1

Лабораторная работа № 40

Определение ширины запрещённой зоны полупроводника

Цель работы: определить ширину запрещённой зоны полупроводника по

температурной зависимости электропроводности. Сравнить результат измере-

ний с табличным значением.

Теория

Дискретные уровни энергии электрона в атоме. Рассмотрим вначале

с точки зрения классической механики взаимодействие электрона с положи-

тельным зарядом атомного ядра.1 Т.к. сила электростатического взаимодейст-

вия центральна, то сохраняется полный момент импульса электрона M (в кван-

товой механике момент импульса принято обозначать этой буквой). Сохраня-

ется и полная энергия электрона

2 2( ) 2кинE E r m Zq r U v ,

где 2 2кинE m v - кинетическая энергия, m -

масса, v - скорость электрона, 2( )r Zq r U -

потенциальная энергия взаимодействия заряда

электрона ( )q с зарядом ядра Zq , Z - атом-

ный номер, r - расстояние от электрона до то-

чечного ядра.

Разложим вектор скорости электрона v ,

касательный к траектории, на две ортогональ-

ные компоненты: радиальную rv и азимутальную av (рис. 1). Азимутальную

можно выразить через момент импульса:

, sin ,a aM r p M m r mr M mr v v v

Тогда кинетическая энергия

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2r a rm m m m M mr v v v v

1 Автор не успел прочитать этот материал своим студентам в 1-м семестре, поэтому включил его сюда.

rv

av

v

r

Zq

q

Рис. 1

2

Полная энергия 2 2 22 2 ( )rE m M mr U r v . Таким образом, движение

электрона в центральном поле можно представить как одномерное движение

вдоль r с эффективной потенциальной энергией 2 22 ( )эфф M mr U r U , гра-

фик которой изображён на рис. 2. Если полная энергия положительна, то элек-

трон может оторваться от ядра, уйти на беско-

нечность, движение электрона инфинитно. Ес-

ли же 0E , то движение электрона финитно,

т.е. происходит в ограниченном пространстве.

Области, отмеченные штриховыми линиями,

классическому электрону недоступны, т.к. в

них потенциальная энергия превышает пол-

ную.

Контрольные вопросы

1. Какие величины сохраняются при движении электрона в классическом

атоме водорода?

2. При какой полной энергии электрон связан с ядром классического

атома водорода?

3. Зависит ли полная энергия электрона в классическом атоме водорода

от ориентации его орбитального момента импульса, т.е. от ориентации

классической орбиты?

С точки зрения квантовой (волновой) механики, связанное движение

электрона в атоме схоже со стоячей волной. Вспомните лабораторную работу

№ 24 "Волны на струне". Стационарные колебания большой амплитуды возни-

кали, если на длине струны L укладывалось целое число по-

луволн

2, 1, 2, 3L n n

Выясним физический смысл этого условия. Рассмот-

рим смещение струны в какой либо плоскости AB (рис. 3).

Гармоническая волна, например, бегущая вправо, последова-

r

21 r

1 r0E

0E 0

эффU

Рис. 2

Рис. 3

L

B

A

3

тельно отражается от концов струны и складывается в плоскости AB с первич-

ной волной, проходящей эту плоскость в более поздний момент времени.

Большая амплитуда суммарной волны возможна только том случае, если со-

ставляющие волны складываются в фазе. Т.е. набег фазы при циклическом об-

ходе струны должен быть кратен 2 :

2 2L n L n

При любом другом значении разность фаз многократно отражающихся бегу-

щих волн будет меняться в пределах от 0 до 2 , поэтому результирующая ам-

плитуда не будет максимальной.

В квантовой механике движению микрочастицы с импульсом p соответ-

ствует длина волны h p (де Бройль), h - постоянная Планка. В модели

атома Бора постулировались только те круговые орбиты, на которых укладыва-

ется целое число . Определённым значениям соответствуют определённые

значения импульса p , а через импульс и определённые значения энергии E .

Полученный на основе такой полуклассической модели энергетический спектр

электрона соответствовал экспериментальным спектроскопическим данным. На

рис. 4 слева показан дискретный набор отрицательных уровней энергии в атоме

водорода2:

2, 1, 2, 3 ,nE R n n R 13,6 эВ, 1 эВ = 1,610-19

Дж.

Здесь n - главное квантовое число. Энергия ионизации iE =13,6 эВ (электрон-

вольт) – минимальная энергия, которую необходимо сообщить невозбуждённо-

му атому водорода для отрыва электрона.

В рамках более общей теории волновой функции электрон, как волна,

может быть обнаружен на любом расстоянии от ядра, однако существуют об-

ласти, в пределах которых его обнаружение наиболее вероятно. На рис. 4 спра-

ва для нижних трёх уровней энергии показаны радиальные распределения ве-

роятности ( )dP r обнаружения электрона в сферическом слое бесконечно малой

толщины dr вокруг ядра. Максимумы этих кривых примерно соответствуют

классическим траекториям, однако в квантовой механике принято говорить об

2 Постоянная Ридберга, пропорциональная R , также обозначается этой буквой.

4

электронном облаке. С ростом энергии размеры электронного облака увеличи-

ваются3.

В водородоподобных ионах с одним электроном ( 3, ,He Li Be и т.д.)

структура уровней энергии электрона отличается от водородной только мас-

штабом: 2

nE ZR n , где Z - атомный номер.

