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7/26/2019 10 Ejercicios Resueltos de La Unidad Nro 9
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.10 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 9
1.Use la definicin de la derivada de una funcin, para calcular yo f
(x)si y evaluarla en .
SolucinDe acuerdo a la definicin 9.2., se tiene:
(indeterminado de la forma )
En particular,
Obsrvese !ue yno e"iste en y por lo tanto, aun!ue el dominio
de es , el dominio de su derivada es .
2.#ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros
reales y tal !ue: ' para todoxe y. dems, f(*)+
y e"iste. -robar !ue f (x)e"iste para todoxy .
SolucinDe acuerdo a la definicin de la derivada, se tiene para f:
(iptesis)
(factor com&n)
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-ero, (%.D.7 )
8ue0o,
b!ntes de usar las re0las de derivacin se debe e"presar la funcin g(t)con e"ponentes racionales. si:
Entonces:
(#e usaron las re0las: %.D.. y %.D..).
c.
-ero,
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8ue0o,
.En primer lu0ar note !ue:
si !ue:
-ero,
8ue0o,
".De dos funciones fy gse sabe !ue:
; ; y
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-ero, y
8ue0o,
#e puede verificar y se de$a como e$ercicio !ue la informacin dada es
insuficiente para calcular y . (=>erifi!ue?).
#.#i las variablesxe yestn li0adas impl@citamente por la frmula:
, /allar y.
Solucin
8a ecuacin: puede escribirse en las formase!uivalentes:
()
Derivando impl@citamente la i0ualdad () se tiene:
, de donde,
$.#upon0a !ue y (x)es una funcin diferenciable de la variablex; yadems las variablesxe yestn li0adas por la frmula:
()
#upon0a !ue y()+. allar si0uiendo estos pasos:
a! Demuestre !ue:
b! Use la parte a. para calcular yA().
c! Derive la ecuacin obtenida en a. para demostrar !ue:
!Use la ecuacin obtenida en c. para calcular (Bota: #e
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De donde,
%.Determine las ecuaciones de la recta tan0ente y de la recta normal(recta perpendicular a la tan0ente) 8Ba la curva de
ecuacin: , en el punto P(, ).
SolucinBote en primer lu0ar !ue el punto de tan0encia P(, ) pertenece a lacurva (fi0. .)
fi0. .
8a pendiente de , viene dada por:
-ero,
si !ue,
Usando a/ora la forma: &un'o ( &)ni)n')de la ecuacin de la recta,
se tiene entonces para : , es laecuacin de la recta tan0ente.
/ora, como , se deduce !ue .Usando nuevamente la forma: &un'o ( &)ni)n')de la ecuacin de la
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recta, se tiene para : es laecuacin de la recta normal.
9. Encontrar la ecuacin de la recta normal a la curva de
ecuacin , !ue es paralela a la recta de ecuacin:"2y6+*
Solucin
En la fi0. 2. aparece la 0rfica de la curva y de la recta dada.
fi0. 2.
#i se denota por 8Bla recta normal, como es paralela
a , se tiene !ue (seccin 5..).
-ara determinar la ecuacin de , /ace falta conocer el punto P(x1,
y1)de tan0encia.-ara ello, se usa el /ec/o de !ue ( : pendiente de latan0ente).
De otro lado,
si !ue
Este <imo resultado, indica !ue e"isten dos puntos de tan0encia a
saber: P (2, 9) y P2 (62, 67).
En consecuencia, e"isten dos rectas normales !ue verifican las
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condiciones iniciales del problema.
Una de ellas, pasa por P (2, 9) y pendiente .
#u ecuacin viene dada por:
8a otra, pasa por P2 (62, 67) y pendiente .#u ecuacin viene dada
por:
*. Encuentre la ecuacin de la recta tan0ente a la
curva: en el punto (, ).
Solucin
En primer lu0ar note !ue: , indicando con esto!ue el punto (, ) pertenece a la curva.
