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第一章 行列式 (determinant)
第二次课
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第二节 n 阶行列式的定义
11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
1 22 2 12 1 21 2 11
11 22 12 21 11 22 12 21
,b a b a b a b a
x ya a a a a a a a
1 2,b b
11 22 12 21 0a a a a 对任意的 都有解要
求
。
首先考虑线性方程组
形式上有解
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称 为二阶行列式,记为11 22 12 21a a a a
11 1211 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a
命题 上面方程组有惟一解可以表述为: 当系数二阶行列式不为零时有惟一解
1 12 11 1
2 22 21 2
11 12 11 12
21 22 21 22
,
b a a b
b a a bx y
a a a a
a a a a
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我们现在考虑前两个方程
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
a x a y a z b
a x a y a z b
a x a y a z b
三元一次方程组:
11 12 13 1
21 22 23 2
a x a y a z b
a x a y a z b
11 12 1 13
21 22 2 23
a x a y b a z
a x a y b a z
或
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1 13 12 11 1 13
2 23 22 21 2 23
11 12 11 12
21 22 21 22
,
b a z a a b a z
b a z a a b a zx y
a a a a
a a a a
按前面的想法可以解出 x 和 y如下
13 12 11 131 12 11 1
23 22 21 232 22 21 2
11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
,
a a a ab a a b
a a a ab a a bx z y z
a a a a a a a a
a a a a a a a a
即
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13 12 11 13 11 1231 32 33
23 22 21 23 21 22
11 12 1 12 11 13 31 32
21 22 2 22 21 2
a a a a a aa a a za a a a a a
a a b a a bb a aa a b a a b
代入第三个方程,有
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它定义成三阶行列式,即:
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
上式的左端 z 的系数为
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
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11 12 111 22 3 12 2 31 1 21 32
21 22 211 2 32 12 21 3 1 22 31
31 32 3
a a ba a b a b a b a a
a a ba b a a a b b a a
a a b
那么右端项是:
为三阶行列式
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请注意正负号的记忆方法
二阶行列式
三阶行列式
正负对角线!! ( 高阶矩阵怎么办?? )
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31 2, ,DD D
x y zD D D
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
1 12 13
1 2 22 23
3 32 33
b a a
D b a a
b a a
11 1 13
2 21 2 23
31 3 33
a b a
D a b a
a b a
11 12 1
3 21 22 2
31 32 3
a a b
D a a b
a a b
当系数组成的三阶行列式不为零方程组有唯一解:
其中:,
,
,
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现在二个变元,三个变元的线性方程组可以用这种方式解,那么 n个变元可不可以?
本章的目的之一的就是解 n个变元的方程组( Cramer 法则)。
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观察:
1. 二阶行列式有二项,三阶行列式有六项; n阶??2. 正负号项各半,符号与某种排列相关;3. 每一项中,某一行的元素只有一个,某一列的元素也只有
一个;例如 3阶行列式中的一项是 ,它的行下标是 123,列下标是 312,行(列)下标中没有重复的。
4. 交换两行或列时,行列式变号;
5.
12
11 12 1322 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32
31 32 33
a a aa a a a a a
a a a a a aa a a a a a
a a a
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11 22 33
12 23 31
13 21 32
123
231
312
a a a
a a a
a a a
12 21 33
13 22 31
11 23 32
213
321
132
a a a
a a a
a a a
另外我们可以观察行列式各项的下标试图找出正负号的规律:
正项: 负项:
在行号都按 123排列的情况下,正的列号排列是 123 , 231 ,312,负的列号排列是 213 , 312 , 132。事实上,我们也可以将列按 123排列,讨论行的排列。
可以观察到的是下标的逆序个数,我们发现偶数个逆序的排列都对应正号,奇数个逆序排列都是对应负号。这
正是我们上一节讨论的东西: 排列与对换。
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假设有 n2 个数 ,它们排成 n行 n列记成
n 阶行列式(构造定义)14
, , 1, 2,...,ija i j n
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
ija
我们根据对 2阶与 3 阶行列式的观察来定义 n阶行列式。
称为 n 阶行列式。 是行列式第 i行第 j列的数或元, n阶行列式是下面所有项之代数和
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2. 它的符号由排列 的奇偶性决定,当为偶排列是取正号,否则取负号
1 2 31, 2, 3, ,...nj j j n ja a a a
1 2 3... nj j j j1 2 3... nj j j j
1. 每项是 n个元的乘积,这些元在行列式中每行有一个,每列有一个,因此每项可以写成如下的形式(第一个下标是行第二个下标是列)
3. 因为所有 1 到 n的 n阶排列有 n!个,所以行列式共有 n!项
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1 2 3
1 2 3
1 2 3
11 12 13 1
21 22 23 2( ...
31 32 33 3 1, 2, 3, ,...
1 2 3
( 1) ...n
n
n
n
nj j j j
n j j j n jj j j j
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
)
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1 1
2 2,
3
4 n
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
n
n
n
sn
a a a a
a a a
a a
a
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 sn
a
a
a
a
特殊行列式的计算
2.
1.
,
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1 2 3 1 1 2 2 3 31, 2, 3, , , , , ,... ...n n nj j j n j i k i k i k i ka a a a a a a a
1 2 3(123... ) ( ... )nn j j j j 1 2 3 1 2 3( ... ) ( ... )n ni i i i k k k k
1 2 3 1 2 3 1 2 3(123... ) ( ... ) ( ... ) ( ... )n n nn j j j j i i i i k k k k
1 2 3 1 2 3( ... ) ( ... )( 1) n ni i i i k k k k
思考:为什么定义中规定行下标要顺序排列,而列下标不要?事实上,某一项的乘积中因子的顺序是任意的,即我们可以写出
“ ”自然此时要考虑 行列 的逆序总数: 与
123...n 1 2 3... nj j j j 1 2 3... ni i i i
1 2 3... nk k k k注意用同样的对换:排列 与 分别变成排列 与
。所用的对换个数一定是偶数(行对换 +列对换 =2*行对换),因此
也就是说,行列式各项的符号是:
(奇偶意义下 )
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1 2 3 1 2 31, 2, 3, , ,1 ,2 ,3 ,... ...n nj j j n j l l l l na a a a a a a a
1 2 3 1 2 3(123... ) ( ... ) ( ... ) (123... )n nn j j j j l l l l n
11 12 13 1 11 21 31 1
21 22 23 2 12 22 32 2
31 32 33 3 13 23 33 3
1 2 3 1 2 3
n n
n n
n n
n n n nn n n n nn
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
重要:如果
(元素的排列不一样),显然有
这说明:行列指标在行列式中是对称的,即
(奇偶意义下 )
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11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ...1, 2, 3, ,
...
( 1) ...n
n
n
j j j jj j j n j
j j j j
a a a a )
11 21 31 1
12 22 32 2
13 23 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ...,1 ,2 ,3 ,
...
( 1) ...n
n
n
l l l ll l l l n
l l l l
a a a a )
此为行列式的性质之一。这一证明中,特别注意求和的顺序。例如按定义可得:
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证明可以有不同的思路,例如:我们设法去证明第一个和号下的每一项都是第二个和号下的一项,反过来也是一样;再证明它们的项数相等。
1 2 3 1 2
1 1 2 2 3 3
1 2 1 2 3
( ... ( ... ), , , ,
... ...
( 1) ...n n
n n
n n
l l l l k k kl k l k l k l k
k k k l l l l
a a a a )+
讨论两重求和:
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第二次课作业第二次课作业 P28. 作业 4 , 6 思考 7