Post on 24-Mar-2022
ΒΑΡΥΤΗΤΑΒΑΡΥΤΗΤΑΝόμος της ΒαρύτηταςΒαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από την Επιφάνεια της ΓηςΠλανήτες σε Ελλειπτικές Τροχιές – Νόμοι του KeplerΒαρυτική Δυναμική ΕνέργειαΤροχιές και Ενέργεια
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ALONSOALONSOFINNFINN
GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER
YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN
ΝόμοςΝόμος τηςτηςΒαρύτηταςΒαρύτητας
13.1, 13.213.1, 13.2 6.1, 6.2, 6.36.1, 6.2, 6.3 13.1 13.1 έωςέως 13.513.5 12.1, 12.212.1, 12.2
ΝόμοιΝόμοι τουτου KeplerKepler 13.513.5 6.56.5 13.713.7 12,512,5
ΒαρυτικήΒαρυτική ΔυναμικήΔυναμικήΕνέργειαΕνέργεια ––ΔορυφόροιΔορυφόροι
13.4, 13.613.4, 13.6 6.4, 6.6, 6.76.4, 6.6, 6.7 13.6, 13.813.6, 13.8 12.3, 12.4 12.3, 12.4
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 2
ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)
ΝόμοςΝόμος τηςτης ΒαρύτηταςΒαρύτητας τουτου Newton Newton σεσε διανυσματικήδιανυσματική μορφήμορφή
r̂rmmGF 212
21=r
2
211
KgmN106.67G ⋅
×= −
212
21
rmmGF = 123
12
21 rrmmGF
rr=
ΒαρύτηταΒαρύτητα στηνστηνεπιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης ⇒= 2
ΓRmMGmg 2
ΓRMGg =
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 3
ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)
Kg106Kg106.67
)10(6.410M 2411‐
26
⋅≈××
⋅≈GRgM
RMGg
2
2Γ
Γ=⇒=
ΕκτίμησηΕκτίμηση τηςτης μέσηςμέσης πυκνότηταςπυκνότητας ρρΓΓ τηςτης ΓηςΓης
ΓΓ
Γ
π=
π==
GRg
43
R34GRg
VMρ
3
2
Γ
33Γ m/Kg105.5ρ ⋅≈
ΕκτίμησηΕκτίμηση τηςτης μάζαςμάζας ΜΜ τηςτης ΓηςΓης
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 4
ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)
23
rmρπr
34GF ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
rρmG34πF ⋅⋅⋅⋅=
ΒαρύτηταΒαρύτητα στοστο εσωτερικόεσωτερικό τηςτης ΓηςΓης
ΈναΈνα ομογενέςομογενές σφαιρικόσφαιρικό κέλυφοςκέλυφος δενδεν ασκείασκείσυνισταμένησυνισταμένη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη σεσε σωματίδιοσωματίδιοτοποθετημένοτοποθετημένο στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου..
rkFrr
−=
ΤοΤο σώμασώμα εκτελείεκτελεί ταλάντωσηταλάντωση μεμε περίοδοπερίοδο::
Gρ3π
Gmρ34πm2π
km2πT ===
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 5
ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)
2h )hR(mMGmg+
=Γ
g)hR(
MGg 2h <+
=Γ
ΒαρύτηταΒαρύτητα πάνωπάνω απόαπό τηντην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης
hRR Γ +=
ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσεις
•• ΕάνΕάν ηη απόστασηαπόσταση απόαπό τηντην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης γίνειγίνει όσοόσο καικαι ηη ακτίναακτίνα τηςτης ((h=Rh=RΓΓ)) τότετότετοτο gghh υποτετραπλασιάζεταιυποτετραπλασιάζεται..
•• ΤοΤο διαστημικόδιαστημικό λεωφορείολεωφορείο γιαγια τοτο οποίοοποίο τοτο h h ≈≈ 400400 km km δέχεταιδέχεται βαρυτικήβαρυτική επιτάχυνσηεπιτάχυνσηgghh ≈≈ 8.70 m/s8.70 m/s22..
