Post on 05-Mar-2020
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 1
บทท 2
พกดเชงขว
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2301207 Calculus III 2561/1st
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 2
2.1 จดและสมการในพกดเชงขว ในระบบพกดฉาก เราบอกตาแหนงของจดบนระนาบโดย อางองตาแหนงกบเสนตรง 2 เสนทตดและตงฉากกน และตดกนเปนมมฉากท จดกาเนด เสนตรงแนวนอนของแกนพกดฉากคอ แกน X และ เสนตรงแนวดงของแกนพกดฉากคอ แกน Y ดงรปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ข) ในระบบพกดเชงขว เราใชเสนตรงทผานจด O ชวยในการบอกตาแหนงของจดในระนาบ ดจากรปท 2.1.1 (ข) ประกอบ เสนตรงทผานจด O เรยกวา แกนเชงขว เพอความสะดวกในศกษาเราใชแกน X ทางดานบวก หรอแกน OX ของระบบพกดฉากเปนแกนเชงขวในระบบพกดเชงขว และเรยกจดกาเนด O วา ขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 3
การบอกตาแหนงของจดในระนาบกจะใชแกนเชงขว OX ในการอางองตาแหนง ให P เปนจดบนระนาบ ให r เปนระยะทางจากจด O ไปยงจด P และสวนของเสนตรง OP ทามม กบแกน OX ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP เปนการวดทวนเขมนาฬกา แลว 0 ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP เปนการวดตามเขมนาฬกา แลว 0 เราจะระบตาแหนง พกดเชงขว ของจด P ในระบบพกดเชงขวดวยคอนดบ (r, ) ดงแสดงในรปท 2.1.2
รปท 2.1.2 การเขยนจดและกราฟในระบบพกดฉากนยมเขยนในกระดาษกราฟทประกอบดวยเสนทขนานกนในแนวนอนและแนวดง ดงรปท 2.1.3 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 4
ในระบบพกดเชงขวเราระบตาแหนงของจด P ดวยระยะทางจากจด O ถงจด P และ มมท OP ทากบแกน OX เพราะฉะนนกระดาษกราฟทเหมาะสมในการเขยนจดหรอกราฟ ในระบบพกดเชงขวจงควรมจดคงทเพอใหเปน ขว O มวงกลมรศม 1, 2, 3, ... รอบขว และ เสนตรงผานขวซงทามมตาง ๆ กน เชน 0, 6
, 3 , 2
, ... ดงรปท 2.1.3 (ข) รปท 2.1.3 (ก) รปท 2.1.3 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 5
ตวอยางของจดในระบบพกดเชงขว เชน A(2, 0), B(3, 6),
C(3, 32 ), D(3, 6
7 ), E(4, 23)
และ F(3, 611)
รปท 2.1.4 จะเหนวา สาหรบแตละจดในระนาบทไมใชจดกาเนด จะมพกดเชงขว (r, ) สาหรบจดนนอยอยางนอยพกดหนง และในทางกลบกน สาหรบแตละพกดเชงขว (r, ) ซง r 0 เราจะหาตาแหนงของจดในระนาบทมพกดนนไดจดหนงเสมอ สาหรบจดกาเนดเราตกลงกนวา สาหรบมม ใด ๆ พกด (0, ) จะเปนพกดเชงขวของจดกาเนด
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 6
โปรแกรม GeoGebra
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 7
ในบางครง เราอาจจะยอมให r มคาเปนลบไดกลาวคอ ถา P มพกดเชงขวเปน (r, ) เมอ r 0 แลว พกดเชงขว (-r, ) จะหมายถงพกดของจด Q ซงเปนจดทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศทางตรงกนขามกบ OP เปนระยะทาง r ดงแสดงในรปท 2.1.5
รปท 2.1.5 สรป ตาแหนงของจด P(r, ) จะไดความยาวสวนของเสนตรง OP = r และตาแหนงของจด P เปนดงน ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา สวนเสนของตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 8
ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P บนระนาบโดยท P ทไมใชจดกาเนด อาจพจารณาไดจากรปท 2.1.6
รปท 2.1.6 จะได x = r cos , y = r sin และ 2r = 2x + 2y , tan = x
y การเปลยนจาก พกดเชงขว เปน พกดฉาก กาหนดพกดเชงขว P(r, ) เมอเปลยนเปนพกดฉาก จะได x = r cos y = r sin การเปลยนจาก พกดฉาก เปน พกดเชงขว กาหนดพกดฉาก P(x, y) เมอเปลยนเปนพกดเชงขว จะได 2r = 2x + 2y ... (1) tan = x
y ... (2)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 9
ตวอยาง 2.1.1 จงหาพกดเชงขวของจดในพกดฉากตอไปน เมอ r 0 และ 0 2 1. (-2, 0) 2. (- 3, 1) วธทา รปท 2.1.7 (ก) รปท 2.1.7 (ข) จาก 2r = 2x + 2y และ tan = x
y 1. จะได r = 0)2( 2 = 2 และ tan = 2
0
= 0 เพราะวา จด (-2, 0) อยบนแกน X ทางดานลบ เพราะฉะนน = เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (-2, 0) คอ (2, ) 2. จะได r = 22 1)3( = 2 และ tan = -
31
เพราะวาจด (- 3, 1) อยในจตภาคท 2. เพราะฉะนน = 6
5 เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (- 3, 1) คอ (2, 6
5 )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 10
หมายเหต จากสมการ (1) คาของ r อาจเปนบวกหรอลบ และจากสมการ (2) คาของมมอาจมไดหลายคา เพราะฉะนนคาของ r, ทไดจาก (1) และ (2) ตองสอดคลองเงอนไข x = r cos และ y = r sin ดวย ตวอยางเชน P(-1, -1) จากสมการ (1) และ (2) จะได 2r = 2x + 2y = 2 และ tan = x
y = 1 จะเหนวาคาของ r, มไดหลายคา แตเราจะเลอก (r, ) ทเปน พกดเชงขวของ P เฉพาะทสอดคลองกบคาของ x และ y เทานน ซงจะพบวากยงเลอกไดหลายคาเชน ( 2 , 4
5 ) , (- 2 , 4), ...
