Post on 01-Feb-2016
description
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΡΕΥΣΤΑ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Πρόβλημα 3.23 (Σχολικό βιβλίο): Η φλέβα του νερού της βρύσης γίνεται στενότερη
καθώς το νερό πέφτει. Η διατομή της φλέβας είναι Α1=1,2 cm2 κοντά στο στόμιο της
βρύσης και Α2=0,4 cm2 σε απόσταση h=4 cm από αυτό. Υπολογίστε την παροχή της
βρύσης. Δίνεται g = 10m/s2
ΛΥΣΗ
Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία 1 και 2 της φλέβας του νερού:
2
22
2
112
1
2
1 PghP (1)
Όμως, PPP 21
Άρα, η εξίσωση (1) γράφεται:
2
2
2
12
1
2
1 PghP 2
2
2
12
1
2
1 gh 2
2
2
12
1
2
1 gh
2
2
2
1 2 gh (2)
Εφαρμόζοντας την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:
1
221221121
(3)
Αντικαθιστώντας την (3) στη (2) προκύπτει:
2
2
2
1
22 2
gh
2
2
2
1
22 2
gh
2
1
222
22
gh
2
2
2
1
22
22 gh
2
2
2
1
212 gh
2
1
2
2
2
1
2gh
9
11
104102 2
22
2
ms
m
2
222
28
1041029
s
m
s
m22 1090
s
m12 1090
Επομένως η παροχή θα είναι:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 2
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
s
mm 124
22 1090104,0
s
m36
22 90104
s
m36
22 101440s
m36
22 101012
Πρόβλημα 3.24 (Σχολικό βιβλίο): Ανοικτή δεξαμενή που περιέχει νερό έχει στο
πλευρικό τοίχωμά της, σε βάθος h = 1,8 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του
υγρού, βρύση διατομής Α=0,5 cm2. Πόση ώρα χρειάζεται για να γεμίσουμε ένα δοχείο
όγκου 1 L από τη βρύση; Δίνεται g = 10m/s2.
ΛΥΣΗ
Η διατομή της βρύσης σε μονάδες S.I. είναι:
252 1055,0 mcm
Επίσης, 33101 mL
Για τα σημεία (Ε) και (Κ) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli :
22
2
1
2
1 PghP (1)
Η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα
συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ, δηλαδή 0 .
Επίσης ΡE = ΡK = Ρat ,
Άρα η σχέση (1) γράφεται:
smms
mghgh /68,11022
2
12
2
Επομένως, η ταχύτητα του νερού στη βρύση (σημείο Κ) θα είναι: sm /6
Η παροχή του νερού στο σημείο Κ θα είναι: s
m
s
mm
3425 1036105
Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι σε κάθε δευτερόλεπτο εκρέουν 34103 m
νερού από τη βρύση.
Άρα,
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 3
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
σε s1 εκρέουν 34103 m
t 3310 m
Επομένως, sst3
10
103
104
3
(Πιο απλά μπορούσαμε να γράψουμε:
V
tt
Vs
s
m
m
3
10
103
103
4
33
)
Πρόβλημα 3.25 (Σχολικό βιβλίο): Νερό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα (βλ. σχήμα). Η
διατομή του σωλήνα στη θέση Α είναι Α1=10-2m2 και στη θέση Β γίνεται A2 =A1/2. Η
παροχή του σωλήνα είναι Π = 2x10-2m3/s. Να βρείτε τη διαφορά της πίεσης του νερού
ανάμεσα στα σημεία Α και Β. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 103kg/m3.
ΛΥΣΗ
Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των θέσεων Α και Β:
22
2
1
2
1 PP
22
2
1
2
1PP 22
2
1 PP (1)
Από την εξίσωση που δίνει την παροχή προκύπτει η ταχύτητα του νερού στη θέση Α:
1 smm
s
m
/210
102
22
32
1
Επίσης από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:
2121
2
11 sm /4
2
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) προκύπτει:
Pas
m
s
m
m
kgPP 000.6241000
2
122
3
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 4
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Πρόβλημα 3.26 (Σχολικό βιβλίο): Νερό που κινείται μέσα σε οριζόντιο σωλήνα (βλ.
σχήμα) βγαίνει από το άκρο Α με ταχύτητα υ1 = 10m/s. Το εμβαδόν διατομής του
σωλήνα στα σημεία Α και Β είναι 16 cm2 και 20 cm2, αντίστοιχα.
α) Πόσα m3 νερού δίνει ο σωλήνας σε μία ώρα;
β) Ποια η πίεση στο σημείο Β;
Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 103kg/m3. Θεωρήστε ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι
105Pa.
