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(付録) 「電気感受率:半古典論(1)」 1. 波動関数 2. 古典論から半古典論へ 3. 電気感受率 4. 複素数表示と実数表示 5. 二準位系のハミルトニアン 6. パウリ行列 7. 密度行列 8. 演算子行列要素 9. 密度行列の運動方程式
暫定版 修正・加筆の可能性あり
付録(414、5)のアプローチ:半古典論(semiclassical theory) 1. 電気感受率(複素数)を半古典論で求める。古典論と半古典論の比較を行う。 2. 電磁波(光)は古典的に扱う。(振動電場E:実数) 3. 分極振動に関与する電子のみ量子的に扱う。(電子位置:演算子) 4. 本付録の内容は量子力学の基本的な知識を必要とします。 5. 参考文献:P. Meystre and M. Sargent III「Elements of Quantum Optics, Third Edition」p.103、Sptinger 6. 和訳版:矢島、清水(共訳)「量子光学の基礎」p.113、シュプリンガー・フェアラーク東京
414-1
414-2
波動関数
( ) ( )ˆti H t
tψ
ψ∂
=∂
エイチバー:h/2π(プランク定数: Planck's constant )
シュレーディンガー方程式 Schrodinger equation 本当は「ウムラルト:o」
ハミルトニアン:Hamiltonian ハット:演算子(operator)
自由電子(一個)の場合:簡単のためz成分のみ
22 2 2
2
ˆˆ2 2pH i im z t m z
ψ ψ∂ ∂ ∂ = → − ⇒ = − ∂ ∂ ∂
波動関数 wave function
( ) ( ), expz t i kz tψ ω∝ −
波動関数(物質波):前進進行波(+z軸) アインシュタイン、ド・ブロイの関係式
お約束:本付録では • 虚数単位「i」を使用 • 波動関数と電磁波(光)の複素数表示を
一致させる。参照:412-12
波動関数(物質波)と区別するため • 光波の角周波数(ν):ニュー • 光波の波数K:大文字 • 振幅:赤色(正実数)、青色(複素数)
,E p kω= =
( )
( )
cos
expi i
Kz t
i KA
A A
z t
e e
A
Aφ φ
ν φ
ν− −
− −
−
= =
電子の運動エネルギー
2 2E p m=
414-3
古典論から半古典論へ(1)
古典論の分極振動 • 電気感受率χ: electric susceptibility • 誘電分極Pが電場Eに比例する場合に限定
0ε χ=P E
複素数表示:電場E、平面進行波(+z軸)
( ) ( ), expxE z t iA Kz tν= −
電気感受率:参照412-14 • 実部と虚部:媒質の屈折率と損失 • 虚数部の符号に注意(ーνのため)
' ''iχ χ χ= +
分極振動: • 振動電場Eに誘われて伸縮する電気双極子の
集団運動(参照:411-20) • 電気双極子モーメントベクトルpの向き:電
子から原子核(正電荷)
( )tr
伸縮する電気双極子 • 例:横並び(一次元) • 青丸:電子、赤丸:原子核 • 光の波長より短い微小領域
( ) 0t =r
時間経過
z軸
( )e t=p r( )tr
414-4
古典論から半古典論へ(2)
半古典論のための準備(まだ、古典論ですが) • ある一個の原子に注目:電気双極子モーメントを
計算して最後に「N:単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。
• 原子核の位置ベクトル • 原子核の位置の座標系:大文字 • 原点は任意
• 原子核を基準とした束縛電子の位置ベクトル • 電子の位置の座標系:小文字 • 原点は原子核
( ), ,X Y Z=R
( ), ,x y z=r
( ), ,x y z=r原子核
座標系:イメージ
電子
原子核の位置座標の原点
O
( ), ,X Y Z=R
Z軸
X軸
Y軸
N=P p
• 簡単のため:「原子核の位置:R」の振動電場EはX成分のみ、平面進行波(+Z軸)とする。
• 原子核位置:大文字を使用 • 添字:大文字を使用
414-5
古典論から半古典論へ(3)
半古典論のための準備 • 電気双極子モーメント • 負符号の意味:ベクトルの向き • 古典論:電子から原子核(正電荷) • 半古典論:原子核から電子
古典論 半古典論への準備
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
, ,0,0
, , , ,
, exp
X
X X
X
t E
E t E X Y
A
Z t
E Z t i KZ tν
=
=
⇓
= −
E R
R
e e= → −p r r
• 誘電分極P:電気双極子モーメントに「N:単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。
• 振動電場Eが「位置Zと時間tのみに依存する」から、振動電場Eに誘われて伸縮する電気双極子も「Zと時間tのみに依存する」と考える。
ややこしいかな? • 原子は電磁波(光)の波長よりも小さい • 原子は波長程度の微小領域内に蜜に存在する。 • 異なる場所(異なるZ)に位置する原子は異なる電場Eを