/ora,
-ara determinar se usa derivacin impl@cita en la
ecuacin:
Esto es,
De donde,
8ue0o,
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Es decir,
si !ue la ecuacin de la recta tan0ente a la curva en el punto (, ),viene dada por:
11.#e lanFa una pelota verticalmente /acia arriba con una velocidadinicial de 2* mtsGse0. allar:
a.8a velocidad cuando /an transcurrido y se0.b. El tiempo !ue tarda en alcanFar la altura m"ima.c.8a altura m"ima alcanFada.
.8a rapideF al lle0ar de nuevo al suelo.
Solucin-artiendo de la ecuacin del movimiento conocida en
f@sica: , en donde: mGse0 (velocidadinicial); ges la aceleracin (0ravedad), !ue se toma apro"imadamenteen * mGse02y cuya direccin positiva es /acia aba$o, se puedeescribir:
S+ f(t)+ 2*tH t2()
a.8a velocidad en cual!uier instante t, viene dada por:
Esto es, (2)
(>elocidad cuando /a transcurrido se0.)
(>elocidad cuando /an transcurrido se0.)
b.Del enunciado inicial y de la parte a!puede notarse !ue:
1uando t+ *, V+ 2* mGse0.
1uando t+ , V+ * mGse0.
1uando t+ , V+ 6* mGse0.
Estos resultados indican !ue /ubo un instante en el cual la velocidad
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fue V+ *, es en ese instante cuando la pelota alcanFa su alturam"ima.
pero se0. (tiempo !ue tarda en alcanFar la
altura m"ima).
/ora, como en la ecuacin (), Sindica la posicin (distancia) en cadainstante t, se tiene en particular para t+ 2,
S+ 2*(2) H (2)2+ 2* m. (altura m"ima).
.-ara determinar la rapideF al lle0ar de nuevo al suelo, debedeterminarse primero, el tiempo !ue tarda en /acerlo y lue0o sustituireste valor de ten (2).
-ara ello se /ace S+ * en ():
* + 2* tH t 2
t+ * (momento del lanFamiento) t+ 5 (momento en!ue re0resa al suelo)
/ora
la rapideF es
12.Determine, si e"isten los e"tremos absolutos (m". y m@n.) de la
funcin: en el intervalo I6,2J
Solucin1omo fes continua en el intervalo dado, la e"istencia de m"imo ym@nimo absoluto esta 0arantiFada por el teorema 2 de la seccin9.9.. -ara determinarlos, se aplica la re0la prctica dada en la
observacin del mismo teorema.
1onsidere los puntos cr@ticos por medio de la derivada.
son los &nicos puntos cr@ticos.
8os e"tremos absolutos se esco0en entre los si0uientes valores:
.
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.9.4.html#teo2http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.9.4.html#teo2http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.9.4.html#teo2http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.9.4.html#teo27/26/2019 10 Ejercicios Resueltos de La Unidad Nro 9
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K"imo absoluto de fen es
K@nimo absoluto de fen es
13.Determine, si e"isten los e"tremos absolutos de la
funcin: en el intervaloI6,5J
Solucin
8a continuidad de fen el intervalo , 0arantiFa la e"istencia dee"tremos absolutos de fen dic/o intervalo.#e debe determinar primero los puntos cr@ticos por medio de la
derivada.
El &nico punto cr@tico de f esx+ , donde la derivada no e"iste. (Bote
!ue no tiene solucin).
8os e"tremos absolutos se esco0en entre los si0uientes valores:
K"imo absoluto de fen es
K@nimo absoluto de fen es
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14.1onsidere la funcin fdefinida por:
Determine los e"tremos absolutos de fen el intervalo I6,J .
Solucin
8a funcin es continua en todos los puntos del intervalo(verifi!ue). -or el teorema 2 (seccin 9.9..), f (x)posee m"imo ym@nimo absoluto en el intervalo considerado. -ara determinarlos, seconsideran primero los puntos cr@ticos de f:
-uesto !ue y , la derivada no e"iste enx+ y por lotanto corresponde a un punto cr@tico de f.
De otro lado, la derivada no se anula en nin0&n punto del intervalo. Enconsecuencia, el &nico punto cr@tico esx+ .
