1

Autour de la fonction Autour de la fonction exponentielleexponentielle

I. Les points du programme concernés

II. Une introduction possible de la fonction exponentielle

III. Une progression possible en analyse

IV. Croissance comparée

2

I. Les points du programmeI. Les points du programme

- l'extension du champ des suites et des fonctions...

- l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles...

3

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes.

Souci d’une formation cohérente pour les élèves :

- un point d’entrée commun à plusieurs disciplines

- un développement spécifique à chacune On privilégiera les problèmes mettant en

jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde.

4

II. Introduction de la fonction II. Introduction de la fonction exponentielleexponentielle

- Activités d’introduction

- Etude de l’équation : y’ = y

La fonction exponentielle, premières propriétés

- Extension à l’équation : y’ = ky .

- Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction définie par x e kx

5

Le problème physique : la radioactivité

L’observation du physicien L’expérience suggère que, si l’on considère une population

macroscopique de noyaux radioactifs (dont le nombre est de l’ordre

du nombre d’Avogadro), le nombre moyen de noyaux qui se

désintègrent pendant un intervalle de temps t à partir de

l’instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à

l’instant t et au temps d’observation t, est une constante On peut

donc écrire :( )

( )

N tt

N t

6

Passage de Passage de t à dtt à dt

( ) ( )N t N t t ( ) ( )dN t N t dt

( )( )

N tN t

t

( )( )

dN tN t

dt

ou '( ) ( )N t N t

7

Le travail du mathématicien Le travail du mathématicien

Recherche d’une fonction f vérifiant f ’ = kf

(résolution d’une équation différentielle notée aussi y ‘ = ky)

on traite en fait le cas k= 1 et f(0) = 1

Utilisation de la méthode d’Euler :

- si x1 = x0+h, approximation de f(x0+h) par

y1 = f(x0) + h f ‘(x0)

- puis approximation de f(x1+h) par

y2 = y1 + h f ‘(x1) ….

8

h= 0,1 f(x+h)=f(x)+hf(x)= f(x)(1+h)

x0= 0 f(x0)= 1

0,1 1,10,2 1,210,3 1,3310,4 1,46410,5 1,610510,6 1,7715610,7 1,94871710,8 2,143588810,9 2,35794769

1 2,593742461,1 2,853116711,2 3,138428381,3 3,452271211,4 3,797498341,5 4,177248171,6 4,594972991,7 5,054470281,8 5,559917311,9 6,11590904

2 6,727499952,1 7,400249942,2 8,14027494

0

1

2

3

4

0 1 2

Série1

9

Définition de f(t) pour t réel arbitraireDéfinition de f(t) pour t réel arbitraire

En posant h = t/n, la méthode d’Euler donne

f(t) f(0) x (1 + h)n = (1 + t/n)n

Le calcul de f(t) semble donc dépendre de n

(nombre de pas pour aller de 0 à n)On a donc l’idée d’un passage à la limite,

mais la justification de l’existence de f reste difficile à ce stade et doit donc être admise.

10

Autre exemple d’activitéAutre exemple d’activitéintroduisant la fonction introduisant la fonction

exponentielleexponentielle

11

Étude d’un gaz à effet de serreÉtude d’un gaz à effet de serre

A partir d’une série de données

(ici : quantités cumulées de CO2),

on effectue une modélisation

1) au moyen d’une suite numérique

2) au moyen d’une fonction dérivable sur R

12

A. DonnéesA. Données Quantités cumulées de CO2 (en milliards de tonnes)

provenant de la consommation de pétrole et de l’activité industrielle mondiales

années 1940 1945 1950 1955 1960 1965

CO2 184,4 212,8 243,3 277,4 320,6 372,6

années 1970 1975 1980 1985 1990 1995

CO2 438,9 521,5 615,2 710,0 817,8 931,8

13

A. DonnéesA. Données

0100200300400500600700800900

1000

1940

1945

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

CO2 (en milliards de t)

14

B. Modélisation au moyen B. Modélisation au moyen d’une suite numériqued’une suite numérique

On note y0 la quantité de CO2 émise jusqu’en 1940 , …., yn celle émise jusqu’à l’année 1940 + 5n.

On calcule à 10 – 2 près les variations relatives entre deux mesures consécutives ainsi que la moyenne m des valeurs obtenues.