感じる。 • 振動電場Eは「原子核の位置:Z」に依存する。 • 原子核と束縛電子との距離(原子半径)は波長よりも十分
に短いから、両者は同じ電場を感じる。 • 以後、 「原子核の位置」を「原子の位置」と表記する。 • 原子全体が感じる振動電場Eは「原子の位置:Z」に依存
する。
( ) ( ), , , ,t X Y Z t Ne= = −P R P r
( ) ( ), , ,Z t Ne Z t= − =P r r r
414-6
古典論から半古典論へ(4)
半古典論:束縛電子のみ量子的に扱う • 原子の位置:「X、Y、Z」は実数扱い
• 束縛電子の位置:位置演算子 • 「r、x、y、z」は演算子扱い • 演算子:「ハット」で区別 • シュレーディンガー像(Schrodinger picture)のた
め、演算子は時間に無依存
• 誘電分極Pも演算子:時間依存無
• ある一個の原子に注目:最後にNを掛ける。 • 運動量pと区別せよ!(参照:414-2) • 以後、本付録では運動量pを使用しない。 • 「p:小文字」は電気双極子モーメントを意味する。
密度行列(演算子):density metrix
( ) ( ) ˆ, ,Z t Tr Z tρ = p p
半古典論:電気双極子モーメント
これからやりたいこと! • 束縛電子(二準位系)のハミルトニアン • 半古典論における誘電分極、電気感受率 • 密度行列の運動方程式 • 電気感受率(古典論)と(半古典論)を比較
密度行列: • 束縛電子(一個)の状態 • シュレーディンガー像において時間依存する唯
一の演算子 • 慣例:「ハット」はつけない。 • 他の演算子は時間変化に対して独立 • 振動電場Eは「原子の位置Z」に依存する。 • 電子状態を記述する密度行列も「原子の位置
Z」に依存する。
トレース:trace
( ), ,X Y Z=R
( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x y z=r
ˆ ˆNe= −P r
ˆˆ ˆ ˆe N= − → =p r P p
414-7
電気感受率(1):半古典論
古典論の場合:誘電分極
0ε χ=P E
• 複素数表示:誘電分極P、振動電場E • 複素数:電気感受率
半古典論の場合:誘電分極
[ ]ˆTr Nρ= → =p p P p
• 密度行列と電気双極子モーメント演算子との積のトレースで平均値を得る。但し、平均値は実数である。
• 振動電場Eも実数扱い。(ここがポイント!) • 最後に「N:単位体積に存在する電気双極子数」を掛ける。
( ) ( )0 00 0exp ,,Xi iE EE Z t Ki Z t eE Ee φ φν − −= − = =
赤色(正実数)、青色(複素数) 注意:特に強調したいときに色分けします。
振動電場E:複素数表示 簡単のため:X成分のみ非零
振動電場E:実数表示
( ) ( )
( ) ( )**00
2 . .
ex
,
pexp2 2
, XX c c
i Z ti Z
E Z t
Kt EKE
E Z t
νν
= +
− −− = +
複素共役:complex conjugate
半古典論の場合
414-8
電気感受率(2):半古典論
( ) ( ) ˆ,, Tr ZZ t tρ = pp
電気双極子モーメント:実数
( ) ( ), 2 ., .X Xp Zp t cZ ct = +
対応関係:実数表示と複素数表示 簡単のため:X成分のみ非零
簡略化:X成分のみ • 電気感受率χ: electric susceptibility • 誘電分極Pが電場Eに比例する場合に限定
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , , , 2 ., .XX X XXP Z t P Z t Pp Z t E Z tN t cZ cε χ= = = +
電気感受率:複素数
なにが言いたいのかな?:半古典論 •密度行列と電気双極子モーメント演算子の積のトレースにより平均値(実数)を得る。 •複素数表示の電気双極子モーメントと「その複素共役」の和(÷2)が実数表示に対応する。
N:単位体積に存在する電気双極子数
誘電分極:実数
( ) ( ), ,X XNP Z t p Z t=
対応関係:実数表示と複素数表示
414-9
複素数表示と実数表示:波数
波数(複素数):参照411-18
( )0 0 0 1K cν ν εµ ν ε µ χ= = = +
0 00
01 1 1 12 2 2
Kc
K χ ν χ χχ ν ε µ → + = + = +
電気感受率:近似
00
'''' '' ', '' 0 12 2
KKi K i χχχ χ χ χ χ = + > → + +
真空中の波数:実数
00 0
'''1 ,2 2
KK K K Kn iKχχ = + = Γ = → + Γ
媒質中の波数:実数 媒質中の損失:実数 媒質中の屈折率:実数
虚数部の符号に注意(-νのため) 真空中の光速
414-10
複素数表示と実数表示:振動電場
振動電場E:複素数表示
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