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 6
ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)
ΒαρύτηταΒαρύτητα σεσε διαφορετικούςδιαφορετικούς ΠλανήτεςΠλανήτες
ΣεΣε δύοδύο διαφορετικούςδιαφορετικούς σφαιρικούςσφαιρικούς πλανήτεςπλανήτες μεμε ακτίνεςακτίνες RRAA καικαι RRBB , , τωντων οποίωνοποίων οιοιπυκνότητεςπυκνότητες είναιείναι αντίστοιχααντίστοιχα ρρAA καικαι ρρBB, , ηη βαρύτηταβαρύτητα στηνστην επιφάνειαεπιφάνεια καθενόςκαθενός είναιείναι::
GRρ34π
R
ρπR34
GRMGg 2
3
2 ===
ΠΛΑΝΗΤΗΣΠΛΑΝΗΤΗΣ ΑΑ
ΠΛΑΝΗΤΗΣΠΛΑΝΗΤΗΣ ΒΒ
AAA ρGR34πg =
BBB ρGR34πg =
B
A
B
A
B
A
ρρ
RR
gg
⋅=
ΣτηνΣτην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΣελήνηςΣελήνης τοτο g g είναιείναι περίπουπερίπου τοτο 1/6 (1.631/6 (1.63m/sm/s22)) τηςτης τιμήςτιμής στηνστην ΓηΓη. . ΔεδομένουΔεδομένουότιότι οο λόγοςλόγος τωντων ακτίνωνακτίνων τωντων δύοδύο αυτώναυτών ουρανίωνουρανίων σωμάτωνσωμάτων είναιείναι 0.270.27 συνάγεταισυνάγεται πωςπως ηη μέσημέσηπυκνότηταπυκνότητα τηςτης ΣελήνηςΣελήνης είναιείναι μικρότερημικρότερη (0.62 (0.62 φορέςφορές) ) τηςτης μέσηςμέσης πυκνότηταςπυκνότητας τηςτης ΓηςΓης..
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 7
ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER
ΌτανΌταν έναένα σώμασώμα κινείταικινείται υπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση κεντρικήςκεντρικής δύναμηςδύναμηςηη στροφορμήστροφορμή τουτου L L είναιείναι διατηρήσιμηδιατηρήσιμη ποσότηταποσότητα..
ΗΗ κίνησηκίνηση ενόςενός δορυφόρουδορυφόρου γύρωγύρω απόαπό ένανέναν πλανήτηπλανήτη αποτελείαποτελεί χαρακτηριστικόχαρακτηριστικό παράδειγμαπαράδειγμα. .
rrF(r)r̂F(r)(r)Frr
==
ΜιαΜια κεντρικήκεντρική δύναμηδύναμη ((όπωςόπως είναιείναι ηη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη) ) μπορείμπορεί νανα γραφείγραφεί στηνστην παρακάτωπαρακάτωμορφήμορφή: :
ΟπότεΟπότε ηη ροπήροπή τηςτης δύναμηςδύναμης αυτήςαυτής ττ ωςως προςπρος τηντην αρχήαρχή τωντων αξόνωναξόνων είναιείναι::
( ) 0rrr
F(r)rr
F(r)rFr τ =×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=×=
rrrrrrr
καικαι δεδομένουδεδομένου ότιότι 0dtLd τ ==r
r constdtdθmrL 2 ==
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 8
ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER11οςος ΝόμοςΝόμος KeplerKepler
ΚίνησηΚίνηση ΠλανητώνΠλανητών σεσε ΕλλειπτικέςΕλλειπτικές ΤροχιέςΤροχιές
ΟΟ ΉλιοςΉλιος βρίσκεταιβρίσκεται σεσε μιαμια απόαπό τιςτις εστίεςεστίες τηςτης έλλειψηςέλλειψης καικαισεσε απόστασηαπόσταση ee∙∙aa ((εστιακήεστιακή απόστασηαπόσταση) ) απόαπό τοτο κέντροκέντρο τηςτης..
eeΕκκεντρότηταΕκκεντρότητα
RRaaΑπόστασηΑπόσταση ΑφηλίουΑφηλίου
RRppΑπόστασηΑπόσταση ΠεριηλίουΠεριηλίου
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 9
ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER22οςος ΝόμοςΝόμος KeplerKepler
ΗΗ επιβατικήεπιβατική ακτίναακτίνα διαγράφειδιαγράφει ίσαίσα εμβαδάεμβαδά σεσε ίσουςίσους χρόνουςχρόνους
dtL2m1dtvmr
2m1dtvr
21dA
rrrrr=×=×= const
m2L
dtdA
==
ΕναλλακτικάΕναλλακτικά
ω=θ
= 2r21
dtrdr
21
dtdA
αλλάαλλά ( ) ( ) ω=ω=== ⊥⊥2mrrmr mvrrpL άραάρα
m2L
dtdA
=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 10
ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER33οςος ΝόμοςΝόμος KeplerKepler
ΤοΤο τετράγωνοτετράγωνο τηςτης περιόδουπεριόδου είναιείναι ανάλογοανάλογο τουτου κύβουκύβου τουτου μεγάλουμεγάλου ημιάξοναημιάξονα
322
2
2
rMGωrmω
rmMG
rmv
=⇒==
ΚεντρομόλοςΚεντρομόλος ΔύναμηΔύναμη = = ΒαρυτικήΒαρυτική ΔύναμηΔύναμη
Τ2πω =
32
2
rMG
T4π
= 32
2 rGM4πT ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ΣτηνΣτην ελλειπτικήελλειπτική κίνησηκίνηση τοτο r r τηςτης σχέσηςσχέσης αυτήςαυτήςταυτίζεταιταυτίζεται μεμε τοντον μεγάλομεγάλο ημιάξοναημιάξονα a a τηςτης έλλειψηςέλλειψης..