ΛΥΣΗ
Μετατρέπουμε τα εμβαδά διατομής σε μονάδες S.I. 242 101616 mcm
242 102020 mcm
Επίσης, PaPP 510
α) Υπολογίζουμε την παροχή:
s
m
s
mm
3324
11 1016101016
Το παραπάνω αποτέλεσμα υποδεικνύει ότι ο σωλήνας δίνει 331016 m σε s1 .
Θέλουμε να βρούμε πόσα 3m δίνει σε sh 36001 .
Άρα,
σε s1 δίνει 331016 m
σε s3600 V
333 6,5736001016 mmV
(Πιο απλά μπορούσαμε να γράψουμε:
tVt
V 33
3 6,5736001016 mss
m )
β)Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:
2121 s
m
s
m
m
m810
1020
101624
24
12
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 5
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των θέσεων Α και Β:
2
2
2
12
1
2
1 PP
2
2
2
12
1
2
1PP
2
2
2
12
1PP
2
2
2
12
1PP kPaPam
m
kgPaP 118000.118361000
2
110 2
3
5
Πρόβλημα 3.27 (Σχολικό βιβλίο): Μια αντλία χρησιμοποιείται για την άντληση νερού
από πηγάδι βάθους 5m. Το νερό βγαίνει από την αντλία με σωλήνα διατομής 10 cm2 και
με ταχύτητα υ=20 m/s. Υπολογίστε την ισχύ της αντλίας. Δίνεται η πυκνότητα του
νερού ρ = 103kg/m3 και g = 10m/s2.
ΛΥΣΗ
232 1010 mcm
Αν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός άντλησης νερού είναι σταθερός, ισχύει:
t
W
t
mgh
2
2
1 (1)
Όμως,
t
V
t
m
1
t
m
t
m
t
mskg
m
kg
s
mm
t
m/2010002010
3
23
Αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει:
.).( IS
t
W
W500020504002
1
Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε για την άντληση
μάζας νερού m :
WW
WW0
mghWm 2
2
1
mghmW 2
2
1
mghW
2
2
1
h
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 6
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Πρόβλημα 3.28 (Σχολικό βιβλίο): Μια ανοιχτή δεξαμενή νερού, μεγάλου όγκου,
βρίσκεται ψηλά πάνω από το έδαφος (βλ. σχήμα). Όταν χρησιμοποιούμε το νερό της
δεξαμενής η ταχύτητα του νερού, σε κάποιο σημείο Α, στο σωλήνα που βρίσκεται στο
έδαφος είναι υ=12 m/s. Υπολογίστε την πίεση στο σημείο Α. Δίνεται ότι η στάθμη του
νερού βρίσκεται σε ύψος h= 10 m πάνω από το έδαφος. Η πυκνότητα του νερού είναι
ρ = 103kg/m3 η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση 105Pa.
ΛΥΣΗ
Θεωρούμε ότι η στάθμη του νερού στην επιφάνεια της δεξαμενής κατεβαίνει με
αμελητέα ταχύτητα και εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου
της ελεύθερης επιφάνειας του νερού όπου η πίεση είναι P και του σημείου Α:
PghP 2
2
1
2
2
1ghPP
.).(2
2
1 IS
ghPP
721001010 35P
35 102810P
55 1028,010P PaP 51028,1
Πρόβλημα 3.29 (Σχολικό βιβλίο): Στο δοχείο Δ πέφτει συνέχεια νερό από τη βρύση
Β (βλ. σχήμα). Το δοχείο δε μπορεί να γεμίσει επειδή χύνεται νερό από το πλευρικό
άνοιγμα Α. Αν η παροχή της βρύσης είναι 22cm3/s και το εμβαδόν του ανοίγματος 1
cm2, να βρείτε σε ποιο ύψος h πάνω από το σημείο Α θα σταθεροποιηθεί η ελεύθερη
επιφάνεια. Δίνεται g = 10m/s2
ΛΥΣΗ
Μετατρέπουμε την παροχή της βρύσης και το εμβαδό του ανοίγματος σε μονάδες S.I.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 7
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
s
m
s
cm 36
3
102222
242 101 mcm
Για να σταθεροποιηθεί η ελεύθερη επιφάνεια θα πρέπει η παροχή της βρύσης να
ισούται με την παροχή του ανοίγματος, δηλαδή
s
m361022
s
m
m
s
m
2
24
36
102210
1022
Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli μεταξύ ενός σημείου της ελεύθερης επιφάνειας
του νερού και του σημείου Α και θεωρώντας την ελεύθερη επιφάνεια του νερού
σταθερή προκύπτει:
22
2
1
2
1 PghP (1)
Όμως, 0 .