Par la suite, on prend m = 0,15.

15

B. Modélisation au moyen B. Modélisation au moyen d’une suite numériqued’une suite numérique

année 1940 1945 1950 1955 1960 1965n 0 1 2 3 4 5y(n) (en milliers de t) 184,391 212,75 243,348 277,398 320,545 372,574accroissement relatif 0,15 0,14 0,14 0,16 0,16

année 1970 1975 1980 1985 1990 1995n 6 7 8 9 10 11y(n) (en milliers de t) 438,922 521,4 615,16 709,959 817,783 931,781accroissement relatif 0,18 0,19 0,18 0,15 0,15 0,14

16

B. Modélisation au moyen B. Modélisation au moyen d’une suite numériqued’une suite numérique

On considère alors la suite (qn) définie par

q0 = y0 et

C’est une suite géométrique de raison (1 + m).

On représente les suites (qn) et (yn) dans un même repère.

mq

qq

n

nn 1

17

II. Modélisation au moyen II. Modélisation au moyen d’une suite numériqued’une suite numérique

18

B. Modélisation au moyen B. Modélisation au moyen d’une suite numériqued’une suite numérique

L’accroissement entre deux mesures consécutives (aux instants n et n + 1) est proportionnel à la mesure à l’instant n. En effet, de la relation

mq

qq

n

nn 1 on déduit :

nnn mqnn

qq

)1(1

19

C. Passage au continuC. Passage au continu

On recherche une fonction dérivable sur R, On recherche une fonction dérivable sur R, dont la courbe ajuste le nuage de points dont la courbe ajuste le nuage de points {(0 ;{(0 ;yy00)…..(11 ;)…..(11 ;yy1111)})}

20

C. Passage au continuC. Passage au continu

L’origine des temps étant 1940, on note f(t) la quantité cumulée de CO2 émise à la date t (en années).

A partir de la relation :

on émet l’hypothèse que l’accroissement de la concentration entre les instants t0 et t0 + h ( pour h très

petit), est proportionnel à la mesure à l’instant t0.

nnn mqnn

qq

)1(1

21

C. Passage au continuC. Passage au continu

Le coefficient de proportionnalité étant la valeur de m obtenue au II, on a donc :

)()()(

000 tmf

h

tfhtf

Lorsqu’on fait tendre h vers 0 , on obtient la relation :

)()(' 00 tmftf

22

 On cherche une solution approchée de (E) :

f ’ = m f et f(0) = 184,39 sur l’intervalle [0 ; 11].

Pour des valeurs de h « suffisamment petites »,

f ’(t0) est proche de

On a donc :

D. D. Méthode d’EulerMéthode d’Euler

h

tfhtf )()( 00

)()()(0

00 tmfh

tfhtf

23

D. D. Méthode d’EulerMéthode d’Euler

Soit N un entier naturel non nul donné et h =

On pose t0 = 0 et tk = t0 + kh (k {0 ; 1 ; … ;N})

On définit alors la suite de points Mk (tk, zk) où

zk = zk – 1(1 + mh) et z0 = 184,39.

On trace ensuite les segments [MkMk + 1].

N

11

24

D. D. Méthode d’EulerMéthode d’Euler

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Méthode d'Euler Données

25

CommentairesCommentaires

On démontre qu’il existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant : f ’ = m f et f(0) = 184,39.

C’est la fonction définie par : f(x) = 184,39 exp(mx).

Pour m suffisamment petit, 1 + m em

Comme la suite (qn) est de raison 1 + m, on a : qn (em)n q0

26

III. Progression en analyseIII. Progression en analyse Limites de suites et de fonctions. Suites adjacentes. Convergence des suites

croissantes et majorées. Continuité et tableaux de variation. Etude de la fonction exponentielle (existence en

utilisant des suites adjacentes). Primitives. Introduction et étude la fonction logarithme

népérien. Fonctions exponentielles et puissances entières.

Fonction racine n-ième. Croissance comparée. Intégration.

27

Etude de l’équation y’ = yEtude de l’équation y’ = y

L’existence d’une fonction vérifiant

’ = et (0) = 1 est admise.

Propriété 1 : est strictement positive.

