ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ‐ΑΣΚΗΣΕΙΣ 

ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ 

 (εκδοχή Φεβρουαρίου 2018) 

 

Ε.Μ.Π.  

 

 

1  

Παράσταση σημείου. 

 

Σχήμα 1              Σχήμα 2 

 

 

        Σχήμα 3 

Είναι  12' "Μ Μ y .  Ενδέχεται  τα  ', "Μ Μ   να  ταυτίζονται  και  αυτό  συμβαίνει  όταν  το  Μ   βρίσκεται  στο  διχοτομούν 

επίπεδο των τεταρτοχώρων   ,II IV  . Το επίπεδο αυτό ονομάζεται ευλόγως ως επίπεδο σύμπτωσης του συστήματός μας. 

Συχνά, μετά την τοποθέτηση των σημείων που μας ενδιαφέρουν στο παραστατικό σχήμα,  το σημείο Ο παραλείπεται, κι 

αν επιθυμούμε, το όνομά του χρησιμοποιείται εκ νέου για άλλα σημεία. Σε ένα καθαρά παραστατικό σχήμα φροντίζουμε 

να εμφανίζονται μονάχα οι πρώτες και δεύτερες προβολές των σημείων που μας ενδιαφέρουν. 

2  

Παράσταση ευθείας. 

 

Σχήμα 4                 Σχήμα 5 

 

Σχήμα 6 

Φυσικά αν M ε   τότε  ''Μ ε  και  ''' 'Μ ε .

3  

Παράσταση επιπέδου. 

 

Σχήμα 7             Σχήμα 8 

Αν  ε  ευθεία, έστω με ίχνη  1 2,Ι Ι  και  π  επίπεδο, έστω με ίχνη  1 2,σ σ , τότε φυσικά αν  ε π  θα είναι και  1 1Ι σ  και  2 2Ι σ . 

Παρατήρηση. 

 

Σχήμα 9             Σχήμα 10 

Το αληθές μέγεθος  ρ  ευθυγράμμου τμήματος  ΑΒ  προκύπτει ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μία κάθετη πλευρά 

την προβολή  'Α Β΄  του τμήματος σε κάποιο επίπεδο  π , και άλλη κάθετη πλευρά τη διαφορά των αποστάσεων  A Bυ υ  των 

σημείων από  το  επίπεδο. Ως  ειδική περίπτωση,  προκύπτει  επίσης ως  το μέγεθος  της προβολής  του  τμήματος σε  επίπεδο 

παράλληλο προς το τμήμα  ΑΒ .   

4  

Κατάκλιση επιπέδου επί του πρώτου επιπέδου προβολών. 

 

Σχήμα 11 

Δίνεται σύστημα προβολής δύο επιπέδων  1 2,π π .  Κατάκλιση  επιπέδου  π   επί  του  1π   είναι η περιστροφή  του  π   στο  χώρο 

γύρω από το ίχνος του  1σ  στο  1π , έως ότου το  π  συμπέσει με το  1π . Στο σχήμα σημειώνεται η κατάκλιση  0M  ενός σημείου 

Μ   του  π ,  καθώς  και  η  κατάκλιση  0i     της  ιχνοπαραλλήλου  i   από  το  Μ .  Υπάρχουν δύο  κατακλίσεις  του  π   επί  του  1π  

αναλόγως της φοράς περιστροφής. 

 

Σχήμα 12 

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται παραστατικά η κατάκλιση  0Μ  ενός σημείου  Μ  του επιπέδου  π , η κατάκλιση  0i  της πρώτης 

ιχνοπαραλλήλου  i  από  το  M   και οι  κατακλίσεις  21 0 0( ) , ( )σ σ   των  ιχνών    21,σ σ .  Το αληθές μέγεθος  της γωνίας  των  21,σ σ  

5  

δίνεται  από  τη  γωνία  φ .  Το  σημείο  ( ', '')Λ Λ Λ   ανήκει  στο  ίχνος  2σ   του  π .  Θα  μπορούσαμε  να  έχουμε  σημειώσει  τις 

κατακλίσεις  των  γραμμών  αυτών  στο  άλλο  ημιεπίπεδο  ως  προς  την  ευθεία  1 'σ ,  αλλά  με  το  μειονέκτημα  να  “πέφτουμε 

επάνω” στις υπάρχουσες γραμμές του παραστατικού σχήματος. 

