Post on 08-Dec-2015
11. Serii de puteri. Teorema lui Abel.
Dezvoltări în serie Taylor Fie şirul de funcţii CDDzzf n ⊂∈ ,)),(( . Spunem că şirul de funcţii considerat este convergent în punctul Dz ∈0 dacă şirul de numere complexe
))(( 0zf n este convergent. Definiţia 1. Şirul de funcţii Dzzf n ∈)),(( este uniform convergent pe mulţimea DA ⊂ către funcţia Azzf ∈),( , , dacă pentru orice număr 0>ε
există un număr natural )(0 εn astfel încât pentru )(0 εnn > să avem: Azzfzf n ∈∀<− ,)()( ε .
1
Onl
y fo
r stu
dent
s
Fie seria de funcţii ∑∞
=1
)(n
n zf . Spunem că seria este convergentă în Dz ∈0 ,
dacă seria ∑∞
=10 )(
nn zf . este convergentă. Mulţimea punctelor de convergenţă
ale seriei le numim mulţimea de convergenţă.
Definiţia 2. Seria de funcţii ∑∞
=1
)(n
n zf este uniform convergentă pe
mulţimea DA ⊂ şi are suma funcţia AzzS ∈),( , dacă şirul sumelor parţiale
))(( zSn al seriei ∑∞
1
)(zf n , unde:
DzzfzfzfzS nn ∈+++= ),(...)()()( 21 converge uniform pe mulţimea A către S(z). Are loc:
Propoziţia 1. Fie Dzzfn
n ∈∑∞
=
,)(1
, o serie de funcţii şi 0,0
>∑∞
=n
nn uu , o
serie convergentă. Dacă pentru orice DAz ⊂∈ , şi nn uzfNn ≤∈∀ )(, ,atunci
seria de funcţii ∑∞
=1
)(n
n zf , este uniform convergentă pe mulţimea DA ⊂ .
Dacă nnn zczf =)( , sau n
n azc )( − , obţinem seriile de puteri: ∑∞
=1n
nn zc , sau
nn
nn cazc ,)(
1∑
∞
=
− şi Ca ∈ .
Are loc:
Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri ∑∞
=1n
nn zc există un număr
R 0≥ numit rază de convergenţă, căruia îi corespunde în planul complex cercul ΙzΙ=R numit cerc de convergenţă, având următoarele proprietăţi:
1. În interiorul cercului de convergenţă Rz < seria de puteri este
absolut convergentă; 2. În exteriorul cercului de convergenţă Rz > seria este divergentă;
3. În orice disc interior cercului de convergenţă Rrz <≤ seria este
uniform convergentă. Ca şi în cazul seriilor de puteri reale, raza de convergenţă se determină conform teoremei Cauchy - Hadamard
2
Onl
y fo
r stu
dent
s
nnc
n
R lim___
,1
∞→
== ωω
(1) sau
n
n
c
c
n
R 1lim___
,1 +
∞→
== ωω
.
Dezvoltări în serie Taylor. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-un domeniu D şi a un punct interior lui D. Considerăm un cerc (C) cu centrul în punctul a şi de rază r situat în domeniul de olomorfie (figura) y D r u z a ρ C x 0 Vom nota cu z un punct interior cercului (C) şi , şi cu u un punct oarecare de pe (C), rau =− . Conform formulei lui Cauchy putem scrie:
(2) ∫ −=
C
duzu
uf
izf
)(
2
1)(
π.Observăm că :
(3)
−
−
−+
−
−++
−
−+
−=
−⋅
−=
− −−
+
−−
auaz
nn
auaz au
az
au
az
au
az
auauzu 1
1...1
1
1
1111
Înlocuind relaţia (3) în (2), vom obţine: (4)
∫ ∫ ∫ +−
−++
−
−+
−=
+
C C
n
Cn
n
Rduau
uf
i
azdu
au
uf
i
azdu
au
uf
izf
12 )(
)(
2
)(...
)(
)(
2
)(
2
1)(
πππ
unde
(5) ∫ −−−−
−=
+
+
Cn
n
nazauau
duuf
i
azR
)]()[()(
)(
2
)(1
1
π .
3
Onl
y fo
r stu
dent
s
Ţinând seama de expresia derivatelor unei funcţii olomorfe,
∫ +−=
Cn
n
au
duuf
i
naf
1)(
)(
)(
2
!)(
π egalitatea (4) devine:
(6) nn
n
Razn
afaz
afafzf +−++−+= )(
!
)(...)(
!1
)()()(
)(/
.
Notând )(sup zfMCz∈
= , obţinem pentru termenul complementar nR :
∫∫ ⋅−
⋅
≤
−⋅−
−≤
+
+
+
C
n
Cn
n
n udrr
M
rau
udufazR
ρ
ρ
πρπ
1
2
)(
2
1
1
1
adică 1+
⋅
−≤
n
n rr
MrR
ρ
ρ. Cum 1<
r
ρ rezultă 0lim =∞→
nn
R şi din (6) obţinem:
(7) ∑∞
=
−=0
)(
)(!
)()(
n
nn
azn
afzf
care reprezintă dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei olomorfe f(z) . 12. Seria lui Laurent. Puncte singulare. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-o coroană circulară { }12 razrD ≤−≤= :
y )( 1γ D 1r
*u * z a 2r )( 2γ 0 *v x
Vom nota cu 1γ şi 2γ cercurile ce delimitează coroana circulară D.