В многоэлектронных атомах

электроны распределены по электрон-

ным оболочкам – группам близко рас-

положенных уровней с определёнными

значениями квантовых чисел. Как и в

атоме водорода, чем больше энергия,

тем больше размер электронного обла-

ка. Взаимное отталкивание электронов

ослабляет их притяжение к ядру, так

что электроны внешних электронных

оболочек взаимодействуют с ядром го-

раздо слабее, чем внутренних. Энергия связи с ядром у электронов внутренних

оболочек достигает 102 ÷ 10

4 эВ, тогда как у внешних она порядка 10 эВ. По-

этому большинство свойств атомов (химических, электрических) определяется

строением внешних электронных оболочек.

Контрольные вопросы

4. На примере колебаний струны объясните квантование волны, сущест-

вующей в ограниченном пространстве.

5. Какие орбиты электрона постулировались в модели атома Бора? На-

пишите формулу де Бройля. Как она объясняет квантование энергии

электрона?

6. Напишите формулу энергетического спектра электрона в бОровской

модели атома водорода, нарисуйте схему уровней.

3 В учебниках обычно приводят графики или картинки распределения плотности вероятности, не обращаю-

щейся в нуль при 0r , однако полная вероятность dP , пропорциональна 2

r dr , обращается в нуль: электрон

не может упасть на ядро.

-13,6

-3,4

-1,5

0

( )E эВ

3n

2n

1n

n

r r

dP

iE

Рис. 4

5

7. Нарисуйте графики электронного облака атома водорода для несколь-

ких значений главного квантового числа.

8. Чем определяются химические и электрические свойства многоэлек-

тронных атомов? Почему?

Расщепление уровней энергии. Вспомним лабораторную работу № 20

"Связанные маятники". Вначале выравнивались длины маятников, чтобы часто-

ты гармонических колебаний изолированных маятников совпадали. В таком

случае говорят, что маятники вырождены по частоте. Однако потом, когда ма-

ятники связывали пружиной, гармонические колебания возникали на двух раз-

ных частотах. Это очень общее явление: связь колебательных систем приводит

к снятию частотного вырождения, к расщеплению нормальных частот. И чем

сильнее связь, чем сильнее растягивалась пружина, тем больше расщепление

.

Список взаимодействий, приводящих к расщеплению атомных уровней

энергии, обширен: внешние поля, межэлектронное взаимодействие в атоме.

Даже в атоме водорода возникает слабое расщепление (тонкая структура), вы-

званное спин-орбитальным взаимодействием электрона "с самим собой": внут-

ренний магнитный момент электрона взаимодействует с магнитным полем,

создаваемым током электронного "витка" при движении электрона по орбите.

Применительно к теории электропроводности

кристаллов рассмотрим расщепление, связанное с

межатомным взаимодействием. На рис. 5 показано

расщепление уровней изолированного атома по мере

уменьшения расстояния между атомами a и соответ-

ственно увеличения потенциальной энергии меж-

атомного взаимодействия W . Кристалл – система N

взаимодействующих атомов. Каждый "родительский" уровень изолированного

атома расщепляется на N подуровней. В кристалле размером 1 мм содержится

1019

атомов. При типичном расстоянии между уровнями энергии порядка 1 эВ

расстояние межу подуровнями 10-19

эВ Для сравнения, при температуре T =

N N

N

gE

E

a W

изо

ли

рован

ны

й

атом

кри

стал

л

Рис. 5

6

300 К энергия теплового движения kT 0,0251/40 эВ. Т.е. в кристалле образу-

ются квазинепрерывные энергетические зоны. Разрешённые зоны энергии раз-

делены запрещёнными зонами. На рис. 5 gE - ширина запрещённой зоны (gap

– щель, зазор, промежуток). Сильнее взаимодействуют внешние электроны

атомов и потому их уровни энергии сильнее расщепляются, так что зоны сосед-

них родительских уровней атома могут перекрываться.

Контрольные вопросы

9. Поясните на примере связанных маятников, что такое расщепление

частот колебаний и что влияет на величину расщепления.

10. Перечислите основные источники расщепления энергетических уров-

ней атомов.

11. Нарисуйте схему образования энергетических зон в кристалле, со-

стоящем из N атомов.

Обобществление электронов в кристалле. Электроны изолированных

атомов "привязаны" к своему ядру. По мере сближения атомов волновые функ-

ции электронов перекрываются всё сильнее, прежде всего внешних электрон-

ных оболочек. На рис. 6а штриховыми линиями

показаны вероятности распределения отдель-

ных электронов, а сплошной линией – резуль-

тирующая вероятность dP обнаружения элек-

трона на бесконечно малом промежутке dr

кристалла. Видно, что электрон с высокой ве-

роятностью может быть обнаружен не только

вблизи ядер, но и практически в любой точке

кристалла. Совокупность свободных электро-

нов в кристалле образует электронный газ.

Это явление можно объяснить и классически. Потенциальные кривые

( )U r отдельных ядер (штриховые линии на рис. 6б) частично накладываются

друг на друга. Результирующая кривая потенциальной энергии (сплошная кри-

вая) понижается: притяжение электрона к ближайшему ядру частично компен-

E

0( )U r

резU

A A

B B Туннельный

переход

Туннельный

переход

dP

Рис. 6

а)

б)

7

сируется притяжением к соседним ядрам. Поэтому верхняя энергетическая зона

A A оказывается во всём кристалле выше потенциального барьера подобно

области 0E инфинитного движения на рис. 2. Электроны на нижних энерге-

тических зонах B B также могут переходить от атома к атому сквозь потен-

циальные барьеры, но с меньшей вероятностью (туннельный эффект).