 

Σχήμα 13 

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται παραστατικά, με δεύτερο τρόπο, η κατάκλιση  0Μ  ενός σημείου  Μ  του  πρόσθιου επιπέδου 

π . Παρατηρήστε πως αν  1 2,σ σ  τα ίχνη του  π , τότε κάθε σημείο M του επιπέδου αυτού έχει δεύτερη προβολή  ''M  επάνω 

στην  2 ''σ .  Μάλιστα  ολόκληρη  η  πρώτη  ιχνοπαράλληλη  1i   από  το  M ,  έχει  δεύτερη  προβολή  μονάχα  το  σημείο  ''M . 

Σημειώστε τις κατακλίσεις της πρώτης ιχνοπαραλλήλου από το  M  καθώς και των ιχνών του  π , και υπολογίστε το αληθές 

μέγεθος της γωνίας των ιχνών  1 2,σ σ  του π . 

   

6  

  

Στα  σχήματα  14‐17  που  ακολουθούν  δίνονται  ως  χωρικά  σκαριφήματα  τα  γνωστότερα  και  πλέον  χρήσιμα  στις  τεχνικές 

κατασκευές  στερεά:  πρίσμα,  (κυκλικός)  κύλινδρος,  πυραμίδα,  (κυκλικός)  κώνος,  τοποθετημένα  με  ιδιαίτερο  τρόπο  στο 

σύστημα των δύο επιπέδων  1 2,π π . Αμέσως μετά θα μελετήσουμε την παράσταση των στερεών αυτών καθώς και χρήσιμες 

γραφικές ιδιότητές τους, θεωρώντας επιπλέον και ένα τέμνον επίπεδο (για ευκολία πρόσθιο). 

 

Σχήμα 14 

 

Σχήμα 15 

7  

 

 

Σχήμα 16 

 

 Σχήμα 17 

   

8  

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και ορθό πρίσμα βάσεων  ,ΑΒΓΔ ΑΒΓ Δ  με τη βάση  ΑΒΓΔ  στο 

επίπεδο  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

 

 Σχήμα 18 

9  

Λύση  

 Σχήμα 19 

   

10  

 

 Σχήμα 20 

   

11  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και πυραμίδα  κορυφής   ( ', '')Κ Κ Κ  και βάσης πολύγωνο  ΑΒΓΔ  

του επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. 

 

 

 

 

 

 

 Σχήμα 21 

   

12  

   

13  

Λύση  

 Σχήμα 22 

   

14  

 

 Σχήμα 23 

   

15  

 

 Σχήμα 24 

   

16  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων  1 2,γ γ  με τη βάση  1γ  επί 

του επιπέδου  1π . Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου της βάσης  1γ  και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, 

βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του κυλίνδρου, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο. 

 

 

 

 Σχήμα 25 

   

17  

Λύση  

 Σχήμα 26 

   

18  

 

 Σχήμα 27 

   

19  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων  1 2,γ γ  με τη βάση  1γ  επί του επιπέδου  1π . Χρησιμοποιώντας 

κορυφές  κανονικού  δωδεκαγώνου  της  βάσης  1γ   και  προσεγγίζοντας  όπου  χρειάζεται,  βρείτε  την  παράσταση  της 

δεξιόστροφης  και  της  αριστερόστροφης  έλικας  1 2,c c   του  κυλίνδρου  (δηλαδή  τις  δύο  προβολές  καθεμιάς)  που 

διέρχονται από το σημείο  1a  του  1π . 