ΣτιςΣτις τέσσερεςτέσσερες ελλειπτικέςελλειπτικές τροχιέςτροχιές μεμε τοντον ίδιοίδιομεγάλομεγάλο ημιάξοναημιάξονα πουπου απεικονίζονταιαπεικονίζονται στοστο διπλανόδιπλανόσχήμασχήμα, , παρόλοπαρόλο πουπου ηη εκκεντρότηταεκκεντρότητα έχειέχειδιαφορετικήδιαφορετική τιμήτιμή, , ηη συνολικήσυνολική ενέργειαενέργεια είναιείναι ηη ίδιαίδια. .
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 11
ΒΑΡΥΤΙΚΗΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ
∫∞
=R
rd)r(FWrr
RmMGU‐UW R −== ∞ r
mMG‐U(r) =
ΥπολογισμόςΥπολογισμός τουτου έργουέργου πουπου απαιτείταιαπαιτείται γιαγια νανα μετακινηθείμετακινηθεί σώμασώμα μάζαςμάζας m m εντόςεντόςβαρυτικούβαρυτικού πεδίουπεδίου ((προκαλούμενουπροκαλούμενου απόαπό τητη μάζαμάζα ΜΜ) ) απόαπό τοτο σημείοσημείο R R στοστο άπειροάπειρο. .
ΓιαΓια τητη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη F(r) F(r) ισχύειισχύει::
drrmMGdrF)cos(180drFrd(r)F 2
o −=−=⋅⋅=rr
∫∫∞ ∞∞
−=−==−==R R
2R
2 RmMG
RmMG0
rmMGdr
r1GmM dr
rmMG‐W
ΑλλάΑλλά RRR U0UUUW =−=−= ∞ οπότεοπότε: :
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 12
ΒΑΡΥΤΙΚΗΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ
rmMG‐U(r) =
ΤοΤο βαρυτικόβαρυτικό πεδίοπεδίο είναιείναι συντηρητικόσυντηρητικό. .
ΔηλαδήΔηλαδή τοτο έργοέργο τηςτης βαρυτικήςβαρυτικής δύναμηςδύναμης είναιείναι ανεξάρτητοανεξάρτητοαπόαπό τητη διαδρομήδιαδρομή πουπου επιλέγεταιεπιλέγεται καικαι εξαρτάταιεξαρτάται μόνομόνο απόαπότητη διαφοράδιαφορά τουτου δυναμικούδυναμικού στοστο αρχικόαρχικό καικαι τελικότελικό σημείοσημείο::
r̂rU- Ugrad-F∂∂
==r
GAGA UUW −=→
r̂r
mMG- F 2=r
ΕίναιΕίναι εύκολαεύκολα κατανοητόκατανοητό ότιότι τοτο έργοέργο κατάκατά μήκοςμήκος τωντωντόξωντόξων BC BC καικαι DE DE είναιείναι μηδενικόμηδενικό, , δεδομένουδεδομένου ότιότι κατάκατά μήκοςμήκοςτωντων τόξωντόξων αυτώναυτών ηη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη είναιείναι κάθετηκάθετη σεσεοποιαδήποτεοποιαδήποτε στοιχειώδηστοιχειώδη μετατόπισημετατόπιση. .
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 13
ΒΑΡΥΤΙΚΗΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ
km/s11.2R
2GMv0 ==
ΤαχύτηταΤαχύτητα ΔιαφυγήςΔιαφυγήςΗΗ απαιτούμενηαπαιτούμενη ελάχιστηελάχιστη αρχικήαρχική ταχύτηταταχύτητα βλήματοςβλήματος γιαγια νανα μπορέσειμπορέσει ναναδιαφύγειδιαφύγει τηςτης επίδρασηςεπίδρασης τουτου βαρυτικούβαρυτικού πεδίουπεδίου τηςτης ΓηςΓης. .
