Unidad II

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE MATRICES

Las transformaciones elementales en una matriz pueden ser las siguientes:

Permutar 2 filas ó 2 columnas.

Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN MATRICES

Nota: Estas transformaciones son muy importantes en el cálculo de determinantes.

DETERMINANTES

4

El determinante de una matriz cuadrada.Definiremos el determinante de orden n en términos de determinantes de orden n-1. Para esto, definiremos la matriz menor Mij de una matriz A de nxn como la matriz de (n-1)x(n-1) obtenida al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A, como se muestra en la figura en color.

Denotando con Mij el determinante de la matriz menor Mij, se puede expresar el determinante de una matriz 3x3 como

los números cof11= M11 , cof12=- M12, cof13= M13 se llaman los cofactores de aij. Se definirá el determinante por inducción.

nnnjn

iniji

nj

ij

aaa

aaa

aaa

M

1

1

1111

131312121111

333231

232221

131211

MaMaMa

aaa

aaa

aaa

5Definición: Sea n > 1 y supongamos que los determinantes de orden menor que n están definidos. Sea A={aij} una matriz de nxn. El cofactor de la entrada aij en A es

cofij = (-1)i+j det (Mij),

donde Mij es la matriz menor correspondiente a la entrada aij . El determinante de A es

(DE)

Ejemplo: Hallar el cofactor de la entrada a21 de la matriz. Hallar el determinante.

11 12 1

21 22 211 11 12 12 1 1

1 2

det( )

n

nn n

n n nn

a a a

a a aA a cof a cof a cof

a a a

2201

4104

2123

1012

A

6En general, para calcular el determinante, se puede aplicar la fórmula (DE) sobre cualquier fila o cualquier columna. Esto permite simplificar algunas veces los cálculos cuando se tienen matrices con filas o columnas con varios ceros.

Ejemplo: Demostrar que el determinante de una matriz cuadrada triangular superior (o inferior) es el producto de los elementos diagonales.

Ejemplo: Determinar el determinante de una matriz que tiene una fila o una columna con todos las entradas igual a cero.

Propiedades del determinante

PROPIEDAD 1 (Determinantes de transpuestas)

Para cualquier matriz cuadrada A, se tiene que det (A) = det (AT ).

Esta propiedad garantiza que las operaciones para el cálculo de determinantes pueden ser realizadas ya sea por filas o por columnas.

7PROPIEDAD 2 (Intercambio de filas)Si se intercambian dos filas diferentes de una matriz cuadrada A, el determinante cambia de signo, es decir, es igual a -det (A)

PROPIEDAD 3 (Igualdad de filas)Si dos filas una matriz cuadrada A son iguales, entonces det (A)=0.

PROPIEDAD 4 (Multiplicación por un escalar)Si una sola fila de una matriz cuadrada A se multiplica por un escalar k, entonces el determinante de la matriz resultante es igual a k det (A).

PROPIEDAD 5 (Suma de filas)

Si una fila de una matriz cuadrada A se multiplica un escalar y se suma a otra fila diferente, entonces el determinante no cambia, es decir, es igual a det (A)

PROPIEDAD 6 (Producto de matrices)Si A y B son dos matrices de nxn, entonces det(AB) = det (A) det (B)

8Evaluación del determinante por medio de operaciones

elementalesEl cálculo del determinante usando la fórmula (DE) es en realidad muy complejo, pues para matrices de dimensión mayor a tres, es necesario efectuar repetidas operaciones. Sin embargo, hemos visto que el caso especial de una matriz triangular, el determinante es igual al producto de los elementos sobre la diagonal. Entonces, si una matriz puede reducirse a una matriz escalonada por filas, es evidente que el determinante podrá calcularse como el producto de los elementos diagonales, considerando en el desarrollo las operaciones elementales por filas y su efecto en el valor del determinante. Usaremos un ejemplo para ilustrar esta situación:

Ejemplo: Hallar el determinante de la matriz

1202

2310

2233

4022

A

9Solución: se tiene que

(suma de filas) (multiplicación por un escalar)

(multiplicación por un escalar)

(dos veces suma de filas)

(suma de filas)

(intercambio de filas) Finalmente, det (A)= (-2)(2)(17)=-68

1202

2310

2233

2011

2

1202

2310

2233

4022

3220

2310

4200

2011

2

3220

4200

2310

2011

2

1800

4200

2310

2011

2

1800

2100

2310

2011

)2(2

17000

2100

2310

2011

)2(2

10

|

Es conveniente aclarar que para el cálculo de los determinantes, las operaciones básicas también pueden realizarse por columnas, dependiendo del ejemplo de que se trate.

