TEKNIK RISET OPERASIONAL

LINIEAR PROGRAMMING METODA GRAFIK

Pertemuan 03

Liniear Programming Metoda Grafik

Langkah-langkah penggunaan metoda grafik dapat ditunjukkan secara ringkas sebagai berikut:

a.Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis

b.Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk matematis

c.Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem salib sumbu

d.Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Sebelum mempraktekkan setiap langkah di atas sebaiknya terlebih dahulu diuraikan masalah yang biasanya paling kritis, yaitu menggambarkan garis-garis dari fungsi-fungsi batasan. Fungsi-fungsi batasan ini dinyatakan dalam tiga tanda, yaitu:

≤ kurang dari atau sama dengan

≥ lebih besar dari atau sama dengan

= sama denganTEKNIK RISET OPERASIONAL

Sebgai contoh sederhana:

a. Grafik dari 3x + 4y ≤ 12

TEKNIK RISET OPERASIONAL

y

x0

3x + 4y ≤ 12

Gambar 1. Garis dari fungsi batasan dengan tanda ≤

b. Grafik dari 3x + 4y ≥ 12

TEKNIK RISET OPERASIONAL

y

x0

3x + 4y ≥ 12

Gambar 2. Garis dari fungsi batasan dengan tanda ≥

c. Grafik dari 3x + 4y = 12

TEKNIK RISET OPERASIONAL

y

0 x

3x + 4y = 12

Gambar 2. Garis dari fungsi batasan dengan tanda ≥

Contoh kasus

Cara paling sederhana dalam menyelesaikan permasalahan linear programming yang memiliki variabel keputusan berjumlah dua adalah dengan menggunakan metoda grafik. Penggunaan metoda grafik hanya dibatasi pada dua variabel karena pada grafik secara umum hanya terdapat dua sumbu yaitu sumbu vertikal dan sumbu horizontal. Setiap sumbu mewakili satu kegiatan. Penyelesaian metoda grafik dari contoh diatas yaitu masalah konveksi ARAZ adalah:

TEKNIK RISET OPERASIONAL

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Produk Constrain

Dewasa (X1) Anak-anak (X2) Kapasitas

Kain 2,5 2 100

Tenaga kerja 1 6 50

Mesin bordil 3 30

Keuntungan/unit 750 500

Diketahui data perusahaan ARAZ sebagai berikut

1. Menentukan fungsi tujuan

Z = 750X1 + 500X2

2. Menentukan fungsi batasana. Kain : 2,5X1 + 2X2 ≤ 100b. Tenaga kerja : X1 + 6X2 ≤ 50c. Mesin bordil : 3X1 ≤ 30d. Syarat : X1, X2 ≥ 0

Dari tanda batasan (≤) dapat dijelaskan bahwa penggunaan kain tidak boleh melebihi 100 m, tenaga kerja tidak boleh melebihi dari 50 orang dan jam kerja mesin tidak boleh melebihi dari 30 jam.

3. Menggambarkan fungsi batasan untuk menggambarkan fungsi batasan, maka pertidaksamaan diganti dengan tanda persamaan dan terlebih dahulu mencari titik potongnya

TEKNIK RISET OPERASIONAL

a. Batasan kain : 2,5X1 + 2X2 ≤ 100agar titik potong dapat ditemukan, maka tanda pertidaksamaan terlebih dahulu diganti menjadi tanda sama dengan (=), kemudian melakukan eliminasi pada salah satu variabel atau memberikan nilai nol (0), sehingga:apabila X1=0, maka 2,5 (0) + 2X2 = 100

2X2 = 100 X2 = 50 …..(0,50)

dari hasil eliminasi ditentukan titik potong X2 yang berada pada titik X1 = 0 dan X2 = 50apabila X2 = 0, maka 2,5X1 + 2(0) = 100

2,5X1 = 100 X1 = 40 …. (40,0)

TEKNIK RISET OPERASIONAL

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Dari perhitungan di atas didapatkan dua titik potong yaitu (0,50) dan (40,0). Kedua titik potong ini digambarkan ke dalam grafik di bawah ini:

X2

0 X1

(0,50)

(40,0)

TEKNIK RISET OPERASIONAL

b. Batasan tenaga kerja: X1 + 6X2 ≤ 50Seperti halnya pada batasan kain, maka pada batasan tenaga kerja juga dicari nilai X1 dan X2 dengan mengubah fungsinya menjadi X1 + 6X2 = 50, dan selanjutnya dilakukan eliminasiApabila X1 = 0, maka 0 + 6X2 = 50

6X2 = 50 X2 = 8,33 …. (0,8,33)

Apabila X2 = 0, maka X1 + 0 = 50 X1 = 50 …… (50,0)

Dari hasil perhitungan titik potong batasan tenaga kerja didapatkan titik potong (0,8,33) dan (50,0) seperti terlihat dalam gambar berikut:

TEKNIK RISET OPERASIONAL

X2

0 X1

(0,8,33)

(50,0)

TEKNIK RISET OPERASIONAL

c. Batasan mesin: 3X1 ≤ 30Karena pada batasan mesin hanya digunakan untuk memproduksi pakaian dewasa saja, maka X yang dicari adalah X1 saja3X1 = 30 X1 = 10, sehingga grafiknya hanya berupa garis vertikal pada

titik X1 = 10

X2

0 X1(10)

Dari hasil perhitungan titik potong batasan tenaga kerja didapatkan titik potong (0,8,33) dan (50,0) seperti terlihat dalam gambar berikut:

TEKNIK RISET OPERASIONAL

X2

0 X1

(0,8,33)

(50,0)

d. Mencari daerah penyelesaian yang laya (feasible solution) dari ketiga grafik tersebut apabila dijadikan satu akan tampak seperti gambar di bawah ini. Pada permasalahan di atas, jumlah batasan ada tiga, maka daerah yang diarsir sebanyak tiga kali merupakan daerah penyelesaian yang layak atau daerah yang memenuhi setiap batasan

TEKNIK RISET OPERASIONAL

0

X2

X1

AB

C

Feasible solution

4. Mencari titik yang optimal. Untuk mencari titik optimal, maka ketiga grafik tersebut dijadikan satu. Kemudian daerah yang layak (feasible solution) yaitu daerah yang terarsir tiga kali (karena pada fungsi di atas terdapat tiga batasan) yaitu pada daerah 0ABC.

TEKNIK RISET OPERASIONAL

X1

X2

AB

C

Feasible solution

0

3. Menentukan fungsi batasan/kendala/constrain dan mengekspresikan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan. Batasan diartikan sebagai sumber daya yang dibutuhkan dalam melakukan kegiatan atau memproduksi barang/jasa. Adapun sumber daya dapat berupa hal-hal sebagai berikut;

a. Bahan bakub. Kapasitas bahan baku adalah jumlah keseluruhan

bahan baku maksimum yang tersedia di perusahaanc. Tenaga kerjad. Kapasitas tenaga kerja (jumlah keseluruhan tenaga

kerja dan jam kerja)e. Mesin f. Modal, dll

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Fungsi persamaan matematis batasan secara umum adalah:aijXj (≥, =, ≤) biUntuk semua i(i=1,2,…..m) semua Xj ≥ 0

Apabila terdapat beberapa batasan, maka formulasi matematisnya adalah:1.a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn ≤ b12.a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn ≤ b23.am1X1 + am2X2 + …… + amnXn ≤ bmDan syarat; X1, X2, Xn ≥ 0

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Aplikasi Liniear ProgrammingUntuk memudahkan memahami permasalahan LP berikut ini diberikan beberapa contoh aplikasi:

Produk Mix

Sebuah perusahaan bergerak dalam bidang konveksi dengan produk yang dihasilkan berupa pakaian dewasa dan anak-anak. Dalam proses produksinya membutuhkan kain untuk masing-masing pakaian adalah 2,5m dan 2m, sedang tenaga kerja 1 orang dan 6 orang. Pakaian dewasa menggunakan bordil yang tersedia adalah 100m, 50 orang dan 30 jam keuntungan per unit dari pakaian dewasa sebesar Rp. 750 dan pakaian anak-anak Rp. 500. permasalahannya adalah berapa banyak masing-masing pakaian diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum?

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Penyederhanaan Soal

Dari soal diatas dapat disederhanakan menjadi tabel sebagai berikut:

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Produk Constrain

Dewasa (X1) Anak-anak (X2) Kapasitas

Kain 2,5 2 100

Tenaga kerja 1 6 50

Mesin bordil 3 30

Keuntungan/unit 750 500

Jawab 1. Variabel keputusanX1= jumlah pakaian dewasaX2= jumlah pakaian anak-anak

2. Fungsi tujuanZmax= 750X1 + 500X2

3. Fungsi pembatasa.Kain : 2,5X1 + 2X2 ≤ 100b.Tenaga kerja : X1 + 6X2 ≤ 50c.Mesin bordil : 3X1 ≤ 30d.Syarat : X1, X2 ≥ 0

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Contoh Soal

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Perusahaan roti DOREMI telah menghitung biaya untuk memproduksi 2 jenis roti, yaitu roti tawar dan roti keju, total biaya pembuatan roti tawar perbungkus sebesar Rp. 800 dan keju Rp. 600. untuk membuat roti keju dibutuhkan adonan yang terdiri atas telur, tepung terigu, gula halus dan keju sebanyak 1,5 ons, 0,75 ons, 0,25 kg dan 0,4 blok. Untuk membuat roti tawar dibutuhkan adonan yang terdiri atas telur, tepung terigu dan keju sebanyak 1 ons, 2 ons, dan 2 blok. Persediaan telur 100 ons, tepung terigu 75 ons gula halus 10 ons dan keju 12 blok. Berapakah idealnya perusahaan memproduksi roti tawar dan roti keju dengan biaya yang dikeluarkan minimal?

Contoh Soal

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Pak Fahmi adalah seorang pedagang asongan yang sedang memikirkan rencana usahanya. Setelah ditimbang terdapat tiga alternatif yaitu; menjual kerajinan bambu, dengan keuntungan per unit Rp. 9000, menjual rotan dengan keuntungan per unit Rp. 1500 dan menjual kertas dengan keuntungan per unit Rp. 1000. untuk masing-masing barang dagangan dibutuhkan dana sebesar Rp. 50.000, Rp. 12.000 dan Rp. 8000 dengan total anggaran tidak melebihi Rp. 250000 berdasarkan pantauan pak Muhammad diramalkan kemungkinan frekwensi penjualan kerajinan bambu adalah 4 kali, kerajinan kertas 5 kali frekwensi kerajinan bambu dan kerajinan rotan ¼ kali frekwensi kerajinan kerjtas

Pertanyaan

1. Buatlah variabel keputusannya2. Buatlah fungsi pembatas3. Buatlah fungsi tujuan4. Syarat-syaratnya

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Jawab an

Produk Constrain

Roti Tawar (X1) Roti Keju (X2) Kapasitas

Telur 1 1,5 100

Tepung 2 0,75 75

Gula halus 0 0,25 10

Keju 0,2 0,40 12

Biaya/bungkus 600 800

TEKNIK RISET OPERASIONAL

TEKNIK RISET OPERASIONAL

1. Variabel KeputusanX1 = Jumlah roti tawarX2 = Jumlah roti keju

2. Fungsi tujuanZmin = 600X1 + 800X2

3. Fungsi batasana. telur : 2,5X1 + 2X2 ≥ 100b. Tepung : X1 + 6X2 ≥ 75c. Gula : 3X1 ≥ 10d. Keju : 0,2X1 + 0,40X2 ≥ 12

4. SyaratX1, X2 ≥ 0

Jawaban

TEKNIK RISET OPERASIONAL

Produk Constrain

Bambu (X1)

Rotan (X2)

Kertas (X3)

Kapasitas

Dana 50000 12000 8000 250000

Frek X1 1 4

Frek X2 1 5

Frek X3 1 20

Frek/unit 9000 1500 1000

TEKNIK RISET OPERASIONAL

1. Variabel KeputusanX1 = Jumlah kerajinan bambuX2 = Jumlah kerajinan rotanX3 = Jumlah kerjainan kertas

2. Fungsi tujuanZmax= 9000X1 + 1500X2 + 1000 X3

3. Fungsi batasana. Dana : 50000X1 + 12000X2 + 8000X3 ≤ 250000b. Frek X1 : X1 ≤ 4c. Frek X2 : X2 ≤ 5d. Frek X3 : X3 ≤ 20

4. SyaratX1, X2, X3 ≥ 0