exp
exp exp
exp
,
,
X
X
i Z t
Z i Z
E Z t K
E Z t
K
E
E
E Z
t
i Z tK
ν
ν
ν
= −
= −Γ −
⇓
= −
関係を整理:複素数表示と実数表示
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
*0
0
*0
*
expexp2 2
expexp2 2
cos , e p
,
x
XE Z t
KK
E Z K E Z
KK
Z
E i Z ti Z t
i Z ti Z t
E
EE
E
Z
Z t Z
νν
νν
ν φ
− −− = +
− −− = +
= − − = −Γ
( ) ( )0 0
0
0
exp
i i
KE
KE E
E
ie
Z
e
ZE
φ φ− −
+ Γ
= =
= −Γ
屈折率と損失:振動電場Eと誘電分極Pの関係
•in-phase:分極振動が大きくなると屈折率が増大、out-of-phase:損失が増大
414-11
複素数表示と実数表示:誘電分極(1)
誘電分極P:電気感受率(複素数表示)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* *
*
* *
* *
10 e 2 e 2
' '' e 2 ' '' e 2
' 2 e
,
e '' 2 e e
' 2 e e '' 2 e e
K KX
K K
K K K K
K K K
i Z t i Z t
i Z t i Z t
i Z t i Z t i Z t i Z t
i Z t i Z t i Z t i KZ t
E E
E E
E E E E
E E E E
i i
P Z
i
Z Zt
i
ν ν
ν ν
ν ν ν ν
ν ν ν ν
ε
χ χ χ
χ χ
χ χ
χ
χ χ
− − −−
− − −
− − − − − −
− − − − − −
= +
= + + −
= + + − = + − −
( ) ( ) ( )0 e p, xXP Z t Z KE i Z tε χ ν= −
関係を整理:複素数表示と実数表示
電気感受率:虚数部の符号に注意(-νのため)
' ''iχ χ χ= +
屈折率 損失
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' cos '' s, inX Z t ZP Z t E Z K E K tZε χ ν φ ε χ ν φ= − − − − −
屈折率と損失:振動電場Eと誘電分極Pの関係( 前頁と同じ結果)
•「実数の世界で」同じ結果を得るために「複素電気感受率の虚数部の符号」を反転させています。
414-12
複素数表示と実数表示:誘電分極(2)
誘電分極P:電気感受率(複素数表示)
( ) ( ) ( )0 e p, xXP Z t Z KtE i Zε χ ν= −
関係を整理:複素数表示と実数表示
電気感受率:虚数部の符号に注意(νのため)
' ''iχ χ χ= −
屈折率 損失
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' cos '' si, nXP Z t E Z Kt Kt ZEZ Zε χ ν φ ε χ ν φ= − + + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* *
*
* *
* *
10 e 2 e 2
' '' e 2 ' '' e 2
' 2 e e '' 2 e e
' 2 e e '' 2 e e
, i t Z i t Z
i t Z i t Z
i t Z i t Z i t Z i t
K KX
K K
K Z
i t Z i t Z i t Z i t Z
K K K
K K K K
E E
E E
E E E E
E E E E
P Z Z Z
i
i
i
t
i
ν ν
ν ν
ν ν ν ν
ν ν ν ν
ε
χ χ χ χ
χ χ
χ
χ χ
χ− − −−
− − −
− − − − − −
− − − − − −
= +
= − + +
= + − − = + + −
414-13
二準位系のハミルトニアン(1)
ハミルトニアン:Hamiltonian
0ˆ ˆ ˆH H= −p E
右辺第一項:無摂動ハミルトニアン • ディラック(Dirac)表記を使用 • 二準位系
0
0
ˆ 2ˆ 2
a H a
b H b
ω
ω
=
= −
二準位系:two-level system
励起準位:上準位
基底準位:下準位
エネルギー差 ω
a
b
右辺第二項:相互作用ハミルトニアン
( )intˆ ˆ ˆ ˆH e e= − = − − =p E r E r E
( ) ( ) ( ), cosXE Z KEt tZ Z ν= −
電磁場(光):X成分のみ(初期位相:零)
( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=
電気双極子と電磁波(光)の相互作用
お詫び:説明省略 • 電気双極子と電磁波(光)の相互作用ハミルト
ニアンの導出 • 参考文献:砂川「量子力学」p.327、岩波書店 注目:相互作用ハミルトニアン • 一様電場(電磁波:振動電場ではない!)と電
