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2.4 Dynamik (Dynamics)
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,
hier wird die Statik (§2.2) mit der Kinematik (§2.3) zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen, Energiesatz, Arbeit, Leistung, Impuls, ....
Translation Rotation
Modellkörper Massepunkt Starrer Körper
Grundgesetz F = m a M = J
Vorlesungsbeispiel Wagen mit Gewicht Motor
Ziel: Bewegungsgleichung aus Aufgabenstellung erstellen und Bewegung beschreiben (Kinematik)!
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze
(Newton's Three Laws of Motion)
(1) Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe (Statik) oder er bewegt
sich gleichförmig (Kinematik, v = const.), wenn keine
äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder
diese in Summe Null sind.
Beispiele:
- Gegenstand liegt auf Tisch - aber: Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne
- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt weiter,
das Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte auf das Auto (Deformation).
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik im
2. Grundgesetz der Mechanik zusammengeführt.
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(2) Grundgesetz der Mechanik
Vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Speziell
allgemein
m = const. (Newton)
m const., p: Impuls
siehe unten § 2.4.1.5
amF
p
dt
vmdF
(MD - 1)
In den meisten praktisch auftretenden Fällen wird „m = const.“ angenommen.
Auch bei einem fahrenden Auto mit Verbrennungsmotor rechnet man in der Praxis mit m = const.,
da der verbrauchte Treibstoff pro Stunde mit ca. 5 kg prozentual gegenüber der Gesamtmasse von
ca. 1.500 kg vernachlässigt werden kann. Jedoch macht es beim dynamischen Fahrverhalten einen
Unterschied, ob man einen vollen oder leeren Tank hat.
Sonderfälle: - m = m(t) : Rakete, Flugzeug
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
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(3) Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Fi = 0 ; Beispiel: Gewicht auf Unterlage
„Erweiterung“ der Kinematik zur Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve bemerkt man Kräfte.
Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen sind sogenannte Trägheitskräfte
- Ruckartiges Anfahren oder Bremsen im Auto: „Stehende“ Flasche fällt um.
- Aufzug beim Losfahren: Aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter,
aber eine Person im Aufzug „sieht“ die „eigene“ Bewegung nicht!
Def.: Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
auch d’Alembertsches Prinzip
(D'Alembert's Principle)
Fi = 0
(MD - 2)
Versuche: - Ball auf Wagen legen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen: Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
- wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
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Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertschen Prinzips
aus 0Fi
(d´Alembert)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B. Gewichtskraft
Ft : Trägheitskraft
0FF tb
Ft = m a
(MD - 3)
mit: m : Gesamtmasse des Systems
a : Beschleunigung des Systems
Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
Aufgabe der Dynamik:
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz bzw. Energiesatz aufstellen und lösen.
Mit Dynamik kann die Beschleunigung a unter Einfluss von äußeren Kräften auf einen Körper
berechnet werden. Dies ist in der Kinematik nicht möglich! Aber ausgehend von der mit Hilfe der
Dynamik errechneten Beschleunigung wird dann mit kinematischen Methoden durch Integration die
Geschwindigkeit und der Weg ausgerechnet.
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Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)
Freier Fall
Kraftansatz
1) d’Alembert: F = 0
Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = m g = Fg
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
3) Einsetzen
m g - m a = 0
a = g = x (Koordinate x), 1D
Das ist eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung (a=const).
4) Bewegungsgleichungen
Durch Integration folgt (v = adt)
x = v = g t,
x = ½ g t² (aus x = vdt)
xg2vx
Energieansatz (Vorgriff)
Eges = const
Epot = Ekin
m g x = ½ m v²
xg2vx
x(t) und v(t) sind hier
schwierig zu berechnen
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems!
Energieansatz erscheint „leichter“, ist aber deutlich aufwendiger aufwändiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht sind!
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-
Zusammenhang.
Wenn Kraft- oder Energieansatz nicht „funktioniert“, den anderen Ansatz verwenden!
Typisch für Kraftansatz: Zeit t gesucht oder zeitabhängige Größen s(t), v(t), a(t).
Typisch für Energieansatz: Höhe h und Geschwindigkeit v(h) gegeben bzw. gesucht.
m (Massepunkt)
0
x
Start
F = m at
FG
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Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)
„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach
d’Alembert: F = 0
1) d’Alembert: F = 0
Fb - Ft = 01) Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
Fb = mG g
Ft = (mw + mG) a
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
3) Einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
.constgmm
ma
GW
G
Das ist eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung (a=const).
