03 Cálculo Diferencial

Derivadasdirecionais

Derivadasparciais

Derivadas deordem superior

T. Schwarz

Classe Ck (A)

Diferenciabil.

Plano tang.

Diferencial

Gradiente

MatrizJacobiana

Derivada daComposta

Implıcita

Extremos

Campos escalares e vectoriais - Parte 2Analise Matematica 2

2o Semestre 2011/12

Versao de 16 de Maio de 2012

sandra.martins@adm.isel.pt

Derivadasparciais

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Extremos

Derivadas segundo um vector

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ int(Df ) entao

f ′~v (~a) = limλ→0

f (~a + λ~v)− f (~a)

representa a derivada de f segundo o vector ~v no ponto ~a(no caso do limite existir).

Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direcional de f , segundo o vector ~v no ponto ~a.

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Extremos

Interpretacoes:

f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica o declive da recta tangente aografico de f no ponto ~a que tem a direccao do vector v .

f ′~v (~a) (com ‖v‖ = 1) indica a taxa de variacao, ou seja, aquantidade de variacao por unidade na direccao de ~v , de fno ponto ~a.

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Extremos

Calcule:1 f ′~v (~a) para f (x , y) = x2y , ~v = (2, 1) e ~a = (1, 0).2 a derivada direccional de f (x , y) = x2 sin(2y),segundo o

vector ~v = (3,−4) no ponto ~a = (1, π2 ).3 a derivada de

f (x , y) =

{ xyx+y se x + y 6= 0

x se x + y = 0

segundo os vectores ~v1 = (1, 1) e ~v2 = (1,−1) no ponto~a = (0, 0).

4 a derivada direccional de

f (x , y) =

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

segundo o vector ~v = (1, 1) no ponto ~a = (0, 0).5 a derivada direccional de

f (x , y) =

{y 2 se x = 0y2

x se x 6= 0

segundo os vectores ~v1 = (0, 2) e ~v2 = (1, 2) no ponto~a = (0, 0).

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Extremos

Derivadas segundo um vector parafuncoes vectoriais

Definicao

~f : Df ⊂ Rn −→ Rm

~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))

e ~a ∈ int(Df ) entao

~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)

)representa a derivada de f segundo o vector ~v no ponto ~a(no caso dos limites existirem).

Nota: No caso em que ‖v‖ = 1 esta derivada chama-sederivada direccional de f , segundo o vector ~v no ponto ~a.

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Exercıcios

Calcule

1 ~f ′~v (~a) para~f (x , y , z) = (x − z , 2y)

com ~v = (1, 2, 0) e ~a = (1, 1, 1).

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Extremos

Definicao

As derivadas direccionais segundo os vectores da base canonicade Rn, chamam-se derivadas parciais.

No caso de n=2... os vectores da base canonica sao (1, 0) e(0, 1)...Chama-se derivada parcial em ordem a x a

∂x(a, b) = lim

λ→0

f (a + λ, b)− f (a, b)

(e a derivada direccional segundo o vector (1,0)).Chama-se derivada parcial em ordem a y a

∂y(a, b) = lim

λ→0

f (a, b + λ)− f (a, b)

(e a derivada direccional segundo o vector (0,1)).

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Extremos

Notas:

Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, navizinhanca (bola) desse ponto a funcao esta definida por:

apenas uma expressao: Regras de derivacao.mais do que uma expressao: Definicao de derivadaparcial.

Interpretacoes:

∂f∂x (a, b) indica o declive da recta tangente ao grafico de fno ponto (a, b) que e paralela ao eixo dos xx.∂f∂x (a, b) indica a taxa de variacao, ou seja, a quantidadede variacao por unidade de x, de f no ponto (a, b).

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Gradiente

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Extremos

Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ R.k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′

x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′

(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′

(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′

(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′(uv

u′v − uv ′

v 2(arcsin(u))′ =

u′√1− u2

(uα)′ = αuα−1u′, α ∈ Q� {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2(√

u(arctan(u))′ =

1 + u2

(ln(u))′ =u′

u(arccot(u))′ = − u′

1 + u2

(eu)′ = euu′ (|u|)′ =|u|u

u′ =u

|u|u′

(au)′ = au ln(a)u′, a ∈ R� {1} (cosh(u))′ = sinh(u)u′

(uv )′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′ (sinh(u))′ = cosh(u)u′

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Exercıcios

Calcule

∂f∂x (1, 2) e ∂f

∂y (1, 2) onde f (x , y) = x2y + 2exy .

as derivadas parciais de f (x , y , z) = exz + x sin(zy) + zx .∂f∂x (1, 1), ∂f

∂y (1, 1), ∂f∂x (0, 0) e ∂f

∂y (0, 0) onde

f (x , y) =

{x3+y3

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:

f (x , y) =

{ 4x2+y2 se x2 + y 2 > 4

ey−2 se x2 + y 2 ≤ 4

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Gradiente

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Extremos

Derivadas de ordem superior aprimeira

Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...

Derivadas quadradas:

∂x2=

)∂2f

∂y 2=

)Derivadas cruzadas:

∂x∂y=

)∂2f

∂y∂x=

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Exercıcios

1 Calcule as derivadas ate a 3a ordem das funcoes:

1 f (x , y) = 5xy 3 + 2x2y 2

2 f (x , y) = sin(x)y 5

2 Estude se para f (x , y) =√

16− x2 − y 2 eg(x , y) = x ln(x) + yex se tem que(

∂x(1, 1)

− ∂2g

∂x∂y(1, 14) +

∂x(1, 1) = 0.

3 Verifique que para g(x , y) = xyexy se tem que

x∂3g

∂x3+ y

∂y∂x2= 0

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Teorema de Schwarz:Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que

∂f∂x , ∂f

∂y e ∂2f∂x∂y existem numa vizinhanca (bola) de (a, b);

∂2f∂x∂y e contınua em (a, b).

Entao∂2f

∂y∂x(a, b) =

∂x∂y(a, b).

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Exercıcios

1 Confirme que o teorema se verifica no exercıcio anterior.

2 Seja

f (x , y) =

{xy(x2−y2)x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

1 Calcule ∂f∂x (x , y) e ∂f

∂y (x , y).

2 Calcule ∂2f∂x∂y (0, 0) e ∂2f

∂y∂x (0, 0).

3 Seja

f (x , y) =

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

1 Calcule ∂f∂x (x , y) e ∂f

∂y (x , y).

2 Calcule ∂2f∂x∂y (0, 0) e ∂2f

∂y∂x (0, 0).

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Definicao

Seja A um conjunto aberto contido no domınio de f .Uma funcao f diz-se de classe C k (k ∈ N0)em A se e so se fadmite derivadas ate a ordem k (inclusive)em A contınuas eescreve-se

f ∈ C k(A)

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Funcao (definida em R2)diferenciavel

Definicao (diferenciavel)

Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em (a, b) se existem as suasderivadas parciais (em x e em y) neste ponto e se

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f

∂y (a, b)k√

h2 + k2= 0

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Proposicao:Se f e g sao funcoes diferenciaveis entao f + g , f − g , f × g ,fg , (g(x) 6= 0,∀x) e f ◦ g sao diferenciaveis.

Exemplos de funcoesDIFERENCIAVEIS no seu dom. NAO DIFERENCIAVEIS• polinomios • modulo (em 0)• func. algebricas • mantissa (nao e contınua)• func. trigonometricas • por vezes as “unioes” nas• func. trigonometricas inversas funcoes def. por ramos• func. logarıtmicas e exponenc. ......

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Exercıcios

Estude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:

1 f (x , y) = x2 + y 2 no ponto (1, 2).

2 Seja

f (x , y) =

{ √xy se xy > 00 se xy ≤ 0

no ponto (0, 0).

3 Seja

f (x , y) =

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

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Funcao escalar diferenciavel

Definicao (diferenciavel)

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e ~a ∈ intDf .Diz-se que f e diferenciavel em ~a se existem as suas derivadasparciais neste ponto e se

lim(h1,...,hn)→(0,...,0)

f (~a + h)− f (~a)− ∂f∂x1

(~a)h1 − ...− ∂f∂xn

(~a)hn√h2

1 + ...+ h2n

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Propriedades das funcoesdiferenciaveis

Seja f : D ⊂ Rn −→ R, ~a ∈ intDf

f diferenciavel em ~a ⇒ f contınua em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. na Bε~a

}⇒ f dif. em ~a.

f ∈ C 1(~a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.

f e diferenciavel em ~a ⇒ f admite derivada segundoqualquer direccao em ~a.

ou seja,

f nao e contınua em ~a ⇒ f n e diferenciavel em ~a.f tem n − 1 der. parc. cont. em ~aexistem todas as der. parc. em ~a

}⇒ f dif. em ~a.

f ∈ C 1(a) ⇒ f e diferenciavel em ~a.

f nao admite derivada segundo alguma direccao ema ⇒ f nao e diferenciavel em ~a.

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ExercıciosEstude a diferenciabilidade das seguintes funcoes nos pontosindicados:

1 Seja

f (x , y) =

{ 2x−3yx+y se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

2 Seja

f (x , y) =

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

3 Seja

f (x , y) =

x2+y2 se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

no ponto (0, 0).

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Plano tangente

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Vamos procurar determinar o plano tangente ao grafico def : R2 −→ R no ponto (a, b).Equacao do plano que passa no ponto (a, b, c):

A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0

Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouseja,

A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0

z − f (a, b) = −A

C(x − a)− B

C(y − b)

chamando λ1 = −AC e λ2 = −B

C temos

z − f (a, b) = λ1(x − a) + λ2(y − b)

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Extremos

Quando “cortamos” em y = b obtemos

z − f (a, b) = λ1(x − a)

que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos xx’s, portanto o seu declive e ∂f

∂x (a, b) = λ1.Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos

z − f (a, b) = λ2(y − b)

que e a recta tangente ao grafico de f que e paralela ao eixodos yy’s, portanto o seu declive e ∂f

∂y (a, b) = λ2. Assim, aequacao e

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂y(a, b)(y − b)

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Gradiente

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Resumindo:A equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(a, b, f (a, b)) e:

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂y(a, b)(y − b)

Exercıcio: Determine o plano tangente:

1 ao grafico da funcao f (x , y) = 2x2 + y 2 em P=(1,1,3).

2 a superfıcie de equacao z − 2x2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18).

3 a superfıcie de equacao z = 1− x2 em P=(0,0,1). (verfig.)

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Gradiente

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Extremos

Nota: Repare que se f e diferenciavel no ponto (a, b)

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f∂x (a, b)h − ∂f

∂y (a, b)k√

h2 + k2= 0

como lim(h,k)→(0,0)

√h2 + k2 = 0 tem-se que (ainda com

“mais forca”)

lim(h,k)→(0,0)

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f

∂x(a, b)h− ∂f

∂y(a, b)k = 0

donde, para h e k pequenos

f (a + h, b + k)− f (a, b)− ∂f

∂x(a, b)h − ∂f

∂y(a, b)k ≈ 0

ou seja:

f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂y(a, b)k

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Gradiente

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Extremos

f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂y(a, b)k

fazendo x = a + h e y = b + ktem-se, para (x , y) proximos de (a, b), que

f (x , y) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂y(a, b)(y − b)

Ou seja, f (x , y) e aproximadamente igual ao plano tangentepara (x , y) proximos de (a, b).Portanto podemos usar o plano tangente como umaaproximacao (por um polinomio de grau 1) ao grafico de fnuma vizinhanca (bola) do ponto.

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Gradiente

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Diferencial

Se f e diferenciavel em (a, b)

f (x , y)− f (a, b) ≈ ∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂y(a, b)(y − b)︸︷︷︸

∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)

para x “proximo” de ae y “proximo” de b.

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Gradiente

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Gradiente

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Extremos

Exercıcios

1 Calcule um valor aproximado de e1.1×0.9.

2 Calcule um valor aproximado de√

9× (1.95)2 + (8.01)2.

3 Seja g ∈ C 1(R2) tal que

x=2.00 x=2.01

y=3.00 7.56 7.42

y=3.02 7.61

Calcule o valor em falta. (Sugestao: use estimativas para∂g∂x (2, 3))

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Gradiente

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O gradiente

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente def no ponto ~a por:

~∇f (~a) =

∂x1(~a), · · · , ∂f

∂xn(~a)

Exercıcio: Calcule ~∇f (1, 2) onde f (x , y) = y ln(x) + xy 2.

http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html

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Gradiente

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Aplicacao do gradiente: derivadasegundo a direcao de ~v

Proposicao

Se f : Df ⊂ Rn −→ R e diferenciavel em ~a ∈ int(D) e ~v e umvector de Rn entao a derivada de f segundo a direcao de ~ve dada por

f ′~v (~a) = ∇f (~a)|~v

onde | significa produto interno.

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Gradiente

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Extremos

Exercıcios:

Calcule:

1 A derivada de f (x , y) = x2e−2y no ponto A = (2, 0),segundo o vector ~v = (1, 2).

2 A derivada direccional de f (x , y) = x3 + xy segundo ovector ~v = (1, 3) no ponto (1, 2).

3 A derivada de f (x , y) = 3x2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),na direccao de P =

4 , 0)

para Q = (0, 1).

4 Determine a taxa de variacao de

f (x , y) = 2x2 + 3xy − 2y 2

no ponto (1,−2) na direccao do ponto dado a origem.

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Gradiente

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Implıcita

Extremos

Nota: Se o vector ~v e unitario (tem norma 1), a derivadadireccional de f no ponto ~a segundo a direccao do vector ~v :

f ′~v (~a) = ~∇f (~a)|~v =∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥ ‖~v‖ cos(α) =∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥ cos(α)

onde α e o menor angulo formado pelos vectores ~∇f (~a) e ~v .Entao:

f ′~v (~a) e nula quando ~v e ~∇f (~a) sao perpendiculares, ouseja, o vector gradiente e perpendicular as linhas denıvel.f ′~v (~a) e maxima quando α = 0, ou seja, quando ~∇f (~a) e~v sao dois vectores com a mesma direccao e sentido, e o

seu valor e∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥. Assim a direccao de crescimento

maximo de f e dada por ~∇f (~a).f ′~v (~a) e mınima quando α = π, ou seja, quando ~∇f (~a) e~v sao dois vectores com a mesma direccao e sentidos

contrarios, e o seu valor e −∥∥∥~∇f (~a)

∥∥∥. Assim a direccao

de crescimento mınimo (maximo negativo) de f edada por −~∇f (~a).

Derivadasparciais

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Exercıcios I

1 Seja f (x , y) = 2x2y + exy uma funcao diferenciavel no seudomınio.

1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-ograficamente.

2 Calcule f ′(1,1)(1, 0).

3 Determinar um vector unitario ~u de modo quef ′~u(−1, 0) = 1

2 .4 Qual o valor maximo da derivada direccional de f no ponto

(1, 1)?

2 Considere o campo escalar f (x , y) = ex2+y − 2xy .

1 Calcule as funcoes derivadas parciais de primeira ordem def e justifique que f ∈ C 1(R2).

2 Determine os vectores segundo o qual a taxa de variacaode f no ponto (1,-1) e nula.

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Exercıcios II3 Numa placa semi-circular x2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 a

temperatura e dada pela lei

T (x , y) = 3yx2 − x3 + 60

Determine um vector no ponto P = (1, 1) tangente aisotermica que passa nesse ponto.

4 Considere o campo escalar definido em R2 por

f (x , y) = x2e−2y

e o ponto P = (−2, 0). Determine

1 A direcao segundo a qual a funcao cresce maisrapidamente em P.

2 O valor maximo da derivada direcional no ponto P.3 A direcao segundo a qual f ′

~v (2, 0) = 0

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Derivada segundo a direcao de ~vpara funcoes vectoriais

Seja ~f : Df ⊂ Rn −→ Rm e ~a ∈ intDf onde~f (x1, ...xn) = (f1(x1, ...xn), ..., fm(x1, ...xn))

Para funcoes vectoriais temos que

~f ′~v (~a) =(f ′1~v (~a), ..., f ′m~v (~a)

)ou seja, se cada uma das funcoes componentes for diferenciavel~f ′~v (~a) =(∂f1∂x1

(~a).v1 + . . .+ ∂f1∂xn

(~a).vn, . . . ,∂fm∂x1

(~a).v1 + . . .+ ∂fm∂xn

(~a).vn)

Matricialmente:

~f ′~v (~a) =

∂f1∂x1

(~a) . . . ∂f1∂xn

(~a)...

......

∂fm∂x1

(~a) . . . ∂fm∂xn

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Extremos

Jacobiana e Jacobiano

Definicao

Chama-se matriz Jacobiana de ~f em ~a a

J~f (~a) =

∂f1∂x1

(~a) . . . ∂f1∂xn

(~a)...

......

∂fm∂x1

(~a) . . . ∂fm∂xn

Se m = n, o determinante da matriz Jacobiana pode sercalculado e chama-se o Jacobiano.

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Extremos

Exercıcios

1 Seja ~f (x , y) =(ln(4− x2 − y 2,

√y − x

)calcule a matriz

Jacobiana de ~f no ponto (0, 1) e verifique que o Jacobianonesse ponto e −1

2 Considere a funcao vectorial ~f : Df ⊂ R2 −→ R2 cujasfuncoes componentes sao

f1(x , y) =2x

y − 2

ef2(x , y) = ln(y − x + 2)

calcule a derivada parcial de f segundo o vector (0, 1) noponto (1, 1).

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Extremos

Revisao (em R)

[sen(x2)]′ = cos(x2).2x

pois[f (g(x))]′ = f ′(g(x)).g ′(x)

ou seja, num ponto a

[f (g(x))]′(a) = f ′(g(a)).g ′(a)

desde que f seja diferenciavel em g(a) e g em a.

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Extremos

Regra da Cadeia- versao 1

Sejam~g : Dg ⊂ Rn −→ Rp

e~f : Df ⊂ Rp −→ Rm

duas funcoes vectoriais.Se g e diferenciavel em ~a ∈ intDg ee f e diferenciavel em ~g(~a) ∈ intDf

entao~h = ~f ◦ g : Dh ⊂ Rn −→ Rm e diferenciavel em ~a e tem-se:

J~h(~a) = J~f (~g(~a))× J~g (~a)

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Exercıcios

1 Sejam~f (x , y , z) = (xy , yz)

e~g(u, v) = (2u + v 2, 3u2 − v).

Sendo ~h = ~g ◦ ~f calcule J~h(0, 1, 0).

2 Sejam~f (x , y , z) = (x2 + y 2, y 2 + z2)

~g(u, v ,w , s) = (2uw + (sv)2, 3su2 − vw , uvws).

Sendo ~h = ~f ◦ ~g calcule J~h(0, 1, 1, 0).

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Extremos

Regra da cadeia- versao 2

Suponhamos que f (x , y) e uma funcao diferenciavel e quex = x(u, v) e y = y(u, v) sao duas funcoes diferenciaveis,entao g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) e uma funcao diferenciavelde u e v , tendo-se

∂u=∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)).

∂u(u, v)+

∂y(x(u, v), y(u, v)).

∂u(u, v)

∂v=∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)).

∂v(u, v)+

∂y(x(u, v), y(u, v)).

∂v(u, v)

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Extremos

Exercıcios: I

1 Sejam f (u, v) = u3 + uvcom u(x , y) = xy 2 e v(x , y) = x sin(y),calcule ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y) (pelos dois metodos).

2 u(x , y , z) = x + 2y + 3z comx(t) = t2 − 2t, y(t) = cos(1− t) e z(t) = 1

Calcule ∂u∂t para t = 1.

3 Sejam f (u, v) = u2v 3

com u(x , y) = x + y e v(x , y) = x2 − y 2,calcule ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y).

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Extremos

Exercıcios: II4 Verifique que a funcao

z = xy + xϕ

)satisfaz a equacao

∂x+ y

∂y= xy + z

5 Seja f uma funcao diferenciavel. Prove que

z = xy + f (x2 + y 2)

satisfaz a equacao

∂x− x

∂y= y 2 − x2

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Exercıcios: III6 Seja h : IR2 −→ R uma funcao de classe C 1(R2) e

g(s, t) = h(s2 − t2, t2 − s2).

1 Mostre que

∂s+ s

∂t= 0

2 Supondo que Jh(3,−3) = [2 5] calcule Jg (2, 1).

7 Seja f uma funcao real de variavel real continuamentediferenciavel ate pelo menos a 2a ordem e seja

u = xy + f (z)

com z = yx2 e x 6= 0. Mostre que

∂y 2=

∂z2.

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Extremos

Exercıcios: IV8 Sabendo que

ϕ(x , y) =y 2

x+ ln(y)

)onde ϕ e θ sao funcoes de classe C 2, no respectivodomınio, mostrar que:

∂2ϕ

∂y∂x+

∂2ϕ

∂x2+

∂x= 0

9 Seja ~F : IR2 −→ R3 uma funcao diferenciavel tal que

~F (0, 1) = (1, 1, 0), J~F (0, 1) =

1 00 11 0

G (u, v ,w) = uevw + uvw .Calcule (G ◦ F )′(0, 1)

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Extremos

Exercıcios: V

10 Considere f : IR2 −→ R uma funcao diferenciavel tal quef (u, 0) = 0 e f (0, v) = v , ∀u, v ∈ R e

~g(x , y) = (x2 − x − y , y 2 − x − y)

1 Mostre que h = f ◦ ~g e diferenciavel em R2

2 Calcule Jh(2, 2).

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Teorema da Funcao Implıcita (TFI)Consideremos ~x ∈ Rn, u ∈ R, a equacao F (~x , u) = 0 e A umconjunto aberto que contem (~x0, u0). Se

F (~x0, u0) = 0

F ∈ C 1(A)[as der. parciais de F sao contınuas em A]∂F∂u (~x0, u0) 6= 0

Entao, numa vizinhanca V de ~x0, u = u(~x), u ∈ C 1(V ) tal queu0 = u(~x0) e F (~x , u(~x)) = 0.Alem disso,

∂xi(~x0) = −

∂F∂xi

(~x0, u0)∂F∂u (~x0, u0)

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Exercıcios

1 Mostre que a equacao x2z + 3xz2 = 4xy definex = φ(y , z) numa vizinhanca do ponto (0, 1, 0). Calcule∂x∂y (1, 0).

2 Determine para que valores de k a equacaox2 + yz + z2 + xz = 7 define z = φ(x , y) numa vizinhancado ponto (2, 0, k). Calcule ∂z

∂y (2, 0).

3 Mostre que a equacao(x2 + y 2

)exy = 1 define

implicitamente y como funcao de x , y = φ(x), navizinhanca do ponto (0, 1).

4 Seja h(x , y) = xy + cos(x). Mostre que a equacaoh(x , y) = π

2 define localmente y = φ(x) numa vizinhanca

do ponto(π2 , 1). Determine ∂y

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Vimos atras que para uma funcao z = f (x , y) diferenciavel em(a, b) existe um plano tangente definido pela equacao

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂y(a, b)(y − b)

Consideremos que se tem uma equacao

F (x , y , z) = 0

que define implicitamente z como funcao de x e y navizinhanca de um ponto (a, b, c) entao,

∂x(a, b) = −

∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

∂y(a, b) = −

∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

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Substituindo na equacao do plano tangente:

z − f (a, b) = −∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

(x − a)−∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

(y − b)

∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

(x − a) +

∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

(y − b) + z − c = 0

∂x(a, b, c)(x−a)+

∂y(a, b, c)(y−b)+

∂z(a, b, c)(z−c) = 0

∂x(a, b, c),

∂y(a, b, c),

∂z(a, b, c)

)|(x−a, y−b, z−c) = 0

∇F (a, b, c)|(P − P0) = 0,

com P = (x , y , z) e P0 = (a, b, c).

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Portanto o plano tangente e o conjunto dos pontosP = (x , y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vectores P − P0

perpendiculares ao vector gradiente.

Nota: O vector gradiente e perpendicular ao plano tangente aografico.

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A recta normal a superfıcie de equacao F (x , y , x) = 0 noponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direccao do vectorgradiente , pelo que e definida pelas seguintes equacoes:

x-a=λ∂F∂x (a, b, c)

y-b=λ∂F∂y (a, b, c), λ ∈ R

z-c=λ∂F∂z (a, b, c)

(equacao parametrica da recta normal a superfıcie)

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Exercıcios

1 Considere a superfıcie de equacao x2 + y 2 − z2 = 6 e oponto P = (3,−1, 2).

1 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie em P.2 Determine a equacao da recta normal a superfıcie em P.

2 Considere a equacao

xyz sin(xyz)− π

1 Verifique que a equacao dada define implicitamente umafuncao z = φ(x , y) numa vizinhanca de P = (1, 1, π2 ).

2 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie noponto P.

3 Determine a equacao da recta normal a superfıcie noponto P.

4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9)considerando π

2 ≈ 1.57.

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Extremos

Definicao:Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a ∈ Df

f (~a) e um maximo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que

f (~a) ≥ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).

f (~a) e um mınimo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que

f (~a) ≤ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).

O maior dos maximos relativos e o maximo absoluto.O menor dos mınimos relativos e o mınimo absoluto.Chamam-se extremos aos maximos e aos mınimos de f .A ~a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f .

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Extremos

Chamam-se pontos crıticos ou pontos de estacionaridadeaos pontos que verificam o sistema:

∂f∂x1

= 0...

∂f∂xn

Os extremos encontram-se entre os pontos crıticos.Os pontos crıticos que nao sao extremos sao pontos de sela.

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Gradiente

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Gradiente

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Extremos

A matriz Hesseana de f e:

[∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

Sejam ∆1 = ∂2f∂x2 ,∆2 = det(Hf ) , entao:

∆2 > 0,∆1 > 0,→ Mınimo local.

∆2 > 0,∆1 < 0,→ Maximo local.

∆2 < 0 → Ponto de sela.

∆2 = 0 → Nada se conclui.

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Exercıcios I

Calcule e classifique os extremos de

1 f (x , y) = y 2 − x2.

2 f (x , y) = e−x2+4y2

3 f (x , y) = (x − y)2 − x4 − y 4.

4 f (x , y) = y + x sin y (dif).

5 f (x , y) = 3x2 − y 2.

6 f (x , y) = y3

3 + 12y − 4x + x3

3 −72 y 2 + 4.

7 f (x , y) = x2 + y 2 + x2y + 4.

8 f (x , y) = 4xy − 2x2 − y 4.

9 f (x , y) = xy 2 + x2 + y 2.

10 f (x , y) = x3 + 3x2 − 9x + y 3 + 3y 2.

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Exercıcios II

1 Uma empresa produz dois produtos que sao vendidos emdois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidaspelos consumidores e os precos de cada produto estaorelacionados. O lucro total da producao e dado porL = −10 + 5q1 − q2

1 + 20q2 − 2q22 − 3q1q2. Determine a

quantidade a produzir de cada produto de modo amaximizar o lucro.

2 Um mıssil tem um controlo remoto que e sensıvel atemperatura e a humidade. O alcance sobre o qual omıssil pode ser controlado e dado, em km, por:

A(h, t) = 27800− 5t2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300h

Quais sao as condicoes atmosfericas optimais paracontrolar o mıssil?

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Exercıcios III

3 Suponha que pretende transportar 2m3 de parafusos emcaixas como a da figura, com largura l, comprimento c ealtura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam a10e/m2 e o fundo a 20e/m2. O custo de transportaruma caixa e de 3. Qual a largura e o comprimento dascaixas a comprar de modo a minimizar os custos?

Determine apenas o sistema que teria que utilizar pararesolver o problema. (Como o sistema nao e linear nao efacil encontrar a solucao.)

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Exercıcios IV

4 Determine os valores extremos da funcaof (x , y , x) = x − 2y + 2z2 sobre a esfera x2 + y 2 + z2 = 1.

5 Dado um paralelepıpedo de lados x,y e z, determine o quetem maior volume entre os que x+y+z=10.

6 Qual o rectangulo de maior area inscrito na elipse2x2 + 3y 2 = 1.

7 Determine a distancia maxima e mınima do ponto (1, 1) aparabola y = x2 + 1.

8 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva5x2 + 6xy + 5y 2 = 8.

9 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva2x2 + 3y 2 = 1.

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Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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