(on considère la fonction F définie par

F(x) = (x) (-x)

F’ est nulle, donc F est constante et vaut ((0))2 = 1

de plus (-x) = 1 / (x) )

28

Propriété 2 : Soient deux réels a et . Il existe une unique solution de l’équation f ‘ = f vérifiant f(0) = a.

(si f(x) = a ( x), f est une solution et si g est une autre solution, on pose F(x) = g(x) (- x) et on montre que F’ = 0.

Comme F(0) = a, pour tout x, F(x) = a

d’où g(x) = a / (- x) = a ( x) = f(x))

29

Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe une constante telle que f vérifie

f ‘ = f

(ii) Pour tous réels a et b : f(a+b) = f(a) f(b)

((i) implique (ii) en montrant que g et h définies par

g(x) = f(a+x) et h(x) = f(a)f(x) sont égales

(ii) implique (i) en dérivant par rapport à x dans l’égalité f(a+x) = f(a)f(x) puis en prenant x = 0)

30

NotationNotation

Par récurrence et en utilisant la propriété 3, on montre que pour tout entier n (négatif ou positif) et pour tout réel a :

(an) = ((a))n

On convient de noter (1) = e, d’où (n) = en

Par prolongement à ,pour tout réel x, (x) = ex

31

Existence de la fonction Existence de la fonction exponentielleexponentielle

Théorème: L’équation y’ = y admet une solution prenant la valeur 1 en 0.

(après avoir montré que pour tout entier naturel n et pour tout réel x > -1, (1+x)n 1 + nx ,

on démontre que, pour tout réel x, les suites (un(x)) et (vn(x)) définies par :

un(x) = (1 + x/n)n et vn(x) = (1x/n)-n sont adjacentes. La limite commune définit une fonction solution)

32

Croissance comparéeCroissance comparéeTerminale ES On positionnera à l’aide d’un grapheur les

courbes représentatives de x ex et de x lnx par rapport à celles de x xn.

Terminales S et ES On établira la limite en + de ex/x et de lnx/x ; on

en déduira la limite en de xex ; on aboutira aux règles opératoires : à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x et les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x.

33

RemarquesRemarques

« on établira » : une démonstration est attendue.

« on aboutira »  et « l’emporte sur » : on va expliciter le terme « l’emporte », faire la

distinction entre : « la courbe d’une des fonctions passe au dessus de la

courbe de l’autre fonction » et « la limite du quotient des fonctions est infinie ».

34

Avec les fonctions x xn et x ex

ou

Avec les fonctions x x et x lnx

Permet de visualiser la position relative des courbes, ou le signe de la différence,

puis le comportement du quotient, pour arriver à la notion de limite.

Tableur et (ou) Tableur et (ou) grapheurgrapheur

35

DémonstrationsDémonstrations

- Un travail utilisant plusieurs notions d’analyse

(étude de fonctions, théorème des valeurs intermédiaires)

permet de d’étudier le signe de xn ex.

- Un autre travail permet de démontrer les résultats concernant les limites à l’infini des quotients.

36

RemarqueRemarque

Il est nécessaire de faire en sorte que, lorsqu’un élève écrit la règle opératoire :

« à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x et les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x »,

il sache bien que cela correspond à une notion de limite infinie.

Une démonstration des résultats semble donc importante.

37

Programme SProgramme S

On étudiera les fonctions

x exp(-kx) et x exp(-kx2) , avec k 0

et on illustrera leur décroissance rapide. 

Ces fonctions sont très utilisées en probabilité et en statistique, en théorie du signal, etc

2kxe

2kxe

38

Pistes de réflexionPistes de réflexion

« on illustrera » : qu’entend on exactement par ce mot ?

Est-ce la décroissance rapide des fonctions x exp(-kx) et x exp(-kx2) qu’on doit faire

apparaître et alors la rapidité doit-elle être mesurée par rapport à quelque chose ou doit-on faire appel aux autres sciences pour montrer où interviennent ces décroissances rapides ?

39

ConclusionConclusion

Cette partie du programme peut être traitée en plusieurs étapes, au fur et à mesure de l’introduction des fonctions et des résultats d’analyse.

Elle est l’occasion : - de préciser du vocabulaire comme « l’emporte

sur » - d’alterner les activités de visualisation (tableur,

grapheur) avec le travail de démonstration.