ΑΝΑΛΥΣΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ

3. Στατιστική Συµπερασµατολογίαγια ποιοτικές µεταβλητές

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2

Η έννοια της ΣτατιστικήςΣυµπερασµατολογίας(Statistical Inference)

Συµπερασµατολογία (Inference): εξαγωγήσυµπεράσµατος µε βάση κάποια στοιχείαΣτατιστική Συµπερασµατολογία (Statistical inference): Ένα σύνολο από διαδικασίες µετις οποίες το µέγεθος του δείγµατος καιστατιστικά µέτρα που υπολογίζονται από τοδείγµα χρησιµοποιούνται για την εκτίµησηπαραµέτρων του πληθυσµού

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 3

Στατιστικά µέτρα και ΠαράµετροιΣτατιστικά µέτρα (Statistics): τιµές πουυπολογίζονται από το δείγµαΠαράµετροι (Parameters): Τιµές που µπορούννα υπολογιστούν µόνο σε απογραφήπληθυσµού και αποτελούν ακριβείς µετρήσειςτου πληθυσµούΟι παράµετροι αντιπροσωπεύουν «αυτό πουθέλουµε να µάθουµε» για έναν πληθυσµό. Τα στατιστικά χρησιµοποιούνται στην εκτίµησητων παραµέτρων του πληθυσµού

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 4

Εκτίµηση παραµέτρωνΕκτίµηση παραµέτρου: η διαδικασία χρήσηςπληροφοριών από το δείγµα για τονυπολογισµό ενός διαστήµατος πουπεριγράφει το εύρος των τιµών που µπορείνα πάρει µια παράµετρος του πληθυσµού µεκάποια πιθανότητα∆ιάστηµα εµπιστοσύνης – δ.ε. (Confidence interval): Ένα εύρος τιµών µέσα στο οποίοέχουµε εµπιστοσύνη ότι θα «πέσει» ηάγνωστη παράµετρος. Η εµπιστοσύνηεκφράζεται µε µια πιθανότητα (συνήθως90%, 95%, 99%)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 5

Κατηγορικές (Ποιοτικές) µεταβλητές

Εύρεση δ.ε. για τα ποσοστά από τονπίνακα συχνοτήτωνΣχέση ανάµεσα σε δύο ποιοτικέςµεταβλητές – διαδικασία Crosstabs

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 6

Παράδειγµα (data: L_research.sav)

Type of Question Variable Label

L_use Use L_store N_use Use N_store Dwell Type of Dwelling sex Respondent's Sex work Work Status

Demographic

Commute Pass by L & N stores on way to work? Bargain Look for bargains cash Always pay cash Quick Like quick, easy shopping Knowme Shop where they know my name

Lifestyle

Hurry Always in a hurry

Value Label L_use 0 Do Not Use Regularly 1 Use Regularly N_use 0 Do Not Use Regularly 1 Use Regularly dwell 1 Own Home 2 Rent sex 1 Male 2 Female work 1 Full-Time 2 Part-Time 3 Retired/Do Not Work commute 0 No 1 Yes bargain 1 Disagree 2 Neither Agree Nor Disagree 3 Agree cash 1 Disagree 2 Neither Agree Nor Disagree 3 Agree quick 1 Disagree 2 Neither Agree Nor Disagree 3 Agree knowme 1 Disagree 2 Neither Agree Nor Disagree 3 Agree hurry 1 Disagree 2 Neither Agree Nor Disagree 3 Agree

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 7

Εκτίµηση ποσοστού

Να βρεθεί δ.ε. για το ποσοστό τωνκατοίκων περιοχής που έχει δικό τουσπίτιΑπό διαδικασία Frequencies:

Type of Dwelling

29 17,9 17,9 17,9133 82,1 82,1 100,0162 100,0 100,0

Own HomeRentTotal

ValidFrequency Percent Valid Percent

CumulativePercent

p=0.179

q=1-p=0.821n=162

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 8

Υπολογισµός δ.ε. για ποσοστό

Ορίζουµε επίπεδο εµπιστοσύνης (confidence level) – συνήθως 95%Από πίνακες κανονικής κατανοµής:

Για 95%δ.ε. ⇒ z=1.96Τύποι υπολογισµού:

npqzp +

npqzp −

Κάτω όριο Άνω όριο

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 9

Υπολογισµός δ.ε.