ในกรณทตองการ r 0 และ เปนมมบวกทเลกทสด จะได พกดเชงขวของ P คอ ( 2 , 4
5 )
รปท 2.1.8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 11
จากตวอยาง 2.1.1 ถาเรากาหนดให r 0 เราจะได จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, 0) จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, - 6
) หรอ (-2, 611)
ถากาหนดชวงของ เปนแบบอน เชน ให - 2
23 เราจะได
จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, ) หรอ (-2, 0) จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, 6
5 ) หรอ (-2, - 6)
ซงจะเหนไดวาในระบบพกดเชงขว จด ๆ หนงอาจจะมพกดเชงขวหลายแบบ ขอสงเกต จดบนแกน Y ทมพกดฉากเปน (0, y) จะมพกดเชงขวเปน (y, 2
) หรอ (y, 2n + 2) เมอ n I
จดบนแกน X ทมพกดฉากเปน (x, 0) จะมพกดเชงขวเปน (x, 0) หรอ (x, 2n) เมอ n I
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 12
ตวอยาง 2.1.2 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน 1. P(7, - 4
) 2. Q(2, 34 )
วธทา
รปท 2.1.9 จาก x = r cos และ y = r sin 1. จะได x = 7 cos(- 4
) = 7 cos 4 =
27
และ y = 7 sin(- 4) = -7 sin 4
= -2
7 เพราะฉะนน จด (7, - 4
) ในระบบพกดเชงขว จะมพกดฉากเปน (
27 , -
27 )
2. จะได x = 2 cos 34 = -1 และ y = 2 sin 3
4 = - 3 เพราะฉะนน จด (2, 3
4 ) ในระบบพกดเชงขว จะมพกดฉากเปน (-1, - 3)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 13
จากทกลาวมาขางตน จดใด ๆ ในระนาบทบอกตาแหนงของจดดวยพกดฉาก (x, y) สามารถเปลยนเปนพกดเชงขว (r, ) ได จากแนวคดแบบเดยวกนเราสามารถเปลยนสมการท แสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y ในระบบพกดฉาก เปนสมการทแสดงความสมพนธระหวางตวแปร r, ในระบบพกดเชงขวได รปท 2.1.10 (ก) รปท 2.1.10 (ข) สงทเราจะศกษาตอไปคอการเปลยนแปลงระหวาง สมการในพจนของ x, y ในพกดฉาก กบ สมการในพจนของ r, ในพกดเชงขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 14
ตวอยาง 2.1.3 จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว 1. x = 4 2. y = 2 3. 2x = 4y 4. 2x + 2y - 4x = 0 5. 2x + 2y - 6y = 0 วธทา 1. จาก x = 4 จะได r cos = 4 เพราะฉะนน r = 4 sec จะเปนสมการทตองการ 2. จาก y = 2 จะได r sin = 2 เพราะฉะนน r = 2 cosec จะเปนสมการทตองการ 3. จาก 2x = 4y จะได 2r 2cos = 4r sin r(r 2cos - 4 sin ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r 2cos = 4 sin r = 0 หรอ r = 4 sec tan จาก r = 4 sec tan จะเหนวา ถา = 0 แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 4 sec tan จะเปนสมการทตองการ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 15
4. จาก 2x + 2y - 4x = 0 จะได 2r - 4r cos = 0 r(r - 4 cos ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 4 cos จาก r = 4 cos จะเหนวา ถา = 2
แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 4 cos จะเปนสมการทตองการ 5. จาก 2x + 2y - 6y = 0 จะได 2r - 6r sin = 0 r(r - 6 sin ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 6 sin จาก r = 6 sin จะเหนวา ถา = แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 6 sin จะเปนสมการทตองการ สรป สมการในระบบพกดฉาก สมการในระบบพกดเชงขว x = 4 r = 4 sec y = 2 r = 2 cosec
2x = 4y r = 4 sec tan 2x + 2y - 4x = 0 r = 4 cos 2x + 2y - 6y = 0 r = 6 sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 16
ตวอยาง 2.1.4 จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก 1. r + 8 sin = 0 2. r =
cos22
3. r = sin2cos3
12 4. r = 4 5. r + 4 cos = 0 6. r = 2 sin + 2 cos 7. r = 4 sec วธทา 1. จาก r + 8 sin = 0 คณดวย r จะได 2r + 8r sin = 0 เพราะฉะนน 2x + 2y + 8y = 0 จะเปนสมการทตองการ 2. จาก r =
cos22
จะได r(2 - cos ) = 2 2r - r cos = 2 2r = 2 + r cos ยกกาลงสองทงสองขาง 4 2r = 4 + 4r cos + 2r 2cos จะได 4( 2x + 2y ) = 4 + 4x + 2x เพราะฉะนน 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0 จะเปนสมการทตองการ 3. จาก r =
sin2cos312
จะได 3r cos + 2r sin = 12 เพราะฉะนน 3x + 2y = 12 จะเปนสมการทตองการ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 17
4. จาก r = 4 จะได 2r = 16 เพราะฉะนน 2x + 2y = 16 จะเปนสมการทตองการ 5. จาก r + 8 cos = 0 คณดวย r จะได 2r + 8r cos = 0 เพราะฉะนน 2x + 2y + 8x = 0 จะเปนสมการทตองการ 6. จาก r = 2 sin + 2 cos 2r = 2r sin + 2r cos 2x + 2y = 2x + 2y เพราะฉะนน 2x + 2y - 2x - 2y = 0 จะเปนสมการทตองการ 7. จาก r = 4 sec เพราะฉะนน r cos = 4 เพราะฉะนน x = 4 จะเปนสมการทตองการ สรป สมการในระบบพกดเชงขว สมการในระบบพกดฉาก r + 8 sin = 0 2x + 2y + 8y = 0 r =
cos22 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0
r = sin2cos3
12 3x + 2y = 12 r = 4 2x + 2y = 16 r + 4 cos = 0 2x + 2y + 8x = 0 r = 2 sin + 2 cos 2x + 2y - 2x - 2y = 0 r = 4 sec x = 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 18
2.2 การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว หรอฟงกชน r = f() มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟในระบบพกดฉาก นนคอคานวณคาของ r และ ทสอดคลองกบสมการของ ฟงกชน แลวเขยนจด (r, ) ตามทคานวณได ตวอยาง 2.2.1 จงเขยนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (2, 0), (3,
6),
(2 + 2 , 4), (2 + 3, 3
), (4, 2), ... , (2, 2)
ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.1 (ก)
รปท 2.2.1 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 19
รปท 2.2.1 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2
] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [ 2
, ] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ข) รปท 2.2.1 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 20
รปท 2.2.1 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [, 2
3 ] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [ 2
3 , 2] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ง) รปท 2.2.1 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 21
