Post on 23-Jul-2020
Mécanique du point
3. OSCILLATEURS MECANIQUES Ø Oscillateurs forcés
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Sommaire
1. Objec2fs 2. Oscilla2ons forcées 3. Etude de l’élonga2on 4. Etude de la vitesse
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1. OBJECTIFS • Savoir u2liser la nota2on complexe pour la résolu2on du problème de l’oscillateur forcé.
• Comprendre qu’un oscillateur peut, en étant excité et sous certaines condi2ons d’amor2ssement, entrer en résonance.
• Assimiler la no2on de résonance en mécanique en faisant la différence entre l’évolu2on de l’amplitude et celle de la vitesse en fonc2on de la fréquence de pulsa2on.
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2. OSCILLATEURS FORCES
a) DéfiniIons • Oscillateur harmonique • Oscillateur amor2
⇒ Oscilla2ons libres de période déterminée par les caractéris2ques de l’oscillateur
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• Remédier à l’amor2ssement des oscilla2ons (ex. balancier d’horloge) – apporter l’énergie juste nécessaire pour compenser les pertes et entretenir les oscilla2ons – le système con2nue à osciller avec la même période que celle fixée par le système
⇒ Oscilla2ons entretenues
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• Forcer l’oscillateur à osciller à une fréquence différente de celle avec laquelle il oscille librement
⇒ Oscilla2ons forcées • Amplitude des oscilla2ons ↗↗ dans certaines condi2ons
⇒ Résonance ⇒ rupture
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b) Le pendule élasIque verIcal
• Quatre cas 1) Ressort AB au repos : • longueur l0
2) {Ressort + masse} à l’équilibre :
• longueur le • allongement Δle
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3) {Ressort + masse} déformé : • allongement Δl = l – l0 = Δle + x(t)
4) {Ressort + masse} soumis à une vibra2on extérieure :
• déplacement de A par rapport à sa posi2on d’origine Ω
• allongement Δl = Δle + x(t) – X(t)
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O
Ω fixe
A A AA
B
l0
Δle x(t)
X(t)
x
ux
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• Résolu2on du problème de dynamique → équa2on différen2elle du mouvement
avec F(t) force excitatrice sinusoïdale
e amplitude des oscilla2ons F0 = ke amplitude de la force excitatrice
)()(.)(.)(.)(. tFtXktxktxtxm ==++ α
)cos()cos()( 0 tFtketF ωω ==
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• Équa2on obtenue
⇒ équa2on différen2elle de
l’oscillateur amor2 auquel on applique une force excitatrice F
Fxkxxm =++ ... α
c) SoluIon de l’équaIon différenIelle • SG = SG ESSM + SP EASM – Solu2on Générale de l’Equa2on Sans Second Membre : correspond au régime transitoire avec retour à la posi2on d’équilibre (cf. oscillateur amor2) – Solu2on Par2culière de l’Equa2on Avec Second Membre : correspond au régime permanent → mouvement sinusoïdal de même pulsa2on que la force excitatrice mais de phase différente (déphasage ϕ)
janvier 17 12 )cos()( 0 ϕω += tXtx
EvoluIon de l’amplitude de l’oscillateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement
L’amplitude passe par un maximum pour une valeur proche mais inférieure à la pulsa;on propre sauf si l’amor;ssement devient trop fort.
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EvoluIon de la phase de l’oscillateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement
A basse fréquence le résonateur est en phase avec l’l’excitateur puis vibre en opposi;on de phase avec celui-‐ci à haute fréquence. A la fréquence propre, les deux systèmes sont en quadrature.
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ÉvoluIon de la vitesse du résonateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement.
La résonance de vitesse se produit toujours à la pulsa;on propre du résonateur et elle est d’autant plus aigüe que l’amor;ssement est faible.
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ÉvoluIon de la phase de la vitesse du résonateur par rapport à la phase de l’excitateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement.
A la résonance la vitesse du résonateur et la force excitatrice sont en phase.
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Bandes passantes observées pour deux valeurs de l’amorIssement
Pour une valeur de Q élevée, la résonance est aiguë et la bande passante étroite.
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