 

 

 

 

 

Σχήμα 28 

   

20  

Λύση 

 Σχήμα 29 

   

21  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και κυκλικός κώνος κορυφής   ( ', '')Κ Κ Κ  και βάσης κύκλο  γ  του 

επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, 

(2) το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, 

(3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(5) το ανάπτυγμα του κώνου, 

(6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. 

 

 

 

 

Σχήμα 30 

   

22  

Λύση 

Σχήμα 31 

   

23  

 

Σχήμα 32 

   

24  

Σχήμα 33 

   

25  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Δίνεται ευθεία  ε και πυραμίδα κορυφής  Κ  και βάσης πολύγωνο  ΑΒΓΔ  του επιπέδου  1π . Βρείτε τα 

σημεία τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν).  

    

 

Σχήμα 35 

   

26  

Λύση 

 

Σχήμα 36 

   

27  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ  8.  Έστω  ΚΑΒΓΔΕΖ   πυραμίδα  κορυφής  (40,0,70)Κ   και  βάσης  κανονικό  εξάγωνο  του  1π ,  όπου 

(40,0,0), (40, 70,0)Α Δ . Έστω επίσης  1 2( ', '')π σ σ  πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το  Α  και κάθετο στην ευθεία  ΚΔ . 

Τοποθετήστε τα δεδομένα στο σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά και πως  (0,0,0)Ο . 

Σχήμα 32 

 

Λύση 

Σχήμα 37 

   

28  

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Έστω  1 2( ', '')π σ σ  πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το  (0,0,0)Ο  με γωνία κλίσης  45o  ως προς το  1π , για 

τα σημεία  ( , , )x y z  του οποίου είναι  0y  στο τεταρτοχώριο  I . Έστω επίσης κυκλικός κώνος κορυφής  (40,10,60)K  και 

βάσης κύκλο  γ  του  1π  κέντρου  (40, 30,0)Μ  και ακτίνας  30 . Έστω τέλος πυραμίδα κορυφής Κ , εγγεγραμένη στον κώνο 

και  βάσης  κανονικό  εξάγωνο  ΑΒΓΔΕΖ   όπου    (40,0,0)Α .  Τοποθετήστε  τα  δεδομένα  στο  σχήμα  δεδομένου  πως  οι 

συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. 

 Σχήμα 38 

Λύση 

 Σχήμα 39 

   

29  

ΑΣΚΗΣΗ  1.  Δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ   και  ορθό  πρίσμα  βάσεων  ,ΑΒΓΔ ΑΒΓ Δ   με  τη  βάση  ΑΒΓΔ   στο 

επίπεδο  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 40 

   

30  

ΑΣΚΗΣΗ 2. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και ορθό πρίσμα βάσεων  ,ΑΒΓΔΕ ΑΒΓ ΔΕ  με τη βάση  ΑΒΓΔΕ  στο 

επίπεδο  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 41 

   

31  

ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και πυραμίδα  κορυφής   ( ', '')Κ Κ Κ  και βάσης πολύγωνο  ΑΒΓΔ  του 

επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 42 

   

32  

ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και πυραμίδα  κορυφής   ( ', '')Κ Κ Κ  και βάσης πολύγωνο  ΑΒΓΔ  του 

επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 43 

   

33  

ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και δύο εφαπτόμενοι ορθοί κυκλικοί κύλινδροι βάσεων  1 2,γ γ  ο πρώτος 

και  1 2,c c  ο δεύτερος, με τις βάσεις  1 1,γ c  επί του επιπέδου  1π . Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου των 

βάσεων  1 1,γ c  και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, 

(2) τα αληθή σχήματα των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, καθώς και τη σχετική τους θέση επί του  π . 