0UKUKUK E RREER =+=+⎯⎯ →⎯+= ∞∞
= ∞
ΗΗ εξίσωσηεξίσωση αυτήαυτή ισχύειισχύει γιαγια κάθεκάθε ουράνιοουράνιο σώμασώμα. . ΓιαΓια τοντον ΉλιοΉλιο ((M=2M=2××101030 30 Kg, R=7Kg, R=7××10108 8 m) m) ηη ταχύτηταταχύτηταδιαφυγήςδιαφυγής είναιείναι 618 618 km/s km/s ενώενώ γιαγια αστέρααστέρα νετρονίωννετρονίων αυτήαυτή γίνεταιγίνεται 22××10105 5 km/skm/s..
RM2Gv0
RmMGmv
210UK E 22
RR =⇒=−⇒=+=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 14
ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΚίνησηΚίνηση δορυφόρουδορυφόρου σεσε κυκλικήκυκλική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη
ΓιαΓια κυκλικήκυκλική τροχιάτροχιά ισχύειισχύει::
2mvK&
rmv
rmMG
22
2 ==
2UK −=
rGmM
21K =
K2UUKE −==+=
ΣυνεπώςΣυνεπώς::
ΣυνολικήΣυνολική ΕνέργειαΕνέργεια: : E = K + UE = K + U
ΚινητικήΚινητική ΕνέργειαΕνέργεια::ΘετικήΘετική
ΔυναμικήΔυναμική& & ΟλικήΟλική ΕνέργειαΕνέργεια
ΑρνητικήΑρνητική
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 15
ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΥπολογισμόςΥπολογισμός τηςτης συνολικήςσυνολικής ενέργειαςενέργειας δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε
ελλειπτικήελλειπτική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη
όπουόπου
rmMGvvm
rmMGmvUK r −+=−=+= ⊥ )(
21
21E 222
ΕπειδήΕπειδή όμωςόμως ηη δύναμηδύναμη είναιείναι κεντρικήκεντρική, , ηη στροφορμήστροφορμήL L τουτου συστήματοςσυστήματος διατηρείταιδιατηρείται καικαι ισχύειισχύει::
m: m: ΜάζαΜάζα δορυφόρουδορυφόρουΜΜ: : ΜάζαΜάζα πλανήτηπλανήτηL: L: ΣτροφορμήΣτροφορμή δορυφόρουδορυφόρου
vv22
vv
vv11
rr11 rr22
MM
⊥v
rvrω
dtdθrv,
dtdrvr === ⊥
222
mrLωωmr
dtdθmrL =⇒==
οπότεοπότε
rmMGωmr
21mv
21E 222
r −+=
rmMG
2mrLmv
21E 2
22r −+=
ΣτιςΣτις ακραίεςακραίες θέσειςθέσεις τηςτης έλλειψηςέλλειψης όό δορυφόροςδορυφόρος δενδεν έχειέχει ακτινικήακτινική ταχύτηταταχύτητα ((vvrr=0)=0) καικαι ηη παραπάνωπαραπάνωεξίσωσηεξίσωση γίνεταιγίνεται::
rmMG
2mrLE 2
2
−=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 16
ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΥπολογισμόςΥπολογισμός τηςτης συνολικήςσυνολικής ενέργειαςενέργειας δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε
ελλειπτικήελλειπτική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη
ΟιΟι λύσειςλύσεις τηςτης δευτεροβάθμιαςδευτεροβάθμιας αυτήςαυτής εξίσωσηςεξίσωσης ταυτίζονταιταυτίζονται μεμε τατα rr11 καικαι rr22, , τοτο άθροισμαάθροισμα τωντωνοποίωνοποίων είναιείναι οο άξοναςάξονας τηςτης έλλειψηςέλλειψης (=(=2a2a):):
2a2mE
M2Gm2arr2
21 =−⇒=+
2amMGE −=
ΤοΤο αποτέλεσμααποτέλεσμα αυτόαυτό είναιείναι ταυτόσημοταυτόσημο μεμε τηντην ενέργειαενέργεια δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε κυκλικήκυκλικήτροχιάτροχιά, , όπουόπου οο ημιάξοναςημιάξονας a a ταυτίζεταιταυτίζεται μεμε τηντην ακτίναακτίνα τηςτης κυκλικήςκυκλικής τροχιάςτροχιάς r.r.
0LMr2Gm2mErr
mMG2mr
LE 2222
2
=−+⇒−=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 17