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2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Cours HFiltres à réponse impulsionnelle infinie (RII)
1/ Une application le débruitageQuel est l’intérêt de la synthèse avec filtres RII ?
2/ Transformée bilinéaire Différences et points communs avec l’invariant impulsionnel3/ Synthèse d’un filtre RII
Quelles sont les changements de variables ? Indiquez des différences entre les filtres de
Butterworth, de Tchebycheff de type 1 et de type 2 ? Qu’est-ce que permet un ordre plus élevé ? Quelles sont les étapes pour la synthèse d’un filtre
RII?
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1/
signalBruit
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2/ Définition de la transformée bilinéaire
1
1#
1
12)()(
z
z
THpHzH
e
1
2)(
p
pH
1112
2)(
1
1#
zz
T
zH
e
Définition
1
1#
22
12)(
zTT
zTzH
ee
e
1
1
1
12
z
z
Tp
e
Exemple
1pp
e
ep T
Tz
2
2
Pôle de H :
Pôle de H# :
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La Transformation bilinéaire est une transformation du plan dans le plan
1
1
1
12
z
z
Tp
e
10)Re( zp
pT
pT
z
e
e
2
2
)(Im)Re(2
)(Im)Re(2
2
2
2
2
2
ppT
ppT
z
e
e
En effet :
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Transformée bilinéaire:spectre du filtre analogique et spectre du filtre
numérique
)(ˆ)(ˆ ## fHfH
e
e
f
fff
#
tan
e
e
Tfj
Tfj
ee e
e
Tz
z
Tpfj #
#
2
2
1
1
1
12
1
122
Déformation de l’échelle fréquentielle
En effet :
eTfj
eTfj
e Tfe
Tfje
Tfj
e
e
#2
#2
cos2
sin222 #
#
)(ˆˆ ## fHfH
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Exemple de discrétisation par transformée bilinéaire
)(1)( ]1,0[ tth f
fefH fj
)sin(
)(ˆ
)(ˆ ### fHTFTDIfh en
e
e
f
ffHfH
### tanˆ)(ˆ
10ef
TF
Trans-forméebili-néaire
feTFTDI
Différent de l’invariant impulsionnel
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3/ Synthèse de filtres RII, Etapes
Module de la réponse fréquentielle Fonction de transfert
Filtre numérique
Filtre analogique
Tables ou math
Gabarit souhaité
Gabarit corres- pondant
Gabarit simple
Calcul ordre Synthèse
Fonction de transfert simple
Fonction de transfertanalogique
Fonction de transfert numérique
TB
ChgVar ChgVarInv
TBInv
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Exemple synthèse d’un filtre
• On cherche un passe-haut fc#=2.5kHz avec fe=10kHz• Transformée bilinéaire =>fc=10/3.14 kHz• Normalisation/Changement de variable => f’=f0/f• Filtre de Butterworth H’(p)=1/(p’^2+sqrt(2)p’+1)
Regroupement des pôles stables de|H’(p’)|^2=H’(p’)H’(-p)=1/(p’^4+1)
• Changement de variable inverse => p’=2pi f0/p H(p)=p^2/((2pi f0)^2+sqrt(2)(2pi f0)p+p^2) Fixation de f0 : |H(p)|^2=p^4/((2pi f0)^4+p^4) f0 est la fréquence de coupure de H• Transformée bilinéaire inverse Calcul de H#(z)
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)'(th
)(thb
][nhc
)'(ˆ fH a
)(ˆ fH b
)(ˆ ## fH c
'
2
p
fp c
e
e
f
ffp
#
tan
eNTtff ,#
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Comment retrouver l’évolution de la réponse impulsionnelle
)(12
'sin2' [,0[
2
'
tt
etht
a
2
1';
''
1
2
21
''
1
2
21' 01
10
jp
ppjppjpH a
1'2'
1'
2
pppH a
222
2
224 ppff
ppH
cc
b
jfp
f
jfp
fpH
c
c
c
cb
12
2
12
21
)(12cos22)( [,0[2 ttfeftth c
tfcb
c
11
212
#
11
1
4
1
zZZz
zZzH c
11
212
1
1
1
12
#
1
1
4
1;
114
1
ZZZ
ZZB
zZ
zB
Zz
BzZzH c
)arg(),arg(
;1)1(cos24
11
12
#
BZoù
nnZBZ
nh
BZ
nBZ
n
nc
'
2
p
fp c
e
e
f
ffp
#
tan
attention à la décom-position en éléments simples.
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Table des filtres de Butterworth
12
1)(
2
pppH
1
1)(
p
pH
11
1)(
2
ppppH
à l’ordre 1
à l’ordre 2
à l’ordre 3
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Pôles et Zéros de Butterworth• On cherche une solution à |F(f)|² = F(j2f).F(-jf) = 1+2n
– ou F(p).F(-p)=1+(-1) npn – On prend pour F(p) les zéros du demi-plan gauche du plan P– Et donc pour F(-p) les zéros du demi-plan droit du plan P – n pair : 2n racines nièmes de -1– n impair : 2n racines nièmes de 1
• On définit une fraction rationnelle H(p)=1/F(p)– Pôles de H(p) correspondent aux zéros des polynômes de Butterworth
n=3 n=4
(Pôles espacés de 2/8) (Pôles espacés de 2/6)
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Définition
• 1/H(p) est un polynôme de Butterworth
)pp)cos(21()p(Bn
1k
2kn2
n..1kavecn4
k21k
)pp)cos(21()1p()p(Bn
1k
2k1n2
n..1kavec1n2
kk
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Table des changements de variables (composition avec une fonction pour former un
filtre)
0
'p
pp
0'
1
p
p
p
p
p
p
p
B
fp 0
0
0'
p
p
p
p
B
f
p0
0
0
'
1
0
'f
ff
f
ff 0'
0
2
00
1
'
f
f
f
f
B
ff
1
'2
0
0
0
f
f
f
f
f
Bf
0ff c
0ff c
12
21
ffB
fff c
12
21
ffB
fff c
Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
Coupe-bande
Changement de variable Fréquencede coupure
00 2 fp
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Et les filtres de Cauer, c’est sur les deux bandes.
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Filtre de Bessel
•Réponse indicielle= cte
c = Cte
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Comportement fréquentiel d’autres filtres