(3) τα αναπτύγματα των κυλίνδρων, 

(4) τις μετασχηματισμένη των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 44 

   

34  

ΑΣΚΗΣΗ  6. Δίνεται  ορθός  κυκλικός  κύλινδρος  βάσεων  1 2,γ γ   με  τη  βάση  1γ   επί  του  επιπέδου  1π .  Χρησιμοποιώντας 

κορυφές  κανονικού  δωδεκαγώνου  της  βάσης  1γ   και  προσεγγίζοντας  όπου  χρειάζεται,  βρείτε  την  παράσταση  της 

δεξιόστροφης  και  της  αριστερόστροφης  έλικας  1 2,c c   του  κυλίνδρου  (δηλαδή  τις  δύο  προβολές  καθεμιάς)  που 

διέρχονται από τα σημεία  ,1a  αντιστοίχως του  1π . 

    

 

Σχήμα 45 

   

35  

ΑΣΚΗΣΗ 7. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων  1 2γ ,γ  με τη βάση  1γ  επί του επιπέδου  1π . Χρησιμοποιώντας κορυφές 

κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης  1γ  και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της 

αριστερόστροφης έλικας  1 2c ,c  του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία  ,1a  

αντιστοίχως του   1π . 

    

 

Σχήμα 46 

   

36  

ΑΣΚΗΣΗ 8. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων  1 2,γ γ  παράλληλων στο  1π . Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού 

δωδεκαγώνου  της  βάσης  1γ   και  προσεγγίζοντας  όπου  χρειάζεται,  βρείτε  την  παράσταση  της  δεξιόστροφης  και  της 

αριστερόστροφης έλικας  1 2,c c  του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία  ,1a  

αντιστοίχως της  1γ . 

    

 

Σχήμα 47 

   

37  

ΑΣΚΗΣΗ  9.  Δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ   και  κυκλικός  κώνος  κορυφής  ( ', '')Κ Κ Κ   και  βάσης  κύκλο  γ   του 

επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, 

(2) το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, 

(3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(5) το ανάπτυγμα του κώνου, 

(6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. 

 

 

 

 

Σχήμα 48 

   

38  

ΑΣΚΗΣΗ  10.  Δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ   και  κυκλικός  κώνος  κορυφής  ( ', '')Κ Κ Κ   και  βάσης  κύκλο  γ   του 

επιπέδου  1π . Η πρώτη προβολή  'Κ  του  Κ  βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του  γ  που είναι παράλληλη στον  12y

. Βρείτε:  

(1) το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, 

(2) το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, 

(3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(5) το ανάπτυγμα του κώνου, 

(6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, 

(8) το εμβαδόν της τομής του κώνου με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 49 

39  

ΑΣΚΗΣΗ  11.  Δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ   και  κυκλικός  κώνος  κορυφής  ( ', '')Κ Κ Κ   και  βάσης  κύκλο  γ   του 

επιπέδου  1π . Βρείτε:  

(1) το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, 

(2) το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, 

(3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(5) το ανάπτυγμα του κώνου, 

(6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου 

 

 

 

 

Σχήμα 50 

   

40  

ΑΣΚΗΣΗ  12.  Δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ   και  κυκλικός  κώνος  κορυφής  ( ', '')Κ Κ Κ   και  βάσης  κύκλο  γ   του 

επιπέδου  1π . Η πρώτη προβολή  'Κ  του  Κ  βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του  γ  που είναι παράλληλη στον  12y  

και το ίχνος  2σ  του π  είναι παράλληλη στη γενέτειρα  Κα  του κώνου. Βρείτε:  

(1) το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, 

(2) το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, 

(3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(5) το ανάπτυγμα του κώνου, 

(6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, 

(7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, 

 

 

 

 

 Σχήμα 51 

Υπόδειξη: Η τομή είναι μια παραβολή. 