รปท 2.2.1 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.1 (ฉ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 22
กราฟเชงขวเขยนโดยโปรแกรม GeoGebra
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 23
ตวอยาง 2.2.2 จงเขยนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), (1 + 3, 6
), (1 + 2 , 4
), (2, 3), (1, 2
), ... , (3, 2) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.2 (ก)
รปท 2.2.2 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 24
รปท 2.2.2 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2
] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [ 2
, ] โดยจะพบวาบนชวง [ 2
, 65 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม บนชวง [ 6
5 , ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.2 (ข) รปท 2.2.2 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 25
รปท 2.2.2 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [, 2
3 ] โดยจะพบวาบนชวง [, 3
4 ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม บนชวง [ 3
4 , 23 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1
เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.2 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [ 23 , 2] โดยจะพบวาคาของ r = 1 + 2 cos มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.2 (ง) รปท 2.2.2 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 26
รปท 2.2.2 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.2 (ฉ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 27
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 28
ตวอยาง 2.2.3 จงเขยนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), ( 2
33 , 12 ), ( 2
3 , 6), (0, 4
), (-23 , 3
), (- 2
33 , 125 ), (-3, 2
), ... , (3, 2) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ ดงรปท 2.2.3 (ก)
รปท 2.2.3 (ก)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 29
รปท 2.2.3 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 4
] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4
, 2 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ข) รปท 2.2.3 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 30
รปท 2.2.3 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 2
, 43 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4
3 , ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ง) รปท 2.2.3 (จ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 31
รปท 2.2.3 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [, 4
5 ] โดยจะพบวา คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ช) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4
5 , 23 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ฉ) รปท 2.2.3 (ช)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 32
รปท 2.2.3 (ซ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 2
3 , 47 ]
โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ฌ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4
7 , 2] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ซ) รปท 2.2.3 (ฌ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 33
รปท 2.2.3 (ฐ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]
รปท 2.2.3 (ฐ)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 34
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 35
ตวอยาง 2.2.4 จงเขยนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (0, 0), (1, 6
), ( 2 , 4
), ( 3, 3), (2, 2
), ... , (0, ) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ รปท 2.2.4 (ก) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2
] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.4 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [ 2
, ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.4 (ก) รปท 2.2.4 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 36
รปท 2.2.4 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]
รปท 2.2.4 (ค) ขอสงเกต วงกลมทเกดจากสมการ r = 2 sin ใชชวงของมม [0, ] เทานน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 37
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 38
2.3 สมมาตรของกราฟในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว หากเราไดพจารณาลกษณะสมมาตรแบบตาง ๆ ของกราฟจะทาใหเราเขยนกราฟในระบบพกดเชงขวไดงายขน สมมาตรทสาคญในระบบพกดเชงขวมดงน
สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (r, -) หรอ (-r, - )
รปท 2.3.1 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบแกนเชงขว เพราะฉะนน ถา F(r, -) = 0 หรอ F(-r, - ) = 0 นนคอ F(r, -) = F(r, ) หรอ F(-r, - ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 39
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
1. ถา F(r, -) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว หรอ 2. ถา F(-r, - ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เชน รปท 2.3.2 (ก) รปท 2.3.2 (ข) รปท 2.3.2 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 40
สมมาตรเทยบกบขว จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (-r, ) หรอ (r, + )
รปท 2.3.3 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบขว เพราะฉะนน ถา F(-r, ) = 0 หรอ F(r, + ) = 0 นนคอ F(-r, ) = F(r, ) หรอ F(r, + ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 41
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
1. ถา F(-r, ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว หรอ 2. ถา F(r, + ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบขว เชน รปท 2.3.4 (ก) รปท 2.3.4 (ข) รปท 2.3.4 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบขว ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 42
สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (-r, -) หรอ (r, - )
รปท 2.3.5 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง =
2 กตอเมอ
ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ เสนตรง = 2
เพราะฉะนน ถา F(-r, -) = 0 หรอ F(r, - ) = 0 นนคอ F(-r, -) = F(r, ) หรอ F(r, - ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 43
การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
1. ถา F(-r, -) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
หรอ 2. ถา F(r, - ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 เชน
รปท 2.3.6 (ก) รปท 2.3.6 (ข) รปท 2.3.6 (ค)
หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2
ตองตรวจสอบโดยวธอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 44
ตวอยาง 2.3.1 จงตรวจสอบวากราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2
] มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
หรอไม และจงเขยนกราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2
] วธทา ให F(r, ) = 2r - 4 sin 2 = 0 ... (1)
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม 1. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, -) = 2r - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) 2. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2( - ) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1) จะได F(-r, ) = (-r)2 - 4 sin 2 = 2r - 4 sin 2 = F(r, ) เพราะฉะนน 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 45
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบ กบเสนตรง = 2
หรอไม 1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) 2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, - ) = 2r - 4 sin 2( - ) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได
การเขยนกราฟ 2r = 4 sin 2 เพราะวากราฟ 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, 2
] เฉพาะคา r 0 ดงรปท 2.3.7 (ก) แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.7 (ข) รปท 2.3.7 (ก) รปท 2.3.7 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 46
หมายเหต กราฟของสมการ 2r = 4 sin 2 ... (*) เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*) ตองเปน ททาให 4 sin 2 0 ดงนนคา ททาให 4 sin 2 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ จาก 4 sin 2 0 sin 2 0 จะได 0 2 และ 2 2 3 นนคอ 0 2
และ 23
เพราะฉะนน กราฟของสมการ (*) จะมจดในกราฟเมอ อยในชวง [0, 2
] และ [, 23 ] เทานน
พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ r = 2sin4 และ r = - 2sin4 โดยทฟงกชนทงสองจะใหกราฟเหมอนกน กลาวคอ
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 47
กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]
จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [,
23 ]
ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 1. ดงรปท 2.3.7 (ค) และ กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [, 2
3 ] จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [0,
2 ]
ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 3. ดงรปท 2.3.7 (ง) รปท 2.3.7 (ค) รปท 2.3.7 (ง)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 48
ตวอยาง 2.3.2 จงตรวจสอบวากราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2] มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
หรอไม และจงเขยนกราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2] วธทา ให F(r, ) = r - 4 - 4 cos = 0 ... (1)
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, -) = r - 4 - 4 cos(-) = r - 4 - 4 cos = F(r, ) เพราะฉะนน r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม 1. แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1) จะได F(-r, ) = -r - 4 - 4 cos F(r, ) 2. แทนคา ดวย + ในสมการ (1) จะได F(r, + ) = r - 4 - 4 cos( + ) = r - 4 + 4 cos F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 49
การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบ เสนตรง = 2
หรอไม 1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(-r, - ) = -r - 4 - 4 cos(-) = -r - 4 - 4 cos F(r, ) 2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, - ) = r - 4 - 4 cos( - ) = r - 4 + 4 cos F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได
การเขยนกราฟ เพราะวากราฟ r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, ] ดงรปท 2.3.8 (ก) แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.8 (ข) รปท 2.3.8 (ก) รปท 2.3.8 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 50
ขอสงเกต กราฟ r f (sin ) และ r f (cos( )) มสมมาตร เทยบกบเสนตรง 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 51
กราฟบางรปทสาคญในระบบพกดเชงขว 1. r = k เมอ k เปนจานวนจรง มกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และมรศม k หนวย ตวอยางเชน กราฟของ r = 4, r = 2 รปท 2.3.9 (ก) รปท 2.3.9 (ข) 2. = 0 มกราฟเปนเสนตรงททามม 0 กบแกนเชงขว ตวอยางเชน กราฟของ = 4
, = 3
รปท 2.3.10 (ก) รปท 2.3.10 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 52
3. 3.1 r = 2k sin เมอ k เปนจานวนจรง และ 0 มกราฟเปนวงกลม จดศนยกลางอยทจด (k, 2
) และมรศม k หนวย 3.2 r = 2k cos เมอ k เปนจานวนจรง และ 0 มกราฟเปนวงกลมจดศนยกลางอยทจด (k, 0) และมรศม k หนวย ตวอยางเชน กราฟของ r = 8 sin และ r = 6 cos รปท 2.3.11 (ก) รปท 2.3.11 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 53
4. r = a + b sin และ r = a + b cos เมอ a, b เปนจานวนจรง และ 0 2 4.1 ถา a = b แลว กราฟผานขว และเราจะเรยกกราฟนวา คารดออยด (cardioid) 4.2 ถา a b แลว เราจะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon) 4.3 ถา a b แลว กราฟไมผานขว 4.4 ถา a b แลว กราฟผานขว และ มวงวน (loop) อยภายใน ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 + 4 sin , r = 4 + 3 sin และ r = 2 + 4 sin มดงน รปท 2.3.12 (ก) รปท 2.3.12 (ข) รปท 2.3.12 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 54
