Post on 05-Mar-2016
description
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 1/83
7) Daca A,B sunt matrice
echivalente (A B) atunci:
a) A,B sunt matrice patratice; b) rang A = rang B;
c) daca determinantul lui A = 0
rezulta, si det B = 0;
d) daca det A = 1 rezulta ca si det B
= 1.
8) ie A ! M n(R ). Daca rang A = r,
atunci prin trans"#rmari elementare
se #btine:
a) cel putin r c#l#ane ale matriceiunitate;
b) cel mult r c#l#ane ale matricei
unitate;
c) e$act r c#l#ane ale matricei unitate;
d) t#ate c#l#anele matricei unitate.%)
ie A ! M n(R ) cu det A & 0.
'tunci:
a)
rang A = n;
b) A este echivalenta cu matricea
unitate In (A - In);
c) prin trans". elementare putem
determina inversa A1.
d) "#rma aus*#rdan a matricei A
este In.
10) +entru a a"la inversa unei
matrice A ! M n(R ) prin
trans"#rmari elementare, acestea se
aplica: a) numai liniil#r;
b) numai c#l#anel#r;
c) atat liniil#r cat si c#l#anel#r;
d) intai liniil#r ap#i c#l#anel#r.
11) Daca A ! M n(R ) cu det A = 1
atunci "#rma auss*#rdan as#ciata
va avea:
a) # singura linie a matricei unitate
In;
b) t#ate liniile si c#l#anele matricei
unitate In;
c) # singura c#l#ana a matricei
unitate In;
d) numai # linie si # c#l#ana a
maricei unitate In.
1) -et#da de a"lare a inversei unei
matrice A cu trans"#rmari
elementare se p#ate aplica:
a) #ricarei matrice A ! M n(R ) ;
b) numai matricel#r patratice;c) maricel#r patratice cu det A & 0;
d) tutur#r matricel#r cu rang A & 0.
1) +entru a"larea inversei unei
matrice A ! M n(R ) prin
trans"#rmari elementare,
acestea se aplica:
a) direct asupra lui A;
b) asupra matricei transpuse A/;
c) matricei atasate =' 2Mn 3;
d) matricei atasate =2n M' 3/ .
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 2/83
14) ie A ! M n(R ) si
matricea atasata acesteiain met#da a"larii
inversei lui A prin trans"
elementare.'tunci:
a) ! M n (R );
b) ! M n,2n (R );
c) ! M 2n,n (R );
d) ! M 2n,2n (R );
15) ie A ! M n(R ) si
matricea atasata lui A
pentru determinarea luiA1 prin trans"#rmari
elementare. Daca
0 1 1 0 1 4M − ÷
atunci:
1 −4
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 3/83
=
3 2
4 1
÷
−
d) A-1 nu exista.
16) Fie A € Mn( R) si B matricea
atasata luiA entru determinarea lui
A-1
rin trans!"rmari elementare.#aca
B 1$$123
$$1321
$1$213
÷
÷
M atunci%
a) A -1 =2 31
3 2 1
12 3
÷ ÷
÷
&)A-1=
132
221
313
÷÷
÷
c) A-1
=
123
213
321
÷
÷ ÷
d) A-1 nu exista.
'ducand matricea1) A la !"rma
auss-*"rdan "&tinem%
a) A-1+
b) ran, A+
c) det A+
d) A .
#aca matri1)
ec/i0alenta c
$21$ 11
÷−
atunci%
a) ran, A = 2+
&) ran,A = 1+
c) ran,A = 3+
d) ran, A = ran
0)Daca A este
echivalenta cu matriceaunitate I (A I), atunci:
a) rang A = ;
b) det A & I;
c)
A = I;
d)
A1 = I.
1) +iv#tul unei
trans"#rmari
l t t
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 4/83
echivalenta cu matricea
A` =
0 1 00 0 ÷÷
÷
atunci:
a) rang A = 0 6= = 0
b) rang A = 1 6= = 1c) rang A 9 , () !
R ;
4)Daca matricele A si
A` sunt echivalente
(AA`) atunci:
a) au acelasi rang;
b) sunt #bligat#riu
matrice inversabile;
c) sunt #bligat#riumatrice patratice;5)ie A ! M (R ) cu detA = . 'tunci "#rmaauss *#rdan a lui
a) are acelasi rang cu
matricea A, () !R ;
b) are acelasi rang cu
matricea A, numai pt
= 0;
c) c#incide cu I 6=
& 0;
d) are cel mult d#ua
c#l#ane ale matricei
unitate I daca = 0
d) rang A = 6= &
0.
) D#ua sisteme
liniare de ecuatii se
numesc echivalente
daca:
a) au acelasi numar deecuatii;
b) au acelasi numar de
c) au aceleasi s#lutii;
d) matricele l#r e$tinsesunt echivalente.
d) se #btin una din
alta prin
trans"#rmari
elementare. 7)
-atricea unui
sistem liniar
#arecare, in "#rma
e$plicita are: a)
"#rma auss
*#rdan;b) c#l#anele variabilel#r
principale, c#l#anele
matricei unitate;
c) t#ate elementele de pe
liniile variabilel#r
secundare nuled) elementele
c#respunzat#are de pe
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 5/83
c) liniil#r lui ' ;
d) c#l#anei termenil#r liberi din ' . 0)
+entru a #btine
matricea unui
sistem liniar sub
"#rma e$plicita, se
aplica trans"#rmari
elementare:a) numai c#l#anel#r
c#respunzat#are
variabilel#r
secundare;
b) numai c#l#anei
termenil#r liberi;
c) tutur#r liniil#r si
c#l#anel#r matriceie$tinse;
d) pentru a "ace
c#l#anele
variabilel#r
principal alese,
c#l#anele
1) 'plicand met#daauss*#rdan unuisistem liniar de ecuatii,matricea e$tinsa '
este echivalenta cu
matricea 1 −1 0
' = 0 1 1M÷.
'tunci sistemul
l
i
r
:
a) este inc#mpatibil;
b) este c#mpatibil
nedeterminat;) -atricea e$tinsa
c#respunzat#are unui
sistem liniar in
1 0 −1 4 "#rma e$plicita
este ' =
0 1 1 1 M ÷
÷.
0 0 0 0 −1÷
'tunci
b) este c#mpatibil
determinat; matricei
unitate. ) -atricea
e$tinsa c#respunzat#are
unui sistem liniar in"#rma e$plicita
1 0
−1 0
1
este ' =
0 1 1 0 M÷÷.
'tunci sistemul 0
0 1 ÷ liniar:
a) sistemul este
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 6/83
c) are s#lutia de baza: $1=4,
$=, $=1, $4=0;
d) are # in"initate de s#lutii.
c) are s#lutia de baza $1=1, $=,$=1, $4=0;
d) are # in"initate de s#lutii.
b) variabilele principale alese sunt
$1, $, $4;
4) <n sistem liniar de ecuatii cu 4
necun#scute, cu rangul matricei necun#scute admite s#lutia de bazasistemului egal cu , are s#lutia de
baza: X=(,0,0,1)/. 'tunci este:
a) admisibila si nedegenerata; c) inc#mpatibile;
b) admisibila si degenerata; a) admisibila;
c) neadmisibila si nedegenerata; b) neadmisibila;
d) neadbisibila si degenerata. c) degenerata;
7) #rmei e$plicite a unui sistem
liniar ii c#respunde matricea ' =
1 0 1 1 − 1 1 1 01− liniar de ecuatii:
c#respunzat#are este: . 'tunci s#lutia de baza a) variabilele principale se ega
$=, $4= c#respunzat#are este: cu 0;
> ;
b) $1=> , $=> , $=, $4=
> ;
c) $1=> , $=> , $=, $4=>
; d) X= (0 1 0 1)/. val#ri nenule distincte. d) $1=
> .
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 7/83
b) c"mati&il determinat daca =1+
c) inc"mati&il daca $+
d) inc"mati&il daca = $.
c) sistemul este inc#mpatibil;
40) ?#lutia de baza X=(,0, > ,0)/ a
unui sistem liniar de d#ua ecuatii
este neadmisibila daca:41) ?#lutia de baza X=(0,0, ,> )/
c#respunzat#are unui sistem liniar
cu ecuatii principale si 4
4) ie n si n@ numarul s#lutiil#rde baza distincte, respectiv al"#rmel#r e$plicite, c#respunzat#are
unuia) 0 si > 0;
b) 60 si > 60;
c) 0 si > 60;
d) 60 si > 0. necun#scute estedegenerata daca: a) =0, > &0;
b) &0, > =0;
c) =0, > =0;
d) &0, > &0.
sistem liniar c#mpatibil
nedeterminat. 'tunci:
a) n A n@ ;
4) ie s#lutia de baza X=(1,, 0, > )
c#respunzat#are variabilel#r liniar are matricea de "#rma
principale $1 si $4. 'tunci $ este
s#lutia de baza admisibila degenerata daca:
este: a) admisibila;
b) =0, > =0; a) X=(1 1 0)/ ; b) degenerata;
c) =0, > 0; b) X=(1 1 0)/ ; c) neadmisibila;
d) 0, > 0. c) X=(1 0 1)/ ; d) nedegenerata.