   

41  

ΑΣΚΗΣΗ 13. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και ορθό πρίσμα βάσεων  ,ΑΒΓΔ ΑΒΓ Δ  με τη βάση  ΑΒΓΔ  στο 

επίπεδο  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 52 

   

42  

ΑΣΚΗΣΗ 14. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο  1 2,( ' '' )π σ σ  και ορθό πρίσμα βάσεων  ,ΑΒΓΔ ΑΒΓ Δ  με τη βάση  ΑΒΓΔ  στο 

επίπεδο  2π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

Σχήμα 53 

   

43  

ΑΣΚΗΣΗ 15. Δίνεται οριζόντιο επίπεδο  π  με δεύτερο  ίχνος  2σ ,  και ορθό πρίσμα βάσεων  ,ΑΒΓΔ ΑΒΓ Δ  με  τη βάση 

ΑΒΓΔ  στο επίπεδο  1π . Βρείτε:  

(1) τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(2) το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, 

(3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, 

(4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. 

 

 

 

 

 

 

Σχήμα 54 

   

44  

ΑΣΚΗΣΗ 16. Δίνεται ευθεία  ε και πυραμίδα κορυφής  Κ  και βάσης πολύγωνο  ΑΒΓΔ  του επιπέδου  1π . Βρείτε τα σημεία 

τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν).  

    

 Σχήμα 55 

   

45  

ΑΣΚΗΣΗ  17.  Έστω  κανονικό  οκτάγωνο  1Σ ΑΒΓΔΕΖΗΘ   εγγεγραμμένο  στον  κύκλο  (40,0,0), 40γ   του  1π   όπου 

(40,40,0)Α ,  και  έστω  πυραμίδα  2Σ   κορυφής  (80,0,80)Κ   και  βάσης  ΑΓΕΗ .  Έστω  επίσης  πρίσμα  3Σ   βάσεων 

,ΒΔΖΘΒ ΒΔΖΘΒ   με  ύψος  80   και  σημεία  μη  αρνητικών  υψομέτρων.  Τέλος,  έστω  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ  

διερχόμενο από το  Α  και από το μέσον της ακμής  ΚΕ .Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως 

οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ  18.  Έστω  κανονική  πυραμίδα  Σ   κορυφής  (0,0,80)Κ     και  βάσης  κανονικό  οκτάγωνο  ΑΒΓΔΕΖΗΘ   του  1π  

εγγεγραμμένο  στον  κύκλο  γ   κέντρου  (40,40,0)Μ   με  (40,80,0)Α .  Έστω  επίσης  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ  

διερχόμενο από το  Α  και κλίσης  0.5  (ως προς το  1π ). Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι 

συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ 19. Έστω (α) λοξός κώνος  1Σ  κορυφής  (40,40 40 2,80)Κ  και βάσης τον κύκλο  (40,40,0),40γ  του  1π , (β) 

πυραμίδα  2Σ  κορυφής  Κ  και βάσης το κανονικό οκτάγωνο το εγγεγραμμένο στον  γ , όπου  (40,80,0)Α , (γ) πρόσθιο 

επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ  διερχόμενο από το  Α  και από το μέσον του ύψους της πυραμίδας. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε 

δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά.  (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την 

ευθεία  12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ 20. Έστω (α) πυραμίδα  1Σ  κορυφής  (40,0,80)Κ  και βάσης κανονικό εξάγωνο  ΑΒΓΔΕΖ  του  1π  με  (40,0,0)Α  

και  (40,80,0)Δ , (β) ορθό εξαγωνικό πρίσμα  2Σ  βάσης  ΑΒΓΔΕΖ και ύψους  80  με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, 

(γ) πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ  διερχόμενο από το  Α  και κάθετο στην ευθεία  ΚΔ . Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό 

σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία 

12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ 21. Έστω (α) κώνος  1Σ  κορυφής  Κ  με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, ύψους  80  και βάσης κύκλο  γ  του 

1π  ακτίνας  40  και κέντρου το  (40,40,0)Μ , (β) πρόσθιο επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ  διερχόμενο από το μέσον του ύψους του 