Контрольные вопросы

12. Объясните обобществление электронов в кристалле на языке про-

странственного распределения вероятностей обнаружения электронов

13. Объясните образование энергетической зоны свободного движения

электронов в кристалле.

Принцип Паули. Рассмотрим подробнее распределение электронов по

уровням энергии. Могут ли все электроны скопиться на одном, например, ниж-

нем уровне энергии? Какому распределению соответствует минимальная энер-

гия электронов в атоме или кристалле?

На основе изучения атомных спектров Паули сформулировал принцип

запрета: в каждом квантовом состоянии не может находиться более одного

электрона. Под состоянием понимается набор значений квантовых чисел, опре-

деляющих волновую функцию микрочастицы. Квантовое магнитное спиновое

число sm , описывающее проекцию собственного момента импульса (спИна)

zM на выбранную ось, может принимать только два значения 1 2sm , т.е.

2zM h . Поэтому на одном уровне энергии может находиться не более двух

электронов с противоположно направленными спинами.

Принцип Паули позволил объяснить распределение электронов по атом-

ным уровням энергии. В атоме гелия два электрона с противоположными спи-

нами занимают нижний уровень. В атоме лития третий электрон должен уже

занять более высокий уровень. По мере увеличения атомного номера Z элек-

троны последовательно заполняют электронные оболочки. Важно отметить, что

в соответствии с принципом Паули внутренние, заполненные, оболочки содер-

жат чётное число электронов, тогда как на внешней оболочке число электронов

может быть как чётным, так и нечётным.

8

Контрольные вопросы

14. Сформулируйте принцип Паули.

15. Как принцип Паули объясняет распределение электронов по атомным

уровням энергии? Могут ли все электроны в атоме собраться на одном

энергетическом уровне?

Проводники, диэлектрики, полупроводники. При температуре, близ-

кой к абсолютному нулю, энергия кристалла стремится к минимуму, поэтому

электроны заполняют уровни, начиная с нижнего. На каждом уровне по два

электрона с противоположно направленными спинами. На верхнем занятом

уровне может быть один электрон (рис. 7а).

Таким образом, даже при нуле-

вой температуре кристаллической

решётки электроны обладают нену-

левой энергией хаотического движе-

ния, "носятся как угорелые". Т.е.

электронная температура, как мера

энергии хаотического движения, от-

лична от нуля. Это чисто квантовый

эффект.

Электроны каждого нижнего родительского уровня энергии атома полно-

стью заполняют соответствующую нижнюю энергетическую зону в кристалле:

2 N атомов = 2 N подуровней. Верхняя из полностью заполненных зон на-

зывается валентной зоной. Если же на верхней электронной оболочке атома

только один электрон, то N подуровней верхней зоны они заполнят только на-

половину, т.к. каждый подуровень занимают два электрона.

Создадим в таком кристалле внешнее электрическое поле E . На каждый

электрон это поле действует с силой F q E , изменяющей, по классическим

представлениям, его скорость и энергию. Однако изменение энергии возможно,

если в энергетической зоне, к которой принадлежат данные электроны, есть не-

занятые подуровни. Поскольку расстояние между подуровнями очень мало,

E

0

FE

Зо

на

пр

ово

ди

мо

сти

Вал

ентн

ая

зон

а

Зо

на

пр

ово

ди

мо

сти

Зо

на

пр

ово

ди

мо

сти

Вал

ентн

ая

зон

а

а) б) в)

Рис. 7

gE

9

достаточно будет слабого электрического поля, чтобы возникло преимущест-

венное направление движения электронов против поля, т.е. электрический ток.

Частично заполненная зона или свободная зона над валентной зоной на-

зывается зоной проводимости. Вещества с частично заполненной энергетиче-

ской зоной должны быть хорошими проводниками. Таковы щелочные металлы

, ,Li Na K , а также , ,Cu Ag Au - у атомов всех этих веществ на внешней элек-

тронной оболочке только 1 электрон.

Хорошей электропроводностью могут обладать вещества, у которых на

верхней электронной оболочке атома находится нечётное число электронов,

например Al . Частично заполненная зона может образоваться и при наложении

свободной и валентной зон, как у бериллия и щелочно-земельных элементов

, ,Ca Sr Ba (рис. 7б).

Теперь рассмотрим случай, когда валентная зона заполнена целиком и

отделена от ближайшей свободной зоны широкой запрещённой зоной gE (рис.

7в). Внешнее электрическое поле, приложенное к такому кристаллу, не способ-

но поднять электроны в вышележащую зону. Внутри же валентной зоны, не со-

держащей ни одного свободного уровня, поле лишь вызовет перестановку элек-

тронов по уровням, что не нарушит симметрию распределения электронов по

скоростям и не создаст направленного движения электронов. Такие вещества

являются непроводниками, т.к. обладают практически нулевой электропровод-

ностью. Условно непроводники по ширине запрещённой зоны делятся на ди-

электрики и полупроводники. У типичных диэлектриков gE 3 эВ. Так, у ал-

маза (углерод – 4 валентных электрона) gE = 5,2 эВ, у корунда 2 3Al O gE = 7

эВ. К полупроводникам относят вещества со сравнительно узкой запрещённой

зоной, gE 1 эВ. У германия (4 электрона) gE = 0,66 эВ, у кремния (4 элек-

трона) gE = 1,08 эВ, у арсенида галлия gE =1,43 эВ.