1 0 0
4) ie ' = 0 1 0 1 − −M ÷÷ maricea
0 0 0 0 ÷
c#respunzat#are "#rmei e$plicite a
unui sistem liniar. 'tunci sistemul
este inc#mpatibil daca: este: este c#mp
a) =0; a) c#mpatibil nedeterminat, dac b) =1; 0; c) =#, > =0;
c) =1;d) &0, > &0. d) =.
b) n 9 n@ ;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 8/83
4%) ie X=(1,1,0,0)/ s#lutia de
baza a unui sistem liniar de ecuatii
c#respunzat#are variabilel#r
50) <n sistem liniar de ecuatii si4 necun#sute are matricea
c#respunzat#are unei "#rme
e$plicite 51) <n sistem de m ecuatii
liniate cu n necun#scute, m6n, are
int#deauna: a) mi mult de Bmn "#rme
e$plicite; principale $1, $, $.
'tunci:
a) X este admisibila, daca 0;b) X este degenerata, daca =0;
c) X este neadmisibila, daca = 1;
d) X este nedegenerata, daca = 1.de "#rma: ' = . 'tunci s#lutia de
baza c#respunzat#are X este:
a) admisibila, daca =1, > =0;
b) degenerata, daca 60, > =0;
c) neadmisibila, daca 0 si > 90;
d) nedegenerata, daca 60 si > A0.b) cel mult Bm
n "#rme e$plicite;
c) e$act Bmn "#rme e$plicite;
d) mn "#rme e$plicite.
5) <n sistem de m ecuatii liniare cu 5) C s#lutie de baza pentru un 54) C s#lutie de baza pentru un n
necun#scute, m6n, are int#tdeauna: sistem cu m ecuatii liniare cu n sistem cu m ecuatii liniare cu n a) e$act Bm
n s#lutii de baza; encun#scute, m6n, este degenerata encun#scute, m6n,
este nedegenerata
b) cel mult Bmn s#lutii de baza; daca are: daca are: c) cel putin Bm
n s#lutii de baza;
d) mn s#lutii de baza. a) e$act m c#mp#nente nenule; a) e$act m c#mp#nente nenule;
b) mai mult de m c#mp#nente b) mai mult de m c#mp#nente
nenule; nenule;
c) mai putin de m c#mp#nente c) mai putin de m c#mp#nentenenule; nenule;
d) mai mult de nm c#mp#nente d) nm c#mp#nente nenule.
nenule.
55) +entru a trans"#rma un sistem 5) -et#da gra"ica se "#l#seste in 57) C s#lutie de baza pentru un
liniar de ecuatii intrunul echivalent se rez#lvarea sistemel#r de inecuatii sistem cu m ecuatii liniare cu n
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 9/83
"#l#sesc trans"#rmari elementare liniare cu: encun#scute, m6n, este admisibila asupra: a) d#ua
necun#scute; daca are:
a) liniil#r matricei sistemului; b) mai mult de necun#scute; a) ma#ritatea c#mp#nentel#r
b) c#l#anel#r matricei sistemului; c) #ricate necun#scute; p#zitive;c) liniil#r si c#l#anel#r matricei d) e$act necun#scute. b) mai mult de m c#mp#nente sistemului;
p#zitive:
d) termenil#r liberi ai sistemului.c) mai putin de m c#mp#nente
58) ie A # matrice nenula de tipul 5%) +entru a trans"#rma un sistem
negative;
d) t#ate c#mp#nentele negative. 0) C s#lutie de baza a unui sistem
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 10/83
(m,n). 'tunci matricea A admite liniar de ecuatii in unul echivalent, inversa
daca:se "#l#sesc:
a) det A & 0; a) trans". elem. aplicate liniil#r
b) m=n si det A &0; matricei atasate sistemului;c) det A=0 si m=n; b) trans elem aplicate liniil#r si
d) det A = 1 si m=n. c#l#anel#r matr. atasate sist
c) #peratii de adunare a c#l#anel#r
matricei atasate sist;
d) t#ate #peratiile care se p#t e"ectua
asupra unei matrice.
liniar se #btine:
a) dand variabilel#r principale val#area
0;
b) dand variabilel#r secundare val#area0;
c) dand variabilel#r principale val#ri
nenule;
d) dand variabilel#r secundare val#ri
strict p#zitive.
II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA
1) <n spatiu liniar X se numeste
spatiu liniar real daca:
a) elementele sale sunt numere reale;
b) c#rpul peste care este de"init
c#incide cu multimea numerel#r
naturale;
c) multimea X este nevida;
d) #peratiile de"inite pe X sunt
#peratii cu numere reale.
4) -ultimea s#lutiil#r unui sistem
liniar "#rmeaza un spatiu liniar daca
sistemul este:
a) inc#mparabil;
b) #m#gen;
c) c#mpatibil determinat;d) patratic, cu rangul matricei egal
cu ) ie (+n(X),,E) spatiul liniaral p#lin#amel#r de grad cel multn. 'tunci #peratiile FG si FEGreprezinta:
a) adunarea si inmultirea p#lin#amel#r;
b) adunarea p#lin#amel#r si inmultirea
p#lin#amel#r cu scalari reali;
c) adunarea numerel#r reale si
inmultirea p#lin#amel#r;
d) adunarea p#lin#amel#r si inmultirea
nr reale. 5) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! R n a.i. 1$1$...H$H =0n
.'tunci $1,$,...,$H sunt liniar
independenti numai daca:
a) ()i= 0, i= 1,k
;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 11/83
b) (5)i= 0;
) ie (+n(X),,E) spatiul liniar al
p#lin#amel#r de grad cel mult n.
'tunci dimensiunea sa este:
a) n;
b) n=1;
c) n;
d) n.
) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! R n a.i.
1$1$...H$H =0n .'tunci
$1,$,...,$H sunt liniar dependenti
daca:
a) i = 0, () i= 1,k;
b) (5) i &0;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 12/83
nr. Iecun#scutel#r. c) i& 0, ()i=1 ,k; c) Hn;
d) Hn. d) i &0, ()i=1,k.
7) ie X un spatiu liniar si vect#rii 8) Ject#rii $1, $, ... , $H ! R n sunt %) ie $1, $,$ ! R vect#ri #arecare
$1,$,$ ! X a.i. $1$$=0$. liniar independenti. 'tunci:a.i. $=$1$. 'tunci:'tunci vect#rii sunt: a) $1,$,...,$H1 sunt liniar a) c##rd#natele lui $ sunt 1 si ;
a) liniar dependenti, daca =0; independenti; b) $1,$,$ nu "#rmeaza # baza in R
b) liniar independenti, daca &0; b) $i&0n, ()i=1 ,n; c) $1,$,$ sunt liniar dependenti;
c) liniar dependenti, daca &0; c) H A n; d) de#arece $1$$=0 =
d) liniar independenti, daca =0. d) $1$...$H=0n $1,$,$ sunt liniar indep.
10) ie B si B` d#ua baze din spatiul 11) ie vect#rii $1, $, ... , $H ! 1) ie B = K$1, $,...,$HL # baza in liniarR si S matricea schimbarii de R n .'t. ei "#rm # baza daca: spatiul liniar X. 'tunci:
baza. 'tunci S este: a) sunt liniar independenti si H&n; a) dim X = H; a) patratica; b)
$i&0n si H=n; b) dim X H;
b) inversabila; c) sunt liniar independenti si H=n; c) dim X 6 H;
c) dreptunghiulara;d) H=n si i&0, ()i=1,k d) $i &0$, () i=1,k. d) nesingulara (det S&0).
1) ie S matricea de trecere de la # 14) ie B = K$1,$,...,$HL # baza in 15) 2n spatiul liniar R n e$ista: baza
B la baza B` si u respectib u R n .'tunci:c##rd#natele vect#rului u in cele a) cel mult n baze;
d#ua baze. 'tunci au l#c relatiile: a) $1,$,...,$H sunt liniar b) e$act n baze;
a) u = S u si u =S1 u independenti; c) # singura baza;
b) u = S/ u si u =S1 u b) H6n; d) # in"initate de baze. c) u = S/ u si u =( S/) 1 u c) H = n;
d) u =S1 u si u = S/ u d) Hn.
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 13/83
1) ie #perat#rul liniar M: R R
si 0,0 vect#rii nuli ai cel#r spatii.
'tunci:
a) M(0) = 0; b) M(0) = 0;
c) M(0) = 0;
17) Daca M: R m R n este un
#perat#r liniar, atunci:
a) #bligat#riu mn;
b) #bligat#riu m6n;c) m si n unt numere naturale 18) ie
M: R m R n un #perat#r liniar siker M nucleul sau. Daca $1,$ !Her M, atunci: a) $1$ ! Her M;
b) $1 ! Her M, () ! B;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 14/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 15/83
d) M(0) = 0. #arecare, nenule; d) M($1) = $.
d) #bligat#riu m=n.
