Post on 02-Feb-2016
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Un sistema constituye un oscilador armónico cuando <<oscila>> entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio
Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima
Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima
A
A
A 2
A 1
Posición de equilibrio
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P0
o A A
x1 x2
P
P’
A
A
A A
P
o P’t2+0
x = A cos (t+0)
La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una recta
- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (t+0)
- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (t+0)
Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio
Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre A y +A
Fase : Describe el movimiento angular en el punto P
Fase inicial 0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos 0
t1+0
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P
o
A
El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)
Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se denominan periódicos
Dado que: cos = cos ( + 2)
x = A cos t = A cos (t + 2)
2
tcosAx
El m.v.a.s. se repite cada período:
2
T
La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)
2T
1
2
La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)
+ 2
x1 P’
A
A
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Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (t + 0) resulta:
)t(senAdt
dxv 0
)t(cosAA)t(cos1Av 002222
sen2 + cos2 = 1 sen (t+0) = )t(cos1 02
Como x = A cos (t+0) x2 = A2 cos2 (t+0)
xAv 22
La velocidad es máxima cuando x = 0
Vmáx = A El columpio se detiene en los extremos. En
el centro alcanza su máxima velocidad
La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (t+0)
Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un seno o un coseno
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Derivando la ecuación de la velocidad: v = A sen (t + 0) resulta:
)t(cosAtdxd
dt
dva 0
22
2
Como x = A cos (t + 0)
a = 2 x
El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = A amáx = 2 A
Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro
X=A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
X=0
X=Aa >0
x >0v >0a <0
x >0v =0a <0
x >0v <0a <0
x =0v <0a =0 x <0
v <0a >0
x <0v >0a >0
x =0v >0a =0
x <0v =0
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Según la ley de Hooke: F = kx
Por la segunda ley de Newton: F = m a = m 2 x k = m 2
Si x = 0 F = 0 (no aparecen fuerzas)
Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio
La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento
2
T
m
k
m
k
2
1
T
1
k
m2T
O
x
x
F
F
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Aplicando la definición de energía cinética:
)t(senAm2
1vm
2
1E 0
2222c
Por las relaciones trigonométricas:
xAm2
1E 222
c
Si x = 0 energía cinética máxima
Am2
1E 22
máx,c
Am21 22
ω
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Por tratarse de fuerzas centrales:
Integrando entre dos posiciones A y B:
dEp = F dx = kx dx
xk2
1xk
2
1dxxkEE
2A
2BB,PB,P
x
x
B
A
Para cada posición, la Ep es de la forma:
)t(cosAm2
1E 0
222P
Es máxima cuando cos (t + 0) = 1
Am2
1E
22máx,P
Aωm21 22
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La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial
Sacando factor común:
E = Ep + Ec )t(cosAm2
10
222 )t(senAm2
10
222
)t(sen)t(cosAm2
1E 00
2222
Simplificando:
Am2
1EEE 22
cp
En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante
)xA(ωm2
1E 222
c
22
c xωm2
1E
Aω22
m2
1
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EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICOEL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO
Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual
Eje Y: T – Py = m an
Eje X: Px = m ax – mg sen = m ax
Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria
ax = – g Para ángulos pequeños, sen =
Simplificando resulta: – g sen = ax
Sustituyendo el ángulo por el arco:
L = x xL
gax
xa 2L
g2
g
L2T
m
y
P= mg
T
Py= mg cos
L
x
Px = – mg sen
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Cuando el péndulo está parado en uno de los extremos de su trayectoria, toda la energía almacenada es Ep = mgh
Al pasar por el punto más bajo de su trayec-toria, toda la energía almacenada es EC
La suma de ambas indica el valor de su energía en cualquier punto intermedio de su trayectoria
vm2
1E 2
c
vm2
1hgmEEE 2
cP
La relación entre su altura máxima y la velocidad es:
hg2vvm2
1hgm 2
h
mghEE p
v
vm2
1EE 2
c
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AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO
En movimientos reales intervienen fuerzas de rozamiento, lo que origina una pérdida de energía mecánica que se transforma en calor, la pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para, entonces se dice que es una oscilación amortiguada
El amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y al rozamiento interno del sistema.
RESONANCIARESONANCIA
Para evitar la amortiguación hay que aportar continuamente energía al sistema que vibra, pero esta energía debe llegar con la misma frecuencia que vibra el sistema.
Dos sistemas se dice que entran en resonancia cuando vibran con la misma frecuencia.
Para que haya resonancia hay que comunicarle al sistema energía con la misma frecuencia que está vibrando, de esta forma se logra un gran aumento de la amplitud de oscilación.
Por resonancia se puede llegar a aumentar tanto la amplitud de oscilación de un sistema que este puede incluso llegar a romperse, como cuando por ejemplo un sonido determinado rompe una copa de cristal.