Post on 30-Nov-2015
Surface Mine Planning
Step 3: Ultimate Pit Limit (UPL)
1
Mine Planning Sequence
2
1. Geologic Model
2. Economic Model
3. Pit Limits
4. Pushbacks
5. Mining Schedules
6. Detailed mine plans and optimization studies
Mine Planning: 3st Step
3
Ultimate Pit limit
In: Modelo de bloques económico y restricciones mineras
Out: límite económico de explotación, reservas explotables, valor del negocio minero……
Definición
4
� El Ultimate Pit Limit es el límite económico de explotación para un escenario técnico, económico y financiero determinado.
� Define el tamaño y la forma del pit al final de su vida.
� Determina las reservas explotables y el tonelaje total de estéril a extraer.
En otras palabras, decide el tamaño del negocio minero
Procedimientos
5
� Para definir el Ultimate Pit Limit existen tres caminos posibles a seguir:� Método manual
� Comparación de razones de stripping de perfiles, por longitud vs económica.
� Método computacional� Cono Flotante, Lerchs & Grossmann
� Método combinado
Algoritmos
6
� Algoritmos heurísticos: basados en el sentido común� Cono Flotante (Pana - 1965)
� Cono Flotante Optimizado (Lemieux – 1979)
� Algoritmos Optimizantes: con justificación matemática� Cierre Máximo (Lerchs y Grossmann – 1965)
� Flujo Máximo (Picard – 1976)
� Flujo Máximo con reetiquetado (Hochbaum – 2000)
Técnica del Cono Flotante
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� Esta técnica fue presentada formalmente por Pana (1965).
� Consiste en evaluar el beneficio neto total de los bloques que caen dentro de un cono invertido.
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1
-2 -2 -2 4 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
Técnica del Cono Flotante
8
� El algoritmo es el siguiente� Se posiciona el vértice del cono en el primer bloque (lado izquierdo) de la primera fila.
� El cono flota desde izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, hasta posicionarse sobre un bloque de valor positivo factible de remover.
� Cuando encuentra un bloque de valor positivo, se determina el valor neto del cono hasta alcanzar la superficie.
� Si la suma de todos los bloques que caen dentro del cono es positiva (o cero), los bloques son removidos del modelo. Si la suma es negativa, se mantienen los bloques y el cono se mueve al próximo bloque positivo.
� Si ya no hay más bloques que evaluar, el proceso termina, y el resultado final es la unión de todos los conos extraidos.
Técnica del Cono Flotante
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� Ejemplo (Ángulo de Talud Global = 45º)
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1
-2 -2 -2 4 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1
-2 -2 -2 4 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
-1 -1 -1 -1 -1 1 -1
-2 -2 -2 4 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
-1 -1 -1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 4 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
-1 -1 -1
-2 -2 -2 -2 -2 -2
-3 -3 7 1 -3 -3 -3
-1
-2 -2 -2 -2
-3 -3 1 -3 -3 -3
-1
-2 -2 -2 -2
-3 -3 1 -3 -3 -3
BNA = 0
BNA = 1
BNA = 2
BNA = 3
BNA = 3
BNA = 3
-1 -1 -1 -1 -1 1
-2 -2 4
7 Ultimate Pit Limit
Técnica Cono Flotante: Problemas
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� Conos sobrelapados pueden llevar a inexactitudes
10
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 -2 -2
10 -3 10
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 -2 -2
10 -3 10
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 -2 -2
10 -3 10 Net value = +3
Cannot mine: Net value = -1 Cannot mine: Net value = -1
Técnica Cono Flotante: Problemas
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� Puede resultar un pit más grande que el óptimo
-2 -2 -2 -2 -1
4 8 -2
2
-2 -2 -2 -2 -1
4 8 -2
2
Este es el óptimo
Net value = +4Net value = +3
Algoritmos Lerchs & Grossmann
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� Creados y publicados por L&G en 1965
� L&G postula que el problema del Ultimate Pit Limit es encontrar aquel volumen V que maximice la integral:
Considerando la restricción del ángulo de talud
� Donde m es el beneficio de extraer un bloque
� Sin embargo, la complejidad del problema no permite que pueda ser resuelto por métodos analíticos.