1%) ie M: R n R m un #perat#r 0) Daca M: R m R n este un 1) ie M: R n R n un #perat#r liniar liniar si Her
M nucleul sau. Daca $ ! #perat#r liniar si A matricea sa "ata si $ un vect#r pr#priu pt. M. 'tunci:
Her M, atunci: de # pereche de baze B,B` atunci: a) (5N) 7 ! R a.i. M($)=7$;a) M($) = 0m; a) A ! M m,n(R ); b) M(7$)=$, () 7 ! R ;
b) M($) = 0m, () ! B; b) A ! M n,m(R ); c)
c) M($) = 0m, d#ar pt = 0; c) B,B sunt baze in R m ; .
d) M($) = 0n. d) B este baza in R m si B` este baza
in R n
) ie M: R n R n un #perat#r liniar ) -atricea atasata unei "#rme 4) Daca f : R n R este # "#rma si $ un
vect#r pr#priu c#respunzat#r liniare f : R n R este # matrice: liniara, atunci:val#rii pr#prii 7. 'tunci: a) patratica: a) "($1$) = $1 $; () $1,$ !
a) M($) = 7$; b) c#l#ana; R n
b) daca M($) = 0n, atunci $=0n; c) linie; b) "($1$) = "($1) "($); $1,$ !
c) M(7$)= 7$; d) inversabila. R n;
d) daca M($) = 0n, atunci 7 = 0. c) "($) = $, () ! R si () $ ! R n;
d) "($) = "($), () ! R si () $ !R n.
5) ie M: R n R m un #perat#r ) ie O: R n R # "#rma patratice 7) ie "#rma patratica liniar. 'tunci M
devine "#rma liniara si A matricea as#ciata acesteia.
Q R: R ()$=($1,$,$) / !
daca: 'tunci: .'tunci matricea as#ciata lui O
a) n = 1; a) A = A/ R
b) m = 1; b) A ! M n,1(R );este: 1 −1 0
c) n = 1 si m = 1; c) A ! M n(R ); c) A = −1 0÷÷
d) n=m. d) A este inversabila. 0 0 1÷
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 16/83
x $ +
d) 8(x) = 7 x ( ) 7 € R
2 2 3
121 2 3() 2 29x xxx x x: : −=
c) $1 > $ ! Her M, () , > ! R ;
8) #rma patratica O: R R
are matricea as#ciata A= 1
1−1
÷.
'tunci O are e$presia:
%) #rma patratica O: R
R are"#rma can#nica as#ciata O(P)=
y1 : y
: y. 'tunci:
0) #rma patratica O: R R are
matricea as#ciata A=
1 −
÷.
'tunci "#rma can#nica as#ciata este:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 17/83
c) O($) = x1− x : x
x1
a)
de"inita daca
c)
= 0;
d)
Iici
una:
O(P)=
− y1
− y
sau − y1
: y sau
y1− y
sau − y1
: 7 y
1) #rma patratica
O: R R are )
ie O(P)= ;11 y1 :;;1
y:;; y "#rma )
ie A matricea
as#ciata "#rmei n
R si ; ;1, ,..., ;n
"#rma can#nica
as#ciata O(P) =
patratice O: R
c
a
n
#
n
i
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 18/83
c
a
a
s
#
c
i
a
t
a
"
#
r
m
e
i
p
a
t
r
a
t
i
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 19/83
c
e
O
:
ay1 :by
. 'tunci O
este negativ
R .'tunci: min#rii
principali ai lui
aplica met#da lui
*ac#bi de aducere
A. +entru a
de"inita daca: R
la "#rma can#nica,
trebuie #bligat#riu
c) a60, b60 a)
daca ; < ; < ;
<1 0,
0, 0
, O este ca:
p#zitiv de"inita;
d) daca ; ; < ;
1 0, 0, 0, O este
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 20/83
Iici una.
negativ de"inita.
4) #rmei
patratice #arecare
O: R n
Q:> n >
Q:> n >
R i se p#ate
as#cia: 5) #rma
patratica Q x( )
=??n n a x xij
i
j ) #rma patratica
Q x( ) =??n n a x xij
i
j
i= =1 j 1
i= =1 j 1
b) msi multe
"#rme can#nice,
dar cu
spunem ca
este p#zitiv
de"inita daca:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 21/83
2 2 211 2 2 33@ @ @: :
spunem ca
este seminegativ
de"inita acelasi nr
de c#e"icienti
p#zitivi, daca:
repectiv negativi.b) O($)0,
() $ ! R n , x ≠ 0.
b) O($)A0,
() $ ! R n , x ≠ 0.
c) # matrice
patratica si
simetrica.7)#r ma
patraticaO:
R
R are"#r macan#ni
caas#ciata:O(P)=− y1
: y −
y .
'tunci:
c)
(5)
$1,
$
!
R
a.i.
O($
1)60 si
O($
)
0
Q:> n
>
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 22/83
8)
#
r
m
a
p
a
t
r
a
t
ic
a
Q
x
(
)
=
?
?n
n
a
x
xi
j
i
j
i= =1 j
1
ar e" #
r macan#n
icaas
#ciataO(
P)=1
1 y
:
y
::...n
yn
.'
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 23/83
tunci
O estedege
ner atada
ca:
%)
i
e
O
(
P
)
=
"
#
r
m
a
can#ni
ca
as#
ciat
a
"#r
mei patr
atic
e
O:
R
R .
'tu
nci
O
nu
pastreaz
a
sem
n
c#n
stan
tdac
a:
a)
1
0,
60,
0;
d)
1
0,
6
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 24/83
0,
!
R .
40)
-et
#da
lui
*ac
#bi
de a
#bti
ne
"#r ma
can
#ni
ca,
se
p#a
teapli
ca
in
caz
ul
"#r
mel
#r
patr
atic
a:
a)
p#z
itiv
de"i
nite
;
c) neg
ativ
de"i
nite
.
4)
+entru
a se
dete
rmi
na
val
#ril
e
pr#
prii
ale
#perat#
rulu
i M:
R n
R n
cumat
rice
a
c#r
esp
unz
at#are
A,
se
rez
#lv
a
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 25/83
ecu
atia
:
c)
det
( 'T
−7 I n
) =
0
c)
(5)
1=0,
pen
tru
i=1,
n.
41)
ie#pe
rat#
rul
lini
ar
L:
>
>
L
x( )
= ( x1
:
x, x1
−
x)T ,
()
$=(
$1,$,
$)
/ !
R .
'tu
nci
mat
rice
a
#pe
rat#
rulu
i in
baz
ele
can
#ni
ce
ale
cel#r
d#u
a
spat
ii
are
"#r ma:
1
b)
A= 0
1−
÷÷.
1 0
÷
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 26/83
44)
Cp
erat
#rul
lini
ar
M:
R
R
are
mat
rice
a
A=
1
−
1
÷
'tunci
ecu
atia
car
act
eris
tica
pt
#bt
ine
rea
val
#ril
#r
4)
-a
tric
ea#pe
rat
#ru
lui
M:
R
R
"ata
de
baz
a
can
#ni
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 27/83
ca
din
R
aree$p
resi
a
A=
1
1 0
−
÷
.
'tu
nci
#pe
rat
#ru
l M
are
e$p
resia:
b) M
(
$
)
=
(
x
1
:
x
−
x
1
)
T
.
4
5
)
i
e
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 28/83
#
p
e
r
a
t
#
r
u
l
l
i
n
i
a
r
M
:
R
R
c
u
m
a
t
r
i
c
e
a
A
=
1
0
1
1
÷
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 29/83
'
t
u
n
c
i
e
c
u
a
t
i
a
c
a
r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
c
a
c
#
r
e
c
p
u
n
z
a
t
#
a
r
e
:
c) 7
7
−
:
=
1
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 30/83
0
4)
ie
#pe
rat#ru
l
lini
ar
M:
R
R .
'tu
nci:
c)
#pe
rat
#ru
lui
nu
i se
p#a
te
ata
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 31/83
car
act
4%)C
perat.
M: R
R are
val#ri
le
pr#pr
ii 7 71
=1, =
.'tun
ci:
c) daca
$1,$
sunt
vect#
ri
pr#pr
ii
pentr
u 71,
respe
ctiv
7 =
$1,$
sunt
liniar
inde
pend
enti.
d) e$ist
a #
baza
"ata
de
care
matr
icea
#per
at#u
lui
are
"#rm
a A=
1
0
0
÷
47)
Cper
at#rul
linia
r M:
R
R
are
matr
icea
A=
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 32/83
−
01 −
÷
'tunci,
val#ri
le
pr#pr
ii ale
lui M
sunt:
c) 7
71 = ,
=−
L:>
>
50)
ie
#pera
t#rul
L
x( ) =
( x1 : x
x, 1)T
.
'tu
nci :
a)
HerM
=K(0
,0)
/L(
1−
7) x1
:
x =
0
x
1 :
−(1
7) x
= 0
51
)
Ba
re
din
ur
mat#a
rel
e
a"ir
ma
tii
sun
t
ade
var
ate
Q
a) #rice
spati
u
linia
r
este
grup
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 33/83
abeli
an;
b) #rice
grup
abeli
aneste
spati
u
liniar
;
c) e$ista
spatiiliniar
e
care
nu
sunt
grupu
riabeli
ene;
5)
ie
vect#
rii
$1,$
,...,
$m
! R m
si A
matr icea
c#m
p#ne
ntel
#r
aces
t#ra.'tu
nci:
a) vect
#rii
sunt
linia
r
inde
pend
enti
daca
rang
A =
m;
b) vect
#rii
sunt
liniar
depe
nden
ti
daca
rang
A 6m.
5)
2n
spati
ul R n
#
multime
de
vect
#ri
linia
r
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 34/83
indep
ende
nti
p#ate
avea:
a) cel
mult
n
vect#
ri;
c) e$
actn
ve
ct#
ri.
d) e$i
sta
gr up
uri
ab
eli
en
e
ca
re
n
u
su
ntsp
at
ii
li
ni
ar
e.