κώνου και πρώτο  ίχνος ευθεία που εφάπτεται στη βάση του κώνου αριστερά (όταν η  12y  χαράσσεται οριζόντια),  (γ) 

οριζόντιο επίπεδο  τ  που διέρχεται από το μέσον του ύψους του κώνου. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα 

δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ  22.  Κώνος  1Σ   έχει  κορυφή  το  40,40 20 2,80Κ   και  βάση  κύκλο  γ   του  1π   κέντρου  (40,40,0)Μ   και 

ακτίνας  40 .  Επίσης,  τετραγωνική πυραμίδα  2Σ   κορυφής  Κ   έχει βάση τετράγωνο  ΑΒΓΔ   εγγεγραμμένο στον  γ  με 

(40,80,0)Α .  Τέλος,  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ   διέρχεται  από  το  Α   και  το  μέσον  της  ακμής  ΚΓ   του  κώνου.  Να 

τοποθετήστε  τα  δεδομένα  σε  δικό  σας  σχήμα  δεδομένου  πως  οι  συντεταγμένες  δίνονται  σε  χιλιοστά.  (Αρχίστε 

τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) 

 

ΑΣΚΗΣΗ 23. Δίνεται ορθός κύλινδρος  1Σ  ύψους  80 , με σημεία μη‐αρνητικού υψομέτρου και βάσης κύκλο  γ  του  1π  

κέντρου  (40,40,0)Μ   και  ακτίνας  40 .  Δίνεται  επίσης,  ορθή  τετραγωνική  πυραμίδα  2Σ   κορυφής  (40,40,80)Κ   και 

βάσης  τετράγωνο  ΑΒΓΔ   εγγεγραμμένο  στον  γ ,  όπου (40,0,0)Α .  Τέλος,  δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ   που 

διέρχεται  από  το  Α   και  το  μέσον  του  ύψους  της  πυραμίδας.  Να  τοποθετήστε  τα  δεδομένα  σε  δικό  σας  σχήμα 

δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) 

 

46  

ΑΣΚΗΣΗ 24. Δίνεται κώνος  1Σ  κορυφής  (50, 12.5,65)Κ  και βάσης κύκλο  γ  του  1π  κέντρου  (50,0,0)Μ  και ακτίνας  50

. Δίνεται επίσης, ορθό εξαγωνικό πρίσμα  2Σ  με σημεία μη αρνητικού υψομέτρου,  βάσης κανονικό εξάγωνο  ΑΒΓΔΕΖ  

εγγεγραμμένο  στον  γ   και  ύψους  ίσο  με  το  ύψος  του  κώνου.    Τέλος,  δίνεται  πρόσθιο  επίπεδο  1 2,( ' '')π σ σ   που 

εφάπτεται στον  γ  στο  Α , με δεύτερο ίχνος κάθετο στη γενέτειρα του κώνου με το μικρότερο μήκος. Να τοποθετήστε 

τα  δεδομένα  σε  δικό  σας  σχήμα  δεδομένου  πως  οι  συντεταγμένες  δίνονται  σε  χιλιοστά.  (Αρχίστε  τοποθετώντας  το 

(0,0,0)Ο  και την ευθεία  12y .) Πόσες διαφορετικές τοποθετήσεις υπάρχουν; 

 

ΑΣΚΗΣΗ 25. Δίνεται  ορθός  κώνος  1Σ   κορυφής  Κ ,  ύψους  80   και  βάσης  κύκλο  γ   του  1π   κέντρου  (40,40,0)Μ   και 

ακτίνας  40 .  Δίνονται επίσης τα πρόσθια επίπεδα  1 2 1 2( ' ''), ( ', '', )π σ σ p τ τ  που διέρχονται από το μέσον του ύψους του 

κώνου και έχουν το καθένα τους ως πρώτο ίχνος μια ευθεία εφαπτόμενη στον  γ . Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό 

σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το  (0,0,0)Ο  και την ευθεία 

12y .)