10

Контрольные вопросы

16. Нарисуйте и объясните зонно-энергетическую диаграмму

a. проводника (варианты);

b. диэлектрика.

17. Равна ли нулю энергия электронов при нулевой температуре кристал-

лической решётки?

18. Почему зона проводимости так называется?

19. Какова электропроводность кристалла с полностью заполненной

верхней энергетической зоной?

20. Как подразделяют диэлектрики и полупроводники?

Виды полупроводников .

Собственные полупроводники – это химически чистые полупроводни-

ки. При абсолютном нуле температуры зона проводимости такого полупровод-

ника является пустой (рис. 7в), а валентная зона полностью заполнена, все

электроны "заняты" в межатомных связях кристалла, по два электрона на связь

между парой атомов. Поэтому при абсолют-

ном нуле полупроводник является диэлектри-

ком. Ненулевая электропроводность полу-

проводника может возникнуть только под

действием внешнего фактора, способного со-

общить электрону энергию, достаточную для

разрыва валентной связи и его переброса в

другую ячейку кристалла, где все связи заполнены, и этот электрон будет лиш-

ним, т.е. свободным. Такими факторами могут быть облучение светом или ио-

низирующим излучением либо повышение температуры, когда электрон полу-

чает энергию от тепловых колебаний ионной решётки.

При отрыве электрона и его переходе в зону проводимости возникает

дырка – положительный ион кристаллической решётки, незаполненная меж-

атомная связь (рис. 8а) и свободный электронный уровень в валентной зоне

(рис. 8б). На рис. 8 VE - энергия верхнего уровня валентной зоны (valence -

Ge

Ge

Ge

+

Ge

Свободный

электрон

Дырка

gE

CE

VE

FE

E

а) б)

Рис. 8

Ge

11

способность привлекать), CE - энергия дна зоны проводимости (conductivity -

проводимость). Дырка может блуждать по кристаллу, т.к. место ушедшего

электрона может занять соседний связанный. Под действием внешнего поля

валентные электроны могут переходить на свободный валентный уровень по-

добно электронам в зоне проводимости, т.е. дырки могут создавать электриче-

ский ток. Суммарная сила тока электронов валентной зоны с одним свободным

состоянием равна силе тока, создаваемого одной фиктивной частицей с поло-

жительным зарядом q , помещённой в это состояние. В собственных полу-

проводниках концентрация дырок ip (p – positive, i – intrinsic – присущий,

свойственный) равна концентрации собственных электронов в зоне проводимо-

сти in (n - negativ). Однако вклад дырок в электрический ток меньше, т.к. их

подвижность меньше, чем у электронов проводимости.

Контрольные вопросы

21. Что такое собственный полупроводник?

22. Для собственного полупроводника нарисуйте и поясните

a. Пространственное распределение зарядов и связей в кристалле;

b. Зонно-энергетическую диаграмму при наличии свободных заря-

дов.

Равновесные носители. Генерация – процесс появления свободных но-

сителей при ненулевой температуре кристаллической решётки. Если бы этот

процесс был единственным, то концентрация свободных носителей непрерывно

бы возрастала. Однако вместе с генерацией возникает и рекомбинация – унич-

тожение пары свободных носителей при встрече электрона с дыркой. Сама

возможность установления постоянной концентрации свободных носителей

обусловлена тем, что скорости генерации и рекомбинации по-разному зависят

от концентрации. Предположим, что скорость генерации G , т.е. количество

носителей, возникающих в единице объёма в единицу времени (м-3

с-1

), не

зависит от времени t - горизонтальная прямая на рис. 9. Тогда, если бы свобод-

ные носители не исчезали, их концентрация in линейно росла бы со временем.

12

Рекомбинация – совмещение двух независимых событий - встреча под-

вижного заряда и подвижной вакансии для этого заряда в

одной элементарной ячейке кристаллической решётки.

Как известно (1-й семестр), вероятность совместного со-

бытия равна произведению вероятностей независимых со-

ставляющих событий. Поэтому скорость рекомбинации R

пропорциональна произведению концентраций свободных

электронов и равной ей концентрации дырок, т.е. 2n (кривая на рис. 9)

4. Точ-

ка пересечения скоростей генерации и рекомбинации есть точка равновесия,

определяющая концентрацию равновесных носителей.

Другие способы генерации: под действием света (лаб. раб № 42) или ио-

низирующих частиц (лаб. раб. 10, 11, 12 практикума ФТФ), введения (инжек-

ции) через контакт с другим материалом (лаб. раб. № 44). Возникающие при

этом дополнительные носители называются неравновесными.

Поскольку для генерации требуется дополнительная энергия, то при об-

ратном процессе, рекомбинации, энергия выделяется, например, в виде тепла

(безызлучательная рекомбинация) или кванта света (излучательная рекомбина-

ция). Действие светодиодов основано на излучательной рекомбинации.

Контрольные вопросы

23. Что такое генерация и рекомбинация в кристаллах?

24. Что такое равновесие носителей, почему оно возникает?

25. Перечислите способы генерации неравновесных носителей.

26. Типы рекомбинации носителей в кристалле.

4 Автор сначала догадался сам, а потом увидел это в английской Википедии

t

R

G

3 1, ( )G R м c

Рис. 9

13

Примесные полупроводники n - типа (донорные, электронные).