54)
ie
vect
#rii
$1,$
,...,$m
! R m
si
A
matr
icea
c#m
p#ne
ntel#
r
acest
#ra.'tun
ci
sunt
linia
r
depe
ndenti
daca
:
c) ra
n
g
A
6
m
;
d) d
et
A
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 35/83
=0
.
55)
ie
vect
#rii$1,$
,...,
$m
! R m
si A
matr
iceac#m
p#ne
ntel
#r
aces
t#ra.
'tunci
sunt
linia
r
inde
pend
enti
daca
:
a)
rang
A =
m;
d)
det
A &0.
5)
ie
vect
#rii
$1,$
,...,$m
! R n
linia
r
inde
pend
enti.
'tu
nci
vect#rii :
c) "#
r
m
e
az
a
#
b
a
z
a
in
R n ,
n
u
m
ai
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 36/83
d
a
c
a
m
=n;
d) n
u
c
#
nt
inv
e
ct
#r
n
ul
.
57)
-ult
imea
$1,$,...,
$m
este
"#rm
ata
din
vect#ri
linia
r
depe
nden
ti.
'tu
nci:
b)
cel
putin un
vect
#r se
p#at
e
e$pr
imaca #
c#m
bina
tie
linia
ra de
58)ie
vec
t#ri
i
$1,
$,.
..,$n !
R n,
n
,
lini
ar
independe
nti.
'tun
ci:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 37/83
a) vec
t#ri
i
$1,
$,.
..,$n
"#r
me
aza
#
baz
a inR n ;
b) vec
t#ri
i
$1,
$,.
..,$H
sun
t
lini
ar
ind
epe
nde
nti,
()
H=1
,n.
5%)
Bar
e
din
ur
mat#a
rel
e
a"ir
ma
tii
sun
t
ade
var
ate:
a) #ri
ce
sub
multi
me a
unei
multi
mi de
vect#ri
liniar
indep
ende
nti
este
t#tliniar
indep
ende
nta;
b) #
subm
ultime a
unei
multi
mi de
vect#
ri
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 38/83
lina
ir
dep
end
enti
estet#t
lini
ar
dep
end
ent
a;c) c##
rd#
nat
ele
unu
i
vect#r
in
baz
a
can
#ni
ca
din
R n
c#i
nci
dcu
c#
mp
#ne
nte
le
acestui
a.
ceil
alti
;
d) p#a
tec#n
tin
e
vec
t#r
nul
.0)
B##r
d#nat
ele
unui
vect#r din
R n :
a) su
nt
un
ice
rel
ati
v
la
#
baza
"i$
at
a;
b) se
sc
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 39/83
h
i
m
b
a
l
a
s
c
h
im
b
a
r
e
a
b
a
z
e
i
;
c) s
u
n
t
a
ce
l
e
a
s
i
in
#
r
i
c
e
b
a
z
a
.
1)
<n
siste
m de
n
vect#ri din
R n,
care
c#nti
ne
vect#
rulnul:
b) est
e
lin
iar
de
pe
nd
en
t;
c) nu
"#
rm
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 40/83
e
a
z
a
#
b
a
z
a
in
R n
.
d) d
a
c
a
#
m
u
l
t
i
m
e
d
e
v
e
c
t#
r
i
n
u
c
#
n
t
i
n
e
ve
ct
#r
ul
nul,
at
un
ci
est
e
liniar
in
de
pe
nd
en
ta.
)
B
##
rd
#n
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 41/83
a
t
e
l
e
u
n
u
i
v
e
ct
#
r
i
n
b
a
z
e
c
a
r
e
di
"
e
r
a
pr
i
n
t
r
u
n
s
i
n
g
ur
ve
ct
#r
su
nt:
a)
di"eri
te.
)
Dime
nsiunea
unui
spati
u
vect#
rial
este
egala
cu:
a) nu
m
ar
ul
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 42/83
v
e
c
t
#
r i
l
#
r
d
i
nt
r
#
b
a
z
a
;
4) -atricea schimbarii de baza este:
a)b)
c)
unei baze desc#mpusi in
cealalta baza.
d)
ie $1 si $ vect#ri pr#prii pt
liniar M:
c#respunzat#ri la val#ri pr#prii
pr#prii pentru M;
a) $1 si $ sunt liniar independenti.
b) nu
m
ar
ul
m
a$im
de
ve
ct
#ri
lin
iar
70)
Cpe
rat#
rul
M:
R n
R n
are
n
val
#ri
pr#p
rii
disti
ncte
71, 7
,...,7n
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 43/83
car#
ra le
c#re
spu
nd
vect#rii
pr#p
rii
$1,$
,...,
$n.
'tunci:
a)
$1,$
,...,
$n
"#r
meaza #
baza
in
R n ;
71)
ie
#p
era
t#r
ul
lini
arM:
R m
R n
lini
ar
#ar eca
re.
't
un
ci:
a)
Her
M
A
R m
;
d)
Her M
este
subs
patiu
liniar .
7)
<nui
#per
at#r
liniar
M:R m
R n
i se
p#at
e
as#ci
a:
a) #
matri
ce
unic
a
relati
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 44/83
v la
#
pere
che
de
baze"i$at
e;
d)
$1,$
,...,
$n
suntlinia
r
inde
pen
dent
i.
7)
Iuc
leul
unui
#per
at#r
lini
ar
M:
R m
R n est
e:
a) u
n
s
u b
s
p
a
t
i
u
l
i
n
i
ar
;
b) #
m
ul
tim
e
de
ve
ct
#r
idi
n
R m
74)
<n
#per
at#r
liniar
M: R n
R n
are:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 45/83
a)
cel
mult
n
val#
ri pr#p
rii
disti
ncte
;
d) #
in"initat
e de
vect
#ri
pr#p
rii,
pt
"iec
are
val#
are
pr#p
rie.
75)
2n
spa
tiul
R n
#mu
lti
me
de
vec
t#ri
liniar
ind
epe
nd
ent
i
p#
ate
"i
"#r
ma
ta
din:
a)
mai
putin
de nvect
#ri;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 46/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 47/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 48/83
c)
e$ca
t n vect
#ri.
85)
Daca
sumaa n
vect#
ri din
R n
este
egala
cu
vect
#rulnul
atu
nci:
b) v
e
c
t
#
rii
s
u
n
t
li
7) ie vect#rii $1,$,...,$m !R , 77) B##rd#natele unui vect#r din 78) <n sistem de m vect#ri din R n vect#rii
liniar indep.'tunci R n : care c#ntine vect#rul nul:
c) "#rmeaza # baza in R n , daca m=n. a) sunt unice relativ la # baza; a) este int#tdeauna liniar
b) sunt in numar de n; independent;
d) nu "#rmeaza # baza in R n
.
7%) Dimensiunea unui spatiu liniar 80) -atricea unei "#rme patratice 81) Daca avem relatia $1=$ atunci
este egala cu: #arecare este # matrice: vect#rii:
a) numarul vect#ril#r dintr# baza. b) patratica; c) $1 si $ sunt liniar independenti,
c) simetrica. () ! R .
8) C "#rma patratica este p#zitiv 8) C s#lutie de baza a unui sistem se 84) C "#rma liniara este p#zitiv
de"inita daca "#rma can#nica atasata #btine: de"inita daca: acesteia:
a) are c#e"icientii p#zitivi; b) dand variabilel#r secundare, d) p#zitiva de"inire se re"era numai la
val#area 0 "#rmele patratice.
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 49/83
nia
r
ind
ep
en
denti
;
c) cel
put
in
un
ulse
sri
e
ca
#
c#
mb
ina
tie
lin
iar
a
de
r
e
s
t
u
l.d) n
u
"
#
r
m
ea
z
a
#
b
a
z
a
i
n
R n
.
8)
Dac
a
vect
#rii
$1,$...$
n
"#r
mea
za #
baza
inspati
ul
linia
r X,
atun
ci:
b
)
$
1
,
$
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 50/83
.
.
.
$
n
s
u
n
t
li
n
i
a
r
i
n
d
e
p
e
n
d
e
n
t
i
;
c
)
d
i
m
X
=
n
;
d)
$1,
$..
.$n
1
sunt
linia
r
87)
-at
rice
aas#c
iata
unui
#per
at#r
linia
r#are
care
M:
R m
R n
:
b) depi
nde
de
baze
le
c#ns
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 51/83
iderat
e in
cele
d#ua
spatii;
88) Iucleul unui #perat#r liniar M:
subspatiu liniar;
III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA
1) C
pr#bl
ema
de pr#gr
amare
liniar
a are
int#td
eauna
:a)
"uncti
a
#biect
iv
lini
ara;
c)
rest
ricti
ilelini
are.
4)
2ntr
# pr#
ble
ma
de
pr#
gra
mar
e
lini
ara
c#n
ditii
le
de
nega
tivit
ate
cer
ca:
d)
n
e
c
u
n
#s
c
u
t
e
l
e
p
r
#
b
l
e
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 52/83
m
ei
sa
"i
e
nega
ti
ve
.
7)
C
mul
ti
m
e
-
AR n
se
nu
m
es
te
c#
n
v
e
$
a
d
a
c
a
:
c
) (
)
x
x1
,
M
s
i (
)
7
0,13
a
vem 7 x1
:
−(1
7) x
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 53/83
M
. 1
0) ie ?