8os e"tremos absolutos de fse esco0en entre los si0uientes valores:
K"imo absoluto de fen es
K@nimo absoluto de f en es
1".naliFar si satisface las /iptesis del C.>.K. para
derivadas en el intervalo y en caso afirmativo, determine elvalor(es) de C!ue satisfacen la conclusin.
Solucin
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b.Use la parte a. para demostrar !ue: esconstante. llese el valor de dic/a constante.
Solucin
a.Bote en primer lu0ar !ue fsatisface las /iptesis del C.>.K.(-or!u3).
/ora, sean o* &un'o* cual+ui)radel intervalo Ia, bJ y sea flafuncin.
-ara probar la parte a. es suficiente probar !ue , lo cualobli0a a !ue la funcin sea constante.
#e0&n el C.>.K., e"iste un n&mero Centre y tal !ue:
y como , se concluye entonces
!ue .
b. (CEO%EK #E114LB9..)
.
1omo , se si0ue de la parte a. !ue es una funcinconstante.
-ara /allar el valor de la constante, basta evaluar la funcin en al0&nn&mero espec@fico, el cual se puede ele0ir arbitrariamente, por
e$emplo, .
#e tiene entonces, .
8ue0o, para todox. (xen el dominio com&n de lasecante y la tan0ente).
Este resultado no debe sorprender puesto !ue , es unaidentidad tri0onomtrica conocida.
1%.Evaluar los si0uientes l@mites:
a.
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b.
Solucin
a.El l@mite es indeterminado de la forma .-ara eliminar la indeterminacin, se divide numerador y denominadorporx; as@:
1omo ,x M * y se puede escribir en el numerador.
8ue0o,
b.Este l@mite tambin es indeterminado de la forma .
-ara eliminar la indeterminacin, se divide numerador y denominador
nuevamente porxy como , se puede escribir en elnumerador, asi:
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19.Evaluar el si0uiente l@mite:
SolucinEl l@mite es indeterminado de la forma: .
-ara eliminar la indeterminacin, se multiplica y se divide la e"presin inicial
por y lue0o, se divide numerador y denominador porx.
Esto es,
/ora, comox' * se puede escribir en el denominador de la <imafraccin.De esta forma:
20.Evaluar los si0uientes l@mites:
a.
b.
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Solucin
a.l dividir numerador y denominador por (mayor potencia dex), seobtiene:
b.Btese !ue como la funcin es una funcin par,
esto es , si0nifica esto entonces !ue el comportamientode fpara valores 0randes dexpositivos y para valores 0randesdexne0ativos, es el mismo. si !ue,
21.CraFar la curva correspondiente a la funcin:
SolucinDeterminemos los elementos fundamentales de la curva como son:
1. Do,inio na'ural ) - /!.
8os &nicos valores dexpara los cuales no e"iste la funcin son
y (valores dex!ue anulan el denominador). De esta
forma: .
2. In')rc)&'o*
i.1on el e$ex(se /ace y+ o en ()):Esta <ima ecuacin no tiene #olucin real, indicando con esto !ue lacurva no corta al e$ex.
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ii. 1on el e$e y(se /acex+ o en ()): si !ue, la
curva corta al e$e yen el punto .
3. A*n'o'a*
i. )r'ical)*son a!uellos valores dex!ue anulen el denominador de(). En este caso, las rectas verticalesx+ 2 yx+ H 2 son as@ntotasverticales de la curva.
dems,
ii.orion'al)*
1omo: , se deduce !ue y + esuna a*n'o'a 5orion'alde la curva. De otro lado,
como, , se deduce entonces !ue los valoresde la funcin para valores 0randes dexen valor absoluto, son mayores!ue , indicando con esto !ue la curva siempre est por encima de lacurva.
En la fi0. . se indica el intercepto de la curva con el e$e y, elcomportamiento de la curva cerca de las as@ntotas.
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fi0.
iii. Oblicua*Bo tiene.