Предположим, что в кристалле четырёхвалентного германия часть атомов

замещена атомами пятивалентного мышьяка (рис. 10а). Для установления свя-

зей с соседями атом мышьяка

расходует четыре валентных

электрона. Пятый электрон в об-

разовании межатомных связей

не участвует. Доля примеси в по-

полупроводниках меняется в

пределах 10-9

÷ 10-3

, т.е. расстоя-

ние между атомами примеси в

3 3 9 310 10 10 10 раз меньше,

чем между атомами основного

вещества. Поэтому атом примеси

окружён атомами основного ве-

щества, можно считать, что он

погружён в диэлектрик. Диэлектрическая проницаемость германия =16, сле-

довательно, пятый электрон движется в поле иона мышьяка, ослабленном в

раз, радиус его орбиты, точнее, размер области локализации электрона в раз

больше, чем в изолированном атоме. Энергия связи электрона с ядром, энергия

ионизации примеси DE 0,01 эВ сравнима с энергией теплового движения

атомов. Поэтому при 0T высока вероятность отрыва пятого электрона и пре-

вращения его в свободный электрон проводимости (рис. 10в).

Примеси, являющиеся источником электронов проводимости, называют-

ся донорами ( D - donate - дарить). Полупроводник, содержащий такую примесь,

называется электронным или n - типа, а также донорным. При низкой темпера-

туре, когда концентрация примесных подвижных электронов намного больше

концентрации собственных электронов и дырок, примесные носители называ-

ются основными, а дырки – неосновными. При высокой температуре концен-

трация собственных подвижных носителей резко возрастает, поэтому разделе-

ние на основные и неосновные носители теряет смысл.

Ge

Ge

Ge

As

Ge

r

5-й электрон As

Ge

Ge

Ge

+

Ge

Свободный

электрон

gE

VE

FE CE

DE DE

а) б)

gE

VE

FE CE

DE DE

г) в)

0T

0T

Рис. 10

As

Донорные

уровни

Донорные

уровни

14

На языке зонной теории: энергетические уровни пятого электрона атомов

мышьяка DE расположены в запрещённой зоне атомов германия вблизи дна зо-

ны проводимости CE (рис. 10б) на расстоянии DE 0,01 эВ. Атомы примеси

между собой слабо взаимодействуют (см. выше), расщепление примесных

уровней намного меньше, чем у германия, поэтому эти уровни обычно изобра-

жают как единый уровень. Образующиеся при переходе донорных электронов в

зону проводимости положительные ионы мышьяка неподвижны и в проводи-

мости не участвуют.

Контрольные вопросы

27. Какие примеси превращают германий в донорный полупроводник?

28. Для донорного полупроводника нарисуйте и поясните пространствен-

ное распределение зарядов и связей в кристалле, а также зонно-

энергетическую диаграмму 0T и при 0T .

29. Назовите основные и неосновные носители в донорном полупровод-

нике.

Примесные полупроводники p - типа (акцепторные, дырочные).

Предположим, что в решётке германия часть атомов замещена атомами

трёхвалентного индия (рис. 11а). Для образования связей с четырьмя ближай-

шими соседями атому индия не хватает электрона. Этот электрон может перей-

ти от атома германия, в результате образуется неподвижный отрицательный

ион индия и положительная дырка - незаполненная связь у атома германия

(рис. 11в). Поскольку для перехода электрона ему достаточно сообщить энер-

гию ионизации примеси AE 0,01 эВ, сравнимую с тепловой энергией атома,

эта дырка может блуждать по кристаллу.

На языке зонной теории: незаполненные электронные уровни AE индия

располагаются в запрещённой зоне германия на расстоянии AE от верха ва-

лентной зоны VE (рис. 11б). Электроны, перешедшие на эти уровни из валент-

15

ной зоны германия, связываются атомами индия и в проводимости не участву-

ют. Подвижными носителями являются дырки в валентной зоне (рис. 11г).

Примеси, захватывающие

электроны из валентной зоны полу-

проводника, называются акцептор-

ными (Accept - принимать), а энер-

гетические уровни этих примесей –

акцепторными уровнями. Полупро-

водник, содержащий акцепторные

примеси, называют дырочным по-

лупроводником или p - типа, а так-

же акцепторным. Основными носи-

телями в акцепторном полупровод-

нике являются дырки, а неоснов-

ными – электроны.

Контрольные вопросы

30. Какие примеси превращают германий в акцепторный полупроводник?

31. Для акцепторного полупроводника нарисуйте и поясните пространст-

венное распределение зарядов и связей в кристалле, а также зонно-

энергетическую диаграмму 0T и при 0T .

32. Назовите основные и неосновные носители в акцепторном полупро-

воднике.

Энергетическое распределение электронов. Как мы уже выяснили,

при абсолютном нуле температуры ионной решётки свободные электроны по-

парно заполняют в зоне проводимости все уровни энергии от низшего до неко-

торого максимального (рис. 7а). Теперь рассмотрим энергетическое распреде-

ление в электронном газе при произвольной температуре.

Найдём количество электронов ( )dN E , имеющих энергию в интервале

,E E dE . Для этого необходимо количество возможных состояний ( )dG E в

Ge

Ge

Ge

In

Ge

Ge

+

Ge

Ge

gE

VE FE

CE

AE AE

а) б)

gE

VE

CE

г) в)

0T

0T

Рис. 11

Ge

In

Акцепторные

уровни

AE AE

Акцепторные

уровни

FE

Неукомплектованная

связь

16

интервале dE умножить на вероятность заполнения состояния ( )f E , называе-

мую функцией распределения

( )dN E вероятность число состояний = ( ) ( )f E dG E (1)

Число состояний свободных электронов в интервале dE . В класси-

ческой механике состояние материальной точки полностью определяется зада-

нием координаты и скорости (или импульса). В шестимерном фазовом про-

странстве с координатами , , , , , ,x y zr p x y z p p p этому состоянию соответ-

ствует точка. Плотность расположения точек и их общее количество бесконеч-

ны.

