Ana Abramovi, prof. | Elektrotehniki fakultet Osijek | ana.abramovic@etfos.hr 1

ODREENI INTEGRAL

Problem izraunavanja povrine omeenog dijela ravnine doveo je do pojma odreenog integrala.

Tekoe nastaju kada je dio ravnine omeen dijelovima krivulja koje su razliite od pravca, jer se tada

taj dio ravnine ne moe razdijeliti na konano mnogo pravokutnika da bi se njegova povrina dobila

kao zbroj povrina pravokutnika.

Neka je zadana fja () neprekinuta, pozitivna (nenegativna) i jednoznana na segmentu [, ].

Slika 1

Segment [, ] podijelimo na dijelova, u svakom dijelu odredimo minimalnu i maksimalnu ordinatu zadane fje te konstruirajmo niz unutarnjih i vanjskih pravokutnika (kao na sl. 1). Sljedei

postupak se detaljno obrauje na predavanjima...

MATEMATIKA 2

Auditorne vjebe

Vjeba 4.

Kneza Trpimira 2b

31000 Osijek

www.etfos.hr

= =?

Ana Abramovi, prof. | Elektrotehniki fakultet Osijek | ana.abramovic@etfos.hr 2

Ako luk krivulje () na segmentu [, ] omeuje dio ravnine, koja je osim toga omeena odreskom , , osi x i ordinatama krivulje u krajnjim tokama segmenta, tada definiramo povrinu tog dijela ravnine i mjerimo je odreenim integralom fje () u granicama od do . Simboliki

piemo

()

i itamo: integral od a do b f(x)dx.

... donja granica odreenog integrala

... gornja granica odreenog integrala

Geometrijski, odreeni integral je povrina ispod luka krivulje.

1. SVOJSTVA ODREENOG INTEGRALA

1) () = () () ... Newton - Leibniz-ova formula 2) () = 0 3) () = () 4) [() + ()] = () + () ... linearnost 5) () = () + (), < < ... aditivnost 6) () = (0)( ) ... tm srednje vrijednosti fje (0) = 1 () 7) = = ()() ()()

Ana Abramovi, prof. | Elektrotehniki fakultet Osijek | ana.abramovic@etfos.hr 3

2. ZADACI

1. 53 = 5 3 = 5 44 32 = 54 (34 (2)4) = 54 (81 16) = 3254 3232

NAPOMENA:

- na mjestima gdje je graf ispod osi x, integral e biti negativan.

- kako integral promatramo kao povrinu, onda on ne moe biti negativan broj!

- ako supstituiramo (mijenjamo) varijablu, moramo mijenjati i granice!

2. (11+5)3 = 11 + 5 = /5 = 1 = 2 1 = 1

2 = 1 2 = 6 = 15 3 = 110 12 61 = 110 136 1 = 1360 + 110 6112 = 772

3. Izraunati srednju vrijednost fje () = 2+1 na intervalu [0, 2].

(0) = 1 ()

(0) = 120 2+1 = 12 20

+ 1 = + 1 = / = =

1 = ( 1) = 1

( 1) = + 1 = = 1, = 1

Sada polako rjeavamo zadatak:

(1) = + 1 = | + 1| + | | = +1 (0) = 12 0 2 + 1 = 12 2 + 1 20 = 2 + 2 (2 + 1)20

Ana Abramovi, prof. | Elektrotehniki fakultet Osijek | ana.abramovic@etfos.hr 4

3. ZADACI ZA VJEBU

1) 1+10 [2] 2) 262 163 3)

2+3+210 98 4) ||20 [4] 5) 30 53 32