Υπολογισµός:

95% δ.ε.:(0.120, 0.238) ή (12%, 23.8%)

162821.0179.096.1179.0 ⋅

−

Κάτω όριο Άνω όριο

162821.0179.096.1179.0 ⋅

+

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 10

Σχέση δύο µεταβλητών

Παραδείγµατα:Έχουν τα δύο καταστήµατα (L και N) τους ίδιουςπελάτες;Ποιο είναι το δηµογραφικό προφίλ των πελατώντου κάθε καταστήµατος (δηλ. ποια η σχέση τωνδηµογραφικών µεταβλητών µε την προτίµησηκαταστήµατος);Ποιο είναι το προφίλ του τρόπου ζωής τωνπελατών του κάθε καταστήµατος (όµοια για τιςµεταβλητές τρόπου ζωής);

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 11

Παράδειγµα

Οι µεταβλητές L_use και N_use έχουντιµές:

1=use regularly0=do not use regularly

Μας ενδιαφέρει να πάρουµε την κοινήκατανοµή τουςΚατασκευή πίνακα συνάφειας(contingency table)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 12

∆ιαδικασία Crosstabs – επιλογή

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 13

∆ιαδικασία Crosstabs:Ορισµός µεταβλητών

Στατιστικάµέτρα γιαέλεγχο τηςσχέσης

Ορισµόςµεταβλητώνστιςγραµµές καιστήλες τουπίνακα

Μορφήκελιώνπίνακα

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 14

∆ιαδικασία Crosstabs:ορισµός στατιστικών µέτρων

Εµφάνιση ποσοστώνγραµµών, στηλών, συνολικό

Στατιστικόςέλεγχοςανεξαρτησίαςχ2

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 15

∆ιαδικασία Crosstabs:Αποτελέσµατα – πίνακας συνάφειας

• Από αυτούς που χρησιµοποιούν τακτικά το L, το 63,9% χρησιµοποιείτακτικά το Ν.

• Από αυτούς που χρησιµοποιούν τακτικά το N, το 37,4% χρησιµοποιείτακτικά το L.

• Από το σύνολο των ερωτηθέντων, το 28.4% χρησιµοποιεί τακτικά και ταδύο µαγαζιά

Use L_s tore * Use N_store Cros stabulation

13 77 9014,4% 85,6% 100,0%33,3% 62,6% 55,6%8,0% 47,5% 55,6%

26 46 7236,1% 63,9% 100,0%66,7% 37,4% 44,4%16,0% 28,4% 44,4%

39 123 16224,1% 75,9% 100,0%

100,0% 100,0% 100,0%24,1% 75,9% 100,0%

Count% w ithin Use L_store% w ithin Use N_store% of TotalCount% w ithin Use L_store% w ithin Use N_store% of TotalCount% w ithin Use L_store% w ithin Use N_store% of Total

Do Not Use Regularly

Use Regularly

Use L_store

Total

Do Not UseRegularly Use Regularly

Use N_store

Total

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 16

∆ιαδικασία Crosstabs:Αποτελέσµατα – Στατιστικός έλεγχος

• Επειδή sig.=0.001<0.05, προκύπτει ότι υπάρχει σηµαντική σχέση ανάµεσαστις µεταβλητές

• Απορρίπτεται η υπόθεση της ανεξαρτησίας

Chi-Square Tests

10,273b 1 ,0019,122 1 ,003

10,311 1 ,001,002 ,001

10,210 1 ,001

162

Pearson Chi-SquareContinuity Correctiona

Likelihood RatioFisher's Exact TestLinear-by-LinearAssociationN of Valid Cases

Value dfAsymp. Sig.

(2-sided)Exact Sig.(2-sided)

Exact Sig.(1-sided)

Computed only for a 2x2 tablea.

0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is17,33.

b.

Έλεγχοςχ2

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 17

∆ιαδικασία Crosstabs:Αποτελέσµατα – Ερµηνεία του ελέγχου

Από την πλευρά του L:Από αυτούς που δεν το επισκέπτονται συχνά (90 άτοµα) το 85,6% χρησιµοποιεί συχνά το NΑπό αυτούς που το επισκέπτονται συχνά (72 άτοµα) το ποσοστό που χρησιµοποιεί συχνά το Νείναι 63,9%

Οι τακτικοί πελάτες του L συµπεριφέρονταιως προς το Ν διαφορετικά από τουςπεριστασιακούς (οι κατανοµές διαφέρουν)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 18

∆ιαδικασία Crosstabs:Αποτελέσµατα – Ερµηνεία του ελέγχου

Από την πλευρά του Ν:Από αυτούς που δεν το επισκέπτονται συχνά (39 άτοµα) το 66.7% χρησιµοποιεί συχνά το LΑπό αυτούς που το επισκέπτονται συχνά (123άτοµα) το ποσοστό που χρησιµοποιεί συχνά το Lείναι 37,4%.