∫V
dxdydzzyxm ),,(
α
Lerchs & Grossmann 2D: Programación Dinámica
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� El algoritmo es el siguiente:
� Se selecciona un bloque (i,j), se determina su beneficio mij = vij – cij y se construye un tableau con las cantidades:
� Mij representa el beneficio de extraer una sola columna con el elemento (i,j) en su base
� Luego en un tableau final, se adiciona una fila de ceros en su parte superior y se calcula la siguiente cantidad:
con k=-1, 0, 1
� Luego se indica el valor máximo por una flecha que va desde (i,j) hasta (i+k, j-1)
∑=
=i
ik
kjij mM
00 =jP
)( 1, −++= jkik
ijij PMaxMP
Lerchs & Grossmann 2D
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-4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
-8 -8 -8 -8 8 24 24 8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8
-12 -12 -12 -12 4 32 36 20 -8 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12
-16 -16 -16 -16 0 32 48 32 0 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16
-20 -20 -20 -20 -4 28 56 44 12 -16 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20
-24 -24 -24 -24 -8 24 56 56 24 -8 -24 -24 -24 -24 -24 -24 -24 -24
-28 -28 -28 -28 -12 20 52 64 36 4 -24 -28 -28 -28 -28 -28 -28 -28
-32 -32 -32 -32 -16 16 48 64 48 16 -16 -32 -32 -32 -32 -32 -32 -32
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-4 -4 -4 -4 8 20 44 60 76 92 96 104 108 104 104 100 96 92
-8 -12 -12 -12 4 32 60 80 96 100 108 112 108 108 100 96 92 88
-12 -20 -24 -24 -8 36 72 104 108 116 120 116 116 104 96 88 84 80
-16 -28 -36 -40 -24 24 84 116 128 132 128 128 116 104 88 80 72 68
-20 -36 -48 -56 -44 4 80 128 148 144 144 132 120 100 84 68 60 52
-24 -44 -60 -72 -64 -20 60 136 160 164 152 140 120 96 76 60 44 36
-28 -52 -72 -88 -84 -44 32 124 172 176 164 144 116 92 68 48 32 16
-32 -60 -84 -104 -104 -68 4 96 172 188 172 140 112 84 60 36 16 0
EjemploL&G 1965
BNA=108
Lerchs & Grossmann 3D
15
� Creado y publicado por L&G en 1965
� Se basa en la teoría de Grafos.
A
B
C
“A” podrá ser
extraído
ssi “C” es
extraído
Lerchs & Grossmann 3D
16
� El problema:
� Dado un grafo dirigido G(X,A) y para cada vértice xi cuya masa mi es distinta de cero, encontrar un cierre Y de G con masa máxima. Es decir, encontrar el conjunto de elemento Y X tal que:
y es máximo
� Un cierre con masa máxima también es llamado “Cierre Máximo”
⊂
YxYx ii ∈Γ→∈
∑∈
=Yx
iy
i
mM
Lerchs & Grossmann 3D
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� El algoritmo es el siguiente:
� Se construye un árbol normalizado Tº y comienza el proceso de iteración. La iteración t+1 transforma un árbol normalizado Tt en un nuevo arbol Tt+1.1. Si existe un arco (xk, xl) en G tal que YK Yt, y xl X-Yt, entonces se
va al paso 2. De otra forma se va al paso 4.
2. Determinar xm, la raiz de la rama fuerte que contiene a xk. Construir el árbol Ts reemplazando el arco (x0, xm) de Tt por el arco (xk, xl).
3. Normalizar Ts. Esto generará el árbol Tt+1. Ir al paso 1
4. Fin. Yt es el cierre máximo de G.
(Este algoritmo está respaldado por demostraciones que prueban su optimalidad)
∈ ∈
Lerchs & Grossmann 3D
18
Paso 1: encontrar una rama fuerte.Paso 2: detectar la raíz de la rama fuerte, eliminar el circuito y modificar los valores de las ramas afectadas.
Paso 3:
Normalización: unir las ramas fuertes al vértice origen y ajustar los valores de las ramas afectadas
Árbol Tt Árbol Tt+1
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arribarama negativa que apunta hacia abajo
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
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-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 5 10 -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
Grafo G
Árbol T0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
20
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
Arco Fuerte:
El arco rojo debe cambiar de sentido
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
21
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
-1
3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
22
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
-1
-1
-1
2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
23
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
24
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
5
5
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
0
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
25
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
0
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
10
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
El arco rojo debe cambiar de sentido
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
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Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
10
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
9
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
10
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
Arco Fuerte:
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
27
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
9
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
10
-1
-1
-1
-1
5
1
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
8
-1
8
-1
-1
5
9
10
10
X0
3º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
8
-1
0
-1
-1
5
1
10
10
X0
Arco Fuerte:
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
2828
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso 2º Paso
3º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-4
-1
8
-1
0
-1
-1
5
1
10
10
X0
Arco Fuerte:
-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
-1
8
-1
8
-1
-1
5
9
10
10
X0-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-3
-1
8
-1
1
-1
-1
5
2
10
10
X0
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
292929
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
Arco Fuerte:
-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-3
-1
8
-1
1
-1
-1
5
2
10
10
X0
-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
-1
-1
0
-1
-1
-1
-3
-1
8
-1
1
-1
-1
5
2
10
10
X0En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
30303030
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso 2º Paso
Arco Fuerte:
-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
-1
-1
0
-1
-1
-1
-3
-1
8
-1
1
-1
-1
5
2
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
6
-1
-1
-1
7
-1
-1
-1
4
-1
7
-1
8
-1
-1
5
9
10
10
X0
3º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
6
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-2
-1
7
-1
2
-1
-1
5
3
10
10
X0
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
3131313131
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso
2º Paso
Arco Fuerte:
-1
-1
-1
-1
-1
6
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-2
-1
7
-1
2
-1
-1
5
3
10
10
X0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-2
-1
-4
-1
2
-1
5
5
3
10
6
X0En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.
Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo
323232323232
Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo
1º Paso 2º Paso
Arco Fuerte:
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-2
-1
-4
-1
2
-1
5
5
3
10
6
X0
En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
4
-1
-2
-1
-4
-1
2
-1
5
5
3
10
6
X0
-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 5 10 -1 -1
El resultado es entonces:
Y el valor del pit óptimo es la suma de los valores soportados por los arcos fuertes, es decir: 1 + 4 = 5
Ups…. Time Value of Money!!!
33
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 3 3 3 -1 -1
-2 -2 -2 -2 -2 -2 5 5 5 -2 -2 -2
-2 -2 -2 -2 -2 -2 5 5 -2 -2 -2 -2
-2 -2 -2 -2 2 5 5 5 -2 -2 -2 -2
-2 -2 -2 -2 -2 5 5 -2 -2 -2 -2 -2
Analicemos el siguiente pit
Valor neto del pit = 30
¿Es un pit Óptimo?
Analicemos este talud de bloques límites:-1 -1 -2 -2 +2 +5 = 1
¿Este talud aporta valor al pit óptimo?
Volvamos a analizar ese talud de bloques límites:Apliquemos ahora una tasa de descuento del 10% y supongamos que se extrae un bloque por año.
54,0654321 )1,01(
5
)1,01(
2
)1,01(
2
)1,01(
2
)1,01(
1
)1,01(
1 −=++++++++
−+−
+−
+−
¿Este talud aporta valor al pit óptimo?¿Cuál es el problema?
NPV vs. Toneladas de Mineral
34
(Whittle)
Dominio factible para los diseños de pit
NPV vs. Toneladas de Mineral
35
¿Cuál es el pit óptimo?
36
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37
0
50
100
150
200
250
300
NPV$m
Cost ofProduction
$/oz
Maximum NPVOf the mine
Pit number
Resultado de la Optimización
37
Pasando del Pit Óptimo al Diseño
38
Resultado de Pit Optimo Diseñado
39
Resultado de Pit Optimo Diseñado
40
Análisis de sensibilidad
41
Los programas de optimización permiten la elaboración rápida de programas de producción, sin tener que pasar por el diseño.
Esto permite realizar análisis de sensibilidad de variables como el precio, la tasa de descuento, la tasa de producción, etc.
De tal forma, de analizar las variaciones de VPN del proyecto, tanto en la optimización de rajos como en los programas de producción.
Categorización de Reservas
42
� De acuerdo a su nivel de confiabilidad en la extracción de la reserva� Ley.
� Factores económico financieros.
� Sistema minero.
� Proceso metalúrgico.
� Sistema sustentable.
� Se dividen en � Probadas.
� Probables.
Reservas
43
� Una reserva mineral es la parte económicamente explotable de un recurso mineral indicado y medido. Incluye materiales diluidos y estériles, lo cual puede ocurrir cuando el material es explotado. Para esto, se han llevado a cabo valoraciones y estudios apropiados, incluyendo factores de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales. Estas valoraciones demuestran, en el momento del reporte, que podría justificarse la extracción razonada.
� Las reservas de mineral se subdividen, en orden incremental de confianza, en: Probables y Probadas.
Tipos de Reservas
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� Reservas Probables: es la parte económicamente explotable de los recursos indicados, y en algunas circunstancias, recursos medidos. Incluye materiales diluidos y estériles producto de la explotación. Se han hecho, al menos, estudios de pre-factibilidad, en los que se analizan los factores: de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales.
� Reservas Probadas: es la parte económicamente explotable de los recursos medidos. Incluye materiales diluidos y estériles producto de la explotación. Se han hecho, al menos, estudios de pre-factibilidad, en los que se analizan los factores: de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales.
Reporte de Reservas
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� Especificar los recursos que serán convertidos a reservas.� Establecer el estatus del estudio que da origen a la conversión.� Leyes de Corte o Valores de Corte.� Factores y suposiciones mineras:
� Método de conversión (aplicación de factores, optimización o diseño)� Elección, diseño y propiedades del método de explotación� Parámetros geotécnicos y control de leyes.� Modelo de recursos minerales para optimización de pit� Factores de dilución y recuperación� Requerimientos de infraestructura
� Factores y suposiciones metalúrgicas� Factores de Costos e Ingresos� Valoraciones de Mercado (demanda, oferta, stock, competidores, etc)� Efectos de cualquier riesgo asociado (natural, infraestructura, legal, etc)
� Cubicaciones de las clasificaciones� Auditoría externa y discusión
That’s It For Now! ☺
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