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ANAMORFOSE
LINEARIZANDO MODELOS NÃO-LINEARES PARA APLICAÇÃO DO
MQO
ECONOMETRIA
Profa. Nelly Figueiredo
Leitura: Gujarati – p. 141 a 153(apostila 85 a 97)
• Os modelos NÃO-LINEARES NAS VARIÁVEIS podem ser transformados em lineares (linearizados por anamorfose), transformando tanto Y ou X ou ambos.
• Estes modelos são chamados “ modelos não-lineares transformáveis”. Por exemplo, o modelo multiplicativo abaixo, pode ser linearizado tomando os logaritmos naturais de ambos os lados da equação.
Y = ββββ1 X ββββ1
ANAMORFOSE
Econometria – Profa. Nelly Figueiredo
ANAMORFOSE
� Podemos transformar uma função não-linear em uma função linear, através de truque matemático. Essa transformação se chama anamorfose.
� Fazemos isso para podermos utilizar os mesmos instrumentos desenvolvidos para ajustar a regressão linear simples.
� Usamos as mesmas fórmulas dos estimadores desenvolvidos pelo MMQO, obtendo estimativas dos parâmetros B1 e B2.
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Linearizar o modelo1. Transformar os dados de acordo com o modelo
linearizado2. Ajustar o modelo linearizado ( naturalmente usando os
dados transformados)3. Recalcular os coeficientes, se preciso;4. Apresentar o modelo ajustado
OBS:• usualmente, apresenta-se o modelo linearizado, sem
voltar ao modelo original. • CUIDADO na interpretação dos coeficientes!
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ModeloForma
originalForma linearizada Obs
Linear Y = ββββ1 + ββββ2 X Y = ββββ1 + ββββ2 X Elasticidade =ββββ2 X/Y
Log-linear ou Log-Logou Exponencial ou Cobb Doglas
Y = ββββ1 X ββββ1 ln(Y) = αααα1 + ββββ2ln(X)
α1 = ln(ββββ1)Elasticidade =ββββ2
Potencia Y = ββββ1 ββββ2X ln(Y) = αααα 1+ αααα2 X
αααα 1 = ln(ββββ1)α2 = ln(ββββ2)
Elasticidade = αααα2 X
Semi-log: Lin-LogSemi-log: Log-Lin
Y = ββββ1 + ββββ2 ln(X)LnY = ββββ1 + ββββ2 X
Log-inverso ln(Y) = ββββ1 + ββββ2 1/X Elasticidade = ββββ2 1/X
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Forma original Forma linearizada Obs.
Multiplicativo Y = ββββ0 e ββββ1 X ln(Y) = B 0 + ββββ1 XB 0 = ln(ββββ0)
ln(e) = 1
Inverso ou Recíproco-X (hipérbole)
Y = ββββ0 + ββββ1 1/X Y = ββββ0 + ββββ1 W W = 1/X
Recíproco-Y 1/Y = ββββ0 + ββββ1 X Z = ββββ0 + ββββ1 X Z = 1/Y
Recíproco-dupla 1/Y = ββββ0 + ββββ1 1/X Z = ββββ0 + ββββ1 W
W = 1/X; Z= 1/Y
Quadrática Y = ββββ0 + ββββ1 X1 + ββββ2 X22222 Y = ββββ0 + ββββ1 X1 + ββββ2 W W = X2
2222
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ANAMORFOSE – ALGUNS MODELOS1) COBB-DOUGLAS
Log -linear ou Exponencial ou Cobb Doglas ou Log-Log
2
1ββ XY =
Linearizando:
XY lnlnln 21 ββ +=
Equação estimada:
)ˆ(ˆ
ˆlnˆ,lnˆˆˆln
1
12
αβ
βαβα
EXPEntão
quesendoXY
=
=+=
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Propriedades – Modelo muito popular devida a suas propriedades:
1. 2β̂ é a elasticidade de Y em relação à X; (Y varia de 2β̂ % quando X aumentar 1%)
2. O coeficiente de elasticidade é constante, qualquer que seja o valor de X;
3. α̂ e 2β̂ são estimadores eficientes ( não tendenciosos) porém
1̂β é tendencioso;
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1) COBB-DOUGLAS (cont.)
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3
Demonstrando que elasticidade = 2β̂ .
21
ββ XY =
Y
X
dX
dY
XdX
YdY •==ε
a) dX
dY = derivada da função
121
2−××= βββ XdX
dY [1]
b) Substituindo [1] na fórmula de elasticidade:
=•=Y
X
dX
dYεY
XX ••• −1
212βββ =
=•=Y
X
dX
dYεY
X 221
βββ •• = 2β
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1) COBB-DOUGLAS (cont)
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2) LOG-LIN e LIN-LOG (semilogaritmicos)
2.1 Modelo LOG-LIN: Usado quando desejamos saber a variação percentual de Y
dada uma variação absoluta de X.