Άρα η σχέση (1) γράφεται:
2
2
1gh m
s
m
s
m
gh 5
2
2
2
2
10242
102
1022
2
Πρόβλημα 3.30 (Σχολικό βιβλίο): Ένα δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα (Βλ. σχήμα)
περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Σε ποιο ύψος (x) από τον πυθμένα πρέπει να τρυπήσουμε
το δοχείο, ώστε η φλέβα που θα δημιουργηθεί να συναντά το έδαφος στη μεγαλύτερη
δυνατή απόσταση από τη βάση του δοχείου;
ΛΥΣΗ
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 8
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Ε στην ελεύθερη
επιφάνεια του νερού (της οποίας την ταχύτητα θεωρούμε αμελητέα) και του σημείου
Α από το οποίο εκρέει νερό από την τρύπα ισχύει:
22
2
1
2
1 PxhgP (1)
Όμως, 0 .
Άρα, η σχέση (1) δίνει:
2
2
1 xhg
2
2
1xhg xhg 2
Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή από την τρύπα με ταχύτητα .
Άρα, από τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής προκύπτει:
g
xtgtx
2
2
1 2 (χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει στο έδαφος)
Το βεληνεκές (δηλαδή η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του νερού θα είναι:
ts g
xxhgs
2)(2 xxhsxxhs 4)(4 2
22 44 xhxs 044 22 xhxs 044 22 shxx (2)
Για να έχει πραγματικές λύσεις η παραπάνω εξίσωση θα πρέπει:
0 01616 22 sh 022 sh sh
Άρα η μέγιστη δυνατή τιμή του βεληνεκούς είναι όταν: hs max
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2) προκύπτει:
044 22 hhxx 2
02022 h
xhxhx
Πρόβλημα 3.31 (Σχολικό βιβλίο): Ποσότητα νερού είναι αποθηκευμένη σε ανοικτό
κυλινδρικό δοχείο. Το ύψος του νερού στο δοχείο είναι h = 1 m .Το δοχείο έχει μικρή
τρύπα στο πλευρικό του τοίχωμα και σε απόσταση 20 cm κάτω από την ελεύθερη
επιφάνεια του νερού. Να υπολογίσετε:
α) Την ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από την τρύπα.
β) Πόσο απέχει από το δοχείο το σημείο του δαπέδου στο οποίο φτάνει η φλέβα του
νερού.
γ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του δοχείου πρέπει να ανοιχτεί δεύτερη τρύπα στο
πλευρικό τοίχωμα ώστε η φλέβα του νερού που θα βγαίνει από αυτή να πέφτει στο ίδιο
σημείο με την προηγούμενη.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 9
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
δ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του κυλίνδρου πρέπει να ανοίξουμε τρύπα ώστε η φλέβα
του νερού να φτάνει στο δάπεδο στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από το δοχείο.
Δίνεται g = 10m/s2
ΛΥΣΗ
α) Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Ε στην ελεύθερη
επιφάνεια του νερού (της οποίας την ταχύτητα θεωρούμε αμελητέα) και του σημείου
Α από το οποίο εκρέει νερό από την τρύπα (και απέχει mcmy 2,020 από την
ελεύθερη επιφάνεια) ισχύει:
22
2
1
2
1 PgyP (1)
Όμως, 0
Άρα, η σχέση (1) δίνει:
2
2
1gy smgygy /22
2
1 2
β) Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή από την τρύπα με ταχύτητα από ύψος yh ως
προς το έδαφος.
Άρα, από τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής προκύπτει:
g
yhtgtyh
2
2
1 2 (χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει στο
έδαφος)
Το βεληνεκές (δηλαδή η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του νερού θα είναι:
ts mss
ms 8,04,02
γ) Θέλουμε να ανοίξουμε μία δεύτερη τρύπα από την οποία το νερό να πέφτει σε
οριζόντια απόσταση ms 8,0 .
Θέλουμε δηλαδή ένα ακόμα ζεύγος τιμών και t έτσι ώστε: ts
Έστω ότι το ζητούμενο σημείο για να ανοιχτεί η τρύπα απέχει y από το έδαφος:
g
yttgy
2
2
1 2
Άρα,
ts
g
ys
2
g
ys
222 (2)
Επίσης με ανάλογη λογική με αυτήν του ερωτήματος (α) προκύπτει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 10
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
yhg 2 (3) (διότι θεωρήσαμε σαν y την απόσταση από το έδαφος όχι
από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού).
Αντικαθιστούμε την (3) στη (2) και προκύπτει:
g
yyhgs2
22 yyhs 42 22 44 yyhs 044 22 syhy
Άρα λύνοντας το τριώνυμο προκύπτει:
76,51616 22 sh
Άρα,
8
4,242,1y my 2,01 και my 8,02
Η λύση my 8,02 αντιστοιχεί στην πρώτη τρύπα διότι απέχει m2,0 από την ελεύθερη
επιφάνεια του νερού.
Η ζητούμενη λύση είναι η my 2,01 .
δ) Όπως και στο πρόβλημα 3.30: mh
y 5,02
Επιμέλεια
Κοντομάρης Στέλιος - sciencephysics4all.weebly.com