気双極子の相互作用エネルギーと同じ表現です。 • 参照:403-16
相互作用ハミルトニアン:interaction
414-14
二準位系のハミルトニアン(2)
( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=
電子遷移選択則:電子双極子遷移の場合 selection rules for an electric dipole transition • 波動関数の偶奇性 • 仮定:準位ab間で電気双極子放射可
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ
a ex a b ex b
a ex b b ex a
= =
= =℘
( )( )
int
* *int
*
ˆ ,ˆ ,
ab X
ba X
ba ab
V a H b E Z t
V b H a E Z t
V V
= =℘
= =℘
=
行列要素:相互作用ハミルトニアン
複素共役
ハミルトニアン:行列表示
0 intˆ ˆ ˆH H H= +
0 3
1 0ˆ ˆ0 12 2
H ω ω σ
= = −
右辺第一項:無摂動ハミルトニアン
二準位系:two-level system
1 0,
0 1a b = =
a:励起準位:上準位 b:基底準位:下準位
右辺第二項:相互作用ハミルトニアン
int
0ˆ0ab
ba
VH
V
=
次頁:パウリ行列
414-15
パウリ行列(1)
パウリ行列: Pauli matrices
( ) ( )
1
2
3
1 2
1 2
0 1ˆ ˆ ˆ ˆ
1 0
0ˆ ˆ ˆ ˆ
0
1 0ˆ ˆ
0 1
1 00 1
0 1ˆ ˆˆ0 02
0 0ˆ ˆˆ1 02
x
y
z
a b b a
ii b a a b i
i
a a b b
I a a b b
i a b
i b a
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ
σ σσ
σ σσ
+ −
− +
+
−
= = = + = +
−
= = = − = −
= = = − −
= = +
+= = =
−
= = =
特徴
2 2 21 2 3ˆ ˆ ˆ Iσ σ σ= = =
( ) ( )ˆ ˆ0, det 1i iTr σ σ= = −
1 2 3 2 3 1
2 1 3 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
i ii I
σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ
= == − =
二準位系:two-level system
エネルギー差
ω
a
b
414-16
パウリ行列(2)
1 0,
0 1a b = =
a:励起準位:上準位、b:基底準位:下準位
複素共役
ハミルトニアン:Hamiltonian 相互作用ハミルトニアン:非対角要素が複素数
,ab baV i V iα β α β= − = +0 intˆ ˆ ˆH H H= +
int
1 2
0ˆ0
0 1 01 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆx y
iH
i
ii
α βα β
α β
ασ βσ ασ βσ
− = +
− = +
= + = +
ハミルトニアン:パウリ行列表示
0 int
3 1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ ˆ2 z x y
H H Hω σ ασ βσ
ω σ ασ βσ
= +
= + +
= + +
行列要素:相互作用ハミルトニアン
( )( )
int
* *int
*
ˆ ,ˆ ,
ab X
ba X
ba ab
V a H b E Z t
V b H a E Z t
V V
= =℘
= =℘
=
414-17
密度行列:誘電分極(1)
誘電分極
[ ]ˆN NTr ρ= =P p p
電気双極子モーメント
[ ] ( )( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
Tr Tr e
x y z
ρ ρ = = − =
p p r
r
X成分のみに注目
( ) ( )ˆ ˆ
ˆ
, ˆX Tr ex a ep Z t x a b ex b
a a a ex a
ρ ρ ρ
ρ
= − = − −
= − ˆ ˆ ˆa b b ex a b a a ex b b b b ex bρ ρ ρ− − −
( )* *
ˆ ˆ
. .ab ba
ab ba ab
b ex a a ex b
c c
ρ ρ
ρ ρ ρ
= − −
= − ℘ − ℘= − ℘ +
( ) ( )* ˆ. . ,, bX a cp Z t c a ex bρ= − ℘ + ℘=
電気双極子モーメント(実数):X成分のみに注目
波動関数の偶奇性に由来:参照414-13
414-18
密度行列:誘電分極(2)
( ) ( )* ˆ. . ,, bX a cp Z t c a ex bρ= − ℘ + ℘=
電気双極子モーメント(実数):X成分のみに注目
( ) ( ) ( )( )
* *
* *
ˆ ˆ2 ., , .
ˆ,
.
2 2X
bX
ab
a
X cc c cp Z t
p Z
p Z
t
t ρ σ σ
ρ σ− +
−
= + = − ℘ + = −℘ −℘
= − ℘ = − ℘
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 1ˆ ˆˆ0 02
0 0ˆ ˆˆ1 02
ba
ab
Tr Tr a b b a b b
Tr Tr b a a b a a
i a b
i b a
σ ρσ ρ ρ ρ
σ ρσ ρ ρ ρ
σ σσ
σ σσ
+ +
− −
+
−
= = = =
= = = =
+= = =
−
= = =
関係式:パウリ行列
電気双極子モーメント:パウリ行列
414-19
演算子行列要素:ハミルトニアン(1)
相互作用ハミルトニアン:参照414-13
( )int
0ˆ ˆ ,0ab
Xba
VH exE Z t
V
= =
行列要素
複素共役 注意:半古典論では振動電場Eは実数扱い!
( )intˆ ˆ ,XEx tH Ze=
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
cos
exp. .
2exp
. .2
,X Z t
i Z tc c
i Z tc c
E Z t E Z K
K
E Z
E Z
K
ν
ν
ν
= −
−= +
−= +
( ) ( )( ) ( )
00
0
0
0 exp
exp0
i iE E e e
Z
E
E Z E Z
E E Z
φ φ
φ
− −=
= −
= −Γ
=
Γ
=
簡単のため:初期位相は零
( )( )
int
* *int
*
ˆ ,ˆ ,
ab X
ba X
ba ab
V a H b E Z t
V b H a E Z t
V V
= =℘
= =℘
=
414-20
演算子行列要素:ハミルトニアン(2)
相互作用ハミルトニアン:非対角要素のみ
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
intˆ ˆ
ˆ
expex
,
p2 2
,
ˆ
,Xa
X
b
X
E Z t
E Z t
E Z
V a H b a ex b
a ex b
i Z ti Z t
t
a ex b
E Z KE Z K νν
= =
=
=℘
− −− =℘ +℘
℘=
( ) ( )exp2ab
i ZE Z tKV
ν−℘
回転波近似(rotating wave approximation) 詳細説明:415
414-21
ハミルトニアン
( )0 int 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,XE Z tH H H H ex= + = +
行列要素
01 0 2ˆ00 12
2
abab
baba
VVH
V V
ωω
ω
= + = −
演算子行列要素:ハミルトニアン(3)
二準位系:two-level system
エネルギー差
ω
a
b
非対角要素
( ) ( )exp2ab
i ZE Z tKV
ν−℘
*ba abV V=
回転波近似(rotating wave approximation) 詳細説明:415
414-22
密度行列の運動方程式(1)
運動方程式:密度行列 束縛電子(一個)の状態
ˆ,i Htρ ρ∂ = − ∂
aa ab
ba bb
ρ ρρ
ρ ρ
=
密度行列:エルミート行列
( )
*
1ab ba
aa bbTrρ ρ
ρ ρ ρ
=
= + =
密度行列要素:結果のみ(計算手順:次頁)
( )*
aaba ab ba ab
bbba ab ba ab
abab ab aa bb
ba ab
i V Vt
i V Vt
i Vt
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ωρ ρ ρ
ρ ρ
∂= −
∂∂
= −∂∂
= − −∂=
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
*
0
2
exp
,
, , ,
,
abX
X X X
X
p Z t
P Z t p Z t E Z t
E Z
N
i Z tE Zt K
ρ
ε χ
ν
= − ℘
= =
= −
' ''iχ χ χ= +
これからやりたいこと:415 •連立一次微分方程式を解いて密度行列要素を求める。 •電気双極子モーメントと誘電分極を計算する。 •電気感受率を求めて古典論と半古典論を比較する。
電気感受率:虚数部の符号に注意(-νのため)
電気双極子モーメントpと誘電分極P
414-23
密度行列の運動方程式(2)
密度行列要素:連立一次微分方程式の導出
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
aa
ab ba ab ba
bb
ba ab ba ab
ab
ab ab bb
i a H a a H at
a H a a a a H b b a a a a H a a b b H aV V
i b H b b H bt
b H a a b b H b b b b a a H b b b b H bV V
i a H b a H bt
a H a a b a H b b b a a a H b a b b H b
V
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ω ρ ρ ρ
∂= −
∂= + − −
= −∂
= −∂
= + − −
= −∂
= −∂
= + − −
= + −
( )2aa ab ab
ab ab bb aa
V
V
ωρ
ωρ ρ ρ
− −
= + −
ˆ ˆ ˆ, H H Hρ ρ ρ − = −