cosI R Is n A n n n x n n x n n
2 20 0 0 0( )cos ( )sin ( ) sin cos ( )R I R Rs n n s n n x n n n x n
0cos n 0cos n
( )Rs n ( )Rx n
0cos n
0sin n
( )Is n
H
4.4 Schimbătorul de frecvenţăţ
Fie x(n) un semnal real, de bandă limitată, centrat pe frecvenţa ω cu spectrul jX e pe frecvenţa ω0, cu spectrul jX e
Dorim să translatăm acest semnal de pe frecvenţa lă î ficentrală pe , în care poate fi
– pozitiv (conversie superioară de frecvenţă) sau1 0 0
– negativ (conversie inferioară).
Vom nota cu spectrul dorit. Soluţia jY e p ţobişnuită constă în multiplicarea cu , urmată de o filtrare cu un filtru trece-sus, dacă
cos n ,
, sau trece-jos, dacă .0 0
jH ( )x n ( )u n ( )y n jH e
cos n ( )x n ( )u n ( )y n
4.4 Schimbătorul de frecvenţăţ
jH e
( )x n ( )u n ( )y n
cos n
1 1cos jn jnu n x n n x n e x n e cos
2 2u n x n n x n e x n e
1 1j jjU e X e X e 2 2
U e X e X e
Vom considera cazul Prin filtrare trebuie0 Vom considera cazul . Prin filtrare trebuie eliminat spectrul centrat pe . Pentru ca acest lucru să fie posibil, este necesar ca
0
0
M acest lucru să fie posibil, este necesar ca M
Metoda se poate aplica numai pentru fi i t d
M
suficient de mare.
4.4 Schimbătorul de frecvenţă
jX e
ţ
0 M 0 0 M
0 0 0 M0
jY e
11
jU jU e jH e
0 M 0 M
0 M
4.4 Schimbătorul de frecvenţăţ
O metodă ce poate fi aplicată în condiţii mai lgenerale.
( )u n
( )y n( )x n +–
( )v n
cos n ( )y n( )x n
H( )Ix n
( )v n
sin n sin n
Este de fapt echivalentă cu o modulaţie cu bandă laterală unică a purtătoarei cos(nΔω) cu semnalullaterală unică a purtătoarei cos(nΔω) cu semnalul x(n)
S l l ( ) i i t l d d i Semnalul u(n) are expresia şi spectrul deduse mai sus.
4.4 Schimbătorul de frecvenţăţ
( )u n
( )( ) +–
( )v n
cos n ( )y n( )x n
H( )Ix n
( )v n
sin n sin n
1 1sin
2 2jn jn
I I Iv n x n n x n e x n ej j
2 2j j
1 1j jjI IV e X e X e
Prin scăderea spectrelor semnalelor u(n) şi x(n) se
2 2I Ij j
p ( ) ş ( )obţine spectrul semnalului dorit, y(n)
jX e
0 M 0 0 M
0
jY e
11 jU e
jIX e
jV e