Οι τακτικοί πελάτες του N συµπεριφέρονταιως προς το L διαφορετικά από τουςπεριστασιακούς (οι κατανοµές διαφέρουν)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 19

∆ιαδικασία Crosstabs:Αποτελέσµατα – Γραφική παράσταση

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 20

Άλλα ερωτήµατα

Υπάρχει σχέση ανάµεσα στις άλλεςδηµογραφικές µεταβλητές και στιςL_use και N_use;Υπάρχει σχέση ανάµεσα στιςµεταβλητές τρόπου ζωής και στιςL_use και N_use;Να γίνουν οι απαραίτητοι έλεγχοι

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 21

Γενικά για σχέση ανάµεσα σεµεταβλητέςΕρωτήµατα:1. Υπάρχει; Έχουµε ενδείξεις σχέσηςανάµεσα σε δύο µεταβλητές πουµελετάµε;

2. Ποια η φύση της; Είναι θετική ήαρνητική;

3. Ποια η ισχύς της; Πόσο ισχυρή είναι ησχέση;

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 22

Πίνακες συνάφειαςΠίνακας συνάφειας: αποτελείται απόγραµµές και στήλες που ορίζονται απότις κατηγορίες των δύο µεταβλητώνΣε κάθε κελί υπάρχουνΣυχνότηταΠοσοστό γραµµήςΠοσοστό στήληςΠοσοστό στο σύνολο

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 23

Χρησιµότητα

Οι πίνακες συνάφειας είναι ιδιαίτεραχρήσιµοι όταν έχουµε ονοµαστικέςµεταβλητές και θέλουµε να ελέγξουµεαν είναι συσχετισµένεςΗ ύπαρξη συστηµατικής σχέσηςανιχνεύεται µε τον έλεγχο χ2 (Chi-Square test)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 24

Ο έλεγχος χ2

Βασίζεται στον υπολογισµό ενός µέτρουαπό τις συχνότητες του πίνακα συνάφειαςΗ αρχική (µηδενική) υπόθεση είναι ότι οιδύο µεταβλητές δεν είναι συσχετισµένεςΑπό τις παρατηρούµενες (Observed)συχνότητες υπολογίζονται οιαναµενόµενες (expected frequencies):

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 25

ΠαράδειγµαΥπάρχει σχέση ανάµεσα στη µελέτηκαι στην επίδοση σε διαγώνισµα;Θα χρησιµοποιήσουµε τον έλεγχο χ2

για να ελέγξουµε αν υπάρχεισηµαντική συσχέτισηΘα προσπαθήσουµε να ορίσουµε τηφύση της σχέσης από τα ποσοστάγραµµών και στηλών

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 26

ΜεταβλητέςDid you study for the midterm test? __yes __noHow did you perform on the midterm test? __pass __fail

Did You Study for the Test? * How Did You Perform on theTest? Crosstabulation

Count

71 6 777 16 23

78 22 100

YesNo

Did You Studyfor the Test?

Total

Pass Fail

How Did You Performon the Test?

Total

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 27

Cross-Tabulations

Ύπαρξη συσχέτισης φανερή: Επιτυχία µε µελέτη

Did You Study for the Test?

NoYes

Cou

nt

100

80

60

40

20

0

How Did You Perform

Fail

Pass

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 28

Σηµαντικότητα της σχέσηςΕίναι η σχέση στατιστικά σηµαντική;Είναι δηλ. συστηµατική ή απλά έτυχε;Χρησιµοποιούµε τον έλεγχο χ2

χ2: µέτρο απόστασης ανάµεσα στιςπαρατηρούµενες και τις αναµενόµενεςσυχνότητεςΠαρατηρούµενες (Observed): οι συχνότητες τωνκελιώνΑναµενόµενες (Expected): Υπολογίζονται κάτωαπό την υπόθεση ότι δεν υπάρχει σχέση ανάµεσαστις δύο µεταβλητές

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 29

Υπολογισµός του χ2

Τύπος υπολογισµού:

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 30

Κατανοµή του χ2

Ακολουθεί την χ2

κατανοµή τηςοποίας το σχήµαεξαρτάται από τουςβαθµούςελευθερίαςΗ τιµή του χ2 πουυπολογίζεταισυγκρίνεται µε τιµήαπό πίνακα για ναφανεί η στατιστικήσηµαντικότητα

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 31

Ερµηνεία του χ2 ελέγχουΠώς ερµηνεύεται η σηµαντικότητα(significance) p;Είναι η πιθανότητα να βρούµε στοιχεία πουνα στηρίζουν την αρχική υπόθεση (µηύπαρξη σχέσης) αν η διαδικασίαεπαναληφθεί πολλές φορές µε ανεξάρτηταδείγµαταΑν η τιµή p είναι ≤ 0.05, η πιθανότηταστήριξης της αρχικής υπόθεσης είναι µικρήΕποµένως υπάρχει σηµαντική σχέσηανάµεσα στις δύο µεταβλητές

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 32

Ανάγνωση των αποτελεσµάτωντου SPSS

P=0.000… <0.05 ⇒ σηµαντική σχέση

Chi-Square Tests

39.382b 1 .00035.865 1 .00034.970 1 .000

.000 .000100

Pearson Chi-SquareContinuity Correctiona

Likelihood RatioFisher's Exact TestN of Valid Cases

Value dfAsymp. Sig.

(2-sided)Exact Sig.(2-sided)

Exact Sig.(1-sided)

Computed only for a 2x2 tablea.

0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is5.06.

b.

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 33

Φύση της σχέσης από τα ποσοστά

92% από αυτούς που µελέτησαν πέρασαν70% από αυτούς που δε µελέτησαν απέτυχαν

Did You Study for the Test? * How Did You Perform on the Test? Crosstabulation

71 6 77

92.2% 7.8% 100.0%

7 16 23

30.4% 69.6% 100.0%

78 22 100

78.0% 22.0% 100.0%

Count% within Did YouStudy for the Test?Count% within Did YouStudy for the Test?Count% within Did YouStudy for the Test?

Yes

No

Did You Studyfor the Test?

Total

Pass Fail

How Did You Performon the Test?

Total

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 34

Εισαγωγή πίνακα συνάφειας στονεπεξεργαστή δεδοµένων

Παράδειγµα:Τα αγόρια έχουν την τάση ναακολουθούν το επάγγελµα του πατέρατους;Έρευνα σε 500 άνδρες µεερωτηµατολόγιαΜεταβλητές: Επάγγελµα πατέρα (father)Επάγγελµα γιου (son)

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 35

∆εδοµένα µε µορφή πίνακα

son

Professional or Business

Skilled Unskilled Farmer

Professional or Business 55 38 7 0

Skilled 79 71 25 0

Unskilled 22 75 38 10

Farmer 15 23 10 32

father

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 36

Εισαγωγή του πίνακα

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 37

Στάθµιση των cases

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 38

Αποτελέσµατα crosstabsFather * Son Cross tabulation

55 38 7 0 10055,0% 38,0% 7,0% ,0% 100,0%

79 71 25 0 17545,1% 40,6% 14,3% ,0% 100,0%

22 75 38 10 14515,2% 51,7% 26,2% 6,9% 100,0%

15 23 10 32 8018,8% 28,8% 12,5% 40,0% 100,0%

171 207 80 42 50034,2% 41,4% 16,0% 8,4% 100,0%

Count% w ithin FatherCount% w ithin FatherCount% w ithin FatherCount% w ithin FatherCount% w ithin Father

Prof . or Bus iness

Skilled

Unskilled

Farmer

Father

Total

Prof . orBusiness Skilled Unskilled Farmer

Son

Total

Chi-Square Te sts

180,874a 9 ,000160,832 9 ,000

103,955 1 ,000

500

Pearson Chi-SquareLikelihood RatioLinear-by-LinearAssociationN of Valid Cases

Value dfAsymp. Sig.

(2-sided)

0 cells (,0%) have expected count less than 5. Theminimum expected count is 6,72.

a.

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 39

Ερµηνεία αποτελεσµάτων

Υπάρχει στατιστικά σηµαντική σχέσηανάµεσα στα επαγγέλµατα πατέρα –γιουΕρµηνεία για κάθε επάγγελµα πατέραΠ.χ. Το 40% των παιδιών από πατέρααγρότη είναι επίσης αγρότεςΗ σχέση είναι πολύ ισχυρή