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#i0no de (xH 2)6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 N
2#i0no de (x 2)6 6 6 6 6 6 6N 62#i0no de fAA(x) N 6 6 6 6 6 6 6 N 62 2El si0no de la se0unda derivada indica !ue:
f (x) es cncava /acia arriba () en
f (x) es cncava /acia aba$o (6) en
En los puntosx+ H2 yx+ 2 la concavidad cambia de si0no, indicandocon esto !ue /ay infle"in pero, no e"iste punto de infle"in(
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El &nico valor dexpara el cual no e"iste fesx+ (valor dex!ue anula
el denominador). si !ue
la funcin es continua para todo , por ser el cociente de dospolinomios.
2. In')rc)&'o*
i.1on el e$ex(se /ace y+ * en ()): . 8ue0o el
punto es el intercepto de la curva con el e$ex.
ii.Con el ejey(se hacex= 0 en (1)): . Luego elpunto es el intercepto de la curva con el ejey.
3. A*n'o'a*
i.)r'ical)*El &nico valor dex!ue anula el denominador esx+ yesta es la &nica as@ntota vertical de la curva.
De otro lado:
ii.orion'al)*Bo tiene (
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estudia la diferencia: , para un mismo valor dex.
Donde : la ordenada de la curva y : ordenada de la as@ntota.
Esto es, #ix'*,
entonces, , indicando con esto, !ue para valores 0randesdex(positivos), la curva esta por encima de la as@ntota.
#ixM*, entonces, , lo cual indica !ue para valores 0randesdex(ne0ativos), la curva esta por deba$o de la as@ntota.
En la fi0ura se ilustra los interceptos de la curva con los e$escoordenados, asi como tambin el comportamiento de la curva cercade las as@ntotas.
fi0. .
4. In')r6alo* on) cr)c) 7 )cr)c) la cur6a. E/'r),o* r)la'i6o*.
-ara ello se /ace el anlisis del si0no de la primera derivada.
El si0no de f (x)depende de los si0nos !ue poseen los factores (xH ) y
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La ecuacin # carece de solucin (Por$u2).
3i # entonces y
Luego# los interceptos de la curva con el ejex# son los puntos:
y
ii.Con el ejey(se hacex= 0 en (1)). s4 .
3. Intervalos donde crece ! decrece la curva. "xtremos relativos
3e otienen analizando el signo de la pri'era derivada of(x).
l signo de la derivada depende del signo de los !actores y
en el intervalo .
es positivo# sixpertenece al pri'ero o al cuarto cuadrante# es
decir# s i # es negativo#
sixpertenece al segundo o al tercer cuadrante# es decir#
si .
hora# co'o sie'pre $ue # se deduce $ue
si si .
,a'in# sie'pre $ue # as4
$ue si .
l llevar esta in!or'acin al diagra'a adjunto se puede escriir:
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#i0no de ( 2 cos ")
en el intervalo
#i0no de
en el intervalo
#i0no de
en el intervalo
l signo de indica $ue es creciente en los
intervalos: y#
es decreciente en los intervalos: y# .
el diagra'a anterior# se puede concluir ta'in $ue:
corresponde a un mximo relativo# es decir# es un punto
'-*i'o de la curva
corresponde a un mximo relativo# es decir# es un punto
'-*i'o de la curva
corresponde a un mnimo relativo# es decir# es un punto
'4ni'o de la curva
6inal'ente# corresponde a un mnimo relativo# es decir#
es un punto '4ni'o de la curva
#. Intervalos de Concavidad. Puntos de inflexin
Para ello se analiza el signo de la segunda derivada: .
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(%)
Para hallar los posiles puntos de in!le*in# se resuelve la
ecuacin: .s decir#
7esolviendo esta /lti'a ecuacin reducile a cuadr-tica# se otiene:
(8)
9ediante una calculadora# o una tala de !unciones trigono'tricas# se
pueden otener los siguientes valores apro*i'ados dex:
y
Para deter'inar si estos valores dexcorresponden a posiles puntos de
in!le*in# se hace necesario analizar el signo de la segunda derivada
Los valores dados en (1)# per'iten escriir as4:
9ediante consideraciones si'ilares a la hechas para # se puede
otener la in!or'acin $ue aparece en el diagra'a siguiente:
#i0no
de
#i0no
de
#i0no de
l signo de indica $ue:
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es cncava ne$ativa en:
es cncava positiva en:
de'-s# se otienen los siguientes puntos de in!le*in:
y
Con la in!or'acin dada en los cuatro puntos anteriores# se puede trazar una
uena apro*i'acin a la curva correspondiente# co'o aparece en la !ig. ;.