'
multim
ea s#lut
iil#r admisi
bile al unei
pr #
b
leme de
pr #gr amar e liniar a. '
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 54/83
tunci: a) ( ) x
x1,
S A
C7 x1 :
−(17) x
S A,( )
70,13
) 2n
"#rma
vect#
riala,#
pr#bl
ema
de
pr#gr
amare
lini
ara
are
vect
#rii
+1,+,.
..+n
de"i
niti
de:
b)
c#l#an
ele
mat
rice
i A
c#r
esp
unz
at#a
re
sist
em
ului
de
restr
ictii.
5)
+t a
aplica
alg
#rit
mul
?im
ple
$de
rez
#lv
are
a
une
i
pr#
bl.
de
pr#
gra
mar
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 55/83
e
liniar
a,
aceas
ta
trebuie sa
"ie in
"#rm
a: c)
stand
ard.
8)B#mb
inatia
liniar
a F7 7
71 1 x :
x :
x G
estec#nve
$a
daca:
b) 7i
0,13,
( )
=i
1,
si 7
7 71
:
:
=1
11)ie?'
si?'
multimeas#
lutiil#r admisi
bile,
res pectivmultimeas#lutiil#r admisibilede
bazaaunei
pr #blemede
pr #g
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 56/83
ramareliniara.'tunci,daca$ !?'
rezultaca:b) ( ) x
x1,
S A, x1 x
avem x1
71
:−(17) x,(
)7
0,13.) 2n
"#rm
a
stan
da
rd
#
pr
#b
lem
a
de
pr
gr
a
mar
e
lin
iar
a
ar
e
int
#t
de
au
na
:
c)
res
tric
tiil
e
detip
ecu
ati
e.
)
+t
a
ad
uc
e #
pr#
ble
ma
de
pr#
gra
ma
re
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 57/83
linia
ra
de
ma$
im
launa
de
mini
m se
"#l#
sest
erealt
ia:
c)
ma$
(") =
min
(")
%)
Daca
- A
R n
este #
mul
tim
e
c#n
ve$
aspu
ne
m
ca $
! -
este
var" (pu
nct
e$tr
em)
al
mul
timi
i -
dac
a:
Iic
i
una.
1)
ie
?' ,
?' ,?C
mult
imil
e
s#lu
tiil#
radm
isibi
le.,
de
baza
adm
isibi
le,
resp
ecti
v
#pti
me
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 58/83
pentr
u #
pr#bl
ema
de
pr#gr amare
lini
ara.
'tu
nci:
d)
?' ,
?C
sunt
mult
imi
c#n
ve$e.
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 59/83
1) 2n rez#lvarea unei pr#bleme de
pr#gramare liniara cu alg#ritmul
?imple$ se aplica:
a) intai criteriul de intrare in baza,
ap#i criteriul de iesire din baza;
d) criteriul de #ptim la "iecare etapa
a alg#ritmului.
1) ie urmat#rul tabel simple$ al
unei pr#bleme de pr#gramare liniara:
B +0 1 0 0
+1 + + +4 +5
+ 1 0 1
+1 1 1 1 1 0 1
z R1 0 0 0
c
d) =8
1%) C pr#bl. De pr#gramare liniara
cu cerinte de minim are urm.tabel
14) Daca $1 si $ sunt s#lutii
#ptime distincte ($1,$! ?C) ale unei
pr#bleme de pr#gramare liniata,
atunci:
a) 7 x1 : −(1 7) x S O ,( ) 7 0,13;
b) ?C are # in"initate de elemente;
c) "($1)="($), cu "($) "unctia
#biectiv.
17) C pr#blema de pr#gramare
liniara are urmet#rul tabel ?imple$:
B +0 1 0
+1 + + +4
+ 0 +1 1 1 1 0 z R
" 0
c
c) "=8, =1
0) C pr#bl. De pr#gramare liniara
cu cerinte de minim are urm.tabel
15) C pr#blema de pr#gramare
liniara cu cerinte de minim are
urmat#rul tabel ?imple$:
1 0 0
B +0
+1 + + +4 +
+1 1 1 1
+ 1 0 1
z R 1 0 0 4 4
1 c
a) 2ntra in baza + ;
c) iese din baza +1 . 18) C pr#bl. De
pr#gramare liniara cu cerinte de
minim are urm.tabel ?imple$:
0 1 0
B +0
+1 + + +4
+ 0 1 1 + 1 1 0 1 1
z R
1 0 0 1
c
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 60/83
'tunci s#lutia #ptima a
pr#blemei este: c) $0 =(0,1,,0)/
1) Bare din elementele urm.tabel
?imple$ nu sunt c#recteQ
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 61/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 62/83
5) 2n "aza 2 a met#dei cel#r "aze,val#area #ptima a "unctieiarti"iciale g($ )=1a . 'tunci:
b) pr#blema initiala nu are s#lutie.
c) =1 si pr#blema admite #ptim
in"init.
) unctia arti"iciala din met#da
cel#r d#ua "aze:
a) depinde d#ar de variabilele
arti"iciale intr#duse;
c) are c#e"icientii variabilel#r
arti"iciale egali cu 1.
7) +r#bl arti"iciala se ataseaza unei
pr#bl de pr#gramare:
b) in "#rma standard;
d) pentru determinarea unei s#lutii de baza admisibile a pr#blemei initiale.
8) Din tabelul ?imple$ de mai #s pt
# pr#blema de pr#gramare liniara cu
cerinte de minim:
1 0 0 B +0
+1 + + +4 +5
+ 0 1 1
+1 4 4 1 0 1 4
z R
0 0 0 5
c
d) $0 =(0,4,,0,0)/ s#lutie #ptima, dar
nu este unica.
) 2n rez#lvarea unei pr#bleme de
transp#rt met#da c#stului minim se
aplica pt determinarea:
%) Din tabelul ?imple$ de mai #s pt
# pr#blema de pr#gramare liniara cu
cerinte de minim:
1 0 0
B +0 +1 + + +4 +5
4 0 1 1 0 1
+
1 1 1 0 0 +1
0 0 0 1 1
z R
14 0 0 0 0 1
c
a) $0 =(1,0,4,,0)/ este s#lutie
#ptima.
c) pr#blema are # in"initate de s#lutii
#ptime.
4) Bantitatile Sij din criteriul de
#ptim al pr#blemel#r de transp#rt se
calculeaza pentru:
0) 2n tabelul ?imple$ de mai #s pt #
pr#blema de pr#gramare liniara cu
cerinte de minim:
0 1 0 0 B +0
+1 + + +4 +5
+ 1
+1 0 1 1 0 1
z R
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 63/83
4 0 0
c
a) p#ate intra in baza +4 sau +5 ;
b) va iesi din baza numai + ;
d) s#lutia de baza admisibila gasita
este $0 =(0,1,,0,0)/ .
5) 2ntr# pr#blema de transp#rt
ciclul celulei care intra in baza este:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 64/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 65/83
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 66/83
2 1 3
1D D
1 4 2
1$ 2$
1 2
2$
1 3
1$ D
2 2
44) ie s#lutia de baza admisibila a
unei pr#bleme de transp#rt data de
tabelul:
B1 B
B
D1
D
'tunci S1 se calculeaza dupa relatia:
c) S1=1=14 47) 2ntr# pr#blemade transp#rt cu m dep#zite si mcentre de des"acere, variabilelenebazice ale unei s#lutii de baza
admisibile sunt: b) t#ate egale cu0;
d) in numar de m
−m:1.
4) ?#lutia
de baza B1
B
initiala a D1
unei
pr#bleme de D
transp#rteste data de D tabelul:
'tunci val#area"unctiei #biectiv ",c#respunzat#are
acestei s#lutii este:b) "=5
4%) 2ntr# pr#blema de transp#rt,
n#tiunea de ciclu se ataseaza:
b) celulel#r nebazice.
48) 2ntr# pr#blema de transp#rt
variabila $11 intra in baza si are
urmat#rul ciclu:
'tunci: c) E=10
d) $1 iese din baza.
50) B#e"icientii "unctiei #biectiv a
unei pr#bleme de transp#rt #arecaresunt:
c) numere negative.
51) +t # pr#lema de pr#gramare liniara, care din 5) 2ntr# pr#blema de pr#gramare liniara se "#l#sesc urmat#arele
a"irmatii sunt adevarate:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 67/83
0aria&ilele de c"mensare cand%
a) restrictiile sunt de !"rma G+
restrictiile sunt de !"rma HI.
a) # s#lutie de baza admisibila este punct e$trem al
multimii s#lutiil#r admisibile; b)
b) un punct e$trem al multimii s#lutiil#r admisibile este
# s#lutie de baza admisibila.
5) C s#lutie de baza admisibila are 54) C pr#blema de pr#gramare 55) C pr#blema de pr#gramare
c#mp#nente: liniara cu cerinte de minim are mai liniara cu cerinta de minim pentru
a) negative. multe s#lutii #ptime daca: "unctia #biectiv, admite #ptim in"init
a) z j −c j G 0 si e$ista vect#ri P j care daca:
nu "ac parte din baza cu z j −c j = 0 a) e$ista vect#ri P j cu t#ate
,care au si c##rd#natele strict c##rd#natele negative, care nu "ac
p#zitive. parte din baza si pentru care z j −c j< 0
.5)2n "#rma standard, # pr#blema de 57) Daca matricea unei pr#bleme de 58) +entru a aduce # pr#blema de
pr#gramare liniara are: pr#gramare liniara in "#rma standard pr#gramare liniara la "#rma standard, a) numarul
restrictiil#r cel mult egal are rangul egal cu nr. restrictiil#r, se "#l#sesc variaile: cu al necun#scutel#r
atunci: b) de c#mpensare.
b) restrictiile sunt independente.