De la discusión anterior, se puede ver que si la matriz puede ser reducida por filas a una matriz triangular, entonces el determinante es distinto de cero, y este es el cuando la matriz A es invertible, por lo que un criterio para la invertibilidad de la matriz A puede enunciarse como sigue:

Teorema: (Criterio para la invertibilidad de una matriz cuadrada)

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si det (A) 0.

Definición: Se define la matriz adjunta de una matriz A nxn como la matriz transpuesta de los cofactores, es decir,

nnnn

n

n

cofcofcof

cofcofcof

cofcofcof

Aadj

21

22212

12111

)(

11

Para una matriz cuadrada de orden 1, se tiene: | A | = a11 Así, si A = 6, entonces: | A | = 6

Ejemplo:Hallar el determinante de la matriz A

Para una matriz cuadrada de orden 2:

| A | = a11.a22 - a21.a12

53

21

A =

1)2()3(51A xx

2221

1211

aa

aaA

EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE DETERMINANTES

12

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

Para una matriz cuadrada de orden 3

Regla práctica

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

1 2A S S

P1

P2

P3

P4

P5

P6

S1S2

13

Ejemplo: Calcule el determinante de A

572

024

331

A 2ARespuesta:

Nota: Si el determinante de una matriz cuadrada es diferente de cero. Entonces existe la matriz inversa

14

¡Reflexión!

Dada la igualdad, A.B=I donde A , B son matrices e I es una matriz identidad, ¿cómo se podría hallar la matriz B ?

Ejemplo

10

01

73

21

??

??7 -2

-3 1

ECUACIONES MATRICIALES

15

ECUACIONES MATRICIALES

AX = BA: matriz de coeficientes

X: matriz de variables

B: matriz de constantes

Si A-1 existe, entonces X = A-1 B

A-1(AX) = A-1B

(A-1A)X = A-1B

IX = A-1B

Multiplique ambos lados por A-1

X = A-1B

Propiedad asociativa

Inversa

Matriz de Identidad

16

814

312

201

z

y

x

Sea la siguiente ecuación Matricial :

30

10

7

=

¿Cómo resolvemos matricialmente?

A X B

¡ Mediante la matriz inversa !

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en

caso contrario recibe el nombre de singular.

MATRIZ INVERSA

Propiedades de la inversión de matrices

(At) –1 = (A-1) t

La matriz inversa, si existe, es única

A-1·A = A·A-1= I

(A·B)-1 = B-1·A-1

(A-1)-1 = A

(kA)-1 = (1/k) · A-1

Por definición (utilizando ecuaciones)Por el método de Gauss-JordanUsando determinantes

Observación:

Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 · A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

Cálculo de la Matriz Inversa (Mediante Ecuaciones)

b) Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa se basa en operaciones elementales hechas a las filas de la matriz de la cual se desea calcular la inversa, conjuntamente con la matriz identidad.Las operaciones elementales pueden ser:1.- Intercambio de filas.2.- Multiplicación o división por un número a toda una fila.3.- Suma o resta de filas.

EL OBJETIVO ES OBTENER LA MATRIZ IDENTIDAD A PARTIR DE A

OBS: a) Todas estas operaciones se hacen en simultáneo a la matriz A y a la matriz Identidad I , el proceso termina cuando la matriz A se convierte en la Identidad, la “Matriz transformada” es la matriz inversa de A

(A I)

Cálculo de la Matriz Inversa (Método de Gauss Jordan)

Disposición de las matrices para el cálculo de la inversa por el método de Gauss Jordan:

Después de hacer operaciones elementales a las filas de A y a las filas de I debemos de obtener:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a b c

d e f

g h i

a b c

A d e f

g h i

Supongamos queEs la matriz de la cual deseamos hallar la inversa

1 0 0

0 1 0

0 0 1

p q r

s t u

v w x

p q r

B s t u

v w x

Si 1B AB es llamada la Matriz Inversa de A

Nota: Para matrices de orden 2, 4, 5, etc. el proceso es similar

Calcular la matriz inversa de A

1 1 0

2 1 1

1 1 2

A

Ejemplo:

Solución:

Disponemos a la matriz A y la matriz Identidad

1 1 0 1 0 0

2 1 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1

Y comenzamos el proceso…. En efecto

1 1 0 1 0 0

2 1 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1

Luego hacemos lo siguiente: (-2f1+f2) f2(f1 + f3) f3

1 1 0 1 0 0

0 1 1 2 1 0

0 2 2 1 0 1

(-f2) f2

1 1 0 1 0 0

0 1 1 2 1 0

0 2 2 1 0 1

(-f2+f1) f1(-2f2+f3)f3

1 0 1 1 1 0

0 1 1 2 1 0

0 0 4 3 2 1

((f4)/4) f4

1 0 1 1 1 0

0 1 1 2 1 0

0 0 1 3 / 4 2 / 4 1/ 4

1

1/ 4 1/ 2 1/ 4

5 / 4 1/ 2 1/ 4

3 / 4 1/ 2 1/ 4

A

(-f3+f1) f1(f3+f2)f2

Por lo tanto la matriz inversa es:

¡Compruebe que !1A A I

Ejemplo:

Calcular la matriz inversa de la matriz A.

