1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis

4/2/2016 2

Z=f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xkyk

),( kk yx

n

i

n

i

kkk Ayxf1 1

),(

n

i

n

i

kkkn

Ayxf1 1

),(lim

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

n

i

n

i

kkkn

R

AyxfdAyxf1 1

),(lim),(

)y,x( kk

a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang

Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

4/2/2016 3

n

k

kkkP

Ayxf1

0),(limJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut RR

dxdyyxfdAyxf ),(),(

R

dAyxf ),(

n

k

kkkP

Ayxf1

0),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan

oleh :

R

dydxyxf ),(

n

k

kkkkP

yxyxf1

0),(lim

atau

4/2/2016 4

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,

maka R

dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.

Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

4/2/2016 5

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

d

a b

z

x

A(y)

b

a

dxyxfyA ),()(

A(y)

4/2/2016 6

d

cR

dyyAAdyxf )(),(

d

c

b

a

dydxyxf ),(

d

c

b

a

dydxyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),(

d

c

b

a

dydxyxf ),(

(ii) Sejajar bidang YOZ

4/2/2016 7

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

d

c d

z

y

A(x)

d

c

dyyxfxA ),()(

A(x)

4/2/2016 8

b

aR

dxxAAdyxf )(),(

b

a

d

c

dxdyyxf ),(

b

a

d

c

dxdyyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),(

b

a

d

c

dydxyxf ),(

4/2/2016 9

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : R

dAyx 22 2

dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}

Jawab:

R

dAyx 22 2

6

0

4

0

22 2 dxdyyx

6

0 0

4

32

3

2dxyyx

6

0

2

3

1284 dxx

0

6

3

3

128

3

4xx 544256288

R

6

4

y

x

4/2/2016 10

R

dAyx 22 2

4

0

6

0

22 2 dydxyx

4

0 0

6

23 23

1dyxyx

4

0

21272 dyy

0

4

3472 xx 544256288

Atau,

4/2/2016 11

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : R

dAyxsin

dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}

R

/2

/2

y

x

Jawab:

R

dAyxsin / 2 / 2

0 0

sin x y dx dy

/ 2 / 2

00

cos( )x y dy

/ 2

0

cos cos2

y y dy

2/

0

2/

0 2sinsin

yy

sin sin sin 2.2 2

4/2/2016 12

1

0

1

0

22

. dxdyexya yx

2

0

1

1

2. dxdyxyb

1

0

2

0

2 1. dxdy

x

yc

1. Hitung

2. R

dydxyxf , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]

4/2/2016 13

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1. RR

dAyxfkdAyxfk ,,

2. RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,

3. Jika R = R1 U R2 , maka

21

,,,RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

RR

dAyxgdAyxf ,,

Ada dua jenis :

◦ Jenis I (x konstan)

D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }

◦ Jenis II (y konstan)

D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }

4/2/2016 14

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

4/2/2016 15

D

a b x

q(x)

p(x)

y

b

a

xq

xpD

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

),(),(

D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}

x

y

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

4/2/2016 16

d

c

ys

yrD

dydxyxfdAyxf

)(

)(

),(),(

D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}

x

y

D

c

d

r (y) s (y)

x

Urutan pengintegralan dalam integral lipat duatergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubahurutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan denganperubahan urutan pengintegralan akan memudahkandalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapatmenggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapatmerubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsadaerah integrasi. (pandang daerah integrasi sebagai daerahjenis I atau jenis II)

4/2/2016 17

4/2/2016 18

1. Hitung R

x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y

xR

R

x dAey2

1

0 0

2

2

y

x dydxey

1

00

2

2 dyeyy

x

1

0

122

dyey y

2111

0

22

eeye y

x

y

x = y2

1

1

R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}

4/2/2016 19

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

R

x dAey2

1

0

1

2x

x dxdyey

1

0

12 dxye

x

x

1

0

dyxee xx

1

0

xxx exee

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y x

y

x = y2

1

1

2)11(2 eee

4/2/2016 20

4

0

2

2

2

.2 dxdyex

y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}Jawab:

x R

x

y

y = x/2

4

2

y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}Sehingga

4

0

2

2

2

dxdyex

y

2

0

2

0

2

dydxe

y

y

142

0

2

ee y

2

0

2

0

2

dyxeyy

2

0

2

2 dyey y

x=2y

4/2/2016 21

3

1

33

.1 dydxex

y

y

y

2

0 0

sin

cos.2

dxdy

x

xy

1

0

12

.5 dxdyex

y

34 2

0

6. x

y

e dx dy

1

0

2

0

2 1.3 dxdy

x

y

2

0

2

0

)sin(.4

dydxyx

2

0

4

0

2

.7 dxdyyx

x

2

0 0

cos

sin.8

dxdy

x

xy

Hitung

4/2/2016 22

D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y24}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk

diselesaikan.