5%) ?#lutiile admisibile ale unei 0) ?#lutiile de baza admisibila ale 1) C s#lutie de baza admisibila are
pr#bleme de pr#gramare liniara unei pr#bleme de pr#gramare liniara numai c#mp#nente: "#rmeaza t#tdeauna #
multime. "#rmeaza # multime: a) nenegative.
c) c#nve$a. a) "inita.
) +entru aplicarea alg#ritmului ) C s#lutie de baza admisibila a 4) +entru # pr#blema de transp#rt
?imple$, s#lutia de baza initiala a unei pr#bleme de transp#rt cu m care din urmat#arele a"irmatii sunt unei
pr#bleme de pr#gramare liniara dep#zite si n centre (m6n) are: adevarateQ
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 68/83
trebuie sa "ie: a) cel mult mn1 c#mp#nente a) admite t#tdeauna # s#lutie de baza
a) admisibila. nenule. admisibila;
c) are t#tdeauna #ptim "init. 5)
2ntr# pr#blema de transp#rt ) C pr#blema de transp#rt pt care 7) -et#da gra"ica de rez#lvare a
met#da perturbarii se aplica atunci e$ista Jij = 0 pt # variabila nebazica a pr#blemel#r de pr#gramare liniara se
cand:s#lutiei #ptime are: aplica pt pr#bleme:
a) s#lutia initiala este degenerata; b) mai multe s#lutii #ptime. c) cu d#ua necun#scute. b) pe
parcursul rez#lvarii se #btine # s#lutie degenerata.
8) +entru # pr#blema de pr#gramare %) C pr#blema de pr#gramare
liniara, multimea ?' a s#lutiil#r liniara p#ate avea: admisibile si
multimea ?' a s#lutiil#r admisibile de baza satis"ac a) #ptim ("init
sau nu) sau nici # relatiile: s#lutie admisibila.
70) +entru a aplica alg#ritmul de
rez#lvare a unei pr#bleme de
transp#rt trebuie ca:
b) pr#blema sa "ie echilibrata si sa
c) S A K S AB
d) S A LS AB= S A 71) +t a rez#lva # pr#blema de transp#rtneechilibrata:
a) se intr#duce un n#u dep#zit, daca
cererea este mai mare decat #"erta;b) se intr#duce un n#u centru, daca
cererea este mai mica decat #"erta.
7) +entru # pr#blema de
pr#gramare liniara care din
urmat#arele a"irmatii sunt adevarate:
d) multimea s#lutiil#r admisibile
este c#nve$a.
avem # s#lutie de baza initiala
nedegenerata. 7) 2ntr# pr#blema
de pr#gramare liniara nu se
"#l#sesc variabile de c#mpensarecand:
c) restrictiile sunt de "#rma F=G
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 69/83
74) C pr#blema de pr#gramare 75) C pr#blema de pr#gramare
are mai multe s#l. liniara de minim admite #ptim in"init liniara de minim admite s#lutie #ptime daca avem
satis"acut criteriul daca:#ptima unica daca:
de #ptim si: a) criteriul de #ptim nu este satis"acut
care nu "ac parte si vect#rii din a"ara bazei au t#atecare au c##rd#natele negative.
c##rd#nate p#zitive.
77) 2n "#rma standard, # pr#bl. de
pr#gramare liniara are: pr#gramare liniara in "#rma standard
restrictiil#r cel mult egal are rangul egal cu nr. restrictiil#rb) variabile de c#mpensare.
b) restrictiile de tip ecuatie.
80) ?#lutiile #ptime ale unei 81) C s#lutie de baza admisibila
pr#gramare liniara nedegenerata are int#tdeauna
"#rmeaza t#tdeauna # multime:
c) c#nve$a. d) sistemul initial de restrictii este in
"#rma standard.
8) C pr#blema de
pr#gramare liniara p#ate "i
rez#lvata cu alg#ritmul
?imple$ numai daca: a) este in
"#rma standard.
84) +entru a rez#lva # pr#blema
de transp#rt trebuie ca:
b) pr#blema sa "ie echilibrata.
b) c#mp#nente p#zitive. 85)
-et#da cel#r "aze se aplica:
b) +entru determinarea unei s#lutii de
baza admisibile a pr#blemei initiale;
d) cu # "unctie #biectiv di"erita de
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 70/83
"unctia initiala.
8) C pr#blema de transp#rt: a) are int#tdeauna s#lutie #ptima "inita; c) p#ate avea mai multe s#lutii #ptime.
87) +entru a determina s#lutia 88) +entru aplicarea alg#ritmului 8%) ?#lutia unei pr#bleme de initiala a unei
pr#bleme de transp#rt: ?imple$ este necesar ca: transp#rt este #ptima daca: a) se aplica met#da diag#nalei;b) sistemul in "#rma standard sa aiba b) t#ate cantitatile Jij G 0
d) pr#blema trebuie sa "ie echilibrata. cel putin # s#lutie de baza admisibila.
%0) Briteriul de #ptim al unei %1) C pr#blema de transp#rt are %) C pr#blema de transp#rt are pr#bleme
de pr#gramare de minim #ptim in"init: int#tdeauna: este satis"acut daca:
a) t#ate di"erentele z j −c j G 0; b) nici#data. a) #ptim "init;
d) t#ti vect#rii + din a"ara bazei au b) cel putin # s#lutie de baza di"erentele z j −
c j G
0. admisibila.
%) unctia #biectiv a pr#blemei %4) Daca "unctia arti"iciala are #ptim %5) 2ntr# pr#blema de transp#rtarti"iciale are: strict p#zitiv, atunci; c#e"icientii "unctiei #biectiv a) t#tdeuna #ptim "init; a) pr#blema
initiala nu are s#lutii; reprezinta:
d) c#e"icienti negativi. b) in baza au ramas variabilele c) cheltuieli de transp#rt.
arti"iciale.
%) 2ntr# pr#blema de transp#rt v#m %7) 2ntr# pr#blema de transp#rt va %8) Biclul unei celule nebazice este
avea c#sturi de transp#rt egale cu 0 intra in baza variabila "#rmat:
daca: c#respunzat#are lui: a) din cel putin 4 celule;b) pr#blema initiala este a) Jij < 0, ma$im. c) dintrun numar par de celule. neechilibrata.
%%) +r#blemele de transp#rt: a) sunt cazuri particulare de pr#bleme de pr#gramare liniara; c) au numai
#ptim "init.
100) 2ntr# pr#blema de transp#rt criteriul de iesire se aplica: b) celulel#r cu numar par din ciclul celulei care intra
in baza.
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 71/83
IV. SERII NMERI!E. SERII DE PITERI
1) ie seria ? an c#nvergenta. 'tunci, ) Bare din urmat#arele #peratii ) ?uma unei serii c#nvergente se
n=1 p#ate m#di"ica natura unei serii m#di"ica at. cand:
as#ciind termenii in grupe "inite: divergente:b) seria ramane c#nvergenta;
d) suma seriei nu se m#di"ica.
4) ie seria numerica ?a an, n> .Bare
n=1 dina"irmatiile de mai #s sunt
adevarate:
a) daca ?an c#nverge, atunci limn
an= 0
n=1
;
d) daca limn
an 0 , atunci seria ?an
n=1
diverge.
7) ie seria ge#metrica ?aqn cu a&0.n=0
'tunci seria:
a) c#nverge, pentru T ! (1,1);
b) adaugam un nr."init de termeni;
a) as#cierea termenil#r seriei in c) suprimam un nr. "init de termeni ai
grupe "inite. seriei;d) inmultim termenii seriei cu un
scalar ennul.
5) ie sirul sumel#r partiale ) ie sirul sumel#r pariale atasat
seriei ?an Daca limn
S n= , atasat seriei ?an si S
n= S . 'tunci
n=1 n=1 atunci: seria:
a) c#nverge, daca S N;
a) seria c#nverge; d) c#nverge, daca ?=1.d) seria are suma ?=
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 72/83
( )n nO P
( )n nO P
limn
b) di0er,enta daca $+
c) c"n0er,enta daca <1+
d) di0er,enta daca =1.
1
?
?
8) ?eria arm#nica generalizata ?n
=1
n1a %)atasat unei serii de termeni
p#zitivi ie (S n )nP sirul sume#l#r
partiale este # serie:
?an , (an I 0). 'tunci sirul (S n )nP esten=1
int#tdeauna:
b) m#n#t#n crescat#r.
10) ie seriile cu termeni p#zitivi ?an si ?bn ast"el incat 11) ie seria cu termeni p#zitivi ?an , an I 0 si serian=1 n=1 n=1
an Gbn,( ) n PU .'tunci: arm#nica n=1 n . 'tunci:
a) ?n=1 an c#nverge daca ?n=1 bn ; d) ?n=1 bn diverge daca b) n=1 an diverge daca an I 1n .
?an diverge.n=1
1) ie seriile cu termeni p#zitivi an =1, atunci: 1)seriil#r: Briteriile de c#mparatie se aplica
15) ie seria ?n
=1 an , an I 0. Daca
?n=1 an si ?bn . Daca limn bn b) cu termeni p#zitivi.n=1
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 73/83
1
lim2
nn
na
=
?