6ig. ;.
.11. EJERCICIOS 8RO8UESTOS DE LA UNIDAD N 9
9.11.1 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) D)ri6acin
1. Use la definicin de la derivada para calcular la derivada de las si0uientes funciones:
a.
b.
c. y evaluarla en
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.t(")+
2.#ea allar las derivadas laterales de f(x)enx+ 2 y
determinar si e"iste.
3.#ea Determine los valores de las constantes ay b para
!ue e"ista.
4.#i , probar !ue y . 1alcular: y
".#ea f la funcin definida por: -robar !ue sie"iste, entonces, f es continua en a.
#. #ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros reales y tal
!ue: , para todo ay b. dems, y e"iste. -robar
!ue e"iste para todoxy adems se cumple !ue: .
$.Usando las re0las de derivacin, calcular la derivada de las si0uientes funciones:
a.b.
c..
).-.
;. 5.
i. :.
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ll.
n.o.
&.
+.
r. rr.
%.#uponiendo !ue cada una de las si0uientes ecuaciones define una funcin dexderivable,
encuentre yo usando derivacin impl@cita.
a. b.
c."6 "2y 9"y + * .
).-.
;. 5.
i.:.
9.#ea una funcin derivable dex tal !ue: . #upn0ase !ue .
/allar si0uiendo estos pasos:
a.-robar !ue .
b.Usando la parte a. /allar .
c. Derivar la ecuacin en a. para demostrar !ue: .
.Usando la ecuacin en c. /allar Iyuda: #e conocen y J.
10.allar y si , y, .
11. allar , si y adems,
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9.11.2 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) La In')r&r)'acin =)o,>'rica 7 ?*ica D) LaD)ri6aa
1.En los e$ercicios si0uientes, encontrar la ecuacin de la recta tan0ente y de la rectanormal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.
a. ;x + b. ;x+ *
c. ;x+ . ;x+ 5
). ;x+
2.Encuentre la ecuacin de la normal a la curva: en el punto(, )
3.Demuestre !ue las /iprbolas , y, se intersectan en n0ulo recto.
4.Determine la ecuacin de la recta tan0ente a la curva !ue es paralela a la
recta .
".Encontrar una recta !ue pase por (2, H ) y sea tan0ente a la curva .
#.En los e$ercicios si0uientes una part@cula se mueve sobre un e$e /oriFontal, se0&n laecuacin de movimiento dada. allar la velocidad instantnea para los valores particulares
detindicados. Determine adems, los instantes en los cuales la part@cula se encuentra enreposo.
a. ; t+ 2b. ; t+ G
c. ; t+ . ; t+ 5
$.#e lanFa un ob$eto con una velocidad inicial de 2* mGse0. en direccin vertical /aciaarriba. Encuentre:
a.8a velocidad instantnea cuando t+ se0.
b.8a altura m"ima a la !ue lle0a el ob$eto
c.8a rapideF en el instante t + 2 se0.
.El tiempo !ue tarda en re0resar al punto de partida.
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c. en
. en
). en
-. en
4.-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones del
Ceorema de %olle y encuentre el punto C!ue satisface la conclusin delteorema.
a. en
b. en
c. en
. en
".-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema del >alor Kedio (C.>.K.) y encuentre el punto C!ue satisface laconclusin.
a. en
b. en
c. en
. en
). en
-. en
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#.#ea . Demostrar !ue no e"iste nin0&n punto Cen (; 2)!ue satisfa0a la conclusin del C.>.K. Dibu$e la 0rfica de la funcin ysePale la parte de la /iptesis !ue falla en este caso.
$.#ea . Demuestre usando el Ceorema de
%olle, !ue la ecuacin: tiene al menos una ra@Freal en el intervalo (*; ).
%.#ea una funcin continua en I a, b J y tal !ue para
todoxen .
-robar !ue: para todox en I a, b J.