Ne propunem să găsim pentru funcţia f(z) o reprezentare sub formă de serie după puterile lui z-a. Dezvoltarea găsită se va numi dezvoltarea funcţiei f(z) în serie Laurent în coroana circulară D. Aceasta ne va conduce la o generalizare a seriilor de puteri, ajungându-se la serii bilaterale, cu ocazia cărora se va introduce şi noţiunea de reziduu. Fie z un punct interior coroanei D. Atunci conform formulei integrale a lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe, pentru valoarea funcţiei f(z) avem expresia:
(1) ∫∫ −−
−=
21
)(
2
1)(
2
1)(
γγππ zu
duuf
izv
dvvf
izf .
4
Onl
y fo
r stu
dent
s
Punctul z fiind interior cercului )( 1γ , procedând ca şi în cazul seriei Taylor, prima integrală din (1) se poate scrie sub forma unei serii Taylor:
(2) n
nn azc
zv
dvvf
i∑∫
∞
=
−=− 0
)()(
2
1
1γπ
unde:
(3) ,...}2,1,0{,)(
)(
2
1
1
1∈
−= ∫ +
nav
dvvf
ic
nn
γπ
.
A doua integrală din (1) se poate scrie sub forma
( ) ( )∫ ∫∫
−⋅++++
−=
−−−=
−−
−−
+
−−
−−
−−
2 221
1...1
)(
2
1
)()(
)(
2
1)(
2
1 1
γ γγπππ
duaz
uf
iauaz
duuf
izu
duuf
i azau
n
azaun
azau
azau
Notând cu u un punct oarecare de pe cercul ( 2γ ) şi az −=ρ , avem
12 <=−−
ρ
razau .
Deci:
(4) ∫∑∫ +−⋅−
=−
− −+
=22
11
1
))((2
1
)(
1)(
2
1
γγ ππn
kn
kk
Rduauufiazzu
duuf
i unde
(5) duufi
R azn
azau
n −
+
−− ⋅= ∫ 11))((
2
1
2γπ
.
Aplicând proprietatea modulului integralei în complex şi notând )(sup
2
zfMz γ∈
= ,obţinem:
2
2
1
2
r
rrMR
n
n−
⋅≤
+
ρρ .
Deoarece 12 <ρ
r , rezultă 0lim =∞→
nn
R şi astfel relaţia (4) devine:
∑∫∞
=
−− −=
− 1
)()(
2
1
2n
nn azc
uz
duuf
i γπ, unde
(6) duauufi
c nn
1))((2
1
2
−− ∫ −=
γπ .
Înlocuind expresiile (2) şi (6) în (1), obţinem pentru funcţia f(z) în coroana
5
Onl
y fo
r stu
dent
s
circulară D următoarea dezvoltare:
(7) ∑ ∑ ∑∞
−∞=
−
−∞=
∞
=
−+−=−=n n n
nn
nn
nn azcazcazczf
1
0
)()()()( ,
unde
(8) ,,))((2
1Znduauuf
ic n
n ∈−= ∫γπ
iar (γ ) este un cerc oarecare cu centrul în punctul a şi de rază r )( 12 rrr << .
Seriile n
nn
n
nn azcazc )(,)(
0
1
−− ∑∑∞
=
−
−∞=
se numesc respectiv partea principală şi
partea tayloriană a seriei Laurent. Puncte singulare. Definiţia 1. Fie f(z) o funcţie definită în domeniul D şi a un punct aparţinând domeniului D. Spunem că punctul a D∈ este un punct ordinar al funcţiei f(z), dacă există o vecinătate V a punctului a inclusă în D , unde f(z) se poate dezvolta în serie Taylor, deci putem scrie:
(9) ∑∞
=
⊂∈−=0
,)()(n
nn DVzazczf .
Un punct care nu este punct ordinar pentru funcţia f(z) se numeşte punct singular. Un punct a D∈ este un zero multiplu de ordinul m al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a inclus în D astfel încât: (10) 0...],)([)()( 1 ≠+−+−= + mmm
m cazccazzf . Propoziţia 1. Zerourile unei funcţii olomorfe într-un domeniu sunt puncte izolate. Definiţia 2. Un punct a D∈ este un pol al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a, inclus în domeniul D, în care funcţia f(z) poate fi scrisă sub forma unei serii Laurent cu un număr finit de puteri negative a lui z-a, adică:
(11) ∑∞
=
−− −+−
++−
=0
1 )(...)(
)(n
nnm
m azcaz
c
az
czf .
Numărul m reprezintă ordinul polului z = a al funcţiei f(z). Un punct singular care nu este pol pentru o funcţie se numeşte un
punct singular esenţial. Observăm că dacă a este un punct singular izolat pentru funcţia f(z),
atunci există coroana circulară ∆={0<Ιz- aΙ r≤ } în care f(z) are o dezvoltare în serie Laurent cu o infinitate de termeni cu puteri negative ale lui z-a. Deci, în acest caz putem scrie seria Laurent:
6
Onl
y fo
r stu
dent
s
n
nn azczf )()( −= ∑
∞
−∞=
partea principală a seriei Laurent având un număr infint de termeni. O funcţie f(z) care într-un domeniu D nu are decât puncte ordinare sau poli se numeşte funcţie meromorfă în D. Propoziţia 2. Dacă f(z) este o funcţie raţională ireductibilă )(
)()( zQzPzf = ,
atunci zerourile de ordinul m a lui Q(z) sunt poli de ordinul m pentru funcţia f(z).
7
Onl
y fo
r stu
dent
s