4) Bewegungsgleichungen
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik
gleichmäßig beschleunigte Translation
(a = const.):
Durch Integration folgt (v = adt)
x = v = a t,
x = ½ a t² (aus x = vdt)
JAVA Applet: 2. Gesetz von Newton
(Fahrbahnversuch)
t = 0 0x
Ft
mW
FG
Fb
mG
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Stimmt das Rechenergebnis für die Beschleunigung a?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s²
b) Extremfälle - mw 0 : a g
- mw >> mG : a 0
- mG = 0 : a = 0
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2.4.1.2 Arbeit (Work)
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar,
die Wirkung wird mit dem Begriff Arbeit erfasst:
'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft x Weg
Bsp: - Gewicht in Hand und laufen – es wird keine Arbeit verrichtet, da Gewicht nur gehalten wird
(Kraft Weg)
- Maßkrug-Haltewettbewerb: hier ist der Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F Arbeit [W] = Nm = J
- konstant sFW
- wegabhängig
1
o
s
s
sd)s(FW
(MD - 4)
Die Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden:
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:
F = const. : sFsdF1
o
s
s
SI-fremd : „kWh“ = 3,6 MJ (Energiewirtschaft) ; „eV“ = 1,6 10-19 J (Atomphysik)
Arten Beispiele (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto
Reibungsarbeit
(kein Vorlesungsstoff)
Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
Verformungsarbeit Feder spannen (Hookesches Gesetz)
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Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
F = const, Weg klein
Whub = F ds
mit F = m g und s = h erhält man
Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft x Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger Arbeit = const.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg
dafür entsprechend länger Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodass auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applet: Flaschenzug
h
W hub
W ~ hhub
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Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0
Fall: a = const Fall: a const
Fbeschl = m a = const
Wbeschl = m a s
gleichmäßig beschleunigte Translation:
sa2v
nach a auflösen und einsetzen
Wbeschl = m s v²/2s
Wbeschl = F ds = m ads
2
1
V
V
dvvmdt
dsdvm
dsdt
dvm
Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = 2
1
2
2 vvm2
1
(MD - 6)
Achtung: gilt nur, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit 0
Bsp: m = 2 kg
sm6v
sm5v
2
1
sm1v
J112536m2
1Wbeschl
so nicht: v = 1m/s J11m2
1 2 !
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden, nicht die
beiden Zahlen (hier Geschwindigkeiten) subtrahieren (hier v) und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die „Differenz“ gebildet werden.
v
Wbeschl
W ~ v2
beschl
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Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder (Bsp. Federwaage, Kugelschreiberfeder, …)
Aus 1
o
s
s
sd)s(FW
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hookes Gesetz)
D : Federkonstante, [D] = N/m
→ 2
1
2
2
x
x
x
x
s xx²xD2
1dxxDW 1
2
2
1
Spannarbeit 2
1
2
2
x
x
Fs xxD2
1dxFW
2
1
(MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflusster Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehnter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
Ws =
2
1
2
1D
2
3)14(D
2
1²xD
2
1dxxD
nicht additiv wie bei Hubarbeit ! ACHTUNG analog zu MD – 6: Differenz der Quadrate !
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen.
Ws
W ~ x2
s
x
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2.4.1.3 Energie (Energy)
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
[E] = J
Eges = const.
Eges (To) = Eges (T1)
(MD - 11)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt sich von
alleine ab und springt hoch!
Einheit wie Arbeit
Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt werden!
kein Perpetuum mobile
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Zusammenfassung und Übersicht zur Energie
Energie -
Arten
Formel Beispiele
Energie
Energie-
Speicher
Energie-
Transport
Kinetisch
(Translation) Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall
Rotation
(§ 2.4.2) Erot = ½ J ²
Motor beim
Auslaufen Schwungrad
Potentiell
(Erde) Epot = m g h Freier Fall
Speicher-
kraftwerk Pumpstation
Reibung (nicht behandelt) Luftwiderstand
Wärme Ew = c m T Kochen Wasser-
speicher Fernwärme
Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport
von Energie !! Akku
Hochspannungs-
leitung
Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank
Strahlung E
Photosynthese,
Solarenergie,
IR-Thermometer
em. Wellen
Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie Ekin = ½ mv² eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt
sich diese bei 140 km/h (1,4² 2) !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert ebenfalls
quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein vierfach größeres Risiko, wenn die Geschwindigkeit von
100 auf 140 km/h gesteigert wird.
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Translativer Energiesatz
ohne Reibung
mit Reibung
Ekin(To) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1) = Eges
Ekin(To) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1) = Eges
(MD - 12)
To : Zeit bei „Versuchsbeginn“, T1: „Versuchsende“ bzw. Zustand zum Zeitpunkt T1.