9.Quan via$ 2 Rm. en 2 /oras y ase0ur !ue en su recorrido nuncae"cedi el l@mite de * Rm. por /ora. Use el Ceorema del >alor Kedio
para demostrar !ue minti (ayuda: #ea la distancia recorridaen el tiempo t.)
10.#ean y dos funciones !ue satisfacen la si0uiente
condicin: para todoxde . Demostrar !ue e"iste
una constante Ctal !ue: para todoxde
11.Demostrar !ue si para todoxde , entonces, e"iste
una constante Ctal !ue para todoxde . (yuda:
#ea y apli!ue el e$ercicio *).
12. #upn0ase !ue lo &nico !ue se sabe a cerca de las funciones
y es lo si0uiente: , ,
y Demostrar !ue:
(yuda: #ea y use el problema ).
13.En cada uno de los literales si0uientes, determine el valor de
!ue satisface la definicin de l@mites al infinito, conociendo , Ly .
a. ; L+ ; + *.**
b. ; L+ *; + *.*2
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c. ; L+ 62; + *.**
. ; L+ ; + *.*
14.Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites al infinito. Describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.
a. b.
c. .
). -.
;. 5.
1".Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites infinitos y describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.
a. b.
c. .
). -.
;. 5.
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%esponda las si0uientes pre0untas acerca de (no de ):
a.
".Determine las dimensiones del cilindro circular recto de ** cm devolumen y !ue demande la ,)nor can'iaposible de material.
#.Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 6olu,)n,/i,o!ue se puede inscribir en una esfera de radio a.
$.Determine las dimensiones del cono circular recto de 6olu,)n,/i,o!ue se puede inscribir en una esfera de radio a.
%.allar las dimensiones del rectn0ulo de r)a ,/i,a!ue se puedeinscribir en la elipse de ecuacin:
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9.Un e"cursionista se encuentra en un bos!ue a 2 Rm. de una lar0acarretera recta. Desea caminar a su cabaPa !ue se encuentra a * Rm.de distancia por el bos!ue y tambin a 2 Rm. de la carretera. (>erfi0ura). -uede caminar a RmG/ por la carretera y a RmG/ por elbos!ue. s@, decide caminar primero por el bos!ue /acia la carretera,lue0o por la carretera y finalmente por bos!ue /acia la cabaPa.
Srfica en 1onstruccin
a.erifi!ue !ue su respuesta es el m@nimo absoluto.
11.Otro 0ran$ero desea cercar un terreno rectan0ular con un rea de.** pies2. Cambin desea utiliFar al0o de cerca para construir doscercas internas de divisin, ambas paralelas a las mismas secciones
e"teriores del borde. erifi!ue!ue su respuesta es el m@nimo absoluto.
13.#e necesita construir un recipiente cil@ndrico, sin tapa, con un
volumen de pie. 8a parte cil@ndrica del recipiente se fabrica conaluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas caro !ue elaluminio.
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altura 2 cm.3
b.
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Localiar Rac)*.
1.UtiliFar el mtodo de Beton para calcular las ra@ces de las ecuacionesdadas con dos cifras decimales e"actas.
a.
b.
c.
.
2.En los si0uientes e$ercicios utilice el mtodo de Beton para /allar lara@F indicada, con una e"actitud de tres cifras decimales.
a.8a ra@F positiva de
b.8a mayor de las ra@ces de "6" + *
c.8a ra@F de
.8a ra@F de
3.Usar el mtodo de Beton para /allar las ra@ces indicadas, con una
e"actitud de cuatro cifras decimales.
a. ; b. ; c. ; .
4.a.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la
ecuacin: produce la iteracin:
para apro"imar la ra@F c&bica de a.
b.Use esta iteracin para determinar con una precisin de cincocifras decimales.
". a.Kuestre !ue el mtodo de Beton produce la iteracin:
para apro"imar la ra@F V6sima del
n&mero positivo a.
