Post on 01-May-2015
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SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA
Si consideri il seguente scenario
1. Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale costante pari a U.
2. Una lastra infinitamente sottile è posizionata all’interno di tale moto in direzione parallela alla velocità U (0 angolo di incidenza).
La viscosità dovrebbe ritardare il flusso, così creando uno strato limit su entrambi i lati in maniera simmetrica. Il moto si assume laminare.
La teoria dello strato limite permette di calcolare l’attrito sulla piastra.
xy d
U
U
u
plate
2
Un moto a potenziale rettilineo e stazionario presenta pressione nulla ovunque
xy d
U
U
u
plate
Un moto a potenziale stazionario e rettilineo è descritto dalle seguenti relazioni
Secondo il terorema di Bernoulli applicato ai moti a potenziale, la pressione dinamica ppd è legata al campo di moto secondo
Dalle due ultime equazioni allora si ottiene
0y
v,Ux
u,Ux
const)vu(2
1p 22
pd
0y
p
x
p pdpd
3
xy d
U
U
u
plate
Le equazioni approssimate dello strato limite allora diventano:
0y
v
x
u
y
u
y
uv
x
uu
2
2
Uu,0v,0uy0y0y
Condizioni al contorno
0y
v
x
u
y
u
dx
dp1
y
uv
x
uu
2
2pds
4
Spessore nominale dello strato limite
xy d
U
U
u
plate
Nel seguito d indicherà lo spessore nominale dello strato limite, che è definito come il valore di y per il quale u = 0.99 U, cioè
U99.0)y,x(uy
d
x
y
u
U
u = 0.99 U
d
5
Variazione longitudinale dello strato limite
Si consideri una piastra lunga L. Basandosi sulle precedenti stime si può scrivere
oppure
dove C è una costante. Secondo il medesimo ragionamento lo spessore nominale dello strato limite fino ad una distanza x L dal bordo è pari
d UL,)(~
L2/1 ReRe
2/12/1
U
LCor
U
L~
d
d
2/12/1
U
xCor
U
x~
d
d
xy d
U
U
u
plateL
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Soluzioni autosimiliSi supponga che la soluzione ha la proprietà che quando u/U è diagrammata in funzione di y/d (dove d(x) è lo spessore nominale dello strato limite) allora si ottiene una funzione universale, in cui non compare nessun’altra dipendenza da x. Tale soluzione è detta soluzione autosimile.
plate
xy d
U
U
uu
U
x1 x2
00
1
1u/U
y/dprofiles at x1 and x2
00
1
1u/U
y/dprofile at x1
profile at x2
Soluzione autosimile
Soluzione no autosimile
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Per una soluzione autosimile del profilo di velocità si deve avere
dove g1 è una funzione universale, indipendente da x (posizione lungo la piastra). Poichè abbiamo ragione di credere
dove C è una costante, è possibile riscrivere la soluzione autosimile come
Si noti che è una variabile adimensionale.
d
)x(
yg
U
u1
2/12/1
U
xCor
U
x~
d
d
x
Uy
Ux
y,)(g
U
u2/1
8
Ma il nostro problema ammette soluzioni autosimili?
Il problema è:
Questo problema può essere ridotto usando le funzioni di corrente (u = /y, v = - /x) alla seguente equazione:
0y
v
x
u,
y
u
y
uv
x
uu
2
2
Uu,0v,0uy0y0y
3
3
2 yyxyxy
Uy
,0x
,0y
y0y0y
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Metodo per tentativi
Noi vogliamo che la funzione di corrente fornisca la velocità u = /y soddisfacente la forma autosimile
Così possiamo ipotizzare che
dove f è un’altra funzione autosimile.
Ma questo non funziona. Infatti, usando l’apice per denotare la derivazione rispetto a , se = f() allora
Ma
x
Uy,)(g
U
u
)(f
y)(f
yu
x
U
y
Così che )(fxU
1
U
u
10
Cioè se assumiamo
Allora otteniamo
Da questo primo fallimento nella scelta è possibile capire qual’è la scelta giusta
)(f
)(fxU
1
U
u
non OK OK
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Un altro tentativo
Se assumiano
Allora si ottiene
quindi
Così abbiamo trovato una forma di che soddisfa la condizione di autosimilitudine per la velocità! Dobbiamo ora risolvere la funzione f().