กราฟของ r = 4 + 4 cos , r = 4 + 3 cos และ r = 2 + 4 cos มดงน รปท 2.3.13 (ก) รปท 2.3.13 (ข) รปท 2.3.13 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 55
5. 5.1 r = k sin 2n, r = k cos 2n เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2 มกราฟเปนกลบกหลาบ 4n กลบ 5.2 r = k sin((2n + 1)), r = k cos((2n + 1)) เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2 มกราฟเปนกลบกหลาบ 2n + 1 กลบ ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 sin 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ ดงรปท 2.3.14 (ก) กราฟของ r = 4 sin 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ ดงรปท 2.3.14 (2) รปท 2.3.14 (ก) รปท 2.3.14 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 56
กราฟของ r = 4 cos 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ ดงรปท 2.3.15 (ก) กราฟของ r = 4 cos 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ ดงรปท 2.3.15 (ข) รปท 2.3.15 (ก) รปท 2.3.15 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 57
6. กราฟ spiral Hyperbolic spiral r =
a เมอ a เปนจานวนจรง
Spiral of Archimedes r = a เมอ a เปนจานวนจรง Parabolic spiral r = a + b เมอ a, b เปนจานวนจรง Logarithmic spiral r = re เมอ a เปนจานวนจรง ตวอยางเชน Hyperbolic spiral r =
1 Spiral of Archimedes r = 2
รปท 2.3.16 (ก) รปท 2.3.16 (ข) Parabolic spiral r = 2 + 3 Logarithmic spiral r = 4.0e รปท 2.3.16 (ค) รปท 2.3.16 (ง)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 58
7. กราฟ Lemniscates เปนกราฟของสมการ 2r = 2a cos 2 หรอ 2r = 2a sin 2 เมอ a เปนจานวนจรง ตวอยางเชน Lemniscate 2r = 4 cos 2 Lemniscate 2r = 9 sin 2 รปท 2.3.17 (ก) รปท 2.3.17 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 59
8. กราฟ r = a sin(k) เมอ k ไมเปนจานวนเตม
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 60
2.4 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขว ให R เปนบรเวณทปดลอมดวยฟงกชนทตอเนอง r = f() และ เสนตรง = และ = เมอ r 0 แบงชวง [, ] ออกเปน n ชวงยอย ดวยจด 0 , 1 , 2 , ... , n โดยท = 0 1 2 ... n =
รปท 2.4.1 สาหรบ i = 1, 2, ... , n ให iR เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง = 1i และ = i และเสนโคง r = f() ให 1iP มพกดเปน (f( 1i ), 1i ) และ iP มพกดเปน (f( i ), i ) *
i มคาอยระหวาง 1i และ i *
iP มพกดเปน (f( *i ), *
i )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 61
รปท 2.4.2 และ ให วงกลมรศม O *
iP ตดเสนตรง = 1i ทจด 1iQ และตดเสนตรง = i ทจด iQ เพราะฉะนน 1iQ มพกดเปน (f( *
i ), 1i ) และ iQ มพกดเปน (f( *
i ), i ) จะได พนท iR พนทเซกเตอร 1iiQOQ = 2
1(f( *i ))2( i - 1i )
เพราะฉะนน พนท R =
n
1 iพนท iR
n
1 i 21(f( *
i ))2( i - 1i )
เพราะวา r = f() เปนฟงกชนทตอเนอง
เพราะฉะนน n
lim
n
1 i 21(f( *
i ))2( i - 1i ) =
21 2r d
เพราะฉะนน
พนท R = 21
2r d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 62
ตวอยาง 2.4.1 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 2 + 2 sin บนชวง [0, 2] วธทา
รปท 2.4.3
เพราะฉะนน พนท = 21
2
0
2r d
= 21
2
0(2 + 2 sin )2 d
= 21
2
0(4 + 8 sin + 4 2sin ) d
= 2
02 d + 4
2
0sin d +
2
02 2sin d
= 2[ ] 02
+ 4[ -cos ] 0
2
+ 2
0(1 - cos ) d
= 4 + 4(-1 + 1) + [ - 22sin ] 0
2
= 4 + 2 = 6
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 63
ตวอยาง 2.4.2 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 4 + 4 cos บนชวง [ 4
, 32 ]
วธทา
รปท 2.4.4
เพราะฉะนน พนท = 21
32
4
2r d
= 21
32
4
(4 + 4 cos )2 d
= 8
32
4
(1 + 2 cos + 2cos ) d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 64
= 8
32
4
d + 16
32
4
cos d + 4
32
4
2 2cos d
= 8[ ] 4
32
+ 16[ sin ] 4
32
+ 4
32
4
(1 + cos 2) d
= 8( 32 - 4
) + 16(sin 32 - sin 4
) + 4[ ] 4
32
+ 2
32
4
cos 2 d2
= 8(125 ) + 16( 2
3 - 2
1 ) + 4( 32 - 4
)
+ 2[ sin 2 ] 4
32
= 8(125 ) + 16( 2
3 - 2
1 ) + 4(125 ) + 2(sin 3
4 - sin 2)
= 5 + 16( 23 -
21 ) + 2(- 2
3 - 1)
= 5 + 7 3 - 8 2 - 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 65
ตวอยาง 2.4.3 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 4 cos 2 วธทา
รปท 2.4.5 เพราะวากราฟของ r = 4 cos 2 มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
จากรปท 2.4.5 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 เสนตรง = 0 และ = 2
แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 66
พนทในบรเวณทปดลอมดวย r = 4 cos 2 เสนตรง = 0
และ = 2 มคา = 2
1 2
0
2r d
= 21
2
0(4 cos 2)2d
= 4 2
02 2cos 2 d
= 4 2
0(1 + cos 4) d
= 4[ + 41 sin 4 ]
02
= 4[( 2 + 0) - (0 + 0)] = 2
เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 มคาเทากบ 8
หมายเหต ในกรณทหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 โดยไมนาสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
ของกราฟมาชวย และทาการอนทเกรตบน
ชวง [0, 2] จะไดพนท = 21
2
0(4 cos 2)2d = 8 เหมอนกน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 67
ตวอยาง 2.4.4 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos วธทา
รปท 2.4.6 (ก) เพราะวากราฟของ 2r = 4 cos มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
จากรปท 2.4.6 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 2
แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos พนทในบรเวณปดลอมดวย 2r = 4 cos เสนตรง = 0
และ = 2 มคา = 2
1 2
0
2r d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 68
21
2
0
2r d
= 21
2
04 cos d
= 2[ sin ] 02
= 2(sin 2 - 0)
= 2 เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง
2r = 4 cos มคาเทากบ 8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 69
หมายเหต ในการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos โดยไมนาการมสมมาตรของกราฟมาชวย เราตองพจารณาดงน จากสมการ 2r = 4 cos ... (*) เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*) ตองเปน ททาให 4 cos 0 ดงนนคา ททาให 4 cos 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ จาก 4 cos 0 cos 0 จะได - 2
2
เปนชวงทกราฟของสมการ (*) มจดอยบนกราฟ พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ r = cos4 กบ r = - cos4 โดยท ฟงกชน r = cos4 เมอ อยในชวง [- 2
, 2 ]
จะไดกราฟทางขวาของเสนตรง = 2
ดงรปท 2.4.6 (ข) และ ฟงกชน r = - cos4 เมอ อยในชวง [- 2
, 2 ]
จะไดกราฟทางซายของเสนตรง = 2
ดงรปท 2.4.6 (ค)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 70
รปท 2.4.6 (ข) รปท 2.4.6 (ค) พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos คอ
= 21
2
2
( cos4 )2 d + 21
2
2
(- cos4 )2 d
= 21
2
2
4 cos d + 21
2
2
4 cos d
= 21 [ 4 sin ]
2
2
+ 21 [ 4 sin ]
2
2
= 24( sin 2
- sin(- 2)) + 2
4( sin 2 - sin(- 2
)) = 4 + 4 = 8
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 71
ตวอยาง 2.4.5 จงหาพนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin วธทา
รปท 2.4.7 จดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin หาไดโดยการแกสมการ 6 sin = 2 + 2 sin 4 sin = 2 sin = 2
1 = 6
หรอ 65
เพราะฉะนนจดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin คอ (3, 6
) และ (3, 65 )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 72
เพราะวากราฟของ r = 6 sin และ r = 2 + 2 sin มสมมาตรกบเสนตรง = 2
จากรปท 2.4.7 เราจงหาพนท 1R และ พนท 2R แลว จะได พนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R )
พนท 1R = 21
6
0(6 sin )2 d = 9
6
02 2sin d
= 9 6
0(1 - cos 2) d
= 9[ - 21 sin 2 ]
06
= 9[( 6 - 4
3) - (0 - 0)] = 2
3 - 439
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 73
พนท 2R = 21
2
6
(2 + 2 sin )2 d
= 2
2
6
(1 + 2 sin + 2sin ) d
= 2
2
6
(1 + 2 sin + 21 - 2
1cos 2) d
=
2
6
(3 + 4 sin - cos 2) d
= [ 3 - 4 cos - 21 sin 2 ]
6
2
= ( 23 - 0 - 0) - ( 2
- 2 3 - 43)
= + 4
39 พนท 1R + พนท 2R = ( 2
3 - 439 ) + ( + 4
39 ) = 25
เพราะฉะนนพนทของบรเวณทอยทงภายใน เสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R ) = 5( 2
5 ) = 5
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 74
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 75
ในกรณทเราตองการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย ของเสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ] ดงรปท 2.4.8
รปท 2.4.8 จะได พนททปดลอมดวย เสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ] มคา
= 21
[(f())2 - (g())2] d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 76
ตวอยาง 2.4.6 จงหาพนทของบรเวณทอย ภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin วธทา
รปท 2.4.9 จดตดของ เสนโคง r = 1 + cos และ เสนโคง r = sin หาไดโดยการแกสมการ 1 + cos = sin 1 = sin - cos 1 = 2sin - 2 sin cos + 2cos 1 = 2sin + 2cos - 2 sin cos 1 = 1 - sin 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 77
เพราะฉะนน sin 2 = 0 2 = 0, , 2 = 0, 2
, บรเวณภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin เปนบรเวณปดลอมดวย r = 1 + cos และ r = sin เสนตรง = 2
และ = ดงรปท 2.4.9
พนทแรเงา = 21
2
[(sin )2 - (1 + cos )2] d
= 21
2
( 2sin - 1 - 2 cos - 2cos ) d
= 21
2
(-1 - 2 cos - ( 2cos - 2sin ) d
= 21
2
(-1 - 2 cos - cos 2) d
= 21 [ - - 2 sin - 2
1 sin 2 ] 2
= 21 [(- - 0 - 0) - (- 2
- 2 - 0)] = - 4
+ 1
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 78
ตวอยาง 2.4.7 จงหาพนทของบรเวณทอยภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 วธทา รปท 2.4.10 (ก) รปท 2.4.10 (ข) วงกลม 2x + 2y - 4y = 0 มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 sin วงกลม 2x + 2y - 4x = 0 มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 cos บรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 คอ บรเวณภายนอกเสนโคง r = 4 sin และ ภายในเสนโคง r = 4 cos ประกอบดวยบรเวณ 1R และ 2R ดงรปท 2.4.10 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 79
จดตดของ เสนโคง r = 4 sin และ เสนโคง r = 4 cos หาไดโดยการแกสมการ 4 sin = 4 cos sin = cos = 4
บรเวณ 1R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 sin และ r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 4
พนท 1R = 21
4
0[(4 cos )2 - (4 sin )2] d
= 8 4
0( 2cos - 2sin ) d
= 8 4
0cos 2 d
= 4[ sin 2 ] 04
= 4(1 - 0) = 4
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 80
บรเวณ 2R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 cos เสนตรง = - 2
และ = 0
พนท 2R = 21
0
2
(4 cos ) 2 ) d
= 8
0
2
2cos d
= 8
0
2
( 21 + 2
2cos ) d
= 8
0
2
( 21 + 2
2cos ) d
= 4[ ] 2
0
+ 2[ sin 2 ] 2
0
= 4(0 + 2) + 2(0 + 0)
= 2 เพราะฉะนน พนทบรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 = พนท 1R + พนท 2R = 4 + 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 81
การหาพนทระหวางเสนโคง F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 ในบางครงตองหาจดตดของกราฟ แตเนองจากจดในพกดเชงขวจดเดยวกนอาจเขยนพกดได หลายแบบ ดงนนจดตดทตองการอาจจะหาไดไมครบถวน ตวอยางเชน การหาจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2 รปท 2.4.11 (ก) รปท 2.4.11 (ข)
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 82
โดยการแกสมการ 3 = r = 2 sin 2 จะได sin 2 = 2
3 2 = ... , - 3
16 , - 311 , - 3
10 , - 35 , - 3
4 , 3 ,
32 , 3
7 , 38 , 3
13 , 314 , ...
= ... , - 616 , - 6
11 , - 610 , - 6
5 , - 64 , 6
, 6
2 , 67 , 6
8 , 613 , 6
14 , ... = ... , - 3
8 , - 611 , - 3
5 , - 65 , - 3
2 , 6 , 3
, 6
7 , 34 , 6
13 , 37 , ...
จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ ( 3, 6
), ( 3, 3), ( 3, 6
7 ), ( 3, 34 )
ดงรปท 2.4.11 (ข) จากรปท 2.4.11 (ก) จะเหนวามจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด แนวทางในการหาพกดจดตดทเหลออาจทาไดโดย ถากราฟมสมมาตรกบแกนเชงขว ขว หรอ เสนตรง = 2
แลว เราจะสามารถหาพกดของจดตดทเหลอได
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 83
นอกจากใชสมบตของสมมาตรแบบตาง ๆ แลว เราสามารถ ใชสมบตของจดในพกดเชงขวทเขยนไดหลายแบบ กลาวคอ จด (r, ) กบจด ((-1)n r, + n) เมอ n เปนจานวนเตม จะเปนจดเดยวกน เพราะฉะนน กราฟของสมการ F(r, ) = 0 และ กราฟของสมการ F((-1)n r, + n) = 0 จะเปนรปเดยวกน สมการ F((-1)n r, + n) = 0 เรยกวา สมการเทยบเทา ของ F(r, ) = 0 เพราะฉะนน เราสามารถใชสมการเทยบเทามาชวยในการหา จดตดของกราฟไดอยางเชนตวอยางขางตน สมการเทยบเทาของ r = 3 คอ r = - 3 โดยการแกสมการ - 3 = r = 2 sin 2 จะได sin 2 = - 2
3 2 = ... , - 3
14 , - 313 , - 3
8 , - 37 , - 3
2 , - 3 , 3
4 , 3
5 , 310 , 3
11 , 316 , ...
= ... , - 614 , - 6
13 , - 68 , - 6
7 , - 62 , - 6
, 64 ,
65 , 6
10 , 611 , 6
16 , ... = ... , - 3
7 , - 613 , - 3
4 , - 67 , - 3
, - 6 , 3
2 , 6
5 , 35 , 6
11 , 38 , ...
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 84
จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ (- 3, 3
2 ), (- 3, 65 ), (- 3, 3
5 ), (- 3, 611)
จากทแสดงมาทงหมดจะไดจดตดของ r = 3 และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด ดงแสดงในรปท 2.4.12
รปท 2.4.12
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 85
ขอสงเกต 1. ปญหาลกษณะหนงทอาจเกดขนในการหาจดตดของ กราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 กคอ การท ขว เปนจดตดของกราฟ แตไมสามารถหาไดโดยการแกสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 สาเหตทเปนเชนนเนองจาก ขว มพกดเปน (0, ) โดยท เปนมมอะไรกได ดงนนหากกราฟของ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 ผานขวดวยคามมทตางกน เรากจะไมสามารถหาจดตดทเปนขวได วธแกปญหาขางตน ใหแทนคา r = 0 ในสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 หาก หาคา = 1 ททาให F(r, 1 ) = 0 และ หาคา = 2 ททาให G(r, 2 ) = 0 จะถอวา ขว เปนจดตดของกราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 86
ตวอยางเชน การหาจดตดของกราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin
รปท 2.4.13 โดยการแกสมการ 1 + sin = 1 - sin จะได sin = 0 = n เพราะฉะนนจะไดจดตด (1, 0) และ (1, ) แตไมไดขวเปนจดตดจากการแกสมการขางตน ทเปนเชนน เพราะวา กราฟ r = 1 + sin ผานขว เมอ = 2
3 และ กราฟ r = 1 - sin ผานขว เมอ = 2
เพราะฉะนน ขว เปนจดตดของ กราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 87
2. การตรวจสอบวาจด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 1. ถา 0 0F(r , ) 0 แลว จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 2. ถา 0 0F(r , ) 0 แลวยงสรปไมไดวา จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 หรอไม ใหตรวจสอบกบสมการเทยบเทาของ F(r, ) 0 กอน
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 88
ตวอยางเชน กราฟเชงขว F(r, ) r 2cos(2 ) 0 F(1, ) 1 2cos(2( )) 1 1 03 3
เพราะวาจด (1, )3
สอดคลองเงอนไขสมการเทยบเทา 1F(( 1) (1), 1 ) F( 1, )3 3
1 2cos(2( ))321 2cos( )3
11 2( )20
เพราะฉะนน (1, )3 อยบนกราฟ F(r, ) r 2cos(2 ) 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 89
ตวอยาง 2.4.8 จงหาพนทของบรเวณทอย ภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3 วธทา จากวธหาจดตดขางตนจะได ( 3, 6
) และ ( 3, 3
) เปนจดตดของ r = 2 sin 2 และ r = 3 รปท 2.4.14 (ก) รปท 2.4.14 (ข) เพราะฉะนนพนทแรเงาในรปท 2.4.14 (ข) มคา
= 21
[(f())2 - (g())2] d
= 21
3
6
[(2 sin 2)2 - ( 3))2] d
= 21
3
6
(4 2sin 2 - 3) d
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 90
= 21
3
6
(4( 24cos1 ) - 3) d
= 21
3
6
(2 - 2 cos4 - 3) d
= 21 [ - -
21 sin4 ]
6
3
= 21 [(- 3
- 21(- 2
3)) - (- 6 - 2
1( 23))]
= 21( 2
3 - 6)
= 43 - 12
เพราะวากราฟ r = 2 sin 2 และ r = 3 มสมมาตรกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
ดงนนจากรปท 2.4.12 จะเหนวา พนทของบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3 มคาเทากบ
= 4( 21
[(f())2 - (g())2] d)
= 4( 43 - 12
) = 3 - 3
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 91
แบบฝกหด 2.1 1. จงหาพกดเชงขวของจดในระนาบ XY ตอไปน เมอกาหนดคา r 0 และ 0 2 1.1 A(–1, 0) 1.2 B(4, –4) 1.3 C(1, – 3 ) 1.4 D( 2 , 2 ) 1.5 E(–4, –4 3 ) 1.6 F(2 3 , –2) 1.7 G(0, 4) 1.8 H(–4, 4 3 )