() ()n nnn
&QaQ
C? ?
(1)
−?
1n
:−?
a) daca ?a n ( ) C?b n ( ) ;n=1 n=1
b) daca ?b !n ( ) C?a !n ( ) .n=1 n=1
14) ie seriile de termeni
p#zitivi
?an si ?bn , care satis"ac relatian=1 n=1 n
abnn = k
.'tunci: lim
a) daca H ! (0,1) seriile au
aceeasi
n aann:1 = 1 , atunci:lim
a)
b) an c#nverge.
natura.
b) H= si
1) ie seria cu termeni p#zitivi ?an b !n ( )C?a !
, si n#tam cu 71 = limn an si n
an: 1 7 = lim n an .
c) 7 71 = ; d) daca 7 = C71 = .
18) +entru seria cu termeni p#zitivi 1%) ie
?an avem limn n an = . 'tunci: n
−n1=1 ÷ =R. 'tunci: n=1 lim
c) ?n=1 an diverge; d) limn aann:1 = an
1) ?eria cu termeni p#zi
0. Briteriul lui Meibniz a"i
'tunci:
a) ?an c#nverge; c) limn
n=1
b) sirul (S n )nP c#nverge.
n=1
4) ie seria ( 1) an, an I 0ast"eln=1
incat limn
an =0. 'tunci seria c#nverge
daca:
5) ?eria ?uneste # serie alternatan=1
daca :
b) u un ,:1 G 0,( ) n P ;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 74/83
1n=
? sin?
( )1
−? ( )1
−?
n
n
) ie seria de termeni #arecare
?an , an > . Bare din urmat#arele n=1 a"irmatii sunt adevarateQ
b) ( an) nP este m#n#t#n descrescat#r. d) un = −( 1)n:1a an, n I 0.
lim an:1 = 1 . 'tunci:
7) ie seria ?n=1 an , an > ast"el incat n an
n an = 1 a) seria ?n=1 an c#nverge; b) seria ?n=1 an c#nverge;
c) limn
8) C serie cu termeni #arecare ?an , %) ie seria cu termeni p#zitivi ?an
n=1 n=1
an > se numeste semic#nvergenta , anI 0. 'tunci:
daca: a) daca ? a n ( ) rezulta ? a ( ) ;
b) a n ( ) an ( !) n=1 n=1
=1 b) daca ?a !n ( ) rezulta ? a ( !) ;
1) ?eria de puteri ?a xnn , an > are n=1 n=1 n=1 c) ?an = ?
an .
n aann:1 1. 'tunci: ) ?eria de puteri n=1 n=1 ? a x an
n, n > are lim
=
b) limnn an =1; c) seria
c#nverge
n an = 0
. 'tunci:n=1
pentru $ ! (1,1) limita limn
b) seria
c#nverge, pentru ( ) x > ;
4) ?eria de puteri ?an( x:1) n are
raza an:1
0.n
=1 d)
limn an =
de
c#nvergen
ta r=1.
'tunciseria: c)
c#nverge,
pentru $
(,0);
d) diverge, daca $(,)
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 75/83
5) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n are ) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n aren=1 n=1
limnn an = 0 'tunci seria: raza de c#nvergenta r 0. 'tunci
d) c#nverge, () $R . te#rema lui 'bel a"irma ca seria
c#nverge pe intervalul:
b) ($0r,$0r)
n xn %) ie r raza de c#nvergenta a seriei 8) ie
seria de puteri n .n=1
b) daca ? an ( ) C?a n ( ) ;n=1 n=1
c) daca ?a !n ( ) C? an ( ) .n=1 n=1
0) ?eria cu termeni p#zitivi ?an aren=1
an −1 ÷=R. 'tunci daca: limita limnn an:1
c) R=0 rezulta ?an diverge;n=1
d) R= rezulta ?an c#nverge.n=1
) ?eria de puteri ?a xn ( − x0)n cun=1
an:1 an > are limn an
=:. 'tunci seria: c) are raza de
c#nvergenta r=0;
d) c#nverge numai inVpentru $=$0.
7) ie seria de puteri ?a xnn cu
n=1
an:1 1
limn an = . 'tunci
b) raza de c#nvergenta este r=;
d) seria diverge ()$(,)L(,
)n xn
40) ?eria de puteri n are razan=1
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 76/83
limn
na
lim 1n
nO
1n
nar
= +
1n
n
a
a
:= limn
nn
a
.
nna =
'tunci c#e"icientii seriei sunt dati de
relatia:
c) an = −(1) n 1n
de puteri ?a xnn . 'tunci seria:
n=1
a) c#nverge () $R , daca r =
;
c) c#nverge int#tdeauna in $ = 0. de
c#nvergenta r=1. 'tunci d#meniul
ma$im de c#nvergenta a seriei este:
b) $ (1,13
50) ?eria de puteri ?an ( x − x0)n n=1
c#nverge numai in $0, daca si numai
daca:
a) raza de c#nvergenta r=0;
c) limn.
51) ie seria numerica ?an pentrun=1
care = 0. 'tunci seria:
d) nu se p#ate preciza natura seriei.
c) limn n an =0.
5) Daca pentru sirul numerel#r
partiale = atunci seria ?an:n=1
a) este c#nvergenta si are suma ?=1.
41) ie seria de puteri ? a xnn , a carei 4) ?eria /aPl#r atasata unei "unctii 44) ie f : I S> > # "unctie
n=1 "($) in punctul $0: #arecare. Bare din c#nditiile de mai
raza de c#nvergenta este r 0 "inita. b) este # serie de puteri; #s sunt necesare pt ai atasa acesteia
'tunci: d) are c#e"icientii de "#rma # serie /aPl#r in punctul $0: a) seria c#nverge, () $ (r,r) an =
f ( )n ( x0) . a) #bligat#riu $0 2;
c) limnnN b) "($) admite derivate de #rice #rdin
in $0.
d) limn4) ?eria -acMaurin atasata unei 45) B#e"icientii numerici ai unei serii
"unctii "($): -acMaurin atasate unei "unctii "($) au "#rma:
c) este # serie de puteri centrata in 0; b) an = f ( )n (0)
d) este un caz particular de serie nN
/aPl#r.
) ?eria de puteri ?a xnn satis"ace pr#prietatea lim
n
an
=1. 'tunci seria: c) c#nverge, () $ (1,1)n=1
7) ?eria de puteri ? ( −1) n xn: 48) +entru a studia c#nvergenta unei 4%) ?eria de puteri ? a xnn este
n=1
serii alternate se aplica:n=1
c) are raza de c#nvergenta r =1; c) criteriul lui Meibniz. c#nvergenta pe R numai daca:
d) c#nverge, () $ (1,1) b) raza de c#nvergenta r = ;
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 77/83
limn
na
limn
na
=1
c) limn
na
= :
$I si limnn
n
a 7
=
1
T
5) Daca pentru seria ?an , an I 0sirul
n=1 sumel#r partiale este marginit, atunci seria:
a) este c#nvergenta. an:1
54) ie seria ?n=1 an , an I 0 si limn an =7.
'tunci seria
b) c#nverge daca 761;
c) c#nverge, daca 7=0
55) ie seria ?an , an I 0 si
n=1 n an:1 −1 ÷ =R.
'tunci seria: lim an
5) ie seria ?( −1) n an , an I0 si lim
n
an
n=1
=0. 'tunci seria:c) este c#nvergenta, daca anI an:1
pentru price n PU.
5%) ie seria ?n=1 an , an . 0) ie seria
aann:1 = 0.
'tunci seria:b) este divergenta, pentru 7 1. b) este divergenta, pentru
1
c) este c#nvergenta, pentru 7= .
d) este divergenta, daca 7= .
) +entru seria ?a xnn avem lim
nna
n
=7
n=1
=T. 'tunci raza de c#nvergenta r
este: a)
a) r= ; c) r=0, daca T= ; d) c) e
a) este divergenta, daca R=0;
5) ?eria ?n=1 an ( x − x0)n are limn
aann:1 = 0.
'tunci seria:
a) este c#nvergenta, () $ R
) ie seria numerica ?an .
'tuncin=1
seria:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 78/83
c) diverge, daca limn
an& 0.
7) C serie cu termeni p#zitivi:
b) este divergenta, daca termenul
general nu tinde la 0;
c) are t#tdeauna sirul numerel#r
n an: 1 =
8)ie seria ?n=1 a , an I 0 si limn an
'tunci seria
a) diverge, daca 7< ;
b) c#nverge, daca 71.
71) ?eria ?an , an I 0 este:n=1
a) c#nvergenta, daca n ;
b) divergenta, daca ;
c) c#nvergenta, daca
%) ie seria ?an , an I 0sin=1
n an −1 ÷=R. 'tunci seria este
lim an:1
divergenta, daca:
b) R ;d)
7) ie seria?
n=1 an cu n aa
nn:1
−1
÷=0. 'tunci seria
b) este divergenta, daca an I 0.
partiale crescat#r.
70) C serie cu termeni p#zitivi
?an ,n=1
an I 0:
a) c#nverge, daca limn an
an: 1 = 0;
b) diverge, daca limn
an=1;
c) diverge, daca an= .