В квантовой механике координата и соответствующая компонента им-

пульса связаны соотношением неопределённостей

, ,x y zx p h y p h z p h ,

где 346,62 10h Джс - постоянная Планка. Следовательно, одному состоянию

микрочастицы соответствует минимальный "объём" в фазовом пространстве

3x y zx y z p p p h .

Точнее задать состояние микрочастицы невозможно.

Электроны могут свободно перемещаться в

кристалле, неопределённость пространственных ко-

ординат электрона равна размерам кристалла. По-

этому пространственный объём, который занимает

электрон, равен объёму кристалла: x y z V .

Тогда минимальный объём одного состояния в про-

странстве импульсов

3x y zp p p h V

Энергия свободной нерелятивистской частицы связана с величиной импульса5

2 2E p m . Найдём число состояний с модулем импульса в интервале ,p p dp

. В пространстве импульсов таким состояниям соответствует слой между сфе-

5 Такая связь подразумевает, что начало отсчёта энергии находится на уровне дна зоны проводимости, тогда как

до сих пор начало соответствовало нулю потенциальной энергии взаимодействия зарядов. Ничего страшного:

функция распределения, как показано ниже, зависит от разности энергий, т.е. не зависит от положения начала

отсчёта.

xp

zp

yp

p

p dp

Рис. 12

17

рами радиусом p и p dp (рис. 12). Объём этого сферического слоя равен

24 p dp .

2 12 , 2

2

dEp mE dp m

E

Тогда

3

2 21

4 4 2 2 2 (2 )2

dEp dp mE m m EdE

E

Таким образом, число состояний в интервале энергий ,E E dE равно

32

23 3

4 2(2 )

p dp VV m E dE

h h

.

Каждому энергетическому состоянию соответствуют два состояния элек-

тронов с противоположными направлениями спинов. Поэтому окончательно

полное число состояний электронов в интервале ,E E dE равно

3

23

4( ) (2 )

VdG E m E dE

h

(2)

Контрольные вопросы

33. Что такое фазовое пространство?

34. Как описывается в фазовом пространстве состояние классической

частицы и квантовой микрочастицы?

35. Вывести формулу числа состояний свободных электронов в интервале

dE .

Функция распределения Ферми-Дирака. Как уже говорилось, микро-

частицы со спином 2h или 1 2 в единицах h , в том числе электроны, подчи-

няются принципу Паули. Такие частицы называются фермионами. Если элек-

тронный газ взаимодействует с термостатом, имеющим температуру T , напри-

мер, с кристаллической решёткой, то вероятность электрону занять состояние с

энергией E описывается функцией распределения Ферми-Дирака

1

( )

1F

F E E

kT

f E

e

(3)

18

Здесь 231,38 10k Дж/К – постоянная Больцмана, FE - химический потенци-

ал, который в физике твёрдого тела называют энергией Ферми или уровнем

Ферми. Эта важная характеристика распределения нам потребуется в лаб. раб.

№ 44. Энергию Ферми определяют из полного числа частиц в системе по (1)

( ) ( ) ( )FdN E N f E dG E (4)

Энергия Ферми зависит от структуры уровней и, вообще говоря, от температу-

ры. В собственных полупроводниках при 0 300T K уровень Ферми совпа-

дает с серединой запрещённой зоны (рис. 8б), в примесных полупроводниках –

с серединой запрещённой зоны примеси (рис. 10б,г и рис. 11б,г).

Рассмотрим функцию Ферми-Дирака для газа свободных электронов зо-

ны проводимости. При 0T и при FE E получаем ( )FE E kT , т.е.

( ) 0Ff E . При FE E показатель экспоненты ( )FE E kT , т.е.

( ) 1Ff E . Таким образом, при 0T функция Ферми-Дирака описывает уже

рассмотренный случай рис. 7а, полученный нами из принципа Паули и требо-

вания минимальной энергии электронного газа при 0T . На рис. 13 изобра-

жён график этой функции6. Уровень Ферми электронного газа – это макси-

мальная энергия электрона при 0T .

График функции Ферми-Дирака при

0T - кривая 2 на рис. 13. Возникает во-

прос: как вероятность заполнения поду-

ровня может быть дробной, меньше еди-

ницы? Ведь подуровень либо занят, либо

свободен, т.е. число заполнения подуровня

либо единица, либо ноль. Объяснение: функция распределения описывает веро-

ятность, усреднённую по бесконечно малому интервалу dE . Если присмотреть-

ся к этому интервалу с "увеличительным стеклом" (увеличенная выноска ин-

тервала dE ), то видно, что в нём заполнена только часть подуровней, т.е. сред-

няя вероятность вевероятность заполнения меньше единицы. Вероятность за-

полнения подуровней с FE E всегда равна 0,5.

6 На всех предыдущих рисунках ось энергии была вертикальной.