)(fxU
)(fUx
U)(fxU
y)(fxU
yu
)(f)(g,)(gU
u
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Riduzione da equazione alle derivate parziali a equazione alle derivate ordinarie
Il nostro obiettivo è ridurre l’equazione alle derivate parziali
ad un equazione alle derivate ordinarie per f(), dove
Per fare ciò è necessario ricavare le seguenti relazioni
3
3
2 yyxyxy
Uy
,0x
,0y
y0y0y
x
Uy,)(fxU
x
U
y
x2
1x
Uy
2
1
x2/3
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Il passo successivo è ricavare I termini dell’equazione
Cioè abbiamo bisogno di conoscere /y, 2/y2, 3/y3, /x and 2/yx, dove
Inoltre sappiamo già che:
Così
3
3
2 yyxyxy
x
UyfxU
,)(
x2
1
x,
x
U
y
)(fx
UU
y)(fU
y2
2
)(fUy
)(fx
UU
y)(f
x
UU
y3
3
14
Usando di nuovo
Risolviamo le due rimanenti derivate:
x
Uy,)(fxU
x2
1
x,
x
U
y
)(f)(fx
U
2
1
x)(fxU)(f
x
U
2
1)(fxU
xx
)y(fx
U
2
1
y)(f)(f)(f
x
U
2
1
)(f)(fx
U
2
1
yxyyx
2
15
Ricapitolando,
x
Uy,)(fxU
x2
1
x,
x
U
y
)(f)(fx
U
2
1
x
)y(fx
U
2
1
yx
2
)(fUy
)(fx
UU
y2
2
)(fx
UU
y3
3
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Ora, sostituendo
in
si ottiene
che equivalente a scrivere
)(f)(fx
U
2
1
x
)y(fx
U
2
1
yx
2
)(fUy
)(fx
UU
y2
2
)(f
x
UU
y3
3
3
3
2 yyxyxy
fx
Uf)ff(
x
U
2
1ff
x
U
2
1 222
0fff2
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Dalla Slide 9, le condizioni al contorno sono
Ma abbiamo già dimostrato che
Inoltre poichè = 0 quando y = 0, le condizioni al contorno si riducono a
Così si hanno tre condizioni al contorno per una equazione differenziale del terzo ordine
Condizini al contorno
)(f)(fx
U
2
1
x
)(fUy
0fff2
Uy
,0x
,0y
y0y0y
x
Uy
1)(f,0)0(f,0)0(f
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Vi sono diversi modi per risolvere tale equazione numericamente
La soluzione è riportata sotto graficamente
SOLUZIONE
0fff2 1)(f,0)0(f,0)0(f
Blasius Solution, Laminar Boundary Layer
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f, f', f''
f()
f'()
f''()
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Si ricorda che lo spessore nominale d è definito in modo che u = 0.99 U quando y = d. Poichè u = 0.99 U quando = 4.91 e = y[U/(x)]1/2, segue che la relazione per lo spessore nominale dello strato limite è
Oppure
In questo modo è stata determinata la costante C introdotta nella Slide 5.
Spessore nominale dello strato limite
91.4x
U
d
91.4C,U
xC
2/1
d
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Si consideri una piastra di lunghezza L e larghezza b:
Lo sforzo tangenziale o (forza di trascinamento per unintà di superficie) agente su una faccia della piastra è dato
Poichè il campo di moto è assunto uniforme in direzione laterale, la forza totale di trascinamento (su una sola faccia) è data a
Il termine u/y = 2/y2 è dato dalla Slide 17 come
Calcolo della forza di trascinamento sulla piastra
L
b
0y0y
o y
u
y
u
L
0 ooD dybdAF
)(fx
UU
yy
u2
2
21
Lo sforzo di taglio o(x) sulla piastra è allora dato
Dalla soluzione di f si ottiene f’’(0) = 0.332, quindi
Così lo sforzo alla parete varia come x-1/2. Un esempio è riportato nella slide successiva per il caso U = 10 m/s, = 1x10-6 m2/s, L = 10 m e = 1000 kg/m3 (acqua).
)0(fx
UU)0(f
x
UUo
Ux
,)(332.0U x
2/1x2
o ReRe
22
Boundary Shear Stress
0
0.0001
0.0002
0.0003
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
x (m)
o (
Pa)
x
UU332.0o
Si noti che o = per x = 0.
U = 0.04 m/sL = 0.1 m = 1.5x10-5 m2/s = 1.2 kg/m3
(aria)
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In realtà la forza di trascinamento converge ad un valore finito:
Noi possiamo esprimere le medesime relazioni in forma adimensionaledefinendo un coefficiente adimensionale di attrito cD come
Quindi segue che
Per valori di U, L, E della precedente slide, e b = 0.05 m, si ottiene che ReL = 267, cD = 0.0407 e FD = 3.90x10-7 Pa.
2/1D
2/1L
0
2/1
L
0
2/1L
0 oD
bLUU664.0F
L2dxx
dxxUbU332.0dxbF
bLU
Fc
2D
D
UL
,)(664.0c 2/1D ReRe
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La relazione
è riportata sotto.
UL
,)(664.0c 2/1D ReRe
Blasius Drag Law for Laminar Flow over Flat Plate
0.01
0.1
1
10 100 1000
ReL
c D
25
La soluzione qui presentata è la soluzione di Blasius-Prandtl per lo strato limite su una lastra piana. Maggiori dettagli sono forniti da:
Schlichting, H., 1968, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 748 p.
REFERENCE