Como medir a taxa de crescimento através de modelo de regressão:
Yt = Y0 (1+r) t
Ln (Yt )= Ln(Y0) + t Ln (1+r) ou
ββββ1 = Ln(Y0) logaritmo do intercepto (valor inicial da série p/ t=0)
ββββ2 = Ln(1+r)
Y = variável para a qual queremos medir a taxa de crescimento
t = tempo.
LnYt = ββββ1 + ββββ2 t
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2) LOG-LIN e LIN-LOG (semilogaritmicos)
2.1 Modelo LOG-LIN (cont): Propriedades do modelo log-lin:1. β2 = (variação relativa de Y) / (variação absoluta de X- no caso t);2. β2 x 100 = taxa de crescimento de Y.3. Taxa de crescimento instantânea x taxas compostas:
tx de crescimento instantânea :
=> β2 vezes 100 = taxa de crescimento instantânea
tx crescimento composta (ao longo de um período )
Sabemos que β2 = Ln (1+r)
então: 1 + r = EXP(β2 ) e r = EXP(ββββ2) - 1 r
=> { EXP(ββββ2) – 1 } vezes 100 = taxa de crescimento composta
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2) LOG-LIN e LIN-LOG (semilogaritmicos)
2.1 Modelo LOG-LIN (cont): Exemplo
Supondo o modelo ajustado:
Ln^(Yt )= 2,5 + 0,07 t
ββββ2 x 100 = 7%
=> Y cresce a 7% ao ano
r = EXP(0,070,070,070,07) - 1 = 1,0725 – 1 = 0,0725 x 100 = 7,25%
=> Y teve um crescimento médio anual de 7,25% a/a no período
*a taxa composta 7,25% é ligeiramente superior à taxa instantânea 7%
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2) LOG-LIN e LIN-LOG (semilogaritmicos)
2.1 Modelo LIN-LOG: • Usado quando desejamos saber a variação absoluta de Y
dada uma variação percentual em X.
Yt = ββββ1 + ββββ2 Ln (X)
ββββ1 = intercepto: valor de Y que independe de X
ββββ2 vezes 0,01 = variação em Y quando X varia de 1%
Exemplo
Supondo o modelo ajustado:
Yt = 28 + 250 Ln(X)
ββββ2 vezes 0,01 = 250 x 0,01 = > Y aumenta de 2,5 unidad es a cada 1%
de aumento em X.
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3) MODELOS RECÍPROCOS
Propriedades : Quando X aumenta indefinidamente:
• O termo β2.1/X se aproxima de zero ( inclinação =>0);
• Y se aproxima do valor limite ou assintótico β1 (a função tende assintoticamente para o intercepto β1)
• Um valor positivo de β2 implica que a taxa de variação de Y em relação a X é negativa então Y decresce conforme X aumenta, tendendo assintoticamente para β1.
• Quando β2 negativo Y aumenta conforme ´X aumenta, tendendo assintoticamente para β1
• Verifique essas duas últimas afirmações atribuindo valores a X e representando em 2 gráficos de dispersão as seguintes equações:
XY
121 ββ +=
Econometria – Profa. Nelly FigueiredoX
Y1
64+=X
Y1
54−=
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3) MODELOS RECÍPROCOS
Exemplos:
• Curva de Phillips – relaciona taxa de variação % dos salários monetários e taxa de desemprego (%)
• Mortalidade Infantil X PIB per capita.
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XY
164+=
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3) MODELOS RECÍPROCOS
Seja uma curva de Phillips dada pelo modelo
∆∆∆∆W = - 3,251 + 18,551 (1/X)
Sendo: ∆W = taxa de variação dos salários (em %);
X = taxa de desemprego ( em %)
• A tx de crescimento do salário aproxima-se assintoticamente de - 3,251% quando a tx de desemprego tende ao infinito; (força dos sindicatos pode estar influenciando essa relativa rigidez da queda dos salários após certo nível)
• O valor positivo do coeficiente de (1/X) implica que a tx de variação do salário em relação ao desemprego é negativa. A derivada (inclinação da fn) em relação a X é negativa : dW/dX = - β2/X2
• A taxa de desemprego natural: aquela que mantém o salário estável ou seja,
∆∆∆∆W = 0 .
No nosso exemplo: 0 = - 3,251 + 18,551 (1/X) ou X= 5,7082%