1

0,5

( )Ff E

FE E

kT

dE

dE

Рис. 13

0T 0T

19

При 0T электроны могут получать дополнительную энергию от тепло-

вых колебаний решётки (фононов) и переходить на более высокие подуровни,

FE E . Вследствие этого число электронов с FE E уменьшается, т.к. полное

число электронов в зоне проводимости не меняется: тепловой энергии недоста-

точно, чтобы перебросить дополнительные электроны из нижележащей валент-

ной зоны. При 300T K средняя тепловая энергия

1 40 1 10FkT эВ E эВ . Поэтому полное число электронов, подвергшихся

тепловому возбуждению, составляет малую часть от общего числа электронов в

зоне проводимости: / 1 2%N N .

Рассмотрим высокоэнергетический "хвост" функции распределения,

FE E , точнее, FE E . Напомним, , 0FE E . Пусть 0E . Тогда

1FE

kTe

Поэтому единичным слагаемым в знаменателе (3) можно пренебречь. Тогда

( )F FE E E E

kT kT kTFf E e e e

(5)

т.е. при FE E распределение Ферми-Дирака совпадает с распределением

Максвелла-Больцмана. Этот важный результат мы используем в дальнейшем.

Контрольные вопросы

36. Какие частицы называются фермионами, каково их свойство?

37. Запишите функцию Ферми-Дирака, выведите её предельный вид при

0T , нарисуйте график. Поясните, как этот график согласуется с

распределением электронов в зоне проводимости проводника.

38. Нарисуйте график функции Ферми-Дирака при 0T . Объясните от-

личие ( )Ff E от единицы.

39. Где располагается уровень Ферми

a. в собственных полупроводниках?

b. в примесных полупроводниках?

40. С каким распределением совпадает распределение Ферми-Дирака при

FE E ?

20

Температурная зависимость концентрации подвижных носителей

в собственном полупроводнике. Определим концентрацию свободных элек-

тронов в зоне проводимости из (4):

( ) ( )F

Nn f E dG E

V (6)

Интегрировать нужно по всем подуровням зоны проводимости, от нуля, совпа-

дающего с CE (рис. 8б), и до верхнего уровня. Поскольку в собственном полу-

проводнике занята только малая часть подуровней этой зоны, верхний предел

можно заменить на бесконечный. Кроме того, заменим точное распределение

Ферми-Дирака его высокоэнергетическим приближением (5). Тогда (6)

3

23

0

4(2 )

FE E

kT kTV

n m e e E dEh

(7)

Интеграл пропорционален 3 2T (без доказательства). Во-вторых, для собствен-

ного полупроводника энергия Ферми отрицательна относительно дна зоны про-

водимости: 2F gE E (рис. 8б). Поэтому

3

22

gE

kTn CT e

(8)

где C - постоянная.

Оценим изменение сомножителей с температурой. В условиях лабора-

торной работы температура изменяется от 20 до 55 ºС, min 293T K ,

max 328T K , max min min( ) 0,12T T T T . Следовательно, относительное из-

менение множителя 3 2( ) 1,5 0,12 0,18 18%T . Относительное изменение

экспоненты

min

min min

222

2min minmin

2 2

( )( )

22

gg

g

g g

EEE kTkT

g gkTE E

kT kT

E Ee e Te T

kT TkTe e

(9)

Пусть 2 0,5gE эВ, 1 40kT эВ. Тогда экспоненциальный множитель ме-

няется с температурой в 200,12 = 2,4 раза. Т.е. изменение экспоненциального

множителя намного сильнее влияет на концентрацию свободных носителей.

21

Поэтому изменением множителя 3 2T можно пренебречь. Окончательно кон-

центрация электронов в зоне проводимости

21( )

gE

kTn T C e

(10)

где 1C - постоянная.

Контрольные вопросы

41. Вывести формулу температурной зависимости концентрации

подвижных носителей в собственном полупроводнике.

Температурная зависимость электропроводности и ширина за-

прещённой зоны собственного полупроводника . Из закона Ома для участка

цепи U IR , где U - напряжение на этом участке, I - ток, /R l S - сопротив-

ление этого участка, - удельное сопротивление, l - длина участка, S - его по-

перечное сечение, получаем удельную электропроводность вещества

1 I l

U S

(См = сименс) (11)

Напряжённость электрического поля U lE = в приближении однородно-

го поля в веществе, плотность тока j I S . Поэтому из (11) получаем локаль-

ный закон Ома j E . Плотность потока частиц со средней скоростью v рав-

на nv (1-й семестр, давление газа на стенку), а плотность тока j qn v . Ско-

рость дрейфа частиц в веществе под действием электрического поля пропор-

циональна напряжённости поля v= E , где - подвижность.7 Подставляя все

эти формулы в j E , получаем выражение электропроводности через кон-

центрацию электронов проводимости

qn (12)

В собственном полупроводнике подвижными носителями заряда являют-

ся не только электроны, но и дырки. Поэтому

( )i n i p i n pqn qp qn (13)

7 Размерность подвижности выведите самостоятельно, исходя из определения.

22

где n , p - подвижности электронов и дырок, которые зависят от 3 2T и в рас-

смотренном выше приближении могут считаться постоянными.

Подставляя концентрацию (10) в (13), получаем температурную зависи-

мость электропроводности

20

gE

kTe

(14)

Логарифмируя (14), получаем линейную зависимость логарифма электропро-

водности от обратной температуры 1 T

0

1ln ln

2

gE

k T

(15)

В переменных ln и 1 T график этой зависимости имеет вид прямой (рис. 14),

причём ширина запрещённой зоны пропорциональна угловому коэффициенту

наклона этой прямой, определённому по координатам двух точек 1 1(ln ,1 )T и

2 2(ln ,1 )T :

2 1

2 1

(ln ) ln ln2 2

(1 ) 1 1gE k k

T T T

(16)

Подставляя (11) в (16) и преобразуя разность логарифмов, получаем оконча-

тельное выражение ширины запрещённой зоны полупроводника через изме-

ренные значения тока, напряжения и температуры

2 1

2 1

2 1

ln ln

21 1

g

I I

U UE k

T T

(17)

Таким образом, ширина запрещённой зоны макроскопического образца

полупроводника не зависит от его размеров.