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$.En los e$ercicios si0uientes /allar: y
a. ;
b. ;
c. ;
%.Dibu$ar una fi0ura seme$ante a la de la fi0. 9.5* (b) tal !ue la 0rfica sea cncava /acia
aba$o. 4ndicar los se0mentos de recta cuyas lon0itudes sean:
9.11. EJERCICIOS 8RO8UESTOS DE LA UNIDAD N 9
9.11.1 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) D)ri6acin
1. Use la definicin de la derivada para calcular la derivada de las si0uientes funciones:
a.
b.
c. y evaluarla en
.t(")+
2.#ea allar las derivadas laterales de f(x)enx+ 2 ydeterminar si e"iste.
3.#ea Determine los valores de las constantes ay b para
!ue e"ista.
4.#i , probar !ue y . 1alcular: y
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".#ea f la funcin definida por: -robar !ue si
e"iste, entonces, f es continua en a.
#. #ea funa funcin cuyo dominio es el con$unto % de los n&meros reales y tal
!ue: , para todo ay b. dems, y e"iste. -robar
!ue e"iste para todoxy adems se cumple !ue: .
$.Usando las re0las de derivacin, calcular la derivada de las si0uientes funciones:
a.b.
c..
).-.
;. 5.
i. :.
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a. b.
c."6 "2y 9"y + * .
).-.
;. 5.
i.:.
9.#ea una funcin derivable dex tal !ue: . #upn0ase !ue .
/allar si0uiendo estos pasos:
a.-robar !ue .
b.Usando la parte a. /allar .
c. Derivar la ecuacin en a. para demostrar !ue: .
.Usando la ecuacin en c. /allar Iyuda: #e conocen y J.
10.allar y si , y, .
11. allar , si y adems,
9.11.2 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) La In')r&r)'acin =)o,>'rica 7 ?*ica D) LaD)ri6aa
1.En los e$ercicios si0uientes, encontrar la ecuacin de la recta tan0ente y de la rectanormal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.
a. ;x + b. ;x+ *
c. ;x+ . ;x+ 5
). ;x+
2.Encuentre la ecuacin de la normal a la curva: en el punto
(, )
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9.11.3 E:)rcicio* 8ro&u)*'o* Sobr) Traao D) Cur6a*
1.-ara las funciones dadas a continuacin, encontrar los m"imos ym@nimos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de lacurva.
a. b.
c..
). -.
;.5.
2.Determine el valor de las constantes ay b para !ue la funcin
definida por , ten0a un e"tremo relativo en (2, ).
3.-ara cada una de las funciones dadas a continuacin, determine lose"tremos absolutos de fen el intervalo dado.
a. en
b. en
c. en
. en
). en
-. en
4.-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema de %olle y encuentre el punto C!ue satisface la conclusin delteorema.
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a. en
b. en
c. en
. en
".-ara las funciones dadas a continuacin verifi!ue las condiciones delCeorema del >alor Kedio (C.>.K.) y encuentre el punto C!ue satisface laconclusin.
a. en
b. en
c. en
. en
). en
-. en
#.#ea . Demostrar !ue no e"iste nin0&n punto Cen (; 2)!ue satisfa0a la conclusin del C.>.K. Dibu$e la 0rfica de la funcin ysePale la parte de la /iptesis !ue falla en este caso.
$.#ea . Demuestre usando el Ceorema de
%olle, !ue la ecuacin: tiene al menos una ra@Freal en el intervalo (*; ).
%.#ea una funcin continua en I a, b J y tal !ue para
todoxen .
-robar !ue: para todox en I a, b J.
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9.Quan via$ 2 Rm. en 2 /oras y ase0ur !ue en su recorrido nuncae"cedi el l@mite de * Rm. por /ora. Use el Ceorema del >alor Kedio
para demostrar !ue minti (ayuda: #ea la distancia recorridaen el tiempo t.)
10.#ean y dos funciones !ue satisfacen la si0uiente
condicin: para todoxde . Demostrar !ue e"iste
una constante Ctal !ue: para todoxde
11.Demostrar !ue si para todoxde , entonces, e"iste
una constante Ctal !ue para todoxde . (yuda:
#ea y apli!ue el e$ercicio *).
12. #upn0ase !ue lo &nico !ue se sabe a cerca de las funcionesy es lo si0uiente: , ,
y Demostrar !ue:
(yuda: #ea y use el problema ).