2. จงเขยนจดในระบบพกดเชงขว
และหาพกดฉากของจดตอไปน 2.1 A(1, 0)
2.2 B(2, – 611 )
2.3 C(3, 4 )
2.4 D(–4, 3 )
2.5 E(5, 32 )
2.6 F(–6, – 65 )
2.7 G(7, 34 )
2.8 H(–7, –7)
2.9 I(8, 65 )
2.10 J(6, 611 )
3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว 3.1 x + y = 0 3.2 2x + 2y = 25 3.3 2x + 2y – 8y = 0 3.4 2x + 2y – 10x = 0 3.5 2x + 2y – 4x + 6y = 0 3.6 x = –5
4. จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก 4.1 r = 7 4.2 r = 2 cos 4.3 r = 4 sec 4.4 r = 16 sin 4.5 r = –8 coec 4.6 r = 4 sin + 2 cos
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 92
เฉลยแบบฝกหด 2.1
1. 1.1 (1, ) 1.2 (4 2 , 47 )
1.3 (2, 35 ) 1.4 (2, 4
) 1.5 (8, 3
4 ) 1.6 (4, 611 )
1.7 (4, 2 ) 1.8 (8, 3
2 )
2. 2.1 A(1, 0) 2.2 B( 3 , 1) 2.3 C(
23 ,
23 )
2.4 D(–2, –2 3 )
2.5 E(– 25 , 2
35 )
2.6 F(–3, –3 3 )
2.7 G(– 27 , – 2
37 )
2.8 H(–7, 0) 2.9 I(4 3 , 4) 2.10 J(3 3 , –3) 3. 3.1 = 4
3 หรอ = – 4 3.2 r = 5 หรอ r = –5
3.3 r = 8 sin 3.4 r = 10 cos 3.5 r = 4 cos – 6 sin 3.6 r = –5 sec
4. 4.1 2x + 2y = 49 4.2 2x + 2y – 2x = 0 4.3 x = 4 4.4 2x + 2y – 16y = 0 4.5 y = –8 4.6 2x + 2y – 2x – 4y = 0
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 93
แบบฝกหด 2.2 1. จงเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน 1.1 r = 5 sin 1.2 r = –6 cos 1.3 r = 6 sin 3 1.4 r = 5 cos 2 1.5 r = 4 sin – 4 cos 1.6 r = 2 + 4 sin
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 94
1.7 r = 6 cos 3 1.8 r = 6 sin 2 เฉลยแบบฝกหด 2.2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
65432105 sin
65432106 cos
65432106 sin 3
65432105 cos 2
65432104 sin 4 cos
65432102 4 sin
65432106 cos 3
65432106 sin 2
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 95
แบบฝกหด 2.3 1. จงตรวจสอบวากราฟของ r = f() ตอไปน มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2
หรอไม และจงเขยนกราฟ 1.1 r = –4 – 4 sin 1.2 r = –2 – 4 cos 1.3 r = –3 sin 3 1.4 r = sin – cos 1.5 r = cos 3 1.6 r = –cos 1.7 r = 2 2cos 1.8 r = –2 sin
6420
6
00
43210
4
00
210
2
00
43210
4
00
10.50
1
00
3210
3
00
210
2
00
1086420
10
00
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 96
เฉลยแบบฝกหด 2.3 1. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 2. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2
ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2
3. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 4. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2
ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2
5. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 6. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2
ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2
7. สมมาตรกบแกนเชงขว สมมาตรกบขว 8. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2
สมมาตรกบเสนตรง = 2
1086420
10
04 4 sin ( )
6420
6
02 4 cos ( )
43210
4
03 sin 3 ( )
210
2
0sin ( ) cos ( )
43210
4
04 cos 3 ( )
10.50
1
0cos ( )
3210
3
02 cos ( )2
210
2
02 sin ( )
บทท 2 พกดเชงขว 2 - 97
แบบฝกหด 2.4 1. จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคงตอไปน
1.1 r = 1 + cos บนชวง [0, 2] 1.2 r = 2 cos 2 บนชวง [0, 2]
1.3 r = cos + sin บนชวง [0, ] 1.4 r = 3 - 2 cos บนชวง [0, 2]
1.5 r = 2 cos 3 บนชวง [0, 2] 1.6 r = 4 2cos บนชวง [0, 2]
2. จงหาพนทภายใน r = 4 sin และ r = 4 3 cos 3. จงหาพนทภายใน r = 4 sin 2 และ r = 4 cos 4. จงหาพนทภายใน r = 2 + sin 2 และ r = 2 + 3 cos 5. จงหาพนทภายใน r = 2 sin 3 และ r = 2 sin 6. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 และ 2x + 2y + x – y = 0 7. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 หรอ 2x + 2y – x = 0 โดยทบรเวณนนไมเปนสวนตดของวงกลมทงสอง 8. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4y = 0 และ x 3 9. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4x – 4y = 0 และ y 4 10. จากกราฟของสมการ r = 2 - 4 cos รปท 2.4.15 (ก) จงหาพนทสวนทแรเงา 11. จากกราฟของสมการ r = 3 + 6 sin รปท 2.4.15 (ข) จงหาพนทสวนทแรเงา 12. จากกราฟของสมการ r = 4 cos และ r = 4 sin 2 รปท 2.4.15 (ค) จงหาพนทสวนทแรเงา รปท 2.4.15 (ก) รปท 2.4.15 (ข) รปท 2.4.15 (ค) เฉลยแบบฝกหด 2.4 1. 1.1 2
3 1.2 2 1.3 2
1.4 11 1.5 1.6 6 2. 3
10 – 4 3 3. 4 – 3 3 4. 5 – 8 5. 3
2 – 34 6. 4
– 21 7. 16
3 + 85
8. 32 – 3 9. 2 – 4 10. 4 – 6 3
11. 29 + 2
327 12. 4 + 3 3