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

Cálculo de la Matriz Inversa (Método de la Matriz Adjunta)

Solución:Fórmula de la inversa de una matriz

Sea A una matriz de nxn con det ( A) 0. Entonces

)()det(

11 AadjA

A

En efecto, sea la matriz cuadrada A de orden 3

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A = = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7

A = 0

Probemos que el determinante es diferente de cero (para garantizar la existencia de la Inversa)

Este paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, αij.

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

CÁLCULO DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

(PARA OBTENER LA MATRIZ ADJUNTA)

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α11:

2 3

–1 1= 2 + 3 = 5α11 =

5

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de α12:

0 3

1 1= 0 – 3 = – 3 α12 =

– 35

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α13:

0 2

1 –1= 0 – 2 = – 2 α13 =

– 35 – 2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α21:

0 –1

–1 1= 0 – 1 = – 1 α21=

– 35 – 2

– 1

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α22:

1 –1

1 1= 1 + 1 = 2 α22=

– 35 – 2

– 1 2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α23:

1 0

1 –1= –1 + 0 = –1 α23=

– 35 – 2

– 1 2 –1

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α31:

0 –1

2 3= 0 + 2 = 2 α31=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α32:

1 –1

0 3= 3 + 0 = 3 α32=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

MATRIZ DE LOS MENORES COMPLEMENTARIOS

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario α33:

1 0

0 2= 2 + 0 = 2 α33=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3 2

CÁLCULO DE LA MATRIZ ADJUNTA

(αij) =

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3 2

La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que Aij = αij (–1)i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2Posiciones positivas: (–1)i+j = + 1

Posiciones negativas: (–1)i+j = – 1

TRASPUESTA DE LA ADJUNTA

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

35 – 2

3

5

– 2

(Aij)t =

TRASPUESTA DE LA ADJUNTA

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t =21 1 3

5

– 2

2

1

1

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

TRASPUESTA DE LA ADJUNTA

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t =

–32 2

3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

TRANSPUESTA DE LA ADJUNTA

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t = 3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

PRODUCTO DE LA MATRIZ TRANSPUESTA POR EL INVERSO DEL DET(A)

(Aij)t = 3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

A–1 =1

73

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

= - 3/7

- 2/7

3/7

5/72/7

2/7

1/7

1/72/7

1/7

A–1 =1

A(Aij)t

El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A.

Se puede comprobar que se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa.

A–1 =1

73

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

= - 3/7

- 2/7

3/7

5/72/7

2/7

1/7

1/72/7

1/7

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

A–1 A = A A –1 = IA–1 A = A A –1 = I

43

es la matriz inversa de

13

14

43

11

2. no tiene inversa, ¿porqué?

00

02

EJEMPLOS

13

14Puesto que = I2

43

11

1.-

44

3. Halle la inversa de la matriz

53

21A =

10

01

53

21

??

??

10

01

Solución:

4. Encuentre A-1 , si:

814

312

201

A

116

104

22111A

45

6. Consideremos el siguiente

sistema de ecuaciones lineales:

814

312

201

z

y

x

Se puede representar matricialmente por:

30

10

7

=

¿Cómo resolvemos matricialmente?

A X B

x + 2z = 72x – y + 3z = 104x + y + 8z = 30

Solución Utilizando métodos matriciales o la regla de Cramer

46

Regla de CRAMER

Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como sigue:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

. . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

Considere las siguientes notaciones:D: matriz de coeficientes del SEL

Dj: matriz obtenida reemplazando j-ésima columna de D por la columna de constantes

Si , entonces el sistema tiene una única solución0|| D

47

La solución del sistema está dada por:

...||

|| 22 D

Dx

||

|| 11 D

Dx

Ejemplo: Use la regla de Cramer para resolverel siguiente sistema:

2x - 3y = - 45x + 7y = 1

||

||

D

Dnnx

48

Ejemplo: En el siguiente sistema halle el valor de “y” utilizando la regla de Cramer.

x - 2y + 4z = 6 x + y + 13z = 6-2x + 6y - z = -10

La regla de Cramer nos permite hallar el valor de una incógnita sin tener que hallar los valores de las otras.

ES MPORTANTE HACER OPERACIONES

ELEMENTALES POR FILAS CON MUCHO CUIDADO

RECUERDA

QUE DIOS LOS BENDIGA