Post on 17-Jan-2016
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1. 概念
.,),,( 000 的增量称为自变量在点 xxxxxUx
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy
一、函数的连续性
x
y
0 0x xx 0
)(xfy
xy
x
y
0 0x xx 0
x
y
)(xfy
曲线不断 曲线断开
.),()( 0 内有定义在设函数 xUxf
函数 f(x) 随 x 的改变而逐渐改变 有突变现象
第九节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义定义 1 设函数 )( xf 在 )( 0xU 内有定义,如
果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函
数的增量 y 也趋向于零,即 0lim0
yx
或
0)]()([lim 000
xfxxfx
,那末就称函数
)( xf 在点 x0连续,x0称为 )( xf 的连续点.
,0 xxx 设 ),()( 0xfxfy
,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是
注: 1) 函数 f(x) 在 x0 连续的等价写法 ( 满足定义 1 的条件 ):
.)()(lim 000
xfxxfx
.)()(lim 00
xfxfxx
2) 若 y = f (x) 在 x0 处不连续,则称 y = f(x) 在 x0 处间断。
.)()(
,,0,0:
0
0
xfxf
xx
恒有
时使当即
3) 极限与连续的关系 : 极限 连续
连续函数必有极限 , 有极限不一定是连续函数 . 例如.0/sin,1/sinlim
0处不连续在但函数
xxxxx
x
;)(lim0
Axfxx
.)()(lim 00
xfxfxx
例 1
.
0,0,0
,0,1
sin)(
处连续
在试证函数
xx
xx
xxf
证 ,01
sinlim0
x
xx
,0)0( f又
.0)( 处连续在函数 xxf
),0()(lim0
fxfx
3. 单侧连续
;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf
定理.
)()( 00
处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf
例 2
.0,0,0
,0,)(
/1
处的连续性在讨论函数
xx
xexf
x
解 0lim)(lim /1
00
x
xxexf ),0(f
),0(f
右连续但不左连续 ,
.0)( 处不连续在点故函数 xxf
x
xxexf /1
00lim)(lim
4. 连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上的连续函数 , 或者说函数在该区间上连续 .
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 .
例如 , 基本初等函数在其定义域上连续 , 初等函数在其定义区间上连续 .
例 3 .),(sin 内连续在区间函数证明 xy
证 ),,( x任取
xxxy sin)sin( )2
cos(2
sin2x
xx
,1)2
cos(
x
x .2
sin2x
y
则
,0, 时当对任意的 ,sin 有
,2
sin2 xx
y
故 .0,0 yx 时当
.),(sin 都是连续的对任意函数即 xxy
例 4. 设
0,sin
0,)(
2
xxbx
xbxaxf
bxbx
x
sinlim
0abxa
x
)(lim 2
0解:
.ba
在 x=0 处连续,求常数 a 与 b 应满足的关系。
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf
;)()1( 0处有定义在点xxf
;)(lim)2(0
存在xfxx
).()(lim)3( 00
xfxfxx
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
二、函数的间断点
1. 跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
例 4 .0,0,1
,0,)( 处的连续性在讨论函数
xxx
xxxf
解 ,0)00( f ,1)00( f
),00()00( ff
.0为函数的跳跃间断点 x o x
y
2. 可去间断点
.)(
)(),()(lim
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
例 5
.1
,1,11
,10
,1
,2)(
处的连续性在
讨论函数
x
xxx
xxxf
o x
y
1
1
2
xy 1
xy 2
解 ,1)1( f ,2)01( f ,2)01( f
2)(lim1
xfx
),1(f .0为函数的可去间断点 x
如例 5 中 , ,2)1( f令
.1
,1,1
,10,2)(
处连续在
则
x
xx
xxxf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 .
特点 .0处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 , 则可使其变为连续点 .
3. 第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6 .0,0,
,0,1
)( 处的连续性在讨论函数
xxx
xxxf
解
o x
y
,0)00( f ,)00( f
.1为函数的第二类间断点 x
.断点这种情况称为无穷间
例 7 .01
sin)( 处的连续性在讨论函数 xx
xf
解
xy
1sin
,0处没有定义在 x
.1
sinlim0
不存在且xx
.0为第二类间断点 x
.断点这种情况称为的振荡间
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 .
,,0
,,1)(
是无理数时当是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数
在定义域 R 内每一点处都间断 , 且都是第二类间断点 .
,,
,,)(
是无理数时当是有理数时当
xx
xxxf
★
★
仅在 x=0 处连续 , 在定义域 R 内其余各点处处间断 . 但其绝对值处处连续 .
例 8 研究下列函数在 x=0 的连续性,若是间断的,指出间断点类型。
.0,1
0,sin
)()1
x
xx
xxf
( a 为任意实数)
.
0,1
0,sin
)()2
x
xx
x
xf
.0,
0,1
sin)()3
xa
xxxf .
0,
0,1
sin)()4
xa
xx
xxf
1sin
lim)(lim00
x
xxf
xx
.0),0()(lim0
是连续点
xfxfx
解: 1)
1||
sinlim)(lim
0000
x
xxf
xxx=0 为第一类间断点。
xx
1sinlim
0 不存在,∴ x=0 为第二类间断点。
4 ) 01
sinlim0
x
xx
∴ 当 a=0 时 f4(x) 在 x=0 处连续。
a≠0 时 x=0 为 f(x) 的可去间断点。
1sin
lim||
sinlim)(lim
000000
x
x
x
xxf
xxx2)
3 )
小结
1. 函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3. 间断点的分类与判别 ;
2. 区间上的连续函数 ;
第一类间断点 : 可去型 , 跳跃型 .
第二类间断点 : 无穷型 , 振荡型 .
间断点
( 见下图 )
可去型第一类间断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第二类间断
点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
思考题
2、若)(xf在0x连续,则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续?又若|)(|xf、)(2xf在0x连续,)(xf在0x是否连续?
1、 指出)1( 2
2
xx
xxy 在 0x 是第__类间断点;在
1x 是第__类间断点;在 1x 是第__类间断点 .
思考题解答
)(xf在0x连续, )()(lim 00
xfxfxx
)()()()(0 00 xfxfxfxf 且
)()(lim 00
xfxfxx
)(lim)(lim)(lim
000
2 xfxfxfxxxxxx
)( 02 xf
故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.
1 、一类;一类;二类。
2 、
但反之不成立 .
例
0,1
0,1)(
x
xxf 在00x 不连续
但 |)(| xf、)(2xf在00x连续