Поэтому на рис. 14 по вертикальной оси мож-

но откладывать не ln , а ln( )I U .

В низкоразмерных структурах (кванто-

вых нитях, квантовых точках), у которых один

или несколько размеров сравнимы с диамет-

ром атома, ширина запрещённой зоны зависит от этих размеров. Такие струк-

туры – объект исследования наноэлектроники.

lnln

I

U

2ln

1ln

21 T 11 T 1 T

Рис. 14

23

Контрольные вопросы

42. Вывести формулу температурной зависимости электропроводно-

сти собственного полупроводника.

43. Вывести формулу ширины запрещённой зоны собственного полупро-

водника

Общая температурная зависимость электропроводности пол у-

проводника. Можно показать, что температурная зависимость электропровод-

ности примесного полупроводника в области низких температур может быть

описана формулой (14) с заменой ширины запрещённой зоны на энергию иони-

зации примеси. В переменных ln и 1 T график этой зависимости будет ли-

нейным, а угловой коэффициент наклона прямой будет пропорциональным

энергии ионизации примеси. На рис. 15 изображён общий график температур-

ной зависимости электропроводности. На прямых 1-2 примесной проводимости

и 3-4 собственной проводимости электропроводность пропорциональна кон-

центрации. Угол наклона прямой собственной проводимости больше, часто на-

много больше, угла наклона прямой примесной проводимости.

Прямые 1-2 и 3-4 соединяются переходным участком 2-3. Это область ис-

тощения примеси. По мере роста температуры от точки 1 к точке 2 растёт кон-

центрация примесных носителей. В точке 2 все

атомы примеси ионизованы, примесь не может

обеспечить дальнейший рост концентрации.

Концентрация собственных носителей в точке

2T , это точка 5 на штриховом продолжении пря-

мой 3-4, ещё слишком мала, чтобы обеспечить

рост электропроводности. Поэтому от точки 2

электропроводность полупроводника уменьшается подобно электропроводно-

сти металлов: концентрация свободных носителей практически постоянна, но с

температурой растёт рассеяние носителей на тепловых колебаниях кристалли-

ческой решётки, т.е. растёт сопротивление току. Только при дальнейшем росте

1

2

3

4 ln

1 T

Рис. 15

21 T

(ln )n

5

24

температуры, от точки 3, становится значительной концентрация собственных

носителей.

Контрольные вопросы

44. Нарисуйте график изменения электропроводности полупроводника в

широком температурном диапазоне, укажите характерные области

графика.

45. Чем отличаются зоны примесной и собственной проводимости на

графике?

46. Что такое область истощения примеси, почему она появляется, как

изменяется электропроводность в этой области и почему?

Описание экспериментальной установки

Электрическая принципиальная схема измерительной установки показана

на рис. 16. Амперметром измеряется ток I через образец полупроводника. Ток

регулируется с помощью переменного сопротивления R . Переключатель на-

правления тока на рис. 16 не показан. Вольтметр измеряет напряжение 3 4U

между контактами 3 и 4. Для измерения температурной зависимости образец

помещён в электрическую нагревательную печь. Цепь питания печи с выклю-

чателем на рис. 16 не показана. С помощью омметра измеряется сопротив-

ление датчика 5 температуры образца - термометра сопротивления (терморези-

стора). Затем по градуировочной кривой, имеющейся на передней панели каж-

дой установки, необходимо пересчитать сопротивление в значение температу-

ры.

Первичные измеряемые величины: ток, напряжение и сопротивление.

Особенности измерений. При включённой печи температура полупровод-

никового образца непрерывно возрастает, поэтому сложно записать одномо-

ментные показания трёх приборов. В наше время, когда космические корабли

бороздят просторы Большого театра, можно панели приборов сфотографиро-

вать на один снимок. Во-вторых, можно уменьшить скорость изменения темпе-

ратуры, отключив на короткое время печь и дождавшись, когда температура

перестанет меняться.

25

V

A

1 2

3

5

4

R

Образец

Печь

Рис. 16

Задание к работе

1. Измерить ток и напряжение на образце полупроводника при комнат-

ной температуре.

2. Включить электропечь и измерить ток и напряжение при различных

значениях температуры полупроводника. В диапазоне 20 ÷ 55 ºС изме-

рить не менее 5-6 точек. Для устранения влияния термоЭДС между

контактами 3 и 4 повторить все измерения при обратном направлении

тока.

3. Вычислить среднеквадратичное отклонение ln( )I U при комнатной

температуре, исходя из погрешностей измерения I и U .

4. Построить графики ln( )I U от 1 T для прямого и обратного направле-

ний тока.

5. По графикам определить ширину запрещённой зоны gE полупровод-

ника.

6. Сравнить полученный результат с табличным.

Контрольные вопросы по заданию к работе

47. Какова цель работы?

48. Какие величины измеряются в работе, какими приборами?

49. Каковы особенности измерений?

50. Каков график предполагаемой теоретической зависимости?

51. Как по графику определить ширину запрещённой зоны?