Zeitpunkte „fortsetzbar“ z.B. T2, …: Eges(To) = Eges (T1) = Eges (T2) …
Bemerkungen zum Energiesatz:
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit!
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung:
Aufzuwendende Energie für Weg von A nach B kann wegabhängig sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1 Ekin Epot2
Versuch :
a) Würfel im Freien Fall
b) Würfel über schiefe Ebene
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des Gegenstandes G
geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird. Weitere Verluste durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
EW
h
a)b)
G
pot1
Epot2
Ekin
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Pinewood Challenge – Fundamentals
http://www.dispatch.com/content/graphics/archive/science/2012/pinewood/pinewood-derby-physics.jpg
Der „Schlüssel“ zum Erfolg:
Ist der nebenstehende Wagen „vorwärts“ wie
„rückwärts“ gleich schnell am Ende der schiefen
Rampe?
Tipp: Skizze anfertigen mit den relevanten
Parametern. Reibung hier vernachlässigen.
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Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung, Reibung zur Information)
a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)
mit Er = F s Kraft F ~ v; Weg h; k : Reibungskoeffizient Reibungsenergie Er = kv² h
Einsetzen: m g h = ½ m v² + k v² h
m g h = v² (½ m + k h)
hk2
m
hgmv
Extremfälle:
- keine Reibung (k = 0) : hg2v
- große Reibung ( k ) : v 0 aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ???
Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz F = 0
Fb - Fr - Ft = 0
mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v = 0 (d.h. konstante Fallgeschwindigkeit wenn beschleunigende Kraft = Reibungskraft) mg - k v² = 0
k
gmvend
Extremfälle: k 0 : vend
k : vend 0
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Die Fallgeschwindigkeit v durch den Luftwiderstand „mit der Zeit“ konstant
Beschleunigung a = 0 im „Endzustand“.
weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
Epot = Ekin
mG g h = ½ (mw + mG) v²
(h entspricht hier x wg. Seil)
Gw
G
mm
hgm2v
v = v(h) !
Grenzfälle analog Kraftansatz
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150
v /
m/s
Fallweg / m
Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall
mit Luftwiderstand
t = 0 0x
Ft
mW
FG
Fb
mG
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2.4.1.4 Leistung (Power)
Leistung ist ein weiterer Begriff aus dem täglichem Leben.
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt
WP
aus vFdt
dsF
t
sF
t
WP
[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)
„früher“: Autoleistung als „PS“; 1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
'genaue' Formulierung
tanMomen
0t
ttDurchschni
td
Wd
t
WP
(MD - 13)
Durchschnittsleistung t
WPm
aktuelle Momentanleistung Wtd
WdPa
(Definitionen analog Kinematik für v und a)
erweiterte Betrachtung vFsFtd
)sF(d
td
WdP
constFfür0
kinetische und potentielle Leistung (zur Übung und Herleitung)
vFxF
dt
dxgm
td
)t(xgmd
td
WdP
vFvamvvmdt
²dvm
2
1
td
)²t(vmd
td
WdP
constm
pot
pot
constm
21
kinkin
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„Leistung“ in der BWL
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Wirkungsgrad
(Efficiency) 1
P
P
gesamt
nutz
Pnutz = Pgesamt - Pverlust
(MD - 14)
Pnutz : nutzbare, benutzte Leistung
z.B. Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit
Pgesamt : Summe aller Einzelleistungen
z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...
d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert !
Beispiel (Übung):
Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,5 t mit Fahrer) von 0 auf 100 in 8,6 s zu beschleunigen
Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 8,6 s = 67 kW 91 PS
Prospekt VW GOLF 110 kW (150 PS) : t = 8,6s Wirkungsgrad 0,6
Wirkungsgradverminderung durch:
- Reibung
- Schaltzeiten
- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab
- ...
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2.4.1.5 Impuls (Momentum)
Beispiele:
- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
- Zusammenstoß Autos: Auto mit Auto, Auto fährt gegen Mauer, Baum,…
Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Impuls [p] = kg m/s = Ns
Fallemeinerlgal.constmNäherung
Fpdt
)vm(d,vmp
(MD - 15)
allgemein: Vektor p
Allgemeine Formulierung
amvmvmvmdt
vmd
mit m = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
analog zu Ladungsänderung pro Zeiteinheit = Strom I
JAVA Applet: Elastischer und unelastischer Stoß
Impulssatz (vereinfacht, 2 Körper, 1D): p1(To) + p2(To) = p1(T1) + p2(T1)
mit To vor Zusammenstoß, T1 danach; p = mv
Impuls hier nur zur Information, da in der Praxis wg. deformierbaren Medien (z.B. Knautschzone von
Autos) der Impulssatz nicht angewendet werden sollte.