13.En cada uno de los literales si0uientes, determine el valor de
!ue satisface la definicin de l@mites al infinito, conociendo , Ly .
a. ; L+ ; + *.**
b. ; L+ *; + *.*2
c. ; L+ 62; + *.**
. ; L+ ; + *.*
14.Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites al infinito. Describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.
a. b.
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c. .
). -.
;.5.
1".Evaluar cada uno de los si0uientes l@mites infinitos y describa0eomtricamente el comportamiento de la curva cerca de la as@ntota.
a. b.
c. .
). -.
;. 5.
1#.CraFar las 0rficas de cada una de las si0uientes funciones,indicando: Dominio, interceptos, as@ntotas, crecimiento, decrecimiento,m".6m@n., intervalos de concavidad, posibles puntos de infle"in.
a. b.
c. .
).-.
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1$.Dibu$e la 0rfica de una posible funcin f!ue satisfa0a las si0uientescondiciones:
a. fes continua en todo el e$e real.
b. ,
c. para
. para
1%.Dibu$e la 0rfica de una posible funcin g!ue cumple las si0uientespropiedades:
a.ges continua en todo el e$e real.
b. ,
c. para
. para ; paraparax'
19.#ea funa funcin continua en todo el e$e real y derivable entodo . 8a fi0ura ad$unta es el 0rfico de la funcin derivada
(no de ).
Srfica en 1onstruccin
%esponda las si0uientes pre0untas acerca de (no de ):
a.
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10.Un 0ran$ero !uiere cercar un terreno rectan0ular con una rea de2.5** pies2. Cambin !uiere utiliFar al0o de cerca para construir unadivisin interna paralela a dos de las secciones del borde. erifi!ue !ue su respuesta es el m@nimoabsoluto.
12.Un tercer 0ra$ero desea cercar un terreno rectan0ular deA pies2derea. Cambin desea usar una cerca adicional para construir n(enterofi$o positivo) cercas internas de divisin, todas ellas paralelas a lasmismas secciones e"teriores del borde.
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b.
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a.8a ra@F positiva de
b.8a mayor de las ra@ces de "6" + *
c.8a ra@F de
.8a ra@F de
3.Usar el mtodo de Beton para /allar las ra@ces indicadas, con unae"actitud de cuatro cifras decimales.
a. ; b. ; c. ; .
4.a.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la
ecuacin: produce la iteracin:
para apro"imar la ra@F c&bica de a.
b.Use esta iteracin para determinar con una precisin de cincocifras decimales.
". a.Kuestre !ue el mtodo de Beton produce la iteracin:
para apro"imar la ra@F V6sima deln&mero positivo a.
b.Use esta iteracin para determinar con una precisin de cincocifras decimales.
#.Kuestre !ue el mtodo de Beton aplicado a la ecuacin:produce la frmula iterativa: "n+ 2"n6 a( "n)2, lo !ue proporciona unmtodo para apro"imar el rec@proco de asin realiFar divisiones. Estemtodo es &til ya !ue, en la mayor@a de las computadoras de altavelocidad, las operaciones de divisin consumen mas tiempo !ue variassumas y multiplicaciones.
9.11.# E:)rcicio* &ro&u)*'o* Sobr) Di-)r)ncial)*
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1.8a altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. l medirla seencontr !ue la altura es de m. con un error de *.** m. Encontrar el error apro"imadoen el volumen del cono.
2.#i al medir la arista de un cubo se comete un posible error de *.* cm. Encontrar elerror apro"imado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de
m.
3.Encontrar el volumen apro"imado de una conc/a esfrica cuyo radio interior es de *cm. y cuyo espesor sea G* cm.
4.Usando diferenciales, calcule el valor apro"imado de las si0uientes cantidades:
a. ;
b. ;
c. ;
.
".#i , y allar en y
#.allar si
$.En los e$ercicios si0uientes /allar: y
a. ;
b. ;
c. ;
%.Dibu$ar una fi0ura seme$ante a la de la fi0. 9.5* (b) tal !ue la 0rfica sea cncava /acia
aba$o. 4ndicar los se0mentos de recta cuyas lon0itudes sean: