Post on 28-Jun-2022
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Una función se dice que es una de una función en un intervalo cerrado I si ' . Observar que si donde es alguna
constante entonces es una antiderivada de f pues '' .
Del teorema del valor medio(5.19) se tiene que si es una función tal que 0'para todo x I (intervalo) entonces es constante en I.
Si y son dos antiderivadas de f en un intervalo I entonces existe una constante C tal que .
El item (2) nos indica que las antiderivadas de una función f se ferencian solo en una constante. Luego si es una antiderivada de entonces es llamada la
notar que es una familia de funciones pues varía con cada antiderivada.
El proceso para hallar la antiderivada mas general es llamado escribiremos: = ' = f(x)+ ó
= G(x)+ ; G’(x)=g(x).
Donde: - es llamado .
- se llama ò . - es la .
= x+C.
En general n =1
1
+C, n ? -1, n
Si 1 ,….., son funciones definidas en un intervalo y 1 ,…., constantes:
Entonces: ................. 1111
1) Obvio pues si F(x)=1
1
+C
F’(x)=2) Se sigue por inducción veamos para = 2
Por demostrar 2211211
8.1. ANTIDIFERENCIACION Ó INTEGRAL INDEFINIDA.
Definición 8.1. antiderivada
Observación:1)
2)
3)
antiderivada mas general de
Definición 8.2 integración
signo de integral
- 118 -
g(x) función integrante integrandox variable de integración
Teorema 8.1. ( Integrales iniciales )1.
2.
Demostración: F fxfxF Ix CxFxG C
G xGxF
f f xf
f
f g
CxGxF
xF F CxF
f CxF C
xfd dxxf C
dxxg C
dx
x dxn
x n
f nf a na
dxxfdxfadxfaxfa nnn
n
x n
nxn
dxxfaxfadxxfaxfa
( ) ( )= ∈ ( ) ( )+=( ) ( )=
( )=∈
( ) ( )+=
( ) ( )+
( )+
( )( )∫ ( )∫( )∫
∫
∫
∫
∫ +
+
∈
( )[ ] ( )∫∫∫ ±±=±
+
+
⇒
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=+
Q
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Si )(][ 1111 2211''
111 1111 ''
222 2222 ''
Por definición: 22112211
42221
4212
24243
2
1
25
3
3
2 252/33/2
Sea u una función diferenciable de x. Si f es una función definida en u(x) con antiderivada F
entonces:
Si pero )('))(('''
)2(21
21
2 22
Cambiando: 2
12 ,
2 y
2/3
3
2 Antiderivada mas general
3
221
21
2 222/3
21
32
: Consideremos la función tal que '
entonces '' ' ecuación diferencial.
21
; 12
Como ya vimos se tiene una familia de funciones de pendientes de C que se pueden representar en el plano y cada punto (x1, y1) pertenece a una sola curva.
( ) ( )∫ +=+ ⇒ ( ) ( )( ) +=+=
( ) ( )( )+=∫ ⇒ ( ) ( )( ) ( )=+=
( ) ( )( )+=∫ ⇒ ( ) ( )( ) ( )=+=
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=+
+++=++
+
=
++∫
( )( ) +++=++∫
( ) ( )∫ +=
( ) ( )( )+= ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )==⇒=
∫∫ +=+
( ) +=
= ( )=
( ) +=⇒
⇒ ( ) ( )+==+=+ ∫∫∫ +
+=
( )= ( ) ( )=
( ) ( )=== ⇒ ( ) ( )=⇒=
( )∫ ∫= ⇒ ( )+=+
⇒ ( )+= −=
CxFdxxfaxfa fafaCxFxF
cxGadxxfa xfacxGaxGa
cxHadxxfa xfacxHaxHa
dxxfadxxfadxxfaxfa
Cxxx
Cxxx
dxxx
Cxxx
dxxxx
CuFduuf
CxuFxG xuxufxuxuFxGxufxuF
xdxxdxxx
xxu
xdxdu uuf
CuuF
CuFduufxdxxdxxx Cx
xgy xfxg
yxfdx
dyxg dxxfdydxxfdxy
dxxfdy cxgcy
cxgy ccc
Ejemplo:
1)
2)
Teorema 8.2. (Regla de la cadena para la integral indefinida).
Demostración:
Ejemplo:
- 119 -
8.2. ANTIDIFERENCIACIÓN EN ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES.
1.- Ecuaciones diferenciales con variables separadasi)
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
c = -1
c = 0
c = 1
c = 2
Se quiere la solución completa de la ecuación diferencial 2Luego encontrar la solución particular que satisfaga la condición (x1, y1) = (2,6).Según lo anterior 2
21
2 es la solución completa de la ecuación diferencial.
Para la solución particular:
2
26,2,2
11
Consideremos la función tal que: ''''
Entonces 1'''' 11 '''
21 depende de dos parámetros.
Encontrar la solución completa de la ecuación diferencial.
342
2
ó sea 34' integrando 12 32 de aquí
12 32 integrando se tiene 21
23
2
3
3
2
Consideremos la ecuación diferencial '
Esta puede solucionarse multiplicando por
Ósea '
Como ya sabemos el movimiento de una partícula a lo largo de una recta es dado por la
función del tiempo = ( ), la velocidad instantánea y la aceleración instantánea se
pueden determinar a partir de ' y ''2
2
Luego con algunas condiciones de frontera es posible determinar la ecuación del movimiento por integración.
Una partícula se mueve en la línea recta, s es la distancia instantánea dirigida de la partícula desde el origen en t segundos, v esta en p/seg. De la partícula en t segundos y a esta en p/seg2 y a = 2t-1, s = 3, s = 4 cuando t es igual a 1 expresar v y s en función de t.
Ejemplo:
ii)
Ejemplo:
iii)
- 120 -
2.- Integración y movimiento rectilíneo.
Ejercicio
Solución:
xdxdy
cxcy
cxy
xy
cyx
xgy yxfxg
cxgydxxfdxydxcdxxgdxcxgdxy
cxcxgy
xdx
yddxxdy cxxy
dxcxxdy cxcxxy
yyg
xf
dx
dy
dxyg
dxxfdyygdxxfdxyyg dxxfdyyg
s f t
tfdt
dsv tf
dt
dv
dt
sda
=
+==
⇒ +=
( ) ( )+=⇒
=⇒=
( )= ( ) ( )==
( ) ( )+=⇒=⇒ ( )( ) ( ) +=+=⇒ ( ) ++=
+= ( )+= ++=
( )++= +++=
( )( )
==
( )( ) ( ) ( ) ( )=⇒= ( ) ( )∫ =⇒
( )== ( )===
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Como 1212 22
Sustituyendo v=3, t = 1 3 = 1-1+c1 , c1 = 3
También 33 222
23 32
1
3
1
Sustituyendo s = 4, t = 1 c2 = 7/6 se tiene la distancia s en función de t
6
73
2
1
3
1 23
:
Si 1 sabemos ;1'
Entonces: ;1
1
, 1
Si sabemos '
Entonces:
Si Sabemos '
Entonces:
Si Sabemos 1
' ; u > 0
Entonces: 1
:
Si Sabemos cos'
Entonces: cos
Si cos Sabemos '
Entonces: cos
Si Sabemos 2sec'
Entonces: 2sec
Si Sabemos 2csc'
Entonces: 2
Si sec Sabemos sec'
Entonces: secsec
Si csc Sabemos csc'
Entonces: csccsc
Si sec Sabemos '
( )−=⇒−== ⇒ +−=
( )+−=⇒+−== ++−=⇒
( ) ++−=
( ) += ( ) ( ) ∈+=
∈++
=+
∫ −≠
( )= ( ) =
+=∫( )= ( ) =
+∫
( ) ( )= ( ) =
( )+=∫
( )= ( ) =
∫ +=
( )= ( ) −=
∫ +−=
( )= ( ) =
+=∫( )= ( ) −=
+−=∫( )= ( ) =
∫ +=
( )= ( ) −=
∫ +−=
( )= ( ) =
dttdvtdt
dva cttv
dtttdsttdt
dsv cttts
tttts
nuxF nundxxF n
nCn
uduu
nn n
uexF duedxxF u
Cedue uu
uaxF LnaduadxxF u
CLna
au
uLnxF duu
dxxF
CuLnduu
senuxF ududxxF
Csenuudu
uxF senududxxF
Cusenudu
tguxF ududxxF
Ctguudu
ctguxF ududxxF
Cctguuducsc
uxF utgududxxF
Cuutgudu
uxF uctgududxxF
Cuuctgudu
uLnxF tgududxxF
8.3. INTEGRALES INDEFINIDAS BÁSICAS.
Primer Bloque de formulas básicas
1)
2)
3)
4)
Segundo bloque de formulas básicas
- 121 -
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Q
Q
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Entonces: sec
Si Sabemos '
Entonces:
Si sec Sabemos sec'
Entonces: secsec
Si csc Sabemos csc'
Entonces: csccsc
Si Sabemos cosh'
Entonces: cosh
Si cosh Sabemos '
Entonces: cosh
Si Sabemos 2sec'
Entonces: 2sec
Si Sabemos 2csc'
Entonces: 2csc
Si sec Sabemos sec'
Entonces: secsec
Si csc Sabemos csc'
Entonces: csccsc
Si cosh Sabemos '
Entonces: cosh
Si Sabemos cot'
Entonces:
:
Si 1 sabemos 21
1'
Entonces: 1
21
1
Consecuencia:
11
2222 1
11
1
11; , a > 0
1
22
1 ; a > 0
∫ +=
( )= ( ) =
∫ +=
( ) += ( ) =
∫ ++=
( ) −= ( ) =
+−=∫( )= ( ) =
∫ +=
( )= ( ) =
+=∫( )= ( ) =
∫ +=
( )= ( ) −=
+=∫( )= ( ) −=
∫ +−=
( )= ( ) −=
+=∫( )= ( ) =
∫ +=∫( )= ( ) =
∫ +=
( ) −= ( )−
=
+=−
−∫
( ) +
=+=−
=
−
=−
−−∫∫∫ =
⇒ +
=+
−∫
CuLntgudu
senuLnxF ctgududxxF
CsenuLnctgudu
tguuLnxF ududxxF
CtguuLnudu
ctguuLnxF ududxxF
CctguuLnudu
senhuxF ududxxF
Csenhuudu
uxF senhududxxF
Cusenhudu
tghuxF uduhdxxF
Ctghuuduh
ctghuxF uduhdxxF
Cctghuuduh
huxF hutghududxxF
Chuhutghudu
huxF huctghududxxF
Chuctghuduhu
uLnxF tghududxxF
CuLntghudu
senhuLnxF ghududxxF
CsenhuLnctghudu
usenxFu
dxxF
Cusenduu
Ca
usenCzsen
zdu
a
a
udu
ua a
uz
Ca
usendu
ua
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
- 122 -
18)
Tercer bloque de formulas básicas
1)
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Si 1 sabemos 21
1'
Entonces: 121
1
Consecuencia:
22222 1
111
1
11 ; 0
1
= 11 11 1
22
11 ; a>0
Si 1sec sabemos 1
1'
2 ; u>0
Entonces: 1
2sec
1
1 a>0
Consecuencia:
22222
1
1
11
1
11: a > 0: u > 0
=1
1
112
: a > 0: u > 0
=1
112
;1
: a>0: u>0
= 11 sec1
sec1
; a > 0: u > 0 = 11 secsec ; a > 0: u > 0
Entonces: 1
22sec
11 ; a > 0: u > 0
Sean u y v definidas y diferenciables en un intervalo queremos hallar
Sabemos: 1 11
121 3121
; 32
Esta es llamada formula de .
Esta fórmula es muy útil para resolver muchas integrales solo tenemos que realizar una elección adecuada de y .A veces favorece escoger u talque al diferenciar se tenga simplificación.
2)
3)
- 123 -
8.4. INTEGRACIÓN POR PARTES.
integración por partes
Observación:1)
( ) −= ( )+
=
+=+
−∫
∫∫∫ +=
+
=+
= >
= ( ) +
=+ −− ⇒ +
=+
−∫
( ) −= ( )−
=
+=−
−∫
∫∫∫−
=
−
=
−
∫−
( )∫−
=⇒=
+
=+ −− +
=+ −−
+
=−
−∫
∫+=∫ ⇒ ( )( ) ( )++=+
( ) ( )∫ ∫ +−++=⇒ ∫ −−−++=
∫ ∫ +−=⇒ −=
utgxFu
dxxF
Cutgduu
dzza
dua
a
udu
ua a
uz a
dua
dz Ca
utg
aCztg
aC
a
utg
adu
ua
uxF duuu
dxxF
Cuduuu
dua
a
u
a
udu
a
a
uu
duauu
dua
a
u
a
ua
dzzza
dua
dza
uz
Cu
Cz Caa
Cza
Ca
u
adu
auu
udv
cvdv ducvudvcvud
ducvccvuudv cucvducucuv
cvduuvudv ccc
u dv
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Como ya vimos al hallar 1 , no es necesario considerar c1.
2 Consideremos , 2
1
3
3
1
332 1
33
31
3331
3
32
12
33
considerar ,
1
1coscos1
Considerar 1 , cos1
1 , 1
1
12
1cos
1
cos22
cos , cosh
1) Si m es un entero impar 012 estas integrales pueden resolverse:
coscos1coscos 22
cosh1coshcoshcosh 22
2) Si n es entero impar 012 los integrales pueden resolverse:
cos1coscoscos 22
cosh1coshcoshcosh 22
3) Si 0;0 enteros para las integrales se pueden resolver con: 21 2,2 .
2)
Ejemplo:
Ejemplo:
- 124 -
8.5. INTEGRALES DE PRODUCTOS DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS.
a) Integrales de la forma:
∫ +=
∫ = =
= =
∫∫ +−=⇒
+
−=⇒++
−= ∫
∫ = =
= −=
∫ ∫ ++−=⇒
= =
= =
+
+−+−=⇒ ∫ ∫
( )∫ +−+
=⇒
∫ ∫
>+=
( ) ( )∫ ∫ ∫ −==
( ) ( )∫ ∫ ∫ −==
>+=
( )( ) ( )( )∫ ∫ ∫ −==
( ) ( )∫∫ ∫ −==
>> ==
cvdv
Lnxdxx Lnxu dxxdv
dxx
dux
v
cdxx
xLnx
xLnxdxx
cLnxx
Lnxdxxccx
Lnxx
senbxeax axeu senbxdxdv
dxaedu ax senbxb
v
cbxdxeb
abxe
bsenbxdxe axaxax
axeu bxdxdv
dxaedu ax senbxb
v
ccsenbxdxeb
asenbxe
bb
abxe
bsenbxdxe axaxaxax
cbxbasenbxba
esenbxdxe
axax
xdxxsen nm xdxxsenh nm
km
xsenxdxxxsenxdxxsenxdxxsen nknknm
xsenhxdxxxsenhxdxxsenhxdxxsenh nknknm
kn
xdxxsenxsenxdxxxsenxdxxsenkmkmnm
xdxxsenhxsenhxdxxxsenhxdxxsenhkmkmnm
nm knkm
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
2
2cos1
2
2cos1coscos
2121 22
2
12cosh
2
12coshcoshcosh
2121 22
Desarrollando los últimos integrando obtenemos integrales del caso (1), (2) Y también (3) donde volvemos aplicar el proceso.
sec , sec
1) Si 12 entero impar positivo:
secsec1secsecsecsec 1212
secsecsec1secsecsec 1212
2) Si 2 entero par positivo:
212212 sec1secsecsec
212212 sec1secsecsec
csc , csc
1) Si 12 entero impar positivo.
csccsc1csccsccsccsc 121
2
csccsccsc1
csccsccsc
12
12
2) Si n = 2k entero par positivo.212212 csc1csccsccsc
212212 csc1csccsccsc
cos , , coscos
cosh , , coshcosh
Basta usar las formulas como: 2
1cos
22225 cos1
coscoscos21 42 53 cos5
1cos
3
2cos
b) Integrales de la forma:
c) Integrales de la forma:
- 125 -
d) Integrales de la forma:
Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫
+−==
( ) ( ) ( ) ( )+−==∫ ∫ ∫
∫ ∫
+=
( ) ( )∫ ∫ ∫ −− −==
( ) ( )∫ ∫ ∫ −− −==
=
( ) ( )∫ ∫ ∫−−
+==
( ) ( )∫ ∫ ∫−−
−==
∫ ∫+=
( ) ( )∫ ∫∫ −−
−==
( )( )∫
∫ ∫−
−
+=
=
∫
( ) ( )∫ ∫ ∫−−
+==
( ) ( )∫∫ ∫−−
−==
( ) ( )∫ ( ) ( )∫ ( ) ( )∫( ) ( )∫ ( ) ( )∫ ( ) ( )∫
( ) ( ) ( ) ( )[ ]+−−=
( ) ( )∫ ∫ ∫ −==
( ) ( )∫ +−−= +−+−=
dxxx
dxxxsenxdxxsenkk
kknm
dxxx
dxxxsenhxdxxsenhkk
kknm
xdxtg nm xdxhtgh nm
km
xdxxtgxxxdxxtgxxtgxdxxtg nknknm
hxdxxtghxhxhhxdxxtghxhxtghxdxhxtgh nknknm
kn
xdxxtgxtgxdxxxtgxdxxtgkmkmnm
xdxhxtghxtghxdxhxhxtghxdxhxtghkmkmnm
xdxxctg nm xdxhxctgh nm
km
xdxxctgxxxdxxctgxxctgxdxxctg nknknm
hxdxxctghxhxh
hxdxxctghxhxctghxdxhxctgh
nk
nknm
xdxxctgxctgxdxxxctgxdxxctgkmkmnm
xdxhxctghxctghxdxhxhxctghxdxhxctghkmkmnm
dxnxmxsen dxnxsenmxsen dxnxmx
dxnxmxsenh dxnxsenhmxsenh dxnxmx
xnmsenxnmsennxmxsen
senxdxxsenxdxxsenxdxsen
xdxx kxxx
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
3cos3 42 Considerar :2
6cos132 ,
2
6cos13cos 2
2
6cos12
6cos13cos3 42
6cos168
16cos16cos1
8
1 22
18
62
cos181
6cos6681 32
22
144
6
24
12
16
3
6sec considerar: 22 1sec
Entonces 246 secsecsec
42222 21sec1
2/92/52
11
2
7
4
3
2 2/112/72/3
Dado ,, dos polinomios:
Si /,
O sea integrando: O sea integrando:
La 1ra integral del 2do miembro es fácil de hallar, aquí estudiaremos
Consideremos la función racional
Tal que (función racional propia).
Si se expresa como producto de expresiones de la forma:1
112
12
11 ,,, ; 04;04 112
12
Usando fracciones parciales siempre es posible expresar como una suma de expresiones de la forma.
,,,,11
21
112
11
donde:
1) Por cada factor lineal en habrá un solo termino en la suma .
2) Por cada factor lineal 11 en habrá una suma de n términos:
Ejemplo:
Ejemplo:
8.6. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES.
i) Usando fracciones parciales.
- 126 -
( ) ( )∫ ( ) −= ( ) +
=
( ) ( )
+
−=∫ ∫
( )( ) ( )∫ ∫ +=+−=
[ ]
++
−=+= ∫∫ ∫
++−=
∫ +=
∫ ∫=
( ) [ ] ( )∫ ∫ ++=+=
( ) ( )∫ ++=
+++=
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+=∃⇒<
( )( )
( ) ( )( )
+=( )( )
( ) ( )( )∫ ∫ ∫+=
( )( )
( )+=
( )( )
( )∫ ∫ ∫+=
( )( )∫
( ) ( )( )
=
( ) ( )<( )
( ) ( )( )++++++ <−<−( ) ( )
( ) ( )++
+
++
+
++
+ ( )+
( )
( )+ ( )
dxxxsenx
xsenx
x
dxxx
dxxxsen
dxxxsendxxx
Cxsen
dxxdx
xdxxsenxdxsen
Cxsenxsenx
xdxtgx xtgx
xdxxtgxxdxtgx
tgxdxtgxtgtgxxdxxtgtgx
tgxdxtgxtgtgx
Cxtgxtgxtg
xgxf
xrxgxqxfrqfgradggrad
xg
xrxq
xg
xfdx
xg
xrdxxqdx
xg
xf
xgxq
xgdx
xgdxxqdx
xg
dxxg
xr
xg
xrxh
ggradrgrad
xgnn
exdxcedxcxbxabax ecdced
xh xS
jiexdxc
DxC
edxcx
DCX
bxa
B
bax
A
bax xgbax
AxS
nbxa xg
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
11
211
1
11
1 en la suma .
3) Por cada factor cuadrático 2 ; 042 en habrá un solo termino
2 en la suma .
4) Por cada factor cuadrático 1
112
1 ; 04 112
1 en g(x) habrá una
suma de n, términos 1
112
1112
1
11 en la suma .
Para hallar los ,,, ,2,1
- Igualamos coeficientes en los numeradores de ó
- Como la igualdad vale en el recorrido de damos valores adecuados.
Finalmente:
Para: 22 1
1
Consideremos: 22
222
1122 111
1
Debemos iguales coeficientes en los numeradores de
22
222
11
22
22 1
11
1
1
222
11
22 111
212
213
14
1 21
0,1,0,1,1 2211
Por tanto.22222 11
1
1
1
12
1
121
22
2
Se quiere la integral ; , polinomios
Donde es una fracción racional propia.
Si 211
21
11 donde los factores lineales
cuadráticos irreducibles pueden estar repetidos. Usando fracciones parciales siempre es posible expresar:
2
2
1
1 …………………………………….…. ( )
( ) ( )+++
++
+( )
++ <− ( )
++
+ ( )
( )++ <− ( )
( )++
+++
++
+ ( )
=
( ) ( )=
( )
( ) ( )( )
( )∫ ∫ ∫==
( )∫+
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )=+
++
+
++=
+==
( ) ( )=
( )( ) ( )( ) ( )
( )+
++++++=
+
( ) ( )( ) ( )++++++=⇒
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ++++++++=
=−==−==⇒
( ) ( )∫ ∫
+−
+−=
+ ( )++
++
=
( )( )∫ ( ) ( )
( ) ( )( )
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )++++−−=
( )( )
( )( )
( )( )∫ ∫+=
nn
bxa
B
bxa
B
bxa
BxS
edxcx ced xg
edxcx
DCxxS
nexdxc ecd xg
nnn
exdxc
DxC
exdxc
DxCxS
iiii DCBA i
xSxh
xh
dxxSdxxg
xrdxxh
dxxx
xSx
DxC
x
DxC
x
A
xxxg
xrxh
xSxh
xx
DxCxxDxCxxA
xx
DxCxxDxCxxA
AxDDxCCAxDxCA
DCDCA
dxx
x
x
x
xdx
xxC
xx
xLn
dxxg
xfxgxf
xg
xfxh
sr
ssr qxpxqxpxaxaxxg i
dxxg
xf
xg
xfdx
xg
xf
KKK
KKK
KK
KK
Ejemplo:
- 127 -
ii) Usando el método de Hermite.
bbaa
*
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
El polinomio 1 es el máximo común divisor entre el polinomio y su derivada ' .
Donde 1
2 )( en la cual ya no se repite ningún factor.
Para hallar 21 , cuyos grados son menores en una unidad a lo más que los grados de
los polinomios 21 , ; se derivan ambos miembros de (*) y se igualan coeficientes según el método estudiado anteriormente.
Para 22
2
84
242
Considerar: 848484
2422222
2
Derivando ambos miembros:
22
22
22
2
84
844284
84
242
Igualando coeficientes del numerador 10;3;5;0
42
5
84
103
84
2422222
2
=2
225
84
103 12
2
; n +
Podrían intentar resolverse usando la sustitución:1
2
1
Para 2/16 1
2/1233
2
2/1611
Hacemos 3 23
2/12 131
Hacemos 2
11
131
31
131 11
2
31 1
31
,,,1
1
Donde ,,,,,, 11
Podrían intentar resolverse considerando Mínimo común múltiplo ,,, 21
( ) ( ) ( )( )( )
=
( ) ( )( ) ( )
( )∫+−
+
( )∫ ∫ +−
++
+−
+=
+−
+
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )+−
+−+++−−+−=
+−
+
−====
( ) ( )∫ ∫ +−+
+−
−=
+−
+⇒ +
−+
+−
− −
( )∫++−
∈
=− −=⇒
( )∫−
( ) ( )( )∫ ∫−
=−
⇒ = ⇒ =
( )∫−
= −=⇒=
∫ +
−=+−=−
−= −− +
−= −
∫
++
++
∈
= ( )
xg xg xg
xg
xgxg
xfxf
xgxg
dxxx
x
dxxx
MKx
xx
BAx
xx
x
xx
xxMKxBAxxxxA
xx
x
BAMK
dxxxx
xdx
xx
xC
xtg
xx
x
rqxpxax
dxn
uax du
udx
xx
dx
xx
dxx
xx
dxxz dxxdz
zz
dzdu
udz
uz
Cz
senCusenu
duC
xsen
dxdxc
bxa
dxc
bxaxR
k
k
n
m
n
m
kk nnmm
n knnn
Ejemplo:
iii) Integrales del tipo
- 128 -
Ejemplo:
iv) Integrales del tipo
Z
Z
KK
KKKK
KK
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Luego hacemos el cambio de variables
Hallar 3/12/1 11
se tiene 6 ; m.c.m(2,3)
Hacemos 61 , 56
1
116
6
112
23
5
3/12/1
16632 23
116161312 662
Las integrales 2,
Pueden intentar resolverse como sigue:
a) Si 0 Hacemos 2
b) Si 0 Hacemos 2
c) Si el trinomio 2 tiene dos raíces reales ,
Hacemos 2 o
Para232
como 12232
Considerar 1232 12 2
Obteniéndose 2
2
1
2 , 221
2 ,
22
123
22 1222
22
1322 2
2
2
2
122
122
22
: ,,
Estas integrales se reducen al caso (iii) basta hacer la sustitución: 2 , 2 .
11 hacemos: 2
1 2
11
11
112
11
En (iv) 12
11 21
21
21 21
2
1 2
1
2
2
1 2
1 ,
2
1
2
11
22
12
1
nudxc
bxa
xx
dxn
ux duudx
duu
uuuu
duu
xx
dx
CuLnuuu
CxLnxxx
dxrqxpxxR
p uxprqxpx
r ruxrqxpx
rqxpx
xurqxpx xu
xxx
dxxxxx
xxx xx
u
ux
u
ududx
u
uxx
dudx u xx
u
du
xxx
dxC
u
uLn C
xx
xxLn
dxdcxbaxxR
baxu dcxu
xx
dxxu
uu
duu
xx
dx
uuu uuuuuu
uu
duu
udu
u
uu
u
uuuu
=+
+
( ) ( )∫ −+−=
=− =
( ) ( )∫ ∫ ∫
+
++−=+
=−+−
⇒
++−+−=
++−−−+−−−=
( )∫ ++
≥ +=++
≥ +=++
++
( )−=++ ( )−
∫+−
( )( )−−=+−
( )−=+− ⇒ ( )−=−
−
−=
( )−=
−=+−
− ( )−+−∫ ∫ −
−=+−
++
−=
( )( )
+−−−
−+−=
( )∫ ++
+= +=
∫ +++= ∫ ∫
+++=
+++⇒
+=+ ⇒ ++=+ ⇒−
=
⇒+
−=+
=+−
=+=+
Ejemplo:
v) Integración por sustitución de Euler:
Ejemplo:
- 129 -
vi) Integrales de la forma
Ejemplo:
ba
a b
m m
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
21
21
1
21
21
211
211 22
2
2
2
211
11
1
22111
121 2
2
1
111
2
1221
21
12
1
4
1212
: ……………….……………………….(*)
Donde ,, son números racionales. Estas integrales pueden ser resueltas bajo ciertas condiciones debido al matemático en las cuales:
1) Si p es un número entero. Para resolver (*) sustituimos donde es mínimo común múltiplo de los
denominadores de las fracciones , .
2) Si no es entero y 1
es un entero.
Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de la fracción .
3) Si no es entero y (1
) es un entero.
Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción . Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción .
594
Aquí 2,21
,5,1 como 05
111
Sustituimos 5
252
94
94
5
42
94
452
21
101
452
9425
5
25
9294
101
∫∫ ∫ ++
−+
−+−
=+++
=+++
⇒
( )∫ +
++−=
−+−=
( ) ( ) +
−++−++++−
+−+=
( ) ( )+−++++−+
=
( )∫ +
= ( )
+
+= ( )
++
+= − ( )+= − ( )
∫+
=−==−= =+−
=+
∈
−=⇒+=
−
−=
∫ ∫ ++−
=−
=+
⇒
( )+
−+=
du
u
u
u
uu
u
u
u
uu
duu
xx
dx
Cu
uLnuu
duuu
u
Cxx
xxLnxxxxx
CxxLnxxxx
dxbxaxpnm
pnm
sux snm
pn
m
ns bxau s p
p pn
m
baxu ns s pbaxu ns s p
xx
dx
spnmn
m
uxxu
uduu
dx
Cu
uLn
u
du
xx
dx
Cx
xLn
vii) Las integrales de la forma
Chebyshev
- 130 -
Ejemplo:
Z
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
136
Aquí 2,21
,3,21
Como 02
1
32
3
2
1
3
12
11
Sustituimos 3632362 13/22
2
32
6
11
3/422 1
3
2
22
136
132
132
11
31
363
363
31
cos,
Donde es una función racional en y cos . Estas integrales pueden ser resueltas
usando la 2
, 222
Según el triangulo rectángulo:
212
; 21
12
cos
Por propiedad: 21
2
2cos
22
22
22 11coscos
u21
1
t
222
22
1
1
11
1
22coscos
212
, 2
2
1
1cos
Además 22
1
1
2
1
122
21
2
1) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución cos .2) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución u
3) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución
Ejemplo:
viii) Integrales de la forma:
sustitución universal
- 131 -
Observación:
( )∫−
+
=−=== =−=−+
=++
+=⇒+= −
( )−=
−=⇒
( )−−−=
( ) ∫ ∫∫ −=
−−=+
−+
−+
=
( )( )
+++
++=
( )∫
= <<−
+=
+=
( )+
==
( ) −=−=−=
+
( )+
−=
+−
+=−=
( )+
=∴ ( )+
−=
( )+
=+
=⇒= −
⇒+
=
( ) ( )−=− =( ) ( )−=− =
( ) ( )=−− =
dxxax
spnm pn
m
xaxuxauu
a
u
ax
uduuadx
u
du
u
dudxxax C
u
uLn
Cxax
xaxLn
dxxsenxR
R senx xx
tgux
u
uxsen
u
x
u
uxxsenxsen
uuxsen
xx
u
u
u
u
u
u
xsen
xx
u
uxsen
u
ux
duu
duu
dxutgx
duu
dx
xsenxRxsenxR xu
xsenxRxsenxR senxu
xsenxRxsenxR tgxu
pp
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
u
1
21
x
22cos2
cos
Como cos,cos,
Sustituimos 2
1
1
1.
21
; 21
1cos
Por lo tanto 22
2
2
2
22
22 1.
11
12
1
1
1cos2
cos
2112 2222
22
11
2
1 22
2
121
2
2
2
121
2
2
Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales:Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales:
22, , 22, , 22,
Donde es racional en las variables , 2222 ,
Para la integral : 22, ; >0
Hacemos la sustitución trigonometrica
1 ,
y las demás funciones trigonometricas de obtienen del triangulo rectángulo.
t
ua
22
u
dxxsenx
xsenx
xsenxRxsenxR
duu
dxutgxtgxu
u
usenx
ux
u
du
u
u
u
uu
u
dxxsenx
xsenx
duu
u
u
u
uu
udu
CuLnuLn
Cu
uLn
Cxtg
xtgLn
u xu x
duuauR duuauR duauuR
R u auua
duuauR a
asentu
a
usent
a
utsen ua
+
∫ +
( ) ( )=−−
( )+
=⇒=⇒= −
+=⇒
+=
∫ ∫ +
++
+
+
+=+
( )( )∫ ∫
+
−+
=++
=
( ) ( )++−+=
+
+
+=
+
+
+=
( )∫ − ( )∫ + ( )∫ −
−±
( )∫ −
=
=⇒ − ( )= −
Ejemplo:
8.7. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA E HIPERBÓLICA.
- 132 -
i)
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Para la integral 22, ; >0
Hacemos la sustitución trigonometrica
1 ,
y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulo rectángulo.
Para la integral 22, ; >0
Si
Hacemos la sustitución trigonometricas sec
1sec , sec
y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulo rectángulo.
Si Cambiamos la variable Luego aplicamos el caso (1)
Las integrales dadas también se pueden intentar resolverse por sustitución hiperbólicas siguiendo los modelos (i), (ii), (iii).
2/3222 ; >0
Sustituimos cos
, 1
xa
t
22u
at
u
22
a
t
, 1
22
cos
coscos2/32222/3222
=2
2cos12
2cos1cos 6426
= 248
46416
3666
= 36
3366
cos6
coscos1616
=
3226322
3226
16
61616
22
t
ii)
iii)
Caso (1):
Caso (2):
Observación:
Ejemplo:
- 133 -
( )∫ +
( )=
=⇒ − ( )=
( )∫ −
>
( )=
=⇒ − ( )=
−< >−⇒−= −=⇒
( )∫ −
=⇒=
=
= −
−
+
=
= −
−=
( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ −=−⇒
∫ ∫
+
−=
( ) ( )++−
[ ] ( ) ++−−
+
−+
−−
−−
−
−
duuauR a
tatgu
a
utgt
a
uttg
duauuR a
au
tau
a
ut
a
ut
au auuv dudv
dxxax a
tdtadxasentx
xsent
xsent
au
ua
a
xsent
a
xsent
a
xat
tdtataaasentdxxax
dttt
atdttsena
Ctsena
tsena
ta
Ctsenta
ttsentsenta
ta
Ca
xa
a
xa
a
x
a
xa
a
xa
a
xa
a
xsen
a
xa
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Las integrales de la forma:
22, ; 22, ; 22,
Donde es entero impar positivo es más fácil usando las sustituciones 222 . 222 , 222 Respectivamente
Para 92
5
; 5
Haciendo 922 y 922
Entonces 99 2
4
2
5
22
22
99
8165
8118 35
24
8165
24
Observación:
Ejemplo:
- 134 -
( )∫ − ( )∫ + ( )∫ −
−= += −=
∫−
=
−= =⇒ +=
( )∫ ∫
−=
−
( ) ( )∫ ∫ +=+
=
( )∫ +++=++=
+
++=
dxxaxR n dxxaxR n dxaxxR n
nxau xau axu
dxx
xn
xu xdxudu ux
x
xdxxdx
x
x
duuduu
uu
Cuuu
duuu
Cuu
u
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
I.- Encontrar las soluciones completas de las ecuaciones diferenciales dadas
1) 213
2) 313 3)
Encontrar la solución particular según las condiciones dadas
4) 21 ; y = -2
3 , x = -3
5) 22
2
314 ; y = -1 , y ́= -2 cuando x = -1
II.- 1) Los puntos (-1, 3) y (0, 2) están en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva
422
2
. Encontrar la ecuación de la curva.
2) En cualquier punto (x,y) de una curva 22
2
1 y una ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto (1, 1) es y = 2 – x encontrar la ecuación de la curva. 3) Sí una pelota rueda sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 20p/seg. y si la
rapidez de la pelota decrece a razón de 6p/seg2 debido a la fricción ¿Qué tan lejos rodará la pelota ?
III. Hallar las integrales indefinidas.
1)3 ln1
2) 21
ln 3)
ln1
4) ln
5) 2ln
6) 429
18
7) sen
8) cossen 9) 7) cos
8) cossen 9) tg1cos2
IV.- Usar las técnicas de integración para resolver las siguientes integrales:
A.- 1) 237 2) 2
2
1
1 3) 2arcsen
4) 42
1
1
tg 5)
11
ln1 2
5
6) 11
ln
B.- 1)22 3cos3sen 2)
2
3
2sensen 3) 53 sencos
4) 32
3
coscos
sen 5)
sen
cos5
6) 34 tgsec
C.- 1) 233
2) 22
3
)102( 3)
3
3
4
1
8.8. RELACIÓN DE EJERCICIOS.
- 135 -
y
yx
dx
dyx
dx
dy
yy
xx
dx
dy
xxdx
dy
xdx
yd
xdx
yd
xdx
yd
dxx
xdx
a
aax
x
dxx
xxxe
dxx
xx
xx
dxdx
xx
dxxxe
dxxa x dxdx
xxe
edxxa x
xx
dxxxx e dxx
x xedxx
dxx
xxdx
x
x
x
xdx
x
xx
dxxx dxxx
dxxx
dxxx
xdx
x
xdxxcx
dxxx
xdx
xx
xdx
xx
x
+= ( )+=
−
+=
( )( )++=
( )+=
−=
−=
∫+
∫ +
( )∫
+
∫+
∫ ∫ −
∫+
∫ ∫∫−
+∫ ∫ +
( )∫ −−+( )
( )∫ +
+∫
( )∫ +
−
∫
−+
− ∫
+−
( )∫ + ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ +− ∫ +− ∫ −
−
Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
4) 23 3
5) 1
1424
3
6) 45
224
2
7) 124
8) 13
5
9)1
123
4
D.- 1) 42 )1(
2) 234 )1(
3) 322 )23(5
9
4) 222
2
1)1(
84 5)
32
2
)1(
13
E.- 1) 22 1)1(
1 2)
23
2 )32(
32 3)
3
2 4
4) 2
2
23
442 5)
2
3
4 6)
11
ln1 2
5
F.- 1) 2) 24
3) 32
2
32
32
4) 3
32ln 5)
142
12
6) 42
122
7) ln
ln1 8)
55
14
9) tg
10)1
11)3 41
12) 1
10)12
1 11)
1 12)
4 41
1
G.- 1)coscos
1 2)
1coscos3
1 3)
sen1
sen
4) 2cossen
1 5)
tg1
tg1 6)
2
2
cos1
sen
7) sencos5sen
12
8)sen6sen5
cos2
9) 22
44
cossen
cossen 10)
33 cossen
tg1 11)
tg5121
∫ + ∫ ++
++∫ ++
−+
∫ ++ ∫ − ∫ −+−
+
∫ + ∫ + ∫ −
( )( )∫ −+
−∫ −
+
∫ −+ ∫−+
−∫
−
∫ −+
+−∫ − ∫ −
+
−
∫ −
−∫ +
− ( )
( )∫+−
−
( )∫
+
( )∫ +−− ∫ +−
∫+
∫ −+− ∫
∫ ∫+
∫( )∫ −− ∫+
∫ +
∫ − ∫ +− ∫ +
∫ +− ∫ −
+∫ +
∫ − ∫ −+
∫ −
+∫ −
+∫ +
xx
dxdx
xx
xxdx
xx
xx
xx
dxdx
x
xdx
xxx
x
x
dx
xx
dxdx
xx
dxxx
xxdx
x
x
dxxx
dx
xx
xdx
x
xx
dxxx
xxdx
x
xdx
x
x
x
x
dxxa
xadx
x
xdx
x
x
dxx
xdx
xxxdx
xxx
dxxx
xdx
xxdxx
dx dxx
dxdxxx
dxx
xdx
x
dxax
dxxx
dxx
x
dxxx
dxx
xdx
x
x
dxxxx
dxxx
x
dxx
xxdx
xx
xdx
x
- 136 -