7) C serie de puteri ?a xnn
raza
n=1dec#nvergenta r=. 'tunci
seria: a) c#nverge pt $ (
,)
74) C serie de termeni p#zitivi ?n=1 an , 75) ?
an I 0:lim
n
n
an: 1 = ;
b) diverge, daca limn an
d) diverge, daca
77) ?eria arm#nica generalizata n=1 n78)n=1 ic#nvergenta r=1. 'tunci 7%) ?eria de puteri
?( 1)
cu R :b) diverge, daca 61; b) se
d) c#nverge, daca = . gene
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 79/83
1
2=
R=−.limn
lim $nn
a =
limnn
na
=
limnn
na = 1.
limn
limnn
na
= 2.
c"n0er,e numai entru x=$+
d) di0er,e entru x $.
limnn
na
=
1
?
(0,:
);
d) diverge, daca $ .
80) ?eria de puteri ?a xn ( :1)n are
raza
n=1de
c#nvergenta r=1. 'tunci seria:
b) diverge, pentru x −(,0)L(,:);
81) ?eria de puteri ?a xn ( :1)n , aren=1
raza de c#nvergenta r=. 'tunci
seria:
8) ?eria de puteri ?a xnn
are raza den=1
c#nvergenta r =0. 'tunci
seria:
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 80/83
$$ $( ) limxx
!
x @ xxx
U
=U −
1!
xx
U=
U
2! @
x
U=
U
22!
x@x@
U=
UU
c) c#nver ge, pentru $ (0,).
V. "N!TII REALE DE N VARIABILE
1) ie punctele +1(1,1), +(,) R
'tunci distanta dintre ele este egala
− x): ( y1 − y) . b) d(C,+)= x1 : x
. c)
4) ie sirul ( xn n) P > cu termenul
general de "#rma xn=
1n n
, n:1
÷. 'tunci general
c#nverge, daca t#ate sirurile
b) limita sirului este $0=(0,1)
7) ie "($,P) # "unctie de variabile si n#tam cu lg limita gl#bala, respectiv l1,l limitele partiale ale acesteia intrun puct ($0,P0). Bare din urmat#arele a"irmatii sunt adevarate:
a) daca (5) lg atunci (5) l1,l si l1=l=lg;
8) ie f : ! S> > si ($0,P0) D.
"unctiei'tunci derivata partiala a lui "($,P) in
rap#rt cu variabila $ in punctul
($0,P0) se calculeaza cu relatia:
f x y( , 0)− f x( 0, y0)
b) .
b) c#nverge, numai pentru
$=0;14)Di"erentiala de
#rdin 2 a "unctiei "($,P) =
$eP are e$presia
c) d"($,P) = ePd$ $ePdP;
15) ie ($,P) ## "unctie care
satis"ace criteriul lui ?chWartz
si care are . 'tunci:
1) ie X($,P)= − x
− y ÷ hessiana atasata
"unctiei "($,P). Daca +1(,1)
si +(,1) sunt puncte critice
ale lui 17) +unctele critice ale
"unctiei "($,P) B(R ) se
#btin:
UU fx =0
c) rez#lvand sistemul U f =0.
U y
18) unctia "($,P) are derivatele
partiale #rdinul 2 de "#rma:U f U f
b) = ;
d) X($,P
)=
U U x y U U y x
ln y y:
x÷
y
÷ x
x ÷ y: y÷ x− y ÷
U f x
c) = x−U y y
",atunci
c) +1 nu este punct de e$trem, iar
+ este punct de ma$im; f :> >
1%) unctia
f x y( , ) = : xy
1are: c) un singur punct
critic;
b)
2
2! x@@x
U =UU
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 81/83
1
2
d) hessiana de "#rma
X($,P)= 1
0 10
÷
f :> > 1) ie X(+0)=
V
V1
÷ hessiana atasata ) ie +0 un punct critic al "unctiei
0) unctia f x y( , ) = : : x y 1are: "($,P) si
hessiana c#respunzat#are
b) nici un punct critic. "unctiei "($,P) in punctul critic +0. acestuia de "#rma: X(+0)=
1
÷. 'tunci +0:
a) este punct de minim l#cal, daca 'tunci +0 va "i punct de minim pt=V=1; "unctia " daca:
c) nu este punct de e$trem l#cal, daca c) = ; d) = .
=1 si V=.
) Xessiana "unctiei "($,P) in 4) Xessiana "unctiei "($,P) in 5) Daca "unctia "($,P) are derivatele punctul
critic +0, este de "#rma punctul critic +0 are "#rma:partiale de #rdin 2 de "#rma
X(+0)= −
VV
−−1
÷. 'tunci +0 este punct X(+0)= −: − ÷÷ . +0 de minim l#cal
U
UU f
f x ==
x xy(( x:: − yy−1)1), atunci " are: de ma$im l#cal pentru " daca: pt " daca: U y
Nici #$a b) si 0; d) patru puncte critice.
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 82/83
) ie X(+0)= −
−1 ÷ hessiana "unctiei
"($,P) in punctul critic +0.
'tunci pentru :
7) Xessiana atasata "unctiei
"($,P)
are "#rma X($,P)= xyy
x yxy ÷ ; 'tunci
di"erentiala de #rdin 22 a "untiei
are 8) Di"erentiala de #rdin 2 a
"unctiei "($,P) are "#rma
d"($,P)=($P)d$
($)dP. 'tunci "unctia "($,P);
c) are punctul critic unic +(,)
b) =4C nu se p#ate preciza
natura lui +0;
c) = C+0 nu este punct de e$trem
l#cal;
d) =C +0 este puct de minim
l#cal."#rma:
c) " f x y( , ) = y "x :1 xy "x"y : x y
"y
%) ie X($,P)= xy 0 x ÷
hessiana atasata "unctiei "($,P).
'tunci di"erentiala de #rdin 22 a
"unctiei " are "#rma:
1
2
7/21/2019 182110105 Grile Rezolvate La Matematici Aplicat
http://slidepdf.com/reader/full/182110105-grile-rezolvate-la-matematici-aplicat 83/83
2
12
2 2 x@x @
x@
: :−
: x@!
@ex
U=
U
d) " f x y( , ) = y"x: 4 x"x"y
8) unctia #arecare "($,P,z)
satis"ace c#nditiile din criteriul lui
?chWarz. 'tunci au l#c egalitatile:U f U f U f U f
b) U U x z = U U z x ; d) U U y z = U U z y .
%) ie "unctia "($,P)= si
# 1 =lim lim
x 0( y 0 f x y( ,)) , # =
lim lim y0
( x0 f x y( ,)) limitele iterate ale
"unctiei in C(0,0).
'tunci:
d) l1=1, l=1.
40) ie "unctia "($,P)=e$P .'tunci:
c) . 0 1−
4) ie X(+0)= 0 1 1 ÷
÷hessiana− 1 1 1 ÷
41) ie "unctia "($,P)= e$P. 'tunci:
d) U .
4) ie "unctia "($,P,z)=$Pz.
'tunci:b) "unctia " nu are puncte
critice;atasata "unctiei "($,P,z) in punctul critic +0. 'tunci:
c) "ul#cal
44) Daca +0($0,P0) este punct critic 45) determinarea -et#da multiplicaril#r lui
b) U f x ( P 0) = 0 si UU f y ( P 0) = 0 ; c) d"(+0)=0
punctel#r de e$trem l#cal, in cazul "uncti
y xy
4) ie X($,P)= V xy x y ÷matricea 47)
hessiana atasata "unctiei "($,P).
'tunci , daca "unctia "($,P) satis"ace hessian
criteriul lui ?chWarz avem: x y :
a) =, V=; lui ?
50) Briteriul lui ?chWarz a"irma ca 51) B
"($,P) are: sunt adevarate: int#tdeauna:
c) derivatele partiale mi$te de #rdinul b) #ri
egale. punc
c) in u
0) ie X($,P)= xy 0 x ÷ hessiana 1) ie X(+0)=
0−1 0
00 ÷
÷ hessiana )"($,P) si ie +0 punct critic al
"unctiei " f P
( 0) =−"x
:"y
. 'tunci: atasata "unctiei "($,P). Daca +1(1,1), 0 0 :1÷
+(1,1) sunt punctele critice ale lui c#respunzat#are "unctiei "($,P,z) in c) +0 nu este punct de e$trem l#cal.
", atunci punctul critic +0. 'tunci: 4) ) ie +0 un punct critic al "unctiei
c) +1,+ nu sunt puncte de e$trem a) +0 este punct de minim l#cal, daca "($,P,z) si " f P ( 0) = "x: 4"y:" z .
l#cal.1; 'tunci:
) ie +0 un punct critic al "unctiei c) +0 nu este punct de e$trem l#cal, a) +0 este punct de minim l#cal.
"($,P) si " f P ( 0) = 4"x−"x"y :"y . daca = ;
'tunci: d) +0 este punct de minim l#cal, daca
a) +0 este punct de minim l#cal. =.
5) unctia "($,P) are derivatele ) Di"erentiala de #rdin 2 a "unctiei 7) Di"erentiala de #rdin 2 a "unctiei partiale de #rdin 2 de "#rma "($,P,z)=$PPz are "#rma: "($,P,z)=$Pz are "#rma:
UU fx = x − x: respectiv UU fy = y −1. 'tunci b) d"($,P,z)=Pd$($Pz)dPPz; c) d"($,P,z)=Pzd$$zdP$Pdz; numarul punctel#r critice ale lui " este: d) 4.