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2.4.2 Rotation (Rotation)
Anwendungen:
Motor, Fahrdynamik,
Fliehkraftregler (z.B. Dampfmaschine, rechts)
Innenstück „öffnet“ z.B. Ventil
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch zur Fliehkraft
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich
schwere Kugeln bei gleicher Umdrehungs-
Geschwindigkeit dieselbe Höhe?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Bsp: Den Anpressdruck beim Karusell bemerkt
Außenstehender nicht, da vom Typ „Trägheitskraft“
bzw. „Scheinkraft“
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
Zentripetalkraft Fzp
Zentrifugalkraft Fzf
Zfrv
2
zpr Fr²mr
vmamFF
(MD - 17)
Bem.: Fzp ~ ²
D
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
r
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2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: Starrer Körper
Translation Kraft F M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
iiig FrMM
Herleitung eindimensional (zum Üben)
1D : F = m a | r
r F = r m a | a = r (Winkelbeschleunigung)
M = (mr²) = J
J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)
aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung
bei zusammengesetzten Körpern :
iiges JMM
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm²
JM (MD - 18)
Vergleich Translation: amF
d’Alembertes Prinzip der Rotation M = 0 (MD - 19)
Vergleich Translation: F = 0
D
r1
m1
r2
m2
Dr m
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Tabelle Massenträgheitsmoment (Formel wird in Klausur angegeben)
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, falls nicht : Satz von Steiner (zur Info)
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen Kapitel Schwingungen
Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen i Vol
22
ii dVrrmJ
(Anwendungsbeispiel Volumenintegral)
Kugel
massiv 2
zyx rm5
2JJJ
dünne Schale 2
zyx rm3
2JJJ
Vollzylinder
2
x rm2
1J 22
zy lm12
1rm
4
1JJ
dünner Stab (l >> r)
2
x rm2
1J 2
zy lm12
1JJ
dünner Scheibe (l << r)
2
x rm2
1J 2
zy rm4
1JJ
Hohlzylinder
2
i
2
ax rrm2
1J
22
i
2
azy l3
1rrm
4
1JJ
dünnwandiger Hohlzylinder mit ra ri
dünner Ring(ra ri, l << r)
2
x rm2
1J 2
zy rm2
1JJ
Quader
22
x hbm12
1J
22
y hlm12
1J
22
z lbm12
1J
x
y
z
r
x
y
z
l
r
r
a
i
y
z
x b
lh
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2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur :
Fall schnell, JoJo bleibt „unten“ – „einmalige“ Bewegung
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur :
Fall langsamer, JoJo kommt „wieder hoch“, bewegt sich wieder abwärts, …
„zyklische (d.h. sich wiederholende) Bewegung (mit Reibungsverlusten)
Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer)
Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation !
Epot Ekin + Erot Energiespeicher Rotation
Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen
Frage zur Systemauslegung (Warum gibt es das nicht mehr?)
Arbeit
Energieerhaltung
Rotationsenergie
Leistung
(vgl. Translation)
Wrot = Md
Ekin + Epot + Erot = const.
Erot = 1/2 J ²
MP
(MD - 21)
Impuls bei Rotation „hier nicht behandelt“.
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2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
In der nachfolgenden Tabelle erhält man die Formeln der Rotation aus denjenigen der Translation
durch „Buchstabentauschen“:
s v a m J F M p L
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel
Weg s Winkel = s / r
Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung a Winkelbeschleunigung
Masse m Massenträgheitsmoment J = mr²
Kraft F = ma Drehmoment M = J
Kraftansatz F = 0 Drehmomentansatz M = 0
Impuls p = mv ; Fp Drehimpuls L = J ; ML
Impulserhaltung p = const. Drehimpulserhaltung L = const.
Arbeit W = Fds Arbeit W = Md
Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1
/2 J²
Leistung P = F v Leistung P = M
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik: Dynamik / WS 2015 27
Übungsblatt Dynamik
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im Elektrischen
und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz.
Formeln: BveF;UeE;EeF magpotel
a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV
(Elektron ruht zu Beginn). v = 105 km/s
b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld
der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform. Parabel
c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es
mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?
Kreis, Arbeit = 0
2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2 befestigt.
Berechnen Sie die Beschleunigung
a) bei masseloser Rolle g
mm
mma
21
21
b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r g
r
Jmm
mma
221
21
3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei innerhalb
von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal)
216 kJ
4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des
Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ mit
0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?
61,2 m
5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und fahren
1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie den
zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder? 8 s
Ferner: Aufgaben aus Altklausuren