Sistem Koordinat Polar

rP(r,)

x

y

=0 (sumbu polar)

Hubungan Kartesius – Polarx = r cos x2+y2=r2

y = r sin = tan-1(y/x)

22 yxr

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D

4/2/2016 23

D={(r, )| a r b, }

?),( D

dAyxf

Sumbu Polar/Kutub

Ak

r=b

r=a

=

=

D

Ak

rk-1

rk

Pandang satu partisi persegipanjang polar Ak

Luas juring lingkaran dengansudut pusat adalah ½ r2

Ak = ½ rk2 - ½ rk-1

2

= ½ (rk2 - rk-1

2) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)= r r

Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)

1. Hitung

4/2/2016 24

Sehingga

pk DD

ddrrrrfdAyxf )sin,cos(),(

D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y24}

Contoh:

2. Hitung D

dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1

4/2/2016 25

D

yx dAe22

.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,)| 0 r 2, 0 2}Sehingga

D

yx dAe22

2

0

2

0

2

ddrrer

14 e

2

0

2

0

2

2

1der

2

0

4

2

1

2

1de

2

2

x

y

D r

Jawab.

4/2/2016 26

D

dAy.2 dengan D adalah persegipanjang polardi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1

D = {(r,)| 1 r 2, 0 /2}

Sehingga

D

dAr

2/

0

2

1

sin

ddrrr

3

7cos

3

7 2/

0

2/

0

2

1

3 sin3

1

dr

2/

0

sin183

1

d

21 x

y

D

r

1. Hitung

4/2/2016 27

1

0

1

0

22

2

4

x

dxdyyx

2. Hitung

1

0

1

0

22

2

)sin(

y

dydxyx

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat polar/kutub.

1. D={(r, )| 1() r 2(), }

2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)}

4/2/2016 28

Sumbu Polar

r=2()

r=1()

=

=

D

Sumbu Polar

r=b

r=a

=2(r)

=1(r)D

4/2/2016 29

1 2

1

D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2}

Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 D

Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1

x2 – 2x + 1 + y2 = 1

x2 + y2 = 2x

r2 = 2r cos

r2 – 2r cos =0

r (r – 2 cos )=0

r = 0 atau r = 2 cos

Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2

Sehingga,

4/2/2016 30

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

=/4

1 2 x

y

D220 xxyy

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1

Sehingga D dalam koordinat polarnya adalah

Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos = 1 r = sec

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

hingga r = 2 cos

21 xxBatas x:

Batas y:

22 2 xxy 02 22 yxx

11 22 yx

4/2/2016 31

D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 }

1

1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1

x2 + y2 – 2y + 1 = 1

x2 + y2 = 2y

r2 = 2r sin

r2 – 2r sin =0

r (r – 2 sin )=0

r = 0 atau r = 2 sin

Untuk batas (dari gambar) =0 =

Sehingga,

4/2/2016 32

1

1

D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}

x = 0 x = 1

y = 0 y = x

Sehingga koordinat polarnya adalah

Untuk batas r

x = 1 r cos = 1 r = sec

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

D

4/2/2016 33

1. Hitung

2

1

2

022

2

1xx

dydxyx

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:

x = 1 x = 2

y = 0 y = 22 xx

y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

=/4

1 2 x

y

D

D dalam koordinat polarnya adalah

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

4/2/2016 34

2

1

2

022

2

1xx

dxdyyx

4/

0

cos2

sec

.1

ddrrr

4/

0tanseclnsin2

4/

0

cos2

sec

dr

4/

0

seccos2

d

Sehingga,

0tan0secln0sin24

tan4

secln4

sin2

1ln12ln22

1.2

12ln2

4/2/2016 35

1. Hitung

S

ddrr , S daerah dalam lingkarandan di luar

2. Hitung 1 1

2

0 x

x dy dx

3. Hitung D

dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x

(dengan koordinat polar)

4. Hitung

D

dAyx 229

1 , D daerah di kuadran I dalamlingkaran dan di luarlingkaran

422 yx

122 yx

4)2( 22 yx

422 yx

1. Partisi balok B menjadi n bagian;B1, B2, …, Bk, …, BnDefinisikan |||| = diagonal ruangterpanjang dari Bk

2. Ambil3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsiw = f(x,y,z) terintegralkanRiemann pada balok B, ditulis

4/2/2016 37

x

y

z

xk

yk

)z,y,x( kkk

B

Bk zk

kkkk Bzyx ),,(

k

n

k

kkk Vzyxf

1

0),,(lim

n

k

kkkk Vzyxf1

),,(

k

n

k

kkk

B

VzyxfdVzyxf

1

0),,(lim),,(

vk = xk yk zk dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

4/2/2016 38

BB

dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(

4/2/2016 39

B

dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}

Jawab.

B

dVyzx2 dzdydxyzx

2

1

1

0

2

1

2

dzdyxyz

2

1

1

0

2

1

3

3

1

dzyz

2

1

1

0

2

2

1

3

7

2

1

2

2

1

6

7

z

4

7

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

4/2/2016 40

x

y

z

B

S

S

dVyzx2Hitung , Jika S benda padat sembarang

(gb. 1)

Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S

4/2/2016 41

b

a

x

x

yx

yxS

dxdydzzyxfdVzyxf

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

),,(),,(

S

dVzyxf ),,(

x

y

z

S

Sxyb

a

y=2(x)y=1(x)

z=2(x,y)

z=1(x,y)

(gb. 2)

4/2/2016 42

2

0 0

2

2

2

12

x

dxdyxxy

2

0 0

242

2

1

4

124 dxyxxx

x

2

0

753

8

12 dxxxx

2

0

864

64

1

6

1

2

1xxx

3

44

3

328

Hitung

2

0 0

2

12

0

2

2

xx

dxdydzxyz

Jawab :

2

0 0

2

12

0

2

2

xx

dxdydzxyz

4/2/2016 43

2/

0 0 0

)